江蘇省蘇州市常熟市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月“線(xiàn)上教育”學(xué)習(xí)情況調(diào)查試題含解析

PAGE22-江蘇省蘇州市常熟市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月“線(xiàn)上教化”學(xué)習(xí)狀況調(diào)查試題（含解析）留意事項(xiàng)：1．本試卷共160分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、考試號(hào)寫(xiě)在答卷紙的規(guī)定區(qū)域內(nèi)；3．答題時(shí)必需運(yùn)用0．5毫米黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)，作圖可用2B鉛筆．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．把答案填寫(xiě)在答題卷相應(yīng)位置上．1.已知集合，則_______．【答案】【解析】【分析】求出集合，，依據(jù)集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】解：，又，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，確定集合元素是解決本題的關(guān)鍵.2.某校高一、高二、高三學(xué)生數(shù)之比為2∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣方法抽取位同學(xué)參與志愿服務(wù)，其中高三年級(jí)抽取了12位同學(xué)，則________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)比例關(guān)系列方程，解出即可.【詳解】解：由已知得，解得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣的基本計(jì)算，是基礎(chǔ)題.3.有4件產(chǎn)品，其中1件是次品，其余為正品，從中選取兩件檢測(cè)，兩件產(chǎn)品均為正品的概率是_______．【答案】【解析】【分析】先列舉選取兩件的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，再列舉兩件產(chǎn)品均為正品的基本領(lǐng)件數(shù)，最終用古典概型公式求解概率即可.【詳解】解：設(shè)1件是次品為，正品為從4件產(chǎn)品中選取兩件，有共6個(gè)基本領(lǐng)件，檢測(cè)的兩件產(chǎn)品均為正品，有共3種基本領(lǐng)件，則兩件產(chǎn)品均為正品的概率是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率計(jì)算，是基礎(chǔ)題.4.若執(zhí)行下面程序框圖，則輸出的值是________．【答案】4【解析】【分析】由已知中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算的值并輸出相應(yīng)變量的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的改變狀況，可得答案.【詳解】解：模擬程序的運(yùn)行，可得

＝3，＝0

不滿(mǎn)意條件為偶數(shù)，＝10，＝1

不滿(mǎn)意條件＝8，執(zhí)行循環(huán)體，滿(mǎn)意條件為偶數(shù)，＝5，＝2

不滿(mǎn)意條件＝8，執(zhí)行循環(huán)體，不滿(mǎn)意條件為偶數(shù)，＝16，＝3

不滿(mǎn)意條件＝8，執(zhí)行循環(huán)體，滿(mǎn)意條件為偶數(shù)，＝8，＝4

此時(shí)，滿(mǎn)意條件＝8，退出循環(huán)，輸出的值為4.

故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的，的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5.復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位）的虛部是___________．【答案】-1【解析】【分析】干脆利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】解：，則，虛部為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.6.已知，且，則________．【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化為同一個(gè)角的計(jì)算問(wèn)題即可.【詳解】解：由已知，得，又，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)和求值，是基礎(chǔ)題.7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_(kāi)____________【答案】3【解析】分析：設(shè)塔頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果．詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故答案為3.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力.8.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)(原點(diǎn)除外)連線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】先求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，再利用交點(diǎn)在漸近線(xiàn)上可得，進(jìn)而依據(jù)可得結(jié)果.【詳解】解：對(duì)于拋物線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)為，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率，則離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率的求解，關(guān)鍵是要通過(guò)條件找到的關(guān)系式，是基礎(chǔ)題.9.四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，則四棱錐的側(cè)面積是_________．【答案】【解析】【分析】首先證明平面，得到是直角三角形，進(jìn)而四棱錐每個(gè)側(cè)面都是直角三角形，用三角形的面積公式求解即可.【詳解】解：如圖：由已知平面，又平面，則，又，且，所以平面，又平面，所以，即是直角三角形，同理也是直角三角形，且和的面積相同，四棱錐的側(cè)面積：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查四棱錐側(cè)面積的計(jì)算，關(guān)鍵是得到側(cè)面都是直角三角形，是基礎(chǔ)題.10.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則_______．【答案】4041【解析】【分析】由，可得時(shí)，，相減可得：，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.【詳解】解：∵，∴時(shí)，，相減可得：.

