專題07線段中的動態(tài)模型2

專題07線段中的動態(tài)模型線段中的動態(tài)模型一直都是一大難點(diǎn)和?？键c(diǎn)，它經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)?？疾闃邮揭彩呛茇S富，和平時所學(xué)的內(nèi)容結(jié)合在一起考。本專題就線段中的動態(tài)模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握?！局R儲備】1、在與線段長度有關(guān)的問題中，常會涉及線段較多且關(guān)系較復(fù)雜的問題，而且題中的數(shù)據(jù)無法直接利用，常設(shè)未知數(shù)列方程。2、線段的動態(tài)模型解題步驟：1）設(shè)入未知量t表示動點(diǎn)運(yùn)動的距離；2）利用和差（倍分）關(guān)系表示所需的線段；3）根據(jù)題設(shè)條件建立方程求解；4）觀察運(yùn)動位置可能的情況去計算其他結(jié)果。模型1、線段中點(diǎn)、和差倍分關(guān)系中的動態(tài)模型例1．（2022·河南·鄭州中學(xué)七年級期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，線段AC＝8m，．機(jī)器狗P從點(diǎn)A出發(fā)，以6m/s的速度向右運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B后立即以原來的速度返回；機(jī)械貓Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2m/s的速度向右運(yùn)動，設(shè)它們同時出發(fā)，運(yùn)動時間為xs．當(dāng)機(jī)器狗P與機(jī)械貓Q第二次相遇時，機(jī)器狗和機(jī)械貓同時停止運(yùn)動．(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)試通過計算說明：當(dāng)x為何值時，機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處？(3)當(dāng)x為何值時，機(jī)器狗和機(jī)械貓之間的距離PQ＝2m？請直接寫出x的值．【答案】(1)16，24．(2)當(dāng)x=，即運(yùn)動秒時，機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處．(3)當(dāng)x=或x=或x=，即運(yùn)動x=或x=或x=秒時，機(jī)器狗和機(jī)械貓之間的距離PQ=2m．【分析】（1）由且AC=8cm得8+BC=，先求出BC的長，然后再求出AB的長即可；（2）先確定機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處只存在一種情況，即機(jī)器狗P與機(jī)械貓Q第一次相遇之前，再根據(jù)線段AP=AQ列方程求出x的值即可；（3）分三種情況，一是點(diǎn)P在線段AQ上，可根據(jù)AP+2=AQ列方程求出x的值；二是點(diǎn)P在線段BQ上且點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B之前，可根據(jù)AP2=AQ列方程求出x的值；三是點(diǎn)P在線段BQ上且點(diǎn)P從點(diǎn)B返回時，可根據(jù)2AB減去點(diǎn)P運(yùn)動的距離等于AQ+2列方程求出x的值即可．(1)解：∵，AB=AC+BC，AC=8m，∴8+BC=，解得：BC=16m，∴AB=×16=24m．故答案為：16，24．(2)解：由題意可得：：機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處只存在一種情況，即機(jī)器狗P與機(jī)械貓Q第一次相遇之前，∴6x={8+2x），解得x=．答：當(dāng)x=，即運(yùn)動秒時，機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處．(3)解：當(dāng)點(diǎn)P在線段AQ上且PQ=2m時，則6x+2=8+2x，解得x=；當(dāng)點(diǎn)P在線段BQ上且PQ=2m時，則6x2=8+2x或24×26x=8+2x+2，解得x=或x=．答：當(dāng)x=或x=或x=，即運(yùn)動x=或x=或x=秒時，機(jī)器狗和機(jī)械貓之間的距離PQ=2m．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的應(yīng)用、線段上的動點(diǎn)問題的求解等知識點(diǎn)，正確地用含x的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長是解答本題的關(guān)鍵.例2．（2022·貴州黔西·七年級期末）已知點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．若，，線段在線段上移動．(1)如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時，求的長；(2)點(diǎn)（異于，，點(diǎn)）在線段上，，，求的長．【答案】(1)7(2)3或5【分析】（1）根據(jù)，，可求得，，根據(jù)中點(diǎn)的定義求出BE，由線段的和差即可得到AD的長．（2）點(diǎn)F（異于A，B，C點(diǎn)）在線段AB上，，，確定點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，即可求出AD的長．(1)，，，，如圖1，為中點(diǎn)，，，∴，∴，(2)Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，如圖2，或∵，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，故圖2（b）這種情況求不出；Ⅱ、如圖3，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，或，，∴，∴，．∵，故圖3（b）這種情況求不出；綜上所述：的長為3或5．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答的關(guān)鍵．本題較難，需要想清楚各種情況是否存在．例3．（2023秋·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）操作與探究：（1）已知：如圖線段長為，點(diǎn)從點(diǎn)A以的速度向點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)運(yùn)動時間為，則______，______（2）已知：如圖，在長方形中，，，動點(diǎn)以的速度從A點(diǎn)沿著運(yùn)動，運(yùn)動時間為，用含的式子表示______拓展與延伸：（3）已知：如圖，在（2）的基礎(chǔ)上，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著線段向點(diǎn)運(yùn)動，速度為，、同時出發(fā)，運(yùn)動時間為．