2025屆江蘇省部分省級(jí)示范性重點(diǎn)中學(xué)高三7月摸底考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省部分省級(jí)示范性重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三7月摸底考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.對(duì)數(shù)與互為相反數(shù)，則有（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閷?duì)數(shù)與互為相反數(shù)，可得，即，所以.故選：C.2.使式子有意義的x的取值范圍是（）A. B. C. D.,且〖答案〗D〖解析〗，解得即且.故選：.3.如圖，已知某頻率分布直方圖形成“右拖尾”形態(tài)，則下列結(jié)論正確的是（）A.眾數(shù)平均數(shù)中位數(shù) B.眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)C.眾數(shù)平均數(shù)中位數(shù) D.中位數(shù)平均數(shù)眾數(shù)〖答案〗B〖解析〗由頻率直方圖可得，單峰不對(duì)稱且“右拖尾”，最高峰偏左，眾數(shù)最小，平均數(shù)易受極端值的影響，與中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“拖尾”那邊，故平均數(shù)大于中位數(shù)，所以眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù).故選：B.4.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于〖答案〗D〖解析〗由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．5.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，所以，可得，兩式相除可得，可得，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，舍去，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，舍去，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，舍去，結(jié)合選項(xiàng)，只有D正確.故選：D.6.設(shè)是銳角，滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知有，且.故，結(jié)合，解得.所以.故選：D.7.在中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.8.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗解法一：因?yàn)?，且，所以，即，即，所?所以“”是“”的充要條件.解法二：充分性：因?yàn)?，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，即，即，所?所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.解法三：充分性：因?yàn)?，且，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成?所以“”是“”的充要條件.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9已知函數(shù)，則（）A.的對(duì)稱軸為B.的最小正周期為C.的最大值為1，最小值為D.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增〖答案〗AD〖解析〗作出函數(shù)的圖象如圖中實(shí)線所示．對(duì)于，由圖可知，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)任意的，，所以函數(shù)的對(duì)稱軸為，A正確；對(duì)于，對(duì)任意的，結(jié)合圖象可知，函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)可知，函數(shù)的對(duì)稱軸為，且該函數(shù)的最小正周期為，要求函數(shù)的最大值和最小值，只需求出函數(shù)在上的最大值和最小值，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋裕虼说淖畲笾禐?，最小值?1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，由C選項(xiàng)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，正確，故選：AD．10.質(zhì)點(diǎn)P和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的上逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā)．P的角速度大小為，起點(diǎn)為與x軸正半軸的交點(diǎn)；Q的角速度大小為，起點(diǎn)為射線與的交點(diǎn)．則當(dāng)Q與P重合時(shí)，Q的坐標(biāo)可以為（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由題意，點(diǎn)Q的初始位置的坐標(biāo)為，銳角，設(shè)t時(shí)刻兩點(diǎn)重合，則,即，此時(shí)點(diǎn)，即，當(dāng)時(shí)，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，即，故B正確；當(dāng)時(shí)，，即，故D正確.由三角函數(shù)的周期性可得，其余各點(diǎn)均與上述三點(diǎn)重合.故選：ABD.11.已知平面平面，B，D是l上兩點(diǎn)，直線且，直線且．下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的有（）A.若，，且，則ABCD是平行四邊形B.若M是AB中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，則C.若，，，則CD在上的射影是BDD.