數(shù)學(xué)同步測(cè)控：參數(shù)方程中曲線欣賞-平擺線、圓的漸開線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測(cè)控我夯基，我達(dá)標(biāo)1.關(guān)于漸開線和擺線的敘述，正確的是(）A。只有圓才有漸開線B。漸開線和擺線的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才能得到不同的圖形C。正方形也可以有漸開線D。對(duì)于同一個(gè)圓，如果建立的直角坐標(biāo)系的位置不同，畫出的漸開線形狀就不同解析：本題主要考查漸開線和擺線的基本概念．不僅圓有漸開線，其他圖形如橢圓、正方形也有漸開線,漸開線和擺線的定義雖然從字面上有相似之處，但是它們的實(shí)質(zhì)是完全不一樣的，因此得出的圖形也不相同．對(duì)于同一個(gè)圓不論在什么地方建立直角坐標(biāo)系，畫出的圖形的大小和形狀都是一樣的，只是方程的形式及圖形在坐標(biāo)系中的位置可能不同．答案：C2。給出下列說法:①圓的漸開線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程；②圓的漸開線也可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標(biāo)之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問題；③在求圓的擺線和漸開線方程時(shí),如果建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸選取不同，可能會(huì)得到不同的參數(shù)方程;④圓的漸開線和x軸一定有交點(diǎn)而且是惟一的交點(diǎn)．其中正確的說法有(）A.①③B。②④C.②③D。①③④解析:本題主要考查漸開線和擺線的有關(guān)概念和參數(shù)方程的問題．對(duì)于一個(gè)圓,只要半徑確定，漸開線和擺線的形狀就是確定的，但是隨著選擇體系的不同，其在坐標(biāo)系中的位置也會(huì)不同，相應(yīng)的參數(shù)方程也會(huì)有所區(qū)別，至于漸開線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)要看選取的坐標(biāo)系的位置．答案：C3。已知圓的漸開線的參數(shù)方程是（θ為參數(shù))，則此漸開線對(duì)應(yīng)的基圓的直徑是___________，當(dāng)參數(shù)θ＝時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________。解析：圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑唯一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，故直徑為2．求當(dāng)θ=時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)只需把θ=代入曲線的參數(shù)方程，得x＝＋,y＝－，由此可得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（＋，－).答案：2（＋，－）4。已知一個(gè)圓的擺線方程是（θ為參數(shù)），求該圓的面積和對(duì)應(yīng)的圓的漸開線的參數(shù)方程.思路分析:首先根據(jù)所給出的擺線方程判斷出圓的半徑為4，易得圓的面積,再代入漸開線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式即可得圓的漸開線的參數(shù)方程。解:首先根據(jù)漸開線的參數(shù)方程可知圓的半徑為4，所以面積是16π，該圓對(duì)應(yīng)的漸開線的參數(shù)方程是(θ為參數(shù)）.5。已知圓C的參數(shù)方程是(α為參數(shù)，α∈[0,2π））和直線l對(duì)應(yīng)的普通方程是x—y—=0。(1）如果把圓心平移到原點(diǎn)O，請(qǐng)問平移后圓和直線是什么關(guān)系？(2）寫出平移后圓的擺線方程.（3)求擺線和x軸的交點(diǎn).思路分析:首先根據(jù)條件，可知圓的半徑是6，平移后的圓心為O（0，0），根據(jù)圓心O到直線的距離可以判斷出直線和圓的位置關(guān)系．再由圓的半徑寫出圓的擺線方程．求擺線和x軸的交點(diǎn)只需令y＝0，求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)θ，再代入求出x值。解：（1)圓C平移后圓心為O（0，0），它到直線x-y-6=0的距離為d=＝6，恰好等于圓的半徑，所以直線和圓是相切的．(2)由于圓的半徑是6，所以可得擺線方程是（θ為參數(shù))．(3）令y＝0,得6—6cosθ＝0cosθ=1，所以θ＝2kπ（k∈Z).代入x=6θ—6sinθ，得x=12kπ（k∈Z），即圓的擺線和x軸的交點(diǎn)為（12kπ，0）(k∈Z）。我綜合，我發(fā)展6.已知一個(gè)圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，θ∈［0，2π））,那么圓的擺線方程中與參數(shù)θ＝對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A與點(diǎn)B（，2）之間的距離為（）A.