高考總復(fù)習(xí)理數(shù)（人教版）第05章平面向量數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入第1節(jié)平面向量的概念與線性運算

第一節(jié)平面向量的概念與線性運算考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)平面向量的線性運算2015·全國卷Ⅰ·T7·5分向量運算的三角形法則數(shù)學(xué)運算2015·全國卷Ⅱ·T13·5分向量共線的充要條件命題分析本節(jié)內(nèi)容的考查以向量的線性運算為主，試題多為客觀題，難度不大，分值約5分.1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的模.(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ＞0時，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa.提醒：1．辨明兩個易誤點(1)作兩個向量的差時，首先將兩向量的起點平移到同一點，要注意差向量的方向是由減向量的終點指向被減向量的終點．(2)在向量共線的充要條件中易忽視“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個2．三點共線的等價關(guān)系A(chǔ)，P，B三點共線?eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，t∈R)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．()(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關(guān)．()(3)已知兩向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝2.()(4)△ABC中，D是BC中點，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))．()(5)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．(教材習(xí)題改編)下列結(jié)論正確的是()A．若|a|＝0，則a＝0B．若a，b是兩個單位向量，則a＝bC．若a＝b，b＝c，則a＝cD．若AB＝AC，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))解析：選C根據(jù)向量的概念可知選C．3．(2018·臨沂檢測)如圖所示，D是△ABC的邊AB的中點，則向量eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) B．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) D．eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))解析：選A因為eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).4．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，那么四邊形ABCD為()A．平行四邊形 B．菱形C．長方形 D．正方形解析：選B由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|知，四邊形ABCD為平行四邊形且鄰邊相等，所以四邊形ABCD為菱形．故選B．5．(教材習(xí)題改編)設(shè)a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與2a－b共線，則λ＝________解析：由題意知：a＋λb＝k(2a－b)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＝1，,λ＝－k，))∴k＝eq\f(1,2)，λ＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)平面向量的有關(guān)概念[明技法]對于向量的概念的三點注意(1)向量的兩個特征：有大小和方向，向量既可以用有向線段和字母表示，也可以用坐標(biāo)表示；(2)相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量；(3)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實數(shù)，故可以比較大小．[提能力]【典例】給出下列命題：①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則A、B、C、D四點共線；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.其中正確命題的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．0解析：選D①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量；②不正確，若a與b中有一個為零向量，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；③不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；④不正確，如果b＝0時，則a與c不一定平行．[刷好題](金榜原創(chuàng))給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量一定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大??；③若λa＝0(λ為實數(shù))，則λ必為零；④若λa＝μb(λ，μ為實數(shù))，則a與b共線．其中錯誤命題的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C①錯誤，兩向量是否共線要看其方向，而不是起點或終點．②正確，因為向量既有大小，又有方向，故兩個向量不能比較大小，但兩個向量的模均為非負(fù)實數(shù)，故可以比較大?。坼e誤，當(dāng)a＝0時，無論λ為何值，均有λa＝0.④錯誤，當(dāng)λ＝μ＝0時，λa＝μb＝0，此時，a與b可以是任意向量．故選C．平面向量的線性運算[明技法]向量線性運算的解題策略(1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解．[提能力]【典例】(1)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，則()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))解析：選Aeq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選A．(2)(2018·威海檢測)在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＝()A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)解析：選D據(jù)向量運算的幾何意義，畫圖如圖所示．其中D，E分別是AB和AC的三等分點，以EC和ED為鄰邊作平行四邊形，得eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→)).故λ＝eq\f(2,3)，所以選D．[刷好題]1．(2018·唐山統(tǒng)一考試)在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，M為BC的中點，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))解析：選B因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).又M是BC的中點，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，故選B．2．(2018·洛陽模擬)已知點O為△ABC外接圓的圓心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于()A．30° B．60°C．90° D．120°解析：選A由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝0得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，由O為△ABC外接圓的圓心，結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為菱形，且∠CAO＝60°，故∠CAB＝30°.平面向量共線定理的應(yīng)用[明技法]共線向量定理的應(yīng)用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(證明向量共線：對于向量a，b，若存在實數(shù)λ，使a＝λbb≠0，則a與b共線,\x(證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使\o(AB,\s\up6(→))＝λ\o(AC,\s\up6(→))，則A，B，C三點共線),\x(求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程組求參數(shù)的值)))注意：證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點．[提能力]【典例】設(shè)兩個非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．(1)證明：因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線，又它們有公共點B，所以A，B，D三點共線．(2)解：因為ka＋b與a＋kb共線，所以存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩個不共線的非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.所以k＝±1.[母題變式]若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”，則k為何值？解：因為ka＋b與a＋kb反向共線，所以存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