+第二章有理數(shù)的運算綜合與實踐進位制的認識與探究+課件+2024-2025學年人教版數(shù)學七年級上冊

綜合與實踐進位制的認識與探究第二章

有理數(shù)的運算人教版（2024版）初中數(shù)學七年級上冊通過探索、歸納、猜想和驗證，體驗進位制的形成過程，并能運用進位制解決簡單的實際問題.在活動中感悟數(shù)學與生活實際、數(shù)學與其他學科、數(shù)學內(nèi)部知識的聯(lián)絡和綜合應用導入

你還記得自己最早學習加法時的情景嗎?是不是把雙手一伸，掰著手指計算的?手指是世界上最古老的“計算器”，這種掰手指算數(shù)的方式，與目前使用最廣泛的“十進制記數(shù)法”密切相關(guān)而計算機使用的“二進制記數(shù)法”，同樣具有劃時代的意義.導入是否還有其他進位制?讓我們帶著這些問題一起來探究進位制.兩種不同進位制的意義分別是什么?為什么會有不同的進位制?不同進位制的數(shù)之間能否互相轉(zhuǎn)換?如何轉(zhuǎn)換?二進制數(shù)之間能否進行運算?如何運算?活動目標

認識進位制，理解不同進位制的數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，以及二進制數(shù)的加法運算，挖掘古代燦爛文明和現(xiàn)代科學技術(shù)的聯(lián)系.活動準備

查閱相關(guān)資料，初步了解二進制;查找第十四屆國際數(shù)學教育大會(ICME-14)標識及其介紹?；顒訙蕚?．十進制的自然數(shù)可以寫成2的方冪的降冪的多項式，如：21（10）＝16+4+1＝1×24+0×23+1×22+0×21+1×20＝10101（2），即十進制的數(shù)21對應二進制的數(shù)10101，按照上述規(guī)則，解答下列問題：（1）二進制的數(shù)11111對應的十進制的數(shù)為多少？（2）十進制的數(shù)73對應的二進制的數(shù)為多少？活動準備解：（1）11111（2）＝1×24+1×23+1×22+1×21+1×20＝16+8+4+2+1＝31（10），即二進制的數(shù)11111對應的十進制的數(shù)為：31；（2）73（10）＝64+8+1＝1×26+0×25+0×24+1×23+0×22+0×21+1×20＝1001001（2），即十進制的數(shù)73對應的二進制的數(shù)為：1001001．

【分析】（1）根據(jù)題目中的計算方法可以求得二進制的數(shù)11111對應的十進制的數(shù)；（2）根據(jù)題目中的計算方法可以求得十進制的數(shù)73對應的二進制的數(shù)．活動準備2．十進制是用0～9這十個數(shù)字來表示數(shù)，滿十進一，例：212＝2×102+1×10+2；計算機常用二進制來表示字符代碼，它是用0和1兩個數(shù)來表示數(shù)，滿二進一，例：二進制數(shù)10000轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)：1×24+0×23+0×22+0×21+0＝16；其他進制也有類似的算法．（1）根據(jù)以上信息，將二進制數(shù)“101110”轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)．（2）中國古代《易經(jīng)》一書中記載，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿六進一，用來記錄采集到的野果數(shù)量．根據(jù)右圖，計算采集到的野果數(shù)量．活動準備【分析】（1）根據(jù)二進制轉(zhuǎn)換十進制的方法列式計算即可；（2）滿六進一，類似于六進制數(shù)，仿照二進制轉(zhuǎn)換十進制的計算方法進行計算即可．解：（1）101110轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)是：1×25+0×24+1×23+1×22+1×21+0＝32+0+8+4+2+0＝46，（2）由于滿六進一，類似于六進制數(shù)，轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)為：2×63+3×62+0×21+2×60＝432+108+0+2＝542．答：采集到的野果數(shù)量為542個．活動任務

活動一認識進位制，探究不同進位制的數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

進位制是人們?yōu)榱擞洈?shù)和運算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng).約定逢十進一就是十進制，逢二進一就是二進制.也就是說，“逢幾進一”就是幾進制，幾進制的基數(shù)就是幾.

在日常生活中，我們最熟悉、最常用的是十進制.使用0~9十個數(shù)字記數(shù)時，幾個數(shù)字排成一行，從右起，第一位是個位，個位上的數(shù)字是幾就表示幾個一;第二位是十位，十位上的數(shù)字是幾就表示幾個十;接著依次是百位、千位…….例如，十進制數(shù)3721中的3表示3個千，7表示7個百，2表示個十，1表示1個一，于是我們得到下面的式子:

3721=3×103+7×102+2×101+1×10°可見，一個數(shù)可以表示成各數(shù)位上的數(shù)字與基數(shù)的冪的乘積之和的形式.規(guī)定當a≠0時，a0=1.

