數(shù)學(xué)同步練習(xí)：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)第三小節(jié)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.2。3指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系1．將函數(shù)y＝3x－2的圖象向左平移兩個(gè)單位,再將所得圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱后所得圖象的函數(shù)解析式為()A．y＝4＋log3xB．y＝log3（x－4)C．y＝log3xD．y＝2＋log3x2．已知函數(shù)y＝log2x的反函數(shù)是y＝f－1(x),則函數(shù)y＝f－1（1－x)的圖象是（）3．函數(shù)y＝logeq\f（1，2）x（x〉2）的反函數(shù)是（)A．y＝2x（x<－1）B．y＝（eq\f（1,2)）x(x>－1)C．y＝2－x(x<－1）D．y＝(eq\f（1,2))－x(x>－1）4．若函數(shù)f（x）＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(2，－1），則a＝__________。5．如果函數(shù)f（x)＝(3－a)x，g(x）＝logax的增減性相同，則a的取值范圍是________．1．給出下列四個(gè)命題:①函數(shù)y＝f－1(x)的反函數(shù)是y＝f(x）；②若點(diǎn)M(a，b)在y＝f（x)的圖象上,且其反函數(shù)存在，則點(diǎn)M1(b，a）一定在y＝f－1（x)的圖象上；③關(guān)于直線y＝x成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形一定是互為反函數(shù)的一對(duì)函數(shù)的圖象；④因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x）和其反函數(shù)y＝f－1(x）的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以y＝f(x）與y＝f－1(x)的圖象不能相交．其中錯(cuò)誤的有…(）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．函數(shù)y＝eq\f(1－x，x）(x≠0）的反函數(shù)的圖象大致是…(）3．函數(shù)f(x)＝loga（3x－1)（a〉0且a≠1）的反函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)（)A．(1，0）B．(0,1)C．（0,eq\f(2,3）)D．（eq\f(2,3)，0)4．已知函數(shù)f（x)＝log3（eq\f(4，x)＋2），則方程f－1（x）＝4的解x＝________。5．已知函數(shù)f（x）＝ax－k的圖象過(guò)點(diǎn)(1，3），其反函數(shù)f－1（x)的圖象過(guò)（2,0)點(diǎn)，則f(x)的表達(dá)式為_(kāi)_______．6．已知函數(shù)f（x）＝amx（a>0，且a≠1)(m∈R，m≠0），求f－1[f(－x）]的表達(dá)式．7．函數(shù)f（x)與g（x)＝(eq\f(1,2））x的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，求f（4－x2）的單調(diào)遞增區(qū)間．1．已知函數(shù)f（x)＝logax(a〉0，a≠1)的圖象如圖所示，函數(shù)y＝g(x）的圖象與y＝f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則函數(shù)y＝g(x）的解析式為(）2．已知函數(shù)f（x）＝loga（2x＋b－1)(a>0，a≠1）的圖象如圖所示,則a，b滿足的關(guān)系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1〈1C．0〈b－1〈a<1D．0<a－1〈b－1〈13．已知函數(shù)f（x）＝lg(ax－bx)(a>1〉b〉0），若x∈（1,＋∞）時(shí)f（x)〉0恒成立，則（）A．a(chǎn)－b〉1B．a(chǎn)－b≤1C．a(chǎn)－b〈1D．a(chǎn)－b≥14．已知函數(shù)f(x)＝2logeq\f（1,2)x的值域是［－1,1]，則函數(shù)f－1(x)的值域是(）A．[eq\f（\r（2),2），eq\r（2)]B．［－1,1]C．［eq\f（1,2),2］D．（－∞，eq\f(\r(2),2)］∪［eq\r(2)，＋∞)5．