其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，為何值時，？【答案】（1）；；（2）或；（3）11或13【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)P運(yùn)動的速度及的長，即可解答；(2)根據(jù)點(diǎn)P運(yùn)動的速度及、的長，即可解答；(3)分兩種情況，列出方程即可分別求解．【詳解】解：（1）線段長為，點(diǎn)從點(diǎn)A以的速度向點(diǎn)運(yùn)動，，，故答案為：，；（2），，動點(diǎn)以的速度從A點(diǎn)沿著運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P在上時，，當(dāng)點(diǎn)P在上時，，故答案為：或；（3）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊時，，即，，解得，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時，，，解得，故為11或13時，．【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．模型2、線段上動點(diǎn)問題中的存在性（探究性）模型例1．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)是定長線段上一點(diǎn)，、兩點(diǎn)分別從點(diǎn)、出發(fā)以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運(yùn)動（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上）．（1）若點(diǎn)、運(yùn)動到任一時刻時，總有，請說明點(diǎn)在線段上的位置；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求的值；（3）在（1）的條件下，若點(diǎn)、運(yùn)動5秒后，恰好有，此時點(diǎn)停止運(yùn)動，點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動（點(diǎn)在線段上），點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個結(jié)論是正確的，請你找出正確的結(jié)論并求值．【答案】（1）點(diǎn)P在線段AB的處；（2）或；（3）結(jié)論②的值不變正確，.【分析】（1）設(shè)運(yùn)動時間為t秒，用含t的代數(shù)式可表示出線段PD、AC長，根據(jù)，可知點(diǎn)在線段上的位置；（2）由可知，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時，等量代換可得，再結(jié)合可得的值；當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB的延長線上時，可得，易得的值.（3）點(diǎn)停止運(yùn)動時，，可求得CM與AB的數(shù)量關(guān)系，則PM與PN的值可以含AB的式子來表示，可得MN與AB的數(shù)量關(guān)系，易知的值.【詳解】解：（1）設(shè)運(yùn)動時間為t秒，則，由得，即，，，即所以點(diǎn)P在線段AB的處；（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時，由可知，②如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB的延長線上時，，綜合上述，的值為或；（3）②的值不變.由點(diǎn)、運(yùn)動5秒可得，如圖，當(dāng)點(diǎn)M、N在點(diǎn)P同側(cè)時，點(diǎn)停止運(yùn)動時，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動，點(diǎn)D繼續(xù)運(yùn)動時，MN的值不變，所以；如圖，當(dāng)點(diǎn)M、N在點(diǎn)P異側(cè)時，點(diǎn)停止運(yùn)動時，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C停止運(yùn)動，點(diǎn)D繼續(xù)運(yùn)動時，MN的值不變，所以；所以②的值不變正確，.【點(diǎn)睛】本題考查了線段的相關(guān)計算，利用線段中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的和差倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵.例2．（2023秋·湖南邵陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在直線上，線段，動點(diǎn)從出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在直線上運(yùn)動，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為秒．(1)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動，當(dāng)時，；(2)若點(diǎn)在射線上運(yùn)動，當(dāng)時，求點(diǎn)的運(yùn)動時間的值；(3)當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長線上運(yùn)動時，線段、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并說明你的理由．【答案】(1)3；(2)或20；(3)，理由見解析．【分析】（1）由中點(diǎn)的含義先求解，證明，再求解，從而可得答案；（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段上，，②當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長線上，，再建立方程求解即可；（3）先證明，，可得，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，∴，，∴，∵線段，∴，∴．（2）①當(dāng)點(diǎn)P在線段上，，如圖，∵，為的中點(diǎn)，∴，解得②當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長線上，，如圖，同理：，解得綜上所述，當(dāng)時，點(diǎn)P的運(yùn)動時間t的值為或20．（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段的反向延長線上時，，理由如下：如圖，∵，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，線段中點(diǎn)的含義，線段的和差運(yùn)算，理解題意，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．