，又

.由，當(dāng)時(shí)，，得，，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了法求數(shù)列通向公式，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.11.已知函數(shù)，若，則___________．【答案】3【解析】【分析】分類(lèi)探討，分別令，，求得后，接著將作為函數(shù)值求自變量.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，則，可得，再令，得，符合；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查已知分段函數(shù)函數(shù)值求自變量，考查分類(lèi)探討的思想，是基礎(chǔ)題.12.若對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象上總存在點(diǎn)，使得以為圓心，1為半徑的圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意得：以為圓心，1為半徑的圓與原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即到原點(diǎn)距離小于3，即的圖象上離原點(diǎn)最近的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于3，設(shè)出坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出到原點(diǎn)的距離，利用基本不等式求出距離的最小值，讓最小值小于3列出關(guān)于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范圍.【詳解】解：依據(jù)題意得：，

設(shè)，

，

，即

則的范圍為.

故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查圓與圓位置關(guān)系的判定，基本不等式的運(yùn)用，以及兩點(diǎn)間的距離公式，解題的關(guān)鍵是依據(jù)題意得出以為圓心，1為半徑的圓與原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即到原點(diǎn)距離小于3.13.已知平面四邊形中，，則________．【答案】4【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量的線(xiàn)性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，用，和表示和，計(jì)算即可.【詳解】解：平面四邊形中，則即，

解得，即；

所以.

故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量的線(xiàn)性表示與數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解實(shí)力，是難題.14.設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】由函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，可知不單調(diào)，利用導(dǎo)數(shù)求得的范圍，運(yùn)用韋達(dá)定理可得，作差，再由條件，結(jié)合恒成立思想，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)，推斷單調(diào)性可得，即可得到的范圍.【詳解】解：∵函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，

的定義域?yàn)椋?/p>

令，其判別式.

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不合題意.

當(dāng)時(shí)，的兩根都小于零，在上，，則在上單調(diào)遞減，不合題意.

當(dāng)時(shí)，，設(shè)的兩個(gè)根都大于零，

令，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故分別在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴的取值范圍是.

則，

，

.

若恒成立，則，

，

不妨設(shè)，則.

又，

①恒成立.

記，

記，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

且易知.又，

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

故由①式可得，，代入方程，

得，（在上遞增）.

又，∴的取值范圍是.

故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查極值的運(yùn)用，運(yùn)用分類(lèi)探討的思想方法是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用和基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算實(shí)力，屬于難題.二、解答題：本大題共6小題，共90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卷指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知直三棱柱中，為等腰直角三角形，，且，點(diǎn)分別為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）連結(jié)，推導(dǎo)出是中點(diǎn)，從而，由此能證明平面；

（2）推導(dǎo)出，，，從而平面，進(jìn)而，從而四邊形是矩形，推導(dǎo)出，從而，由此能證明平面.【詳解】（1）連,三棱柱中，側(cè)面是平行四邊形，因平行四邊形對(duì)角線(xiàn)相互平分，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，平面平面，平面；（2）為等腰直角三角形，，，又是中點(diǎn)，,由直三棱柱知平面，平面，，又平面，平面，又平面，，又由為等腰直角三角形，，且,可知，又是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，易證,得,又,，又平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行、線(xiàn)面垂直的證明，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.16.在中，角、、的對(duì)邊分別為，已知，．（1）若的面積為，求，；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）或【解析】分析】（1）由已知利用三角形的面積公式可求，利用余弦定理可得，聯(lián)立方程即可得解，的值.

（2）由已知可求得，或，分類(lèi)探討，當(dāng)時(shí)，可得，求得，利用三角形的面積公式即可求解；當(dāng)時(shí)，由正弦定理可得，進(jìn)而依據(jù)余弦定理，三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：（1），

，

∵由，

，

∴解得；

（2），即，

，可得，或，

當(dāng)時(shí)，由于，可得，

又.可得，；

當(dāng)時(shí)，由正弦定理可得，

又，可得，

.