直線AB，CD所成角的大小與二面角的大小相等〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由題意，AB，CD為異面直線，所以四邊形ABCD為空間四邊形，不能為平行四邊形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取BC的中點(diǎn)H,連接HM,則HM是的中位線，所以，因?yàn)镠M與MN相交，所以MN與AC不平行，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，所以由線面垂直判定可得平面ABC，所以，由結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得，所以點(diǎn)C在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)D,所以CD在平面內(nèi)的投影為BD，故C正確；對(duì)于D,由二面角的定義可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線AB，CD所成的角或其補(bǔ)角才為二面角的大小，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的體積為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗圓臺(tái)的下底面半徑為5，故下底面在外接球的大圓上，如圖所示，設(shè)球的球心為O，圓臺(tái)上底面的圓心為，則圓臺(tái)的高，據(jù)此可得圓臺(tái)的體積：.13.寫(xiě)出一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)________．〖答案〗〖解析〗由最小正周期為2，可考慮三角函數(shù)中的正弦型函數(shù)，，滿足，即是奇函數(shù)；根據(jù)最小正周期，可得.故函數(shù)可以是中任一個(gè)，可取.14.下圖改編自李約瑟所著的《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史》，用于說(shuō)明元代數(shù)學(xué)家郭守敬在編制《授時(shí)歷》時(shí)所做的天文計(jì)算．圖中的，，，都是以O(shè)為圓心的圓弧，CMNK是為計(jì)算所做的矩形，其中M，N，K分別在線段OD，OB，OA上，，．如果記，，，，則___________(用和表示).〖答案〗〖解析〗由四邊形是矩形，得，又，平面，則平面，而，則平面，又平面，則，，由，，平面，則平面，而，則平面，又平面，則，，在中，，在中，，因此，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.聲強(qiáng)級(jí)(單位:dB)由公式給出,其中I為聲強(qiáng)(單位:).(1)一般正常人聽(tīng)覺(jué)能忍受的最高聲強(qiáng)為,能聽(tīng)到的最低聲強(qiáng)為.求人聽(tīng)覺(jué)的聲強(qiáng)級(jí)范圍.(2)平時(shí)常人交談時(shí)的聲強(qiáng)約為,求其聲強(qiáng)級(jí).解：(1)..因此人聽(tīng)覺(jué)的聲強(qiáng)級(jí)范圍為.(2).16.設(shè)，，求證：（1）；（2）；（3）.解：（1）；（2），又，；（3），又，．17.對(duì)于函數(shù)f（x）＝a.（1）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，若存在，求出a的取值；若不存在，說(shuō)明理由？解：（1）∵f（x）的定義域?yàn)镽，設(shè)x1＜x2，則＝a，∵x1＜x2，∴，，∴＜0，即f（x1）＜f（x2），所以不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總為增函數(shù).（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即a，解得：a＝1，故存在實(shí)數(shù)a使f（x）為奇函數(shù).18.如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；（2）若AC=BC=PA，M是PB的中點(diǎn)，求AM與平面PBC所成角的正切值；（3）在（2）的條件下，求平面PAB與平面PBC夾角的正弦值.（1）證明：因?yàn)椋?，又平面平面，得，而平面，得平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，則，取，得，設(shè)與平面所成角為，則，得，得，則與平面所成角的正切值為：.（3）解：設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，則，取，得，設(shè)平面與平面所成角為，則，得，故平面與平面夾角的正弦值為：.19.對(duì)稱變換在對(duì)稱數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義．若一個(gè)平面圖形K在m（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對(duì)稱性，并記m為K的一個(gè)對(duì)稱變換．例如，正三角形R在（繞中心O作120°的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以是R的一個(gè)對(duì)稱變換，考慮到變換前后R的三個(gè)頂點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，記；又如，R在（關(guān)于對(duì)稱軸所在直線的反射）的作用下仍然與R重合（如圖1圖3所示），所以也是R的一個(gè)對(duì)稱變換，類似地，記．記正三角形R的所有對(duì)稱變換構(gòu)成集合S．一個(gè)非空集合G對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算.來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如同時(shí)滿足：I．，；II．，；Ⅲ．，，；Ⅳ．，，．對(duì)于一個(gè)群G，稱Ⅲ中的e為群G的單位元，稱Ⅳ中的為a在群G中的逆元．一個(gè)群G的一個(gè)非空子集H叫做G的一個(gè)子群，假如H對(duì)于G的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群．