模型3、閱讀理解型（新定義）模型例1．（2022·河南南陽·七年級期中）如圖一，點(diǎn)在線段上，圖中有三條線段、和，若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點(diǎn)是線段的“巧點(diǎn)”．（1）填空：線段的中點(diǎn)這條線段的巧點(diǎn)（填“是”或“不是”或“不確定是”）【問題解決】（2）如圖二，點(diǎn)和在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是和，點(diǎn)是線段的巧點(diǎn)，求點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)?！緫?yīng)用拓展】（3）在（2）的條件下，動點(diǎn)從點(diǎn)處，以每秒個單位的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動，同時動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個單位的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時，兩個點(diǎn)運(yùn)動同時停止，當(dāng)、、三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的巧點(diǎn)時，直接寫出運(yùn)動時間的所有可能值．【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3)；t=6；；t=12；；．【分析】（1）根據(jù)新定義，結(jié)合中點(diǎn)把原線段分成兩短段，滿足原線段是短線段的2倍關(guān)系，進(jìn)行判斷即可；（2）由題意設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，再根據(jù)新定義列出合適的方程即可；（3）根據(jù)題意先用t的代數(shù)式表示出線段AP，AQ，PQ，再根據(jù)新定義列出方程，得出合適的解即可求出t的值．【詳解】（1）因原線段是中點(diǎn)分成的短線段的2倍，所以線段的中點(diǎn)是這條線段的巧點(diǎn)，故答案為：是；（2）設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，則AC=x+20，BC=40x，AB=40+20=60，根據(jù)“巧點(diǎn)”的定義可知：①當(dāng)AB=2AC時，有60=2（x+20），解得，x=10；②當(dāng)BC=2AC時，有40x=2（x+20），解得，x=0；③當(dāng)AC=2BC時，有x+20=2（40x），解得，x=20．綜上，C點(diǎn)表示的數(shù)為10或0或20；（3）由題意得，（i）、若0≤t≤10時，點(diǎn)P為AQ的“巧點(diǎn)”，有①當(dāng)AQ=2AP時，604t=2×2t，解得，，②當(dāng)PQ=2AP時，606t=2×2t，解得，t=6；③當(dāng)AP=2PQ時，2t=2（606t）解得，；綜上，運(yùn)動時間的所有可能值有；t=6；；（ii）、若10＜t≤15時，點(diǎn)Q為AP的“巧點(diǎn)”，有①當(dāng)AP=2AQ時，2t=2×（604t），解得，t=12；②當(dāng)PQ=2AQ時，6t60=2×（604t），解得，；③當(dāng)AQ=2PQ時，604t=2（6t60），解得，．綜上，運(yùn)動時間的所有可能值有：t=12；；．故，運(yùn)動時間的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．【點(diǎn)睛】本題是新定義題，是數(shù)軸的綜合題，主要考查數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)的關(guān)系，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出方程并進(jìn)行求解．例2．（2023秋·江蘇徐州·七年級?？计谀c(diǎn)是線段上一點(diǎn)，若（為大于1的正整數(shù)），則我們稱點(diǎn)是的最強(qiáng)點(diǎn)．例如，，，則，稱是的最強(qiáng)點(diǎn)；，則是的最強(qiáng)點(diǎn)．(1)點(diǎn)在線段上，若，，點(diǎn)是的最強(qiáng)點(diǎn)，則______．(2)若，是的最強(qiáng)點(diǎn)，則______．（用的代數(shù)式表示）(3)一直線上有兩點(diǎn)，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度向運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)時停止．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿射線運(yùn)動，為多少時，點(diǎn)，，恰好有一個點(diǎn)是其余2個點(diǎn)的最強(qiáng)點(diǎn)．（用的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)(3)或或或或【分析】（1）根據(jù)“最強(qiáng)點(diǎn)”的定義計算即可；（2）根據(jù)“最強(qiáng)點(diǎn)”的定義列式即可；（3）將點(diǎn)、的運(yùn)動分成未相遇，相遇后，點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)后，和點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后四種階段討論，并且每個階段又有可能有2種不同的點(diǎn)的情況．【詳解】（1）解：點(diǎn)是的最強(qiáng)點(diǎn)，，，，，故答案為：；（2）解：是的最強(qiáng)點(diǎn)，，，又，，，，故答案為；（3）解：根據(jù)題意，當(dāng)時、相遇，，解得，階段一：點(diǎn)、未相遇時，即時，①設(shè)時點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn)，，，，，解得，又，即，，為大于1的正整數(shù)，不滿足題意，舍去；②設(shè)時，點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn)，，，，，解得，又，即，，為大于1的正整數(shù)，符合題意；階段二：點(diǎn)、相遇后，且點(diǎn)未到達(dá)點(diǎn)，即時，③設(shè)時，點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn)，，，，，，又，即，，為大于1的正整數(shù)，符合題意；④設(shè)時，點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn)，，，，，，又，即，，∵n為大于1的正整數(shù)，符合題意；階段