活動一認識進位制，探究不同進位制的數(shù)之間的轉(zhuǎn)換任務1二進制是逢二進一，其各數(shù)位上的數(shù)字為0或1.請把二進制數(shù)1011表示成各數(shù)位上的數(shù)字與基數(shù)的冪的乘積之和的形式，從而轉(zhuǎn)換成十進制數(shù).

說明:為了區(qū)分不同的進位制，常在數(shù)的右下角標明基數(shù)，例如，(1011)2就是二進制數(shù)1011的簡單寫法，十進制數(shù)一般不標注基數(shù).任務2

把89轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)和八進制數(shù).提示:轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)時，把89表示成0或1與基數(shù)2的冪的乘積之和的形式;轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)時，把89表示成0，1，2，3，4，5，6或7與基數(shù)8的冪的乘積之和的形式

活動一認識進位制，探究不同進位制的數(shù)之間的轉(zhuǎn)換任務3通過研究二進制數(shù)及十進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，你有哪些發(fā)現(xiàn)?進一步地，你能進行其他不同進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換嗎?

活動一認識進位制，探究不同進位制的數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

活動二探究進制數(shù)的加法運算

二進制只用0和1兩個數(shù)字，這正好與電路的斷和通兩種狀態(tài)相對應，因此計算機內(nèi)部都使用二進制.計算機在進行數(shù)(十進制)的運算時，先把接收到的數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)進行運算，再把運算結(jié)果轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)，并輸出結(jié)果.

活動二探究進制數(shù)的加法運算任務1

查閱資料，分析計算機運算選擇二進制的原因，從多個角度分析選擇二進制的優(yōu)越性

活動二探究進制數(shù)的加法運算任務2

小組合作，研究二進制數(shù)的加法運算法則，并填寫表1中的活動記錄單.加數(shù)0011加數(shù)0101和

(1)根據(jù)上面的加法運算法則，計算(10010)2+(111)2，并交流一下計算方法.(2)①計算45+23;②把45，23分別轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，利用二進制數(shù)的加法運算法則計算它們的和，

再把和轉(zhuǎn)換為十進制數(shù);③比較①②的計算結(jié)果是否相同.

表1活動記錄單

活動二探究進制數(shù)的加法運算任務3

計算機的存儲容量是指存儲器能存放二進制代碼的總位數(shù)，用于計量存儲容量的基本單位是字節(jié)(byte).請研究手機、計算機等電子存儲設(shè)備的容量以及它們存儲的一些電子文件的大小，它們通常以什么單位表示?這些單位之間有什么關(guān)系?

活動二探究進制數(shù)的加法運算任務4

古人在研究天文、歷法時，也曾經(jīng)采用七進制、十二進制、六十進制記數(shù)法.至今，我們?nèi)匀皇褂靡恍瞧?天、一年12個月、一小時60分鐘的記時方法:結(jié)合角度、時間等實際問題，分小組討論一下六十進制的加法運算法則.

活動三任選下列主題之一進行研究1.國際數(shù)學教育大會是全球數(shù)學教育界水平最高、規(guī)模最大的學術(shù)盛會，每四年一屆:ICME-14于2021年在上海舉辦，這是國際數(shù)學教育大會第一次在中國舉辦大會標識(圖1)中蘊含著很多數(shù)學文化元素，以中國傳統(tǒng)文化中“洛書”與“河圖”為原本，并將其與我國古老的八卦進行了融合，體現(xiàn)了我國傳統(tǒng)文化的博大精深.其中八卦符號可以用于記數(shù)，請?zhí)骄窟@個符號所表示的數(shù)，互相交流各自的計算方法

活動三任選下列主題之一進行研究提示:八卦中

稱為陽爻，

稱為陰爻，每卦均由三個陽爻或陰爻組成。把八卦符號看作表示二進制數(shù)時，陽爻對應數(shù)字1，陰爻對應數(shù)字0，這樣，圖2中從左起第一個符號表示的二進制數(shù)為(011)2.大會標識中的記數(shù)符號由四個二進制數(shù)組成，將它們分別轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)得到一個四位數(shù);將這個四位數(shù)看作一個八進制數(shù)，再將這個八進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)

活動三任選下列主題之一進行研究2.除了十進制、二進制、八進制等記數(shù)法，日常生活中還經(jīng)常使用其他進位制，如十二進制、六十進制等.結(jié)合上述學習，寫一篇與進位制有關(guān)的文章，包括進位制的意義及其運算，不同進位制的特點、適用范圍及互相轉(zhuǎn)換等.活動過程4.展示交流制作向全班匯報的演示文稿，選出代表向全班同學展示本組的研究成果分享實踐過程中的活動經(jīng)驗、遇到的困難及其解決方法，反思活動中的不足.1.組建合作團隊本次綜合與實踐活動需要團隊協(xié)作，在班級中組成5~8人一組的研究小每位同學參加其中一個小組，每個小組確定一名負責人組2.方案構(gòu)思小組成員進行充分的討論與交流，集思廣益，形成解決