第三講凸函數(shù)與凹函數(shù)

第三講凸函數(shù)與凹函數(shù)凸函數(shù)嚴(yán)格凸函數(shù)設(shè)就是非空凸集,若對(duì)任意得及任意得都有:則稱函數(shù)為上得嚴(yán)格凸函數(shù)。注:將上述定義中得不等式反向,可以得到嚴(yán)格凹函數(shù)得定義、凸函數(shù)

對(duì)一元函數(shù)在幾何上表示連接的線段．所以一元凸函數(shù)表示連接函數(shù)圖形上任意兩點(diǎn)的線段總是位于曲線弧的上方．幾何性質(zhì)表示在點(diǎn)處的函數(shù)值．

f(X)Xf(X1)f(X2)X1X2f(X)Xf(X1)f(X2)X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)f(X)Xαf(x1)

+(1-α)f(x2)f(X1)f(X2)X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)f(X)Xf(X1)f(X2)X1X2任意兩點(diǎn)得函數(shù)值得連線上得點(diǎn)都在曲線得上方αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)αf(x1)

+(1-α)f(x2)例4、2、1(a)凸函數(shù)(b)凹函數(shù)例：設(shè)試證明在上是嚴(yán)格凸函數(shù)．證明:設(shè)且都有：因此,在上是嚴(yán)格凸函數(shù)．凸函數(shù)12大家應(yīng)該也有點(diǎn)累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流例：試證線性函數(shù)是上的凸函數(shù)．證明:設(shè)則故,是凸函數(shù)．類似可以證明也是凹函數(shù).凸函數(shù)凸函數(shù)定理1設(shè)是凸集上的凸函數(shù)充要條件性質(zhì)詹生(Jensen)不等式凸函數(shù)定理2性質(zhì)正線性組合下面的圖形給出了凸函數(shù)的等值線的圖形，可以看出水平集是凸集.凸函數(shù)凸函數(shù)定理1:設(shè)是定義在凸集上，令則:(1)是定義在凸集是凸集上的凸函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的一元函數(shù)為上的凸函數(shù).(2)設(shè)若在上為嚴(yán)格凸函數(shù)，則在上為嚴(yán)格凸函數(shù)．凸函數(shù)凸函數(shù)得判別定理該定理的幾何意義是：凸函數(shù)上任意兩點(diǎn)之間的部分是一段向下凸的?。购瘮?shù)定理4設(shè)在凸集上可微，則：在上為凸函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的都有：嚴(yán)格凸函數(shù)(充要條件)??凸函數(shù)凸函數(shù)得判別定理---一階條件注:定理4提供了一個(gè)判別可微函數(shù)就是否為凸

函數(shù)得依據(jù)、凸函數(shù)定理4-----

幾何

解釋一個(gè)可微函數(shù)

就是凸函數(shù)當(dāng)且

僅當(dāng)函數(shù)圖形

上任一點(diǎn)處得

切平面位于曲

面得下方、凸函數(shù)定理4-----

幾何

解釋一個(gè)可微函數(shù)

就是凸函數(shù)當(dāng)且

僅當(dāng)函數(shù)圖形

上任一點(diǎn)處得

切平面位于曲

面得下方、定理5:設(shè)在開凸集內(nèi)二階可微,則是內(nèi)的凸函數(shù)的充要條件為:對(duì)任意的