三：點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)后，且點(diǎn)未到達(dá)點(diǎn)，即時，⑤設(shè)時，點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn)，，，，，，又，即，，符合題意；⑥設(shè)時，點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn)，，，，，，又，即，，不符合題意，舍去；階段四：點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后，即時，，，點(diǎn)不可能為的最強(qiáng)點(diǎn)；⑦設(shè)時，點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn)，，，，，又，即，，符合題意；綜上所述，當(dāng)為或或或或時，點(diǎn)，，恰好有一個點(diǎn)是其余2個點(diǎn)的最強(qiáng)點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，列一元一次方程解應(yīng)用題，線段上的動點(diǎn)問題，運(yùn)用分類討論的思想，正確地列出代數(shù)式表示出線段的長是解題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2022秋·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）已知有理數(shù)，滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)是原點(diǎn)，點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)是，線段在直線上運(yùn)動（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），，下列結(jié)論①，；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，；③當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，若點(diǎn)是線段延長線上的點(diǎn)，則；④在線段運(yùn)動過程中，若為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則線段的長度不變．其中正確的是（

）A．① B．①④ C．①②③④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)平方式和絕對值的非負(fù)性求出，，即可判斷①結(jié)論；根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，得到點(diǎn)表示的數(shù)為2，即可判斷②結(jié)論；設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離公式得出，，，即可判斷③結(jié)論；先根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離公式得到，再利用線段中點(diǎn)得到，即可判斷④結(jié)論．【詳解】解：，，，，，①結(jié)論正確；點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)是4，，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)表示的數(shù)為2，，②結(jié)論錯誤；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是4，點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是2，設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是，則，，，，③結(jié)論正確；，，，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，，，④結(jié)論正確，結(jié)論正確的是①③④，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式，線段中點(diǎn)的含義．2．（2023秋·四川巴中·七年級統(tǒng)考期末）如圖：數(shù)軸上點(diǎn)A、B、D表示的數(shù)分別是，，1，且點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)E在數(shù)軸上，點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，P、Q為數(shù)軸上兩個動點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B向左運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，點(diǎn)Q從點(diǎn)D向左運(yùn)動，速度為每秒3個單位長度，P、Q同時運(yùn)動，運(yùn)動時間為．有下列結(jié)論：①若點(diǎn)E表示的數(shù)是3，則；②若，則；③當(dāng)時，；④當(dāng)時，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)；其中正確的有．(填序號)

【答案】①③/③①【分析】①根據(jù)線段的中點(diǎn)的定義以及點(diǎn)D、E可確定點(diǎn)C、F表示的數(shù)，進(jìn)而得到的長度；②由，分兩種情況討論：點(diǎn)E在點(diǎn)D的右側(cè)時以及點(diǎn)E在點(diǎn)D的左側(cè)時，可得到點(diǎn)E表示的數(shù)，由點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)可得點(diǎn)F表示的數(shù)，進(jìn)而得到的長度；③當(dāng)時，可得到的長，從而確定點(diǎn)P、Q，即可得到的長；④當(dāng)時，可得到的長，從而確定點(diǎn)P、Q，進(jìn)而判斷．