2023-2024學(xué)年河南省南陽市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為集合，，所以.故選：B.2.命題“方程有一個根是偶數(shù)”的否定是（）A.方程有一個根不是偶數(shù)B.方程至少有一個根不偶數(shù)C.方程至多有一個根不是偶數(shù)D.方程的每一個根都不是偶數(shù)〖答案〗D〖解析〗命題“方程有一個根是偶數(shù)”的否定是：方程沒有一個根是偶數(shù)，只有D符合．故選：D．3.若函數(shù)的圖象如圖所示，則的〖解析〗式可能是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，，與圖象不相符，故錯誤；對于B，無意義，與圖象不相符，故錯誤；對于D，無意義，與圖象不相符，故錯誤；對于C，函數(shù)定義域為，，，函數(shù)為奇函數(shù)，符合圖象，故C正確.故選：C.4.我國古代數(shù)學(xué)家李善蘭在《對數(shù)探源》中利用尖錐術(shù)理論來制作對數(shù)表，他通過“對數(shù)積”求得，，由此可知的近似值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，則.故選：C5.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，又，指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，，而，冪函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，所以.故選：A．6.通過北師大版必修一教材頁的詳細(xì)介紹，我們把稱為取整函數(shù)．那么“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗A〖解析〗若，則可設(shè)，則，，其中，∴，而，∴，即“”能推出“”；但當(dāng)時，不一定相等，例如，，滿足，但，即“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.7.若關(guān)于的不等式的解集是，則下列式子中錯誤的是（）A. B.C.， D.，〖答案〗D〖解析〗不等式可化為，若，則不等式化為，解集不可能是，因此，A正確；不等式化為，由題意中一個為1，一個為3，而，因此有，BC均正確，D錯誤．故選：D．8.已知函數(shù)，若存在三個不相等的實數(shù)，，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出函數(shù)的圖象，如圖，在上它關(guān)于直線對稱，時，，且為增函數(shù)，，則，，，，所以.故選：A．二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.滿足函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)的實數(shù)的值可能是（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由題得，解得，則ABC符合題意，D錯誤.故選：ABC.10.下列函數(shù)中，具備奇偶性的函數(shù)是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，的定義域，不關(guān)于原點對稱，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯誤；對于B，定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；因為的定義域為，關(guān)于原點對稱，當(dāng)時，則，，當(dāng)時，則，，當(dāng)時，，綜上，當(dāng)時，都有，故函數(shù)為偶函數(shù)，故C正確；因為，所以，解得且，所以函數(shù)定義域為，關(guān)于原點對稱，由定義域可知，所以，故函數(shù)為奇函數(shù)，故D正確.故選：BCD.11.已知二次函數(shù)滿足，且對，，都有，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗∵為二次函數(shù)，由得函數(shù)的對稱軸為，即：，故B正確；由對任意，都有，所以在上為增函數(shù)，從而在上為減函數(shù)，因為：，所以，故A正確；又因為：，所以，故C正確；因為沒有條件涉及，所以的符號無法判斷，故D無法判斷真假.故選：ABC.12.已知，，，則下列結(jié)論成立的是（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為〖答案〗AB〖解析〗，則由題意，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最大值是，，A正確；，B正確；，函數(shù)在時是減函數(shù)，因此它沒有最小值也沒有最大值，C錯誤；，而函數(shù)在上是減函數(shù)，沒有最小值也沒有最大值，D錯．故選：AB．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則______．〖答案〗〖解析〗因為冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則，即，可得，則，又因為，解得，因此，.故〖答案〗為：.14.若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是______．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域是，所以，即，所以的定義域為，所以函數(shù)有意義需滿足，解得，即數(shù)的定義域為.故〖答案〗為：.15.已知，則不等式的解集是______．