（1）直接寫(xiě)出集合S（用符號(hào)語(yǔ)言表示S中的元素）；（2）同一個(gè)對(duì)稱變換的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)形式不唯一，如．對(duì)于集合S中的元素，定義一種新運(yùn)算*，規(guī)則如下：，．①證明集合S對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算*來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群；②已知H是群G一個(gè)子群，e，分別是G，H的單位元，，，分別是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之間的關(guān)系以及，之間的關(guān)系，并給出證明；③寫(xiě)出群S的所有子群．解：（1）依題意，正三角形的對(duì)稱變換如下：繞中心作的旋轉(zhuǎn)變換；繞中心作的旋轉(zhuǎn)變換；繞中心作的旋轉(zhuǎn)變換；關(guān)于對(duì)稱軸所在直線的反射變換；關(guān)于對(duì)稱軸所在直線的反射變換；關(guān)于對(duì)稱軸所在直線的反射變換，綜上，.（形式不唯一）（2）①Ⅰ.，，；Ⅱ.，，，，所以；Ⅲ，而，所以；Ⅳ.，；綜上可知，集合對(duì)于給定的新運(yùn)算*來(lái)說(shuō)能作成一個(gè)群.②，，證明如下：先證明：由于是的子群，取，則，，根據(jù)群的定義，有，，所以，所以，即，即，所以.再證明：由于，，，所以，所以，所以，所以.③的所有子群如下：，，，，.江蘇省部分省級(jí)示范性重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三7月摸底考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.對(duì)數(shù)與互為相反數(shù)，則有（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閷?duì)數(shù)與互為相反數(shù)，可得，即，所以.故選：C.2.使式子有意義的x的取值范圍是（）A. B. C. D.,且〖答案〗D〖解析〗，解得即且.故選：.3.如圖，已知某頻率分布直方圖形成“右拖尾”形態(tài)，則下列結(jié)論正確的是（）A.眾數(shù)平均數(shù)中位數(shù) B.眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)C.眾數(shù)平均數(shù)中位數(shù) D.中位數(shù)平均數(shù)眾數(shù)〖答案〗B〖解析〗由頻率直方圖可得，單峰不對(duì)稱且“右拖尾”，最高峰偏左，眾數(shù)最小，平均數(shù)易受極端值的影響，與中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“拖尾”那邊，故平均數(shù)大于中位數(shù)，所以眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù).故選：B.4.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于〖答案〗D〖解析〗由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．5.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，所以，可得，兩式相除可得，可得，，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，舍去，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，舍去，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，舍去，結(jié)合選項(xiàng)，只有D正確.故選：D.6.設(shè)是銳角，滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知有，且.故，結(jié)合，解得.所以.故選：D.7.在中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.8.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗解法一：因?yàn)?，且，所以，即，即，所?所以“”是“”的充要條件.解法二：充分性：因?yàn)?，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，即，即，所?所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.解法三：充分性：因?yàn)?，且，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成?所以“”是“”的充要條件.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9已知函數(shù)，則（）A.的對(duì)稱軸為B.的最小正周期為C.的最大值為1，最小值為D.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增〖答案〗AD〖解析〗作出函數(shù)的圖象如圖中實(shí)線所示．對(duì)于，由圖可知，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)任意的，，所以函數(shù)的對(duì)稱軸為，A正確；對(duì)于，對(duì)任意的，結(jié)合圖象可知，函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)可知，函數(shù)的對(duì)稱軸為，且該函數(shù)的最小正周期為，要求函數(shù)的最大值和最小值，只需求出函數(shù)在上的最大值和最小值，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，因此的最大值為，最小值?1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，由C選項(xiàng)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，正確，故選：AD．10.