【詳解】解：①若點(diǎn)E表示的數(shù)是3，∵點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，D表示的數(shù)是1，∴，即F表示的數(shù)是2，∵數(shù)軸上點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是?9，?1，點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為，∴，故①正確；②若，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的右側(cè)時，則點(diǎn)E表示的數(shù)是4，∵點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，∴，即F表示的數(shù)是，∴，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的左側(cè)時，則點(diǎn)E表示的數(shù)是，∵點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，∴，即F表示的數(shù)是，∴，綜上，或，故②不正確；③當(dāng)時，，∵B、D表示的數(shù)分別是，1，∴P、Q表示的數(shù)分別是，∴，故③正確；④當(dāng)時，，，∴P、Q表示的數(shù)分別是，，∵點(diǎn)P在D、Q的左側(cè)，不可能是線段的中點(diǎn)，故④不正確；故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸以及兩點(diǎn)間的距離、線段的中點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．3．（2023·河北承德·統(tǒng)考二模）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)N在點(diǎn)M右側(cè)，對應(yīng)的數(shù)為a，矩形的邊在數(shù)軸上．矩形從點(diǎn)A與M重合開始勻速向正方向運(yùn)動，到點(diǎn)D與點(diǎn)N重合時停止運(yùn)動．同時一動點(diǎn)P以每秒2個單位長度的速度，從點(diǎn)A出發(fā)沿折線繞矩形勻速運(yùn)動一周，且點(diǎn)P與矩形同時到達(dá)各自終點(diǎn)．已知，，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，過點(diǎn)Р作垂直于數(shù)軸的直線，將垂足對應(yīng)的數(shù)稱為點(diǎn)Р對應(yīng)的數(shù)．

(1)若矩形運(yùn)動速度為每秒1個單位長度，則點(diǎn)A對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為；（用含t的代數(shù)式表示，不必寫范圍）．(2)若，當(dāng)，即點(diǎn)Р在邊上時，點(diǎn)Р對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為；（用含t的代數(shù)式表示）；(3)若運(yùn)動過程中有一段時間，點(diǎn)Р對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)不變，則．【答案】(1)(2)(3)100【分析】（1）根據(jù)線段的和與差可得，即可求得；（2）根據(jù)P的速度和矩形的周長，求得P運(yùn)動的總時間，進(jìn)一步求得矩形的速度，即可求得；（3）根據(jù)點(diǎn)Р對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)不變，判定矩形和P的運(yùn)動方向和運(yùn)動速度，求解即可．【詳解】（1）解：若矩形速度為l，則點(diǎn)A的速度也為l，則運(yùn)動的距離為，故，即的值為；故答案為：．（2）解：點(diǎn)P的速度為2，則運(yùn)動總時間為（秒），從M到N，長度為70，所以矩形運(yùn)動速度為，所以當(dāng)點(diǎn)Р在邊上時，點(diǎn)Р對應(yīng)的數(shù)為，故答案為：．（3）解：點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)不變，說明矩形向右運(yùn)動，點(diǎn)Р向左運(yùn)動，二者速度“抵消”了，所以矩形的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，所以，解得，故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題看了數(shù)軸，矩形的周長，動點(diǎn)問題等，根據(jù)點(diǎn)Р對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)不變，判定矩形和P的運(yùn)動方向和運(yùn)動速度是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，動點(diǎn)從出發(fā)以的速度沿直線向終點(diǎn)運(yùn)動，同時動點(diǎn)從出發(fā)以的速度沿直線向終點(diǎn)運(yùn)動，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，總有，則．【答案】/6厘米【分析】設(shè)運(yùn)動時間為秒，，將圖中線段用和的代數(shù)式表示出來，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動時間為秒，，則，依題意得，，，，根據(jù)在運(yùn)動過程中，總有得：，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段的和差關(guān)系及一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握線段的和差關(guān)系及一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．5．（2023?奉化區(qū)校級期末）如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B是直線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C在線段AB上，且BC＝4厘米．點(diǎn)P、點(diǎn)Q是直線上的兩個動點(diǎn)，點(diǎn)P的速度為1厘米/秒，點(diǎn)Q的速度為2厘米/秒．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)C、點(diǎn)B同時出發(fā)在直線上運(yùn)動，則經(jīng)過多少時間線段PQ的長為5厘米．解：設(shè)運(yùn)動時間為t秒．①如果點(diǎn)P向左、點(diǎn)Q向右運(yùn)動，由題意，得：t+2t＝5﹣4，解得；②點(diǎn)P、Q都向右運(yùn)動，由題意，得：2t﹣t＝5﹣4，解得t＝1；③點(diǎn)P、Q都向左運(yùn)動，由題意，得：2t﹣t＝5+4，解得t＝9．④點(diǎn)P向右、點(diǎn)Q向左運(yùn)動，由題意，得：2t﹣4+t＝5，解得t＝3．綜上所述，經(jīng)過或1或3秒9秒時線段PQ的長為5厘米．6．（2022·廣東初一月考）如圖，已知A，B，C是數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)C表示的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．(1)寫出數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的數(shù)．(2)動點(diǎn)P，Q分別從A，C同時出發(fā)，點(diǎn)P以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運(yùn)動．