數(shù)學同步練習：等差數(shù)列等差數(shù)列

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2等差數(shù)列2．2。1等差數(shù)列1．等差數(shù)列的前4項依次是a－1，a＋1，2a＋3，2b－3，則a，b的值為（）A．1，2B．－1,4C．0,4D．2，－22．在等差數(shù)列{an}中,a3＋a12＝60，a6＋a7＋a8＝75，則其通項公式為（）A．a(chǎn)n＝10n＋45B．a(chǎn)n＝6n－24C．a(chǎn)n＝10n－45D．a(chǎn)n＝6n＋243．已知△ABC的三個內角A、B、C成等差數(shù)列，則tan(A＋C)＝________。4．若a，x1，x2，x3，b與a，y1,y2,y3，y4，y5，b均為等差數(shù)列，則eq\f(x3－x1，y3－y1)＝__________.答案:1．C方法一:依題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a－1＋2a＋3＝2(a＋1），，a＋1＋2b－3＝2(2a＋3），)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝0，,b＝4.))方法二：由（a＋1）－（a－1）＝2可得d＝2，再利用通項公式可得a，b的值．方法三:采用特殊值代入法求解．2．C∵a6＋a7＋a8＝3a7＝75，∴a7＝25.又∵a3＋a12＝a7＋a8＝60，∴a8＝35，d＝a8－a7＝10.∴an＝a8＋（n－8）d＝35＋10×(n－8）＝10n－45.3．－eq\r(3)∵∠A、∠B、∠C成等差數(shù)列，∴2∠B＝∠A＋∠C?！唷螦＋∠B＋∠C＝3∠B＝180°.∴∠B＝60°?！唷螦＋∠C＝120°?！鄑an(A＋C)＝tan120°＝－eq\r(3）.4。eq\f（3，2）∵a，x1，x2,x3，b成等差數(shù)列,∴其公差d1＝eq\f（b－a，4）.又∵a，y1，y2，y3,y4，y5，b成等差數(shù)列，∴其公差d2＝eq\f(b－a，6).∴eq\f(x3－x1，y3－y1)＝eq\f(2d1，2d2）＝eq\f(d1，d2)＝eq\f(b－a,4）×eq\f(6,b－a)＝eq\f(3，2）。課堂鞏固1．已知m和2n的等差中項是4,2m和n的等差中項是5，則m和n的等差中項是()A．2B．3C．6D．92．（遼寧高考，文3）{an}為等差數(shù)列,且a7－2a4＝－1,a3＝0，則公差d等于(）A．－2B．－eq\f(1，2)C。eq\f(1，2)D．23．等差數(shù)列的首項為eq\f（1，25)，第10項為開始比1大的項，則公差d的取值范圍為（）A．d＞eq\f(8，75）B。eq\f（8,75）＜d≤eq\f(3，25）C．d＜eq\f(3，25）D.eq\f（8,75)＜d＜eq\f（3,25）4．(山東高考，文13)在等差數(shù)列｛an｝中，a3＝7，a5＝a2＋6，則a6＝__________.5．若lg2,lg（2x－1)，lg(2x＋3)成等差數(shù)列，則x的值為__________．6．已知eq\f(1,a）,eq\f(1，b)，eq\f（1,c)成等差數(shù)列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均為正數(shù)，求證：lg（a＋c),lg(a－c），lg(a＋c－2b)也成等差數(shù)列．7．等差數(shù)列｛an}中，已知a59＝70，a80＝112,求a101.答案：1．B由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝8，，2m＋n＝10,))∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝2.））∴m和n的等差中項是3.2．B方法一：a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，∴a1＝1?！郺3＝a1＋2d＝1＋2d＝0.∴d＝－eq\f（1，2）。方法二：∵a7－2a4＝a3＋4d－2（a3＋d)＝－a3＋2d＝2d＝－1，∴d＝－eq\f（1,2）.3．