—1B.C.D。解析:根據(jù)圓的參數(shù)方程，可知圓的半徑為3，那么它的擺線的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）,把θ＝代入?yún)?shù)方程中可得即A（3（-1），3),∴｜AB｜＝。答案：C7。如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，曲線AEFGH…叫做“正方形的漸開線”，其中AE、EF、FG、GH、…的圓心依次按B、C、D、A循環(huán)，它們依次相連接,則曲線AEFGH的長(zhǎng)是（）A。3πB.4πC.5πD。6π解析：根據(jù)漸開線的定義，可知是半徑為１的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為；繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得是半徑為２的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為π；是半徑為3的圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為；是半徑為４的圓周長(zhǎng),長(zhǎng)度為2π。所以，曲線AEFGH的長(zhǎng)是5π。答案：C8。漸開線（θ為參數(shù)）的基圓的圓心在原點(diǎn)，把基圓的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）,得到的曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_____________.解析:根據(jù)圓的漸開線方程,可知基圓的半徑r＝6，其方程為x2+y2＝36，把基圓的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）,得到的曲線的方程為(x)2+y2＝36,整理可得＝1，這是一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．c=，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0)和(-6，0）.答案：（6，0）和(-6，0)9.我們知道關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù),則圓的擺線（θ為參數(shù)）關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的曲線的參數(shù)方程為____________。解析：關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的函數(shù)互為反函數(shù)，而求反函數(shù)的過程主要體現(xiàn)了x與y的互換．所以,要寫出擺線方程關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱曲線方程，只需把其中的x與y互換即可。答案:（θ為參數(shù)）10。求擺線(０≤t≤2π)與直線y＝２的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)。思路分析:本題考查交點(diǎn)坐標(biāo)的求法,可利用代入法求解．解:當(dāng)y＝2時(shí),有2（1-cost)＝2，∴cost＝０.又０≤t≤2π，∴t＝或t＝.當(dāng)t＝時(shí),x＝π－２；當(dāng)t＝時(shí)，x＝3π+2.∴擺線與直線y＝２的交點(diǎn)為(，π—2），（，3π+2）。我創(chuàng)新，我超越11。星形線的參數(shù)方程一軸承的剖面如圖所示,小圓表示滾球,半徑為r,大圓表示軸瓦，半徑為a＝4r。設(shè)想大圓固定,而小圓在大圓內(nèi)無滑動(dòng)地滾動(dòng)．小圓上的一定點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)中的軌跡為一條曲線，稱為星形線．試推導(dǎo)它的參數(shù)方程。思路分析：解實(shí)際應(yīng)用題，一般先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。解：取大圓圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)小圓的定點(diǎn)M開始時(shí)位于點(diǎn)A處,x軸正方向?yàn)橄蛄康姆较?。小圓滾動(dòng)α角后，圓心在C點(diǎn),與大圓切點(diǎn)為B,小圓上的定點(diǎn)M的位置如題圖所示．因?yàn)槭菬o滑動(dòng)的滾動(dòng)，所以＝。記θ＝∠AOB,由＝rα，＝aθ＝4rθ得rα＝4rθ。由此知α＝４θ。作CD平行于x軸，則∠BCD＝θ，得∠DCM＝∠BCM－∠BCD＝α－θ＝3θ。由此知CM與x軸正向形成的任意角為—3θ.由｜OC｜＝a－r＝3r，用向量的坐標(biāo)表達(dá)式，得＝（3rcosθ，3rsinθ)，＝（rcos（—3θ）,rsin(—3θ））＝(rcos3θ，-rsin3θ）。因此有＝（3rcosθ＋rcos3θ，3rsinθ—rsin3θ)。用三角函數(shù)的三倍角公式cos3θ＝4cos3θ-3cosθ，