若M為AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段CQ上，且CN＝CQ，設(shè)運(yùn)動時間為ts(t＞0)．①寫出數(shù)軸上點(diǎn)M，N表示的數(shù)(用含t的式子表示)．②t為何值時，原點(diǎn)O恰為線段PQ的中點(diǎn)?【答案】（1）A點(diǎn)表示10；B點(diǎn)表示2；（2）①點(diǎn)M表示的數(shù)是10+3t；點(diǎn)N表示的數(shù)是6t；②t=.【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離即可求出A、B表示的數(shù)；（2）①根據(jù)距離=速度×?xí)r間可得AP=6t，CQ=3t，根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)可得AM=3t，根據(jù)CN＝CQ可得CN=t，根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得答案；②根據(jù)中點(diǎn)定義可得OP=OQ，再根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)解答即可.【解析】（1）∵C表示的數(shù)為6，BC=4，∴OB=64=2，∴B點(diǎn)表示2，∵AB=12，∴AO=122=10，∴A點(diǎn)表示10；（2）①由題意得：AP=6t，CQ=3t，∵M(jìn)為AP中點(diǎn)，∴AM=AP=3t，∴在數(shù)軸上點(diǎn)M表示的數(shù)是10+3t，∵點(diǎn)N在CQ上，CN＝CQ，∴CN=t.∴在數(shù)軸上點(diǎn)N表示的數(shù)是6t.②∵原點(diǎn)O恰為線段PQ的中點(diǎn)，∴OP=OQ，∵OP=10+6t，OQ=63t，∴10+6t與63t互為相反數(shù)，∴10+6t=(63t)，解得：t=，∴t=時，原點(diǎn)O恰為線段PQ的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查中點(diǎn)的定義、線段之間的和差關(guān)系及數(shù)軸的性質(zhì)，熟練掌握線段中點(diǎn)知識的運(yùn)用是解題關(guān)鍵.7．（2022·廣西七年級期中）已知數(shù)軸上三點(diǎn)M，O，N對應(yīng)的數(shù)分別為－3，0，1，點(diǎn)P為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x．(1)如果點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等，那么x的值是______；(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離之和是5？若存在，請直接寫出x的值；若不存在，請說明理由．(3)如果點(diǎn)P以每分鐘3個單位長度的速度從點(diǎn)O向左運(yùn)動時，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別以每分鐘1個單位長度和每分鐘4個單位長度的速度也向左運(yùn)動，且三點(diǎn)同時出發(fā)，那么幾分鐘時點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等.（直接寫出答案）【答案】（1）；（2）x=或；（3）分鐘或t=2分鐘時點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等．【分析】（1）根據(jù)三點(diǎn)M，O，N對應(yīng)的數(shù)，得出NM的中點(diǎn)為：x=（3+1）÷2進(jìn)而求出即可；（2）根據(jù)P點(diǎn)在N點(diǎn)右側(cè)或在M點(diǎn)左側(cè)分別求出即可；（3）分別根據(jù)①當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)N在點(diǎn)P同側(cè)時，②當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)N在點(diǎn)P兩側(cè)時求出即可．【解析】解：（1）∵M(jìn)，O，N對應(yīng)的數(shù)分別為3，0，1，點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等，∴x的值是．故答案為：；（2）存在符合題意的點(diǎn)P；∵點(diǎn)M為3，點(diǎn)N為1，則點(diǎn)P分為兩種情況，①點(diǎn)P在N點(diǎn)右側(cè)，則，解得：；②點(diǎn)P在M點(diǎn)左側(cè)，則，解得：；∴.（3）設(shè)運(yùn)動t分鐘時，點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)是3t，點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)是3t，點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)是14t．①當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)N在點(diǎn)P同側(cè)時，因為PM=PN，所以點(diǎn)M和點(diǎn)N重合，所以：3t=14t，解得t＝，符合題意．

②當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)N在點(diǎn)P兩側(cè)時，有兩種情況．情況1：如果點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)，PM=3t（3t）=32t．PN=（14t）（3t）=1t．因為PM=PN，所以32t=1t，解得t=2．此時點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)是5，點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)是7，點(diǎn)M在點(diǎn)N右側(cè)，不符合題意，舍去．情況2：如果點(diǎn)M在點(diǎn)N右側(cè)，PM=3tt3=2t3．PN=3t（14t）=t1．因為PM=PN，所以2t3=t1，解得t=2．此時點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)是5，點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)是7，點(diǎn)M在點(diǎn)N右側(cè)，符合題意．綜上所述，三點(diǎn)同時出發(fā)，分鐘或2分鐘時點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)軸的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)M，N位置的不同進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．