∴三角形的面積為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算實(shí)力和分類(lèi)探討思想，屬于中檔題.17.江南某濕地公園內(nèi)有一個(gè)以為圓心，半徑為20米的圓形湖心洲．該湖心洲的所對(duì)兩岸近似兩條平行線(xiàn)，且兩平行線(xiàn)之間的距離為70米．公園管理方擬修建一條木棧道,其路途為(如圖，在右側(cè)）．其中，與圓相切于點(diǎn)，米．設(shè)，滿(mǎn)意．（1）試將木棧道的總長(zhǎng)表示成關(guān)于的函數(shù)，并指出其定義域；（2）求木棧道總長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度．【答案】（1），定義域?yàn)椋渲?；?）【解析】【分析】（1）試將木棧道的總長(zhǎng)表示成關(guān)于的函數(shù)，由且求三角不等式得函數(shù)定義域；

（2）利用導(dǎo)數(shù)求木棧道總長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度.【詳解】解：（1）過(guò)分別向和作垂線(xiàn)，垂足為，

由題意可得，，

則.

在直角三角形中，.

.

又，

且，令，則.

∴定義域?yàn)椋?/p>

（2）由，得.

令，得，

，∴當(dāng)時(shí)，.

故木棧道總長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度為米.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的推斷，依據(jù)直線(xiàn)和圓相切的等價(jià)條件，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.18.已知橢圓上一點(diǎn)與橢圓右焦點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于軸，過(guò)橢圓上一點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)（均不在坐標(biāo)軸上），設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的射線(xiàn)與橢圓交于點(diǎn)．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)為時(shí)，若四邊形的面積為12，試求直線(xiàn)的方程．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意可知且，從而求出橢圓的方程，再把點(diǎn)再把代入橢圓方程，即可求出的值；

（2）設(shè)，由直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)知

①，分別聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓和橢圓的方程，利用韋達(dá)定理得到所以，化簡(jiǎn)得

②，由①②即可解得和的值，從而求出直線(xiàn)的方程.【詳解】解：（1）橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），且，

又，解得：，

所以橢圓的方程為：，

設(shè)，則，

由得：，又，故；

（2）設(shè)，

由直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)知

①，

由得，，

有，且，

由得，，

因?yàn)?，所以?/p>

所以，

化簡(jiǎn)得，得

②，

由①②解得：，

所以直線(xiàn)的方程為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與橢圓的綜合，考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用及面積的計(jì)算，考查了學(xué)生計(jì)算實(shí)力與分析實(shí)力，是一道中檔題.19.構(gòu)造數(shù)組，規(guī)則如下：第一組是兩個(gè)1，即，其次組是，第三組是，在每一組的相鄰兩個(gè)數(shù)之間插入這兩個(gè)數(shù)的和的倍得到下一組，其中．設(shè)第組中有個(gè)數(shù)，且這個(gè)數(shù)的和為．（1）干脆寫(xiě)出與的關(guān)系式，并求和；（2）已知，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，是數(shù)列的前項(xiàng)和．若對(duì)隨意，，求全部滿(mǎn)意條件的正整數(shù)的值．【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1），化為：，數(shù)列為等比數(shù)列，可得：，，可得：，利用通項(xiàng)公式可得；

（2），可得，可得，可得，依據(jù)對(duì)隨意，即可得出.【詳解】解：（1），化為：，

∴數(shù)列為等比數(shù)列，可得，可得：，

，可得：.

，解得：.

（2），.

.

.

∵對(duì)隨意，

，

解得.

∴正整數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、不等式的解法、分類(lèi)探討方法，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.20.已知函數(shù)．（1）設(shè),①當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；②當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)隨意恒成立．（2）探討的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）①；②證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)極值點(diǎn)【解析】【分析】（1）①將代入，求出切點(diǎn)及斜率，利用點(diǎn)斜式即可得切線(xiàn)方程；②只需證時(shí)，對(duì)隨意都成立，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可得證；

（2）只有一個(gè)極值點(diǎn)或三個(gè)極值點(diǎn)，令，當(dāng)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的圖象必穿過(guò)軸且只穿過(guò)一次，即為單調(diào)減函數(shù)或者極值同號(hào)，分類(lèi)探討即可得解，同理可求當(dāng)有三個(gè)極值點(diǎn)時(shí)的狀況.【詳解】解：（1），

①當(dāng)時(shí)，，

∴切線(xiàn)方程為；

②證明：要證對(duì)隨意，，只需證時(shí)，對(duì)隨意都成立，

，令得，