函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)(0，1）點(diǎn)，則函數(shù)g（x)＝f(4－x)的反函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)________．6．設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱，且存在反函數(shù)f－1(x）,f（4）＝0，則f－1(4)＝________.7．已知α是方程x＋lgx＝3的根，β是方程x＋10x＝3的根，則α＋β＝________。8．若函數(shù)f（x)＝lgeq\f（1＋2x＋a·4x,3），若x∈(－∞，1］時(shí)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．9．若a∈R，f（2x）＝eq\f(a·4x＋a－2，1＋4x），且f(x）為奇函數(shù)，求f(x)的反函數(shù)f－1（x)及其定義域．10．已知函數(shù)f(x)＝3x2－8（m－1）x＋5在［－1，＋∞)上為增函數(shù)，（1)求實(shí)數(shù)m的最大值M；(2）在(1)的條件下解關(guān)于x的不等式：（其中a>0，a≠1）．答案與解析課前預(yù)習(xí)1．C由題意，y＝3x－2的圖象向左平移兩個(gè)單位后，得到y(tǒng)＝3x的圖象,再關(guān)于直線y＝x對(duì)稱后得到y(tǒng)＝log3x的圖象．2．C函數(shù)y＝log2x的反函數(shù)為y＝2x，∴f（1－x）＝21－x＝(eq\f(1，2）)x－1，即是由y＝（eq\f(1,2)）x的圖象向右平移了1個(gè)單位所得到．3．Cy＝logeq\f（1,2）x＝－log2x,∴l(xiāng)og2x＝－y.∴x＝2－y，即y＝2－x?！選〉2時(shí)，logeq\f（1，2）x〈－1，∴y＝2－x（x<－1)．4。eq\f(1,2)由題意可知f(x)＝ax的圖象經(jīng)過(guò)（－1,2），即a－1＝2,∴a＝eq\f（1,2）.5．（1，2）由題意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(0〈3－a〈1,,0<a<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（3－a〉1,，a>1。)）解得1<a<2。課堂鞏固1．B③和④錯(cuò)誤,③中關(guān)于直線y＝x成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形不一定是函數(shù)圖象；④中若兩函數(shù)為y＝（eq\f（1，2))x和y＝logeq\f（1,2)x，則兩圖象一定相交．2．B由y＝eq\f(1－x，x)(x≠0）,得xy＝1－x，∴x＝eq\f（1,1＋y).∴反函數(shù)為y＝eq\f(1，x＋1)，其圖象是由y＝eq\f(1,x）的圖象向左平移一個(gè)單位得到的．3．C∵f（x）＝loga（3x－1)的圖象過(guò)定點(diǎn)（eq\f（2,3)，0），∴它的反函數(shù)過(guò)定點(diǎn)(0，eq\f(2，3)）．4．1根據(jù)互為反函數(shù)的自變量和因變量的互換關(guān)系，得f（4）＝log3（eq\f（4,4）＋2）＝log33＝1，∴方程f－1(x）＝4的解為x＝1。5．f(x）＝2x＋1∵y＝f－1(x)的圖象過(guò)點(diǎn)（2，0)，∴y＝f(x）的圖象經(jīng)過(guò)(0，2）點(diǎn)，∴2＝a0－k?！鄈＝－1。又∵y＝f（x)的圖象過(guò)點(diǎn)（1,3)，∴3＝a＋1.∴a＝2.∴f（x)＝2x＋1。6．解:令f（x）＝amx＝y(tǒng)，則mx＝logay，∴x＝eq\f(1，m)logay.∴f－1(x）＝eq\f(1,m)·logax。又f（－x)＝a－mx，∴f－1［f（－x)]＝eq\f(1,m）·logaa－mx，即f－1［f(－x)］＝eq\f（1，m）·（－mx)＝－x。點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)y＝f（x)的反函數(shù)的步驟：（1)確定y＝f（x)的值域;（2）把函數(shù)y＝f（x)看作一個(gè)方程，用y把x表示出來(lái)；（3）把x，y互換,寫(xiě)出原函數(shù)的反函數(shù),并注意反函數(shù)的定義域．7．解：∵函數(shù)f(x)與g（x）＝（eq\f(1，2））x的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，∴函數(shù)f(x)與g（x)互為反函數(shù)．