B依題意eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a10>1，a9≤1)）?eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（1,25)＋9d>1,\f(1，25)＋8d≤1））?eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(d>\f(8,75）,d≤\f(3,25）)）?eq\f(8，75）<d≤eq\f(3，25)。4．13等差數(shù)列{an｝中，a3＝7,a5－a2＝6,∴3d＝6.∴a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.5．log252lg（2x－1）＝lg2＋lg(2x＋3），所以可得(2x－1)2＝2（2x＋3),即(2x)2－4·2x－5＝0。解之,得2x＝5或2x＝－1（舍)．所以x＝log25.6．證明:由已知eq\f（1，a），eq\f(1，b)，eq\f（1,c)成等差數(shù)列,∴eq\f(2,b）＝eq\f(1，a）＋eq\f（1,c).∴eq\f（2，b)＝eq\f(a＋c,ac)。∴2ac＝ab＋bc?！啵?ac＝2ac－2b（a＋c）．∴－2ac＋a2＋c2＝2ac－2b（a＋c）＋a2＋c2.∴（a－c）2＝(a＋c)(a＋c－2b)．又∵a－c，a＋c，a＋c－2b都是正數(shù)，∴2lg(a－c)＝lg(a＋c)＋lg（a＋c－2b)．∴l(xiāng)g（a＋c），lg（a－c），lg（a＋c－2b）成等差數(shù)列．7。解法一：設首項為a1,公差為d，則由題意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＋58d＝70，，a1＋79d＝112。)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＝－46，,d＝2.)）∴a101＝a1＋100d＝－46＋100×2＝154.解法二：設公差為d，則a80＝a59＋(80－59)d＝a59＋21d，即112＝70＋21d,∴d＝2.∴a101＝a80＋（101－80）d＝112＋21×2＝154.解法三：∵an＝a1＋(n－1）d＝dn＋a1－d是關于n的一次函數(shù)，其圖象是直線上的點，∴點(59,a59)，（80，a80)，（101，a101）共線．∴eq\f(a80－a59，80－59)＝eq\f(a101－a80,101－80），即eq\f（112－70,21)＝eq\f(a101－112,21）?！郺101＝154。1．在數(shù)列｛an｝中，a1＝－2,2an＋1＝2an＋3，則a11等于（)A.eq\f（27，2）B．10C．13D．191．答案:C由2an＋1＝2an＋3得an＋1－an＝eq\f(3，2），∴{an}是等差數(shù)列．a(chǎn)1＝－2，d＝eq\f(3，2），a11＝13。2.（安徽高考，文5）已知{an｝為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105,a2＋a4＋a6＝99，則a20等于()A．－1B．1C．3D．72．答案:B設其公差為d，∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105.∴a3＝35.同理,由a2＋a4＋a6＝99，得a4＝33.∴d＝a4－a3＝－2?！郺20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.3．已知等差數(shù)列{an｝的公差為d,若c≠0，且c為常數(shù)，則數(shù)列｛can}是（)A．公差為d的等差數(shù)列B．公差為cd的等差數(shù)列C．不是等差數(shù)列D．不能判斷3．答案：B因為an＋1－an＝d，所以can＋1－can＝cd。所以數(shù)列{can}是公差為cd的等差數(shù)列．4．設{an}是遞增的等差數(shù)列,其前三項的和為12，前三項的積為48,則數(shù)列｛an｝的首項為（）A．1B．2C．4D．64．答案：B方法一：設首項為a，公差為d，則由題意知：d〉0,且eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＋a＋d＋a＋2d＝12，，a(a＋d)（a＋2d)＝48，））解得a＝2。