8．（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知A，B為數(shù)軸上的兩個點(diǎn)，點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為100．(1)線段的長度為__________、線段中點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)__________；(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向右運(yùn)動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)C處相遇，求點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)；(3)若電子螞蟻P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度向左運(yùn)動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左運(yùn)動，當(dāng)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距10個單位長度時，求點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)．【答案】(1)120，40(2)20(3)或【分析】（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式，和中點(diǎn)公式，進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)經(jīng)過x秒后，兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)C處相遇，根據(jù)題意，列出方程，求出的值，進(jìn)而求出點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)即可；（3）分點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)和點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：，線段中點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為；故答案為：；（2）解：設(shè)經(jīng)過x秒后，兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相遇．由題意，得：，解得：，，∴C對應(yīng)的數(shù)為20．（3）解：由（1）知：．①設(shè)電子螞蟻P和電子螞蟻Q運(yùn)動t秒時，Q在P左側(cè)相距10個單位長度．依題意，得，解得，∴點(diǎn)Q表示的數(shù)為：；②設(shè)電子螞蟻P和電子螞蟻Q運(yùn)動y秒時，Q在P右側(cè)相距10個單位長度．依題意，得，解得：，∴點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)為：．綜上：當(dāng)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上相距10個單位長度時，求點(diǎn)Q對應(yīng)的數(shù)為：或．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．熟練掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，列出一元一次方程，是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在直線l上順次取A、B、C三點(diǎn)，已知，點(diǎn)M﹑N分別從A、B兩點(diǎn)同時出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動．當(dāng)其中一動點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時，M、N同時停止運(yùn)動．已知點(diǎn)M的速度為每秒2個單位長度，點(diǎn)N速度為每秒1個單位長度，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．(1)用含t的代數(shù)式表示線段AM的長度為______；(2)當(dāng)t為何值時，M、N兩點(diǎn)重合？(3)若點(diǎn)P為AM中點(diǎn)，點(diǎn)Q為BN中點(diǎn)．問：是否存在時間t，使？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，當(dāng)或時，【分析】（1）直接根據(jù)路程=時間×速度求解即可；（2）先用t表示出、，再根據(jù)題意列出方程求解即可；（3）先用t表示出，，再分點(diǎn)P在Q的左邊和點(diǎn)P在Q的右邊，利用列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)M的速度為每秒2個單位長度，運(yùn)動時間為t秒，∴，故答案為：；（2）解：由題意，，，由得，∴當(dāng)時，M、N兩點(diǎn)重合；（3）解：存在時間t，使．由題意，，，則，當(dāng)分點(diǎn)P在Q的左邊時，，解得；當(dāng)點(diǎn)P在Q的右邊時，，解得，故當(dāng)或時，．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式、線段的和與差，理解題意，正確得出表示線段的代數(shù)式，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．10．（2023秋·重慶忠縣·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在數(shù)軸上記原點(diǎn)為點(diǎn)O，已知點(diǎn)C表示數(shù)c，點(diǎn)D表示數(shù)d，且c，d滿足，我們把數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，用表示兩點(diǎn)的大寫字母表示，如：點(diǎn)C與點(diǎn)D之間的距離記作．(1)求的值；(2)若甲、乙兩動點(diǎn)分別從C，D同時出發(fā)向右運(yùn)動，甲的速度為每秒3個單位，乙的速度為每秒1個單位，當(dāng)甲和乙重合時，甲，乙停止運(yùn)動．