14.2.2 完全平方公式 人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)學(xué)案

第十四章整式的乘法與因式分解14．2乘法公式14．2．2完全平方公式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、幾何解釋．2．靈活應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算．重點(diǎn)：掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．難點(diǎn)：靈活應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算．自主學(xué)習(xí)教學(xué)備注：學(xué)生在課前完成自主學(xué)習(xí)部分一、知識(shí)鏈接1．填空：（1）4＋(5＋2)＝___________； （2）4－(5＋2)＝___________；（3）a＋(b＋c)＝___________； （4）a－(b－c)＝___________．2．去括號(hào)法則：去括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前是，去掉括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都________；如果括號(hào)前是________，去掉括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都________．3．計(jì)算：（1）(x＋1)2＝___________； （2）(x－1)2＝___________；（3）(m＋n)2＝___________； （4）(m－n)2＝___________．課堂探究要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：完全平方公式問(wèn)題1：計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=___________； （2）(m+2)2=(m+2)(m+2)=___________；（3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=___________； （4）(m-2)2=(m-2)(m-2)=___________．問(wèn)題2：根據(jù)上面的規(guī)律，你能直接寫出下列式子的答案嗎？(a+b)2=___________；(a-b)2=___________．要點(diǎn)歸納：完全平方公式：(a＋b)2＝()2＋_____＋(_____)2，(a－b)2＝(_____)2－_____＋(_____)2．即兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的_______，加上（或減去）它們的積的________．這兩個(gè)公式叫做（乘法的）完全平方公式．簡(jiǎn)記為：“首平方，尾平方，積的2倍中間放”問(wèn)題3：你能根據(jù)圖1和圖2中的面積說(shuō)明完全平方公式嗎?和的完全平方公式：(a+b)2=．差的完全平方公式：(a-b)2=．問(wèn)題4：觀察下面兩個(gè)完全平方式，比一比，回答下列問(wèn)題：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b21．說(shuō)一說(shuō)積的次數(shù)和項(xiàng)數(shù)；2．兩個(gè)完全平方式的積有相同的項(xiàng)嗎？與a，b有什么關(guān)系？3．兩個(gè)完全平方式的積中不同的是哪一項(xiàng)？與a，b有什么關(guān)系？它的符號(hào)與什么有關(guān)？要點(diǎn)歸納：公式特征：1．積為二次三項(xiàng)式；2．積中兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方和；3．另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，且與兩數(shù)中間的符號(hào)相同；4．公式中的字母a，b可以表示數(shù)，單項(xiàng)式和多項(xiàng)式．想一想：下面各式的計(jì)算是否正確？如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？（1）(x+y)2=x2+y2（2）(x-y)2=x2-y2（3）(-x+y)2=x2+2xy+y2（4）(2x+y)2=4x2+2xy+y2典例精析例1：運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：（1）(4m+n)2； （2）針對(duì)訓(xùn)練利用完全平方公式計(jì)算：（1）(5－a)2； （2）(－3m－4n)2； （3）(－3a＋b)2．例2：運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：（1）1022； （2）992．方法總結(jié)：運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉(zhuǎn)化為能利用完全平方公式的形式．針對(duì)訓(xùn)練利用乘法公式計(jì)算：（1）982－101×99； （2）20222－2022×4042＋20212．例3：已知x－y＝6，xy＝－8．求：（1）x2＋y2的值； （2）(x+y)2的值．方法總結(jié)：本題要熟練掌握完全平方公式的變式：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy，(x－y)2＝(x+y)2－4xy．探究點(diǎn)2：添括號(hào)法則去括號(hào)：a+(b+c)=a+b+c；a-(b+c)=a-b–c．把上面兩個(gè)等式的左右兩邊反過(guò)來(lái)，就得到添括號(hào)：a+b+c=a+(b+c)；a–b–c=a–(b+c)．