〖答案〗〖解析〗對于，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，即時，不等式可化為，即，解得，所以；當(dāng)時，即時，不等式可化為，即，解得，所以；綜上，不等式的解集為.故〖答案〗為：.16.如圖，已知等腰三角形中一腰上的中線長為，則該等腰三角形的面積最大值為______．〖答案〗4〖解析〗如圖所示：作于，于，則，，設(shè)，，故，在中：，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.（1）已知，求是值；（2）計算：．解：（1）由于，因為，所以.（2）原式，．18.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（2）求函數(shù)的值域．解：（1）在上是增函數(shù)，證明如下：任取，，且，∵，，且，，，∴即，∴函數(shù)在上是增函數(shù)．（2）令，則，于是的值域即為求的值域，由（1）知函數(shù)在是單調(diào)遞增的，所以當(dāng)時，即，即時，取最小值，所以，所以函數(shù)的值域為.19.已知集合，．（1）若且，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）依題意，，解得，所以的取值范圍為.（2）由是的必要不充分條件，得真包含于，而，不等式，顯然，即，解得，則，因此，于是，解得，所以的取值范圍為.20.為鼓勵大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔(dān)．大學(xué)畢業(yè)生袁陽按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈，已知這種節(jié)能燈的成本價為每件元，出廠價為每件元，每月的銷售量（單位：件）與銷售單價（單位：元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：．（1）設(shè)袁陽每月獲得的利潤為（單位：元），寫出每月獲得的利潤與銷售單價的函數(shù)關(guān)系；（2）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于40元．如果袁陽想要每月獲得的利潤不小于元，那么政府每個月為他承擔(dān)的總差價的取值范圍是多少元？解：（1）依題意可知每件的銷售利潤為元，每月的銷售量為件，所以每月獲得的利潤與銷售單價的函數(shù)關(guān)系為.（2）由每月獲得的利潤不小于元，得：，化簡，得．解得．又因為這種節(jié)能燈銷售單價不得高于元，所以．設(shè)政府每個月為他承擔(dān)的總差價為元，則．由，得．故政府每個月為他承擔(dān)的總差價的取值范圍為元．21.已知，，其中．（1）求實數(shù)，的值；（2）若函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）設(shè)，則，因為，所以，則．又，所以，即，又，解得，．（2）由（1）得，令，，則，．為使在上為增函數(shù)，則或或，解得或或，綜上，的取值范圍為.22.已知函數(shù)的定義域為．當(dāng)時，，．（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求函數(shù)的表達(dá)式；（2）若函數(shù)是奇函數(shù)且在上單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；（3）在（1）的條件下，若關(guān)于的方程有三個不等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；故.（2）當(dāng)時，是單調(diào)增函數(shù)，在上單調(diào)，則必為上的單調(diào)增函數(shù)，只須滿足，得，即.（3），或，若是單調(diào)函數(shù)，最多有兩個解，不滿足，故，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：方程有三個不等的實數(shù)根，而，故只須且，解得且，綜上所述：的取值范圍為．河南省南陽市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為集合，，所以.故選：B.2.命題“方程有一個根是偶數(shù)”的否定是（）A.方程有一個根不是偶數(shù)B.方程至少有一個根不偶數(shù)C.方程至多有一個根不是偶數(shù)D.方程的每一個根都不是偶數(shù)〖答案〗D〖解析〗命題“方程有一個根是偶數(shù)”的否定是：方程沒有一個根是偶數(shù)，只有D符合．故選：D．3.若函數(shù)的圖象如圖所示，則的〖解析〗式可能是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，，與圖象不相符，故錯誤；對于B，無意義，與圖象不相符，故錯誤；對于D，無意義，與圖象不相符，故錯誤；對于C，函數(shù)定義域為，，，函數(shù)為奇函數(shù)，符合圖象，故C正確.故選：C.4.我國古代數(shù)學(xué)家李善蘭在《對數(shù)探源》中利用尖錐術(shù)理論來制作對數(shù)表，他通過“對數(shù)積”求得，，由此可知的近似值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，則.故選：C5.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，又，指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，，而，冪函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，所以.故選：A．6.通過北師大版必修一教材頁的詳細(xì)介紹，我們把稱為取整函數(shù)．那么“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要〖答案〗A〖解析〗若，則可設(shè)，則，，其中，∴，而，∴，即“”能推出“”；但當(dāng)時，不一定相等，例如，，滿足，但，即“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.7.