方法二：設三數(shù)為：a－d，a，a＋d，依題意有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（d〉0，，a－d＋a＋a＋d＝12,，（a－d)·a·(a＋d）＝48，））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝4，,d＝2。）)∴a－d＝2。5．等差數(shù)列{an｝單調遞增且a3＋a6＋a9＝12，a3·a6·a9＝28，則此數(shù)列的通項公式an＝__________.5．答案:n－2∵a3＋a9＝2a6,a6＝4，∴a3＋a9＝8，a3·a9＝7。∴a3、a9是一元二次方程x2－8x＋7＝0的兩個根．又∵｛an}單調遞增，∴a3＝1，a9＝7，d＝1.從而an＝a3＋(n－3）d＝1＋(n－3）＝n－2.6．已知方程(x2－2x＋m）（x2－2x＋n）＝0的四個根組成一個首項為eq\f(1,4）的等差數(shù)列，則｜m－n｜等于________．6。答案：eq\f（1,2)設a1＝eq\f（1，4），a2＝eq\f（1，4）＋d，a3＝eq\f(1,4)＋2d，a4＝eq\f(1,4)＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中的兩根之和為2，方程x2－2x＋n＝0中的兩根之和也為2，∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4。∴d＝eq\f(1，2)。因此a1＝eq\f(1,4），a4＝eq\f(7,4)是一個方程的兩根，a2＝eq\f（3,4），a3＝eq\f（5,4)是另一個方程的兩個根．∴m,n分別為eq\f（7,16），eq\f（15,16).∴｜m－n｜＝eq\f（1,2).7．第一屆現(xiàn)代奧運會于1896年在希臘雅典舉行，此后每4年舉行一次，奧運會如因故不能舉行,屆數(shù)照算．(1)試寫出由舉行奧運會的年份構成的數(shù)列的通項公式；(2)2012年倫敦奧運會是第幾屆?2050年舉行奧運會嗎？7．答案:解：(1）由題意知，舉行奧運會的年份構成的數(shù)列是一個以1896為首項，4為公差的等差數(shù)列．這個數(shù)列的通項公式為an＝1896＋4(n－1)＝1892＋4n（n∈N＋）．（2）假設an＝2012，由2012＝1892＋4n，得n＝30。假設an＝2050,2050＝1892＋4n無正整數(shù)解,即所求通項公式為an＝1892＋4n（n∈N＋)，2012年倫敦奧運會是第30屆奧運會，2050年不舉行奧運會．8．已知f（x)＝eq\f（x，a(x＋2)），且方程x＝f（x)有唯一解，且f(x0)＝eq\f(1，1005),f(xn－1)＝xn，n＝1，2,3，….（1)問數(shù)列｛eq\f（1,xn）}是否是等差數(shù)列?（2)求x2009的值．8．答案:解:(1)由f（x）＝x得eq\f(x,a(x＋2))＝x，即x［1－eq\f（1,a(x＋2)）］＝0.解得x＝0或x＝eq\f(1，a）－2.∵方程x＝f(x）有唯一解,∴eq\f(1,a）－2＝0?！郺＝eq\f（1，2).∴f（x)＝eq\f(2x，x＋2）.又xn＝f(xn－1)＝eq\f(2xn－1，xn－1＋2)，∴eq\f（1,xn)＝eq\f(1，xn－1）＋eq\f（1,2）.∵x1＝f(x0）＝eq\f(1，1005)，∴{eq\f(1,xn)｝是首項為1005，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列．（2）由(1)知eq\f(1,xn）＝eq\f（1，x1）＋（n－1)eq\f（1，2）＝1005＋(n－1）eq\f（1,2)＝eq\f(2009＋n，2），∴xn＝eq\f(2，2009＋n)?！鄕2009＝eq\f（2,2009＋2009）＝eq\f（1,2009).9．如下圖，三個正方形的邊AB、BC、CD的長組成等差數(shù)列,且AD＝21cm，這三個正方形的面積之和是179cm2.（1）求AB、BC、CD的長；(2)以AB、BC、CD的長為等差數(shù)列的前三項，以第10項為邊長的正方形的面積是多少？9．答案:解：(1）設公差為d（d〉0)，BC＝x，則AB＝x－d,CD＝x＋d。由題意得eq\b\lc\｛\rc