要點(diǎn)歸納：添括號(hào)法則：添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)（簡(jiǎn)記為“負(fù)變正不變”）．例4：運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）(x+2y-3)(x-2y+3)； （2）(a+b+c)2．方法總結(jié)：第1小題要把其中兩項(xiàng)看成一個(gè)整體，再按照完全平方公式進(jìn)行計(jì)算．第2小題選用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，需要分組．分組方法是“符號(hào)相同的為一組，符號(hào)相反的為另一組”．針對(duì)訓(xùn)練計(jì)算：（1）(a－b＋c)2； （2）(1－2x＋y)(1＋2x－y)．二、課堂小結(jié)完全平方公式公式結(jié)構(gòu)特征常用變形(a+b)2=_________；(a-b)2=_________．（1）公式左邊都是____式的____，右邊是一個(gè)____次____項(xiàng)式；（2）公式右邊第一、三項(xiàng)分別是左邊____的____，中間一項(xiàng)是左邊兩項(xiàng)____的____倍．a(chǎn)2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；4ab=(a+b)2-(a-b)2．當(dāng)堂檢測(cè)1．運(yùn)用乘法公式計(jì)算(a-2)2的結(jié)果是（）A．a(chǎn)2-4a+4 B．a(chǎn)2-2a+4 C．a(chǎn)2-4 D．a(chǎn)2-4a-42．下列計(jì)算結(jié)果為2ab－a2－b2的是()A．(a－b)2 B．(－a－b)2 C．－(a＋b)2 D．－(a－b)23．運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：（1）(6a+5b)2=_______________； （2）(4x-3y)2=_______________；（3）(2m-1)2=； （4）(-2m-1)2=______________．4．由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，運(yùn)用這一方法計(jì)算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．5．計(jì)算：（1）(3a＋b－2)(3a－b＋2)； （2）(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．6．若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b2．7．已知x+y=8，x-y=4，運(yùn)用完全平方公式求xy．

參考答案自主學(xué)習(xí)一、知識(shí)鏈接1．（1）11（2）－3（3）a＋b＋c（4）a－b＋c2．正號(hào)不變號(hào)負(fù)號(hào)變號(hào)3．（1）x2+2x+1（2）x2-2x+1（3）m2+2mn+n2（4）m2-2mn+n2 課堂探究一、要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：完全平方公式問(wèn)題1（1）p2+2p+1（2）m2+4m+4（3）p2-2p+1（4）m2-4m+4問(wèn)題2a2+2ab+b2a2-2ab+b2要點(diǎn)歸納a2abba2abb平方和2倍問(wèn)題3a2+2ab+b2a2-2ab+b2想一想解：（1）×(x+y)2=x2+2xy+y2（2）×(x-y)2=x2-2xy+y2（3）×(-x+y)2=x2-2xy+y2（4）×(2x+y)2=4x2+4xy+y2典例精析例1解：（1）(4m+n)2=(4m)2+2?(4m)?n+n2=16m2+8mn+n2；（2）針對(duì)訓(xùn)練解：（1）(5－a)2＝25－10a＋a2； （2）(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； （3）(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2．例2（1）1022=(100+2)2=10000+400+4=10404；（2）992=(100–1)2=10000-200+1=9801．針對(duì)訓(xùn)練解：（1）原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；（2）原式＝20222－2×2022×2021＋20212＝(2022－2021)2＝1．例3解：（1）∵x－y＝6，xy＝－8，(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20；（2）∵x2＋y2＝20，xy＝－8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20－16＝4．探究點(diǎn)2：添括號(hào)法則例4解：（1）原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)=x2-4y2+12y-9；（2）原式=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2．針對(duì)訓(xùn)練解：（1）原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc；（2）原式＝[1－(2x－y)][1＋(2x－y)]＝12－(2x－y)2＝1－4x2＋4xy－y2．當(dāng)堂檢測(cè)1．A2．D3．（1）36a2+60ab+25b2（2）16x2-24xy+9y2（3）4m2-4m+1（4）4m2+4m+14．255．解：（1）原式＝[3a+(b-2)][3a-(b-2)]＝(3a)2-(b-2)2＝9a2-b2+4b-4；（2）原式＝[(x-y)-(m-