∴f（x)＝logeq\f(1,2)x?！鄁(4－x2)＝logeq\f(1，2）（4－x2)，它是一個(gè)復(fù)合函數(shù),令t＝4－x2，由4－x2>0得x∈(－2,2）,又對(duì)稱軸為x＝0，∴t＝4－x2在(－2，0)上單調(diào)遞增，在(0，2）上單調(diào)遞減,又y＝logeq\f(1,2）t為單調(diào)遞減函數(shù)，由“同增異減”判斷可得，函數(shù)y＝logeq\f(1,2)（4－x2)在(－2,0）上單調(diào)遞減，在(0,2）上單調(diào)遞增．課后檢測(cè)1．C由圖象可知f（x)＝logax(a>0，a≠1)過(guò)點(diǎn)（2，－1),∴l(xiāng)oga2＝－1?！郺＝eq\f(1，2)?！鄁(x）＝logeq\f（1，2)x.∴g（x)＝（eq\f(1,2))x。2．A令u＝2x＋b－1,y＝logau，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷a〉1,又∵f（0)>－1,∴l(xiāng)ogab〉－1?！郻>a－1?！?<a－1〈b〈1。3．D由lg（ax－bx）>0可得ax－bx>1在(1，＋∞）上恒成立，又u(x）＝ax－bx（a〉1>b>0）為單調(diào)遞增函數(shù)，∴只需u（1）≥1即可,即a－b≥1。4．A∵互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域發(fā)生互換，∴要求f－1(x）的值域，只需求f(x)的定義域．∵f(x)的值域?yàn)閇－1，1]，∴－1≤2logeq\f（1，2）x≤1?！鄕∈[eq\f（\r（2),2),eq\r(2）］．5．（1,4)∵f(x)的圖象過(guò)(0,1)，∴f（－x）的圖象也過(guò)點(diǎn)（0,1)，∴f（4－x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,1），∴g（x)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，4)．6．－2∵f(x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，2）對(duì)稱，且f(4)＝0，（4，0)關(guān)于點(diǎn)(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)為（－2，4)，∴其反函數(shù)必過(guò)點(diǎn)(4，－2)．7．3方程x＋lgx＝3,即為lgx＝3－x;方程x＋10x＝3即為10x＝3－x，又y＝lgx與y＝10x的圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱,作出y＝lgx，y＝10x，y＝3－x，y＝x的圖象易得x＋y＝3.8．解：∵f（x）＝lgeq\f（1＋2x＋a·4x,3)在(－∞，1]上有意義，∴1＋2x＋a·4x>0在（－∞,1］上恒成立．∵4x>0，∴a〉－［（eq\f（1,4)）x＋(eq\f(1，2）)x］在(－∞，1］上恒成立．令g（x)＝－[(eq\f（1,4）)x＋（eq\f（1,2））x],x∈(－∞，1］,則由－（eq\f(1,4））x與－（eq\f(1，2））x在(－∞，1]上均為增函數(shù)，可知g(x)在(－∞,1］上也為增函數(shù)．因?yàn)間（1）有意義，所以g（x）〈g(1）＝－(eq\f（1，4)＋eq\f(1，2))＝－eq\f(3,4).因?yàn)閍〉－［（eq\f（1，4)）x＋（eq\f（1，2))x]在（－∞,1]上恒成立，所以a≥g(1)，即a≥－eq\f（3,4)。故a的取值范圍為[－eq\f（3,4），＋∞）．點(diǎn)評(píng)：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為1＋2x＋a·4x〉0在（－∞,1］上恒成立是解題關(guān)鍵,然后求變量a的取值范圍,常用方法是先將其分離出來(lái)，再利用單調(diào)性求最值．9．解：令2x＝t，∵f（2x)＝eq\f(a·22x＋a－2,22x＋1),∴f(t)＝eq\f（a·2t＋a－2,1＋2t）?！鄁(x）＝eq\f（a·2x＋a－2,1＋2x)?！遞(x)為奇函數(shù)，且f(x)的定義域?yàn)镽，∴f（0)＝0，解得a＝1?！鄁（x）＝eq\f(2x－1，2x＋1），則2x＝eq\f(1＋y,1－y)>0.∴－1<y<1.∴f－1(x）＝log2eq\f(1＋x，1－x)，－1<x〈1。10.解：（1）由題意知eq\f（8（m－1），2×3）≤－1，∴m≤eq\f（1,4).∴m的最大值M＝eq\f（1，4)。（2）不等式可化為logeq\f（1,4)［eq\f（1,4