若關(guān)于的不等式的解集是，則下列式子中錯誤的是（）A. B.C.， D.，〖答案〗D〖解析〗不等式可化為，若，則不等式化為，解集不可能是，因此，A正確；不等式化為，由題意中一個為1，一個為3，而，因此有，BC均正確，D錯誤．故選：D．8.已知函數(shù)，若存在三個不相等的實數(shù)，，使得，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗作出函數(shù)的圖象，如圖，在上它關(guān)于直線對稱，時，，且為增函數(shù)，，則，，，，所以.故選：A．二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.滿足函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)的實數(shù)的值可能是（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由題得，解得，則ABC符合題意，D錯誤.故選：ABC.10.下列函數(shù)中，具備奇偶性的函數(shù)是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，的定義域，不關(guān)于原點對稱，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯誤；對于B，定義域為，關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；因為的定義域為，關(guān)于原點對稱，當(dāng)時，則，，當(dāng)時，則，，當(dāng)時，，綜上，當(dāng)時，都有，故函數(shù)為偶函數(shù)，故C正確；因為，所以，解得且，所以函數(shù)定義域為，關(guān)于原點對稱，由定義域可知，所以，故函數(shù)為奇函數(shù)，故D正確.故選：BCD.11.已知二次函數(shù)滿足，且對，，都有，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗∵為二次函數(shù)，由得函數(shù)的對稱軸為，即：，故B正確；由對任意，都有，所以在上為增函數(shù)，從而在上為減函數(shù)，因為：，所以，故A正確；又因為：，所以，故C正確；因為沒有條件涉及，所以的符號無法判斷，故D無法判斷真假.故選：ABC.12.已知，，，則下列結(jié)論成立的是（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最小值為〖答案〗AB〖解析〗，則由題意，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最大值是，，A正確；，B正確；，函數(shù)在時是減函數(shù)，因此它沒有最小值也沒有最大值，C錯誤；，而函數(shù)在上是減函數(shù)，沒有最小值也沒有最大值，D錯．故選：AB．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則______．〖答案〗〖解析〗因為冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則，即，可得，則，又因為，解得，因此，.故〖答案〗為：.14.若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是______．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的定義域是，所以，即，所以的定義域為，所以函數(shù)有意義需滿足，解得，即數(shù)的定義域為.故〖答案〗為：.15.已知，則不等式的解集是______．〖答案〗〖解析〗對于，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，即時，不等式可化為，即，解得，所以；當(dāng)時，即時，不等式可化為，即，解得，所以；綜上，不等式的解集為.故〖答案〗為：.16.如圖，已知等腰三角形中一腰上的中線長為，則該等腰三角形的面積最大值為______．〖答案〗4〖解析〗如圖所示：作于，于，則，，設(shè)，，故，在中：，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.（1）已知，求是值；（2）計算：．解：（1）由于，因為，所以.（2）原式，．18.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（2）求函數(shù)的值域．解：（1）在上是增函數(shù)，證明如下：任取，，且，∵，，且，，，∴即，∴函數(shù)在上是增函數(shù)．（2）令，則，于是的值域即為求的值域，由（1）知函數(shù)在是單調(diào)遞增的，所以當(dāng)時，即，即時，取最小值，所以，所以函數(shù)的值域為.19.已知集合，．（1）若且，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，，若是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）依題意，，解得，所以的取值范圍為.（2）由是的必要不充分條件，得真包含于，而，不等式，顯然，即，解得，則，因此，于是，解得，所以的取值范圍為.20.為鼓勵大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市出臺了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔(dān)．大學(xué)畢業(yè)生袁陽按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈，已知這種節(jié)能燈的成本