數(shù)學(xué)同步測(cè)控：球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測(cè)控我夯基，我達(dá)標(biāo)1。設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（-1，，3),則它的柱坐標(biāo)是()A。（2，，3）B.（2，,3）C.（2，，3）D.（2,，3）解析：∵ρ==2,θ=,z=3，∴M的柱坐標(biāo)為（2，，3）。答案：C2。設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（—1，-1，),則它的球坐標(biāo)為（）A.（2，，)B。(2,,）C.（2，，）D.（2，,）解析:由坐標(biāo)變換公式，得r==2，cosθ==，∴θ=.tanφ==-=1，∴φ=。∴M的球坐標(biāo)為（2，，）。答案：B3.已知點(diǎn)M的球坐標(biāo)為（4，，)，則它的直角坐標(biāo)為______________，它的柱坐標(biāo)是______________。解析：由坐標(biāo)變換公式直接得直角坐標(biāo)和柱坐標(biāo).答案：（—2，2，2）（2，，2)。4。設(shè)點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為（2，,7)，則它的直角坐標(biāo)為______________。解析：∵ρ=2，θ=，z=7,∴x=ρcosθ=2cos=，y=ρsinθ=2sin=1.∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(，1，7).答案：(，1，7）5。在球坐標(biāo)系中，方程r=1表示，方程θ=表示空間的______________。解析：數(shù)形結(jié)合，根據(jù)球坐標(biāo)的定義判斷形狀。答案：球心在原點(diǎn)，半徑為1的球面頂點(diǎn)在原點(diǎn)，軸截面頂角為,中心軸為z軸的圓錐面6.設(shè)地球的半徑為R，在球坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(R，45°，70°）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（R，45°，160°），求A、B兩點(diǎn)的球面距離。思路分析：要求A、B兩點(diǎn)間球面距離，要把它放到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的度數(shù)，AB的長(zhǎng)度,就可求球面距離。解:如圖，由點(diǎn)A、B的球坐標(biāo)可知，∠BOO′=45°,∠AOO′=45°，這兩個(gè)點(diǎn)都在北緯90°—45°=45°圈上.設(shè)緯度圈的圓心為O′，地球中心為O,則∠xOQ=70°，∠xOH=160°,∴∠AO′B=160°-70°=90°.∵OB=R,∴O′B=O′A=R。∴AB=R.則AO=BO=AB=R.∴∠AOB=60°.∴=·2πR=R。即A、B兩點(diǎn)間的球面距離為R.我綜合，我發(fā)展7.已知點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為（，，5）,點(diǎn)B的球坐標(biāo)為(，，）,則這兩個(gè)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為()A.P點(diǎn)（5，1，1），B點(diǎn)（，，)B。P點(diǎn)(1，1，5)，B點(diǎn)(，，）C。P點(diǎn)（，，），B點(diǎn)（1，1，5)D.P點(diǎn)（1，1，5)，B點(diǎn)（,，）解析：此題考查空間直角坐標(biāo)系與空間柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系的互化。只要我們記住互化公式，問(wèn)題就能夠解決.球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式為柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式為設(shè)P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（x,y,z）,則x=cos=×=1，y=sin=1,z=5。設(shè)B點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x，y,z），則x=sincos=××=，y=sinsin=××=，z=cos=×=。所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1,1,5)，點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為（,，)。選B.答案：B8.如圖,在柱坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方體ABCO-A1B1C1O1的一頂點(diǎn)在原點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1（4，0，5)，C1（6，，5)，則此長(zhǎng)方體外接球的體積為______________。解析：由頂點(diǎn)的柱坐標(biāo)求出長(zhǎng)方體的三邊長(zhǎng)，其外接球的直徑恰為長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).由長(zhǎng)方體的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1（4，0，5)，C1（6，，5)，可知OA=4，OC=6,OO1=5.則對(duì)角線長(zhǎng)為.那么球的體積為·π·（）3=。答案:9。用兩平行平面去截球,如圖，在兩個(gè)截面圓上有兩個(gè)點(diǎn)，它們的球坐標(biāo)分別為A（25，arctan，θA）、B(25，π-arctan,θB）,求出這兩個(gè)截面間的距離.思路分析:根據(jù)已知可得球半徑為25,這樣,我們就可以在Rt△AOO1和Rt△BOO2中求出OO1及OO2的長(zhǎng)度,從而可得兩個(gè)截面間的距離O1O2。解：由已知,OA=OB=25,∠AOO1=arctan，∠BOO1=π—arctan,即在△AOO1中，tan∠AOO1==;在△BOO2中,∠BOO2=arctan，tan∠BOO2==.∵OA=25，∴OO1=7；又∵OB=25,∴OO2=20.則O1O2=OO1+OO2=7+20=27，即兩個(gè)截面間的距離O1O2為27.10。在赤道平面上，我們選取地球球心O為極點(diǎn)，以O(shè)為端點(diǎn)且與零子午線相交的射線OX為極軸,建立坐標(biāo)系.有A、B兩個(gè)城市,它們的球坐標(biāo)分別為A（R，，）、B（R，,），從A到B，飛機(jī)應(yīng)該走怎樣的航線最短，其最短航程為多少？思路分析：我們根據(jù)A、B兩地的球坐標(biāo)找到地球的半徑、緯度、經(jīng)度,當(dāng)飛機(jī)走A、B兩地的大圓時(shí)，航線最短,所走的航程實(shí)際上是求過(guò)A、B兩地的球面距離.解:如圖所示,因?yàn)锳(R，,)，B（R，,),可知∠AOO1=∠BOO1=.又∠xOC=,∠xOD=,∴∠COD=-=。∴∠AO1B=∠COD=。在Rt△OO1B中,∠O1OB=，OB=R，∴O1B=R.同理,O1A=R.∵∠AO1B=，∴AB=R.在△AOB中,AB=OB=OA=R,∴∠AOB=。則經(jīng)過(guò)A,B兩地的球面距離為R.即走經(jīng)過(guò)A、B兩地的大圓，飛機(jī)航線最短，其最短航程為R.我創(chuàng)新，我超越11。結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，圖（1)是食鹽晶胞的示意圖（可看成是八個(gè)棱長(zhǎng)為的小正方體堆積成的正方體），圖形中的點(diǎn)代表鈉原子，如圖(2)，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz后，試寫出全部鈉原子所在位置的球坐標(biāo)、柱坐標(biāo)。思路分析：在空間直角坐標(biāo)系中,我們需要找點(diǎn)的x，y，z;在柱坐標(biāo)系中,需要找到ρ,θ，z；在球坐標(biāo)系中,需要找到r,θ,φ.解:把圖中的鈉原子分成下、中、上三層來(lái)寫它們所在位置的坐標(biāo)。下層的原子全部在xOy平面上,它們所在位置的豎坐標(biāo)全是0,所以這五個(gè)鈉原子所在位置的球坐標(biāo)分別為(0，0,0）,（1，,0)，(,,）,(1，,），(,，),它們的柱坐標(biāo)分別為(0，0，0）,(1,0，0）,（，，0）,(1，，0)，(,,0）；中層的原子所在的平面平行于xOy平面,與z軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)為,所以，這四個(gè)鈉原子所在位置的球坐標(biāo)分別為(，，0)，(arccos,arctan），（，arccos,arctan2),(,，），它們的柱坐標(biāo)分別為(,0,），（，arctan,),（,arctan2，)，（