質(zhì)點(diǎn)P和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的上逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā)．P的角速度大小為，起點(diǎn)為與x軸正半軸的交點(diǎn)；Q的角速度大小為，起點(diǎn)為射線與的交點(diǎn)．則當(dāng)Q與P重合時(shí)，Q的坐標(biāo)可以為（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由題意，點(diǎn)Q的初始位置的坐標(biāo)為，銳角，設(shè)t時(shí)刻兩點(diǎn)重合，則,即，此時(shí)點(diǎn)，即，當(dāng)時(shí)，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，即，故B正確；當(dāng)時(shí)，，即，故D正確.由三角函數(shù)的周期性可得，其余各點(diǎn)均與上述三點(diǎn)重合.故選：ABD.11.已知平面平面，B，D是l上兩點(diǎn)，直線且，直線且．下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的有（）A.若，，且，則ABCD是平行四邊形B.若M是AB中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，則C.若，，，則CD在上的射影是BDD.直線AB，CD所成角的大小與二面角的大小相等〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由題意，AB，CD為異面直線，所以四邊形ABCD為空間四邊形，不能為平行四邊形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取BC的中點(diǎn)H,連接HM,則HM是的中位線，所以，因?yàn)镠M與MN相交，所以MN與AC不平行，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，所以由線面垂直判定可得平面ABC，所以，由結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得，所以點(diǎn)C在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)D,所以CD在平面內(nèi)的投影為BD，故C正確；對(duì)于D,由二面角的定義可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，直線AB，CD所成的角或其補(bǔ)角才為二面角的大小，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的體積為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗圓臺(tái)的下底面半徑為5，故下底面在外接球的大圓上，如圖所示，設(shè)球的球心為O，圓臺(tái)上底面的圓心為，則圓臺(tái)的高，據(jù)此可得圓臺(tái)的體積：.13.寫(xiě)出一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)________．〖答案〗〖解析〗由最小正周期為2，可考慮三角函數(shù)中的正弦型函數(shù)，，滿足，即是奇函數(shù)；根據(jù)最小正周期，可得.故函數(shù)可以是中任一個(gè)，可取.14.下圖改編自李約瑟所著的《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史》，用于說(shuō)明元代數(shù)學(xué)家郭守敬在編制《授時(shí)歷》時(shí)所做的天文計(jì)算．圖中的，，，都是以O(shè)為圓心的圓弧，CMNK是為計(jì)算所做的矩形，其中M，N，K分別在線段OD，OB，OA上，，．如果記，，，，則___________(用和表示).〖答案〗〖解析〗由四邊形是矩形，得，又，平面，則平面，而，則平面，又平面，則，，由，，平面，則平面，而，則平面，又平面，則，，在中，，在中，，因此，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.聲強(qiáng)級(jí)(單位:dB)由公式給出,其中I為聲強(qiáng)(單位:).(1)一般正常人聽(tīng)覺(jué)能忍受的最高聲強(qiáng)為,能聽(tīng)到的最低聲強(qiáng)為.求人聽(tīng)覺(jué)的聲強(qiáng)級(jí)范圍.(2)平時(shí)常人交談時(shí)的聲強(qiáng)約為,求其聲強(qiáng)級(jí).解：(1)..因此人聽(tīng)覺(jué)的聲強(qiáng)級(jí)范圍為.(2).16.設(shè)，，求證：（1）；（2）；（3）.解：（1）；（2），又，；（3），又，．17.對(duì)于函數(shù)f（x）＝a.（1）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，若存在，求出a的取值；若不存在，說(shuō)明理由？解：（1）∵f（x）的定義域?yàn)镽，設(shè)x1＜x2，則＝a，∵x1＜x2，∴，，∴＜0，即f（x1）＜f（x2），所以不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總為增函數(shù).（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使f（x）為奇函數(shù)，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即a，解得：a＝1，故存在實(shí)數(shù)a使f（x）為奇函數(shù).18.如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；（2）若AC=BC=PA，M是PB的中點(diǎn)，求AM與平面PBC所成角的正切值；（3）在（2）的條件下，求平面PAB與平面PBC夾角的正弦值.（1）證明：因?yàn)?，所以，又平面平面，得，而平面，得平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，則，取，得，設(shè)與平面所成角為，則，得，得，則與平面所成角的正切值為：.（3）解：設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，則，取，得，設(shè)平面與