當(dāng)甲到達(dá)原點(diǎn)O時，動點(diǎn)丙從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度也向右運(yùn)動，當(dāng)丙追上乙后立即返向甲運(yùn)動，遇到甲后再立即返向乙運(yùn)動，如此往返，直到點(diǎn)甲、乙、丙全部相遇就停止運(yùn)動，設(shè)此過程中丙的速度大小不變求在此過程中丙行駛的總路程，以及丙停留的最后位置在數(shù)軸上所對應(yīng)的有理數(shù)：(3)動點(diǎn)A從C出發(fā)，以每秒2個單位速度往x軸的正方向運(yùn)動，同時動點(diǎn)B從D出發(fā)，以每秒3個單位速度向點(diǎn)C方向運(yùn)動，到達(dá)C點(diǎn)后立即沿x軸的正方向運(yùn)動，且點(diǎn)B速度大小不變，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，是否存在t值，使得？若存在，直接寫出t的值：若不存在，說明理由．【答案】(1)19(2)丙的運(yùn)動的總路程為26，丙對應(yīng)的有理數(shù)為19.5(3)存在，t的值為：1，，，19【分析】（1）根據(jù)絕對值及偶次冪的非負(fù)性可得，然后問題可求解；（2）當(dāng)甲到達(dá)原點(diǎn)O時，丙從原點(diǎn)O出發(fā)，則甲到達(dá)O點(diǎn)需要3秒，然后可得乙的位置，進(jìn)而可得丙的運(yùn)動時間，最后問題可求解；（3）由（1）可知，然后根據(jù)題意可分①當(dāng)點(diǎn)A、B分別在點(diǎn)O的左側(cè)和右側(cè)時，②當(dāng)點(diǎn)A、B都在點(diǎn)O的左側(cè)時，③當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C返回時，此時點(diǎn)A在點(diǎn)O的右側(cè)，④當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C返回時，點(diǎn)A、B都在點(diǎn)O的右側(cè)，進(jìn)而分類求解即可．【詳解】（1）解：∵，且，∴，∴，∴；（2）解：當(dāng)甲到達(dá)原點(diǎn)O時，丙從原點(diǎn)O出發(fā)，則甲到達(dá)O點(diǎn)需要秒，此時乙的位置為，設(shè)丙運(yùn)動t秒后停止，由題意得，解得，此時丙的位置在，即丙對應(yīng)的有理數(shù)為19.5，丙的運(yùn)動的總路程為；（3）解：存在，使得，理由如下：由（1）可知：，∴，由題意可分：①當(dāng)點(diǎn)A、B分別在點(diǎn)O的左側(cè)和右側(cè)時，存在，∵，∴，∴，解得：；②當(dāng)點(diǎn)A、B都在點(diǎn)O的左側(cè)時，存在，即點(diǎn)A、B重合，∴，∴，解得：；③當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C返回時，此時點(diǎn)A在點(diǎn)O的右側(cè)，存在，∴，∴，解得：；④當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C返回時，點(diǎn)A、B都在點(diǎn)O的右側(cè)，存在，∴，∴，解得：；綜上所述：當(dāng)t的值為：1，，，19時，存在．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段的和差關(guān)系、數(shù)軸上的動點(diǎn)問題及一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握數(shù)軸上的動點(diǎn)問題及一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋·安徽蕪湖·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是線段上一點(diǎn)，，、兩點(diǎn)分別從、出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線向左運(yùn)動（在線段上，在線段上），運(yùn)動的時間為．(1)當(dāng)時，，請求出的長；(2)若、運(yùn)動到任一時刻時，總有，請求出的長(3)在（2）的條件下，是直線上一點(diǎn)，且，求的長．【答案】(1)(2)(3)或12cm【分析】（1）由題意，當(dāng)時，，，則，可得，由即可求解；（2）由，可知，，即，即可求解；（3）分類討論，當(dāng)點(diǎn)在線段上時和點(diǎn)在的延長線上時，分別求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)、的運(yùn)動速度知：，，則，∵，∴，即，∴，，∴，則；（2）根據(jù)、的運(yùn)動速度知：∵，∴，即，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上時，∵，∴；∵，∴，又∵，∴；當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時，．綜上所述，或12cm．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差運(yùn)算，動點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，理解圖形中的等量關(guān)系式解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·福建莆田·七年級統(tǒng)考期末）【探索新知】如圖1，點(diǎn)C將線段分成和兩部分，若，則稱點(diǎn)C是線段的圓周率點(diǎn)，線段，稱作互為圓周率伴侶線段．(1)若，則．(2)若點(diǎn)D也是圖1中線段的圓周率點(diǎn)（不同于C點(diǎn)），則．【深入研究】如圖2，現(xiàn)有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，并把圓片沿數(shù)軸向右無滑動地滾動1周，該點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C的位置．(3)若點(diǎn)、均為線段的圓周率點(diǎn)，求線段MN的長度；(4)在圖2中，點(diǎn)、分別從點(diǎn)、位置同時出發(fā)，分別以每秒2個單位長度、每秒1個單位長度的速度向右勻速運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒，點(diǎn)追上點(diǎn)Q時，停止運(yùn)動，當(dāng)、、三點(diǎn)中某一點(diǎn)為其余兩點(diǎn)所構(gòu)成線段的圓周率點(diǎn)時，請直接寫出t的值．【答案】(1)(2)(3)(4)，，，【分析】（1）根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系代入解答即可；（2）根據(jù)線段的圓周率點(diǎn)的定義以及相關(guān)線段的大小比較即可；（3）由題意可知，點(diǎn)表示的數(shù)是，設(shè)點(diǎn)離點(diǎn)近，且，根據(jù)題意可得關(guān)于的一元一次方程，求解即可；（4）根據(jù)題意分類討論計算即可，①點(diǎn)在左側(cè)，；②點(diǎn)在左側(cè)，；③點(diǎn)在點(diǎn)，點(diǎn)之間，且；④點(diǎn)在點(diǎn)，點(diǎn)之間，且．【詳解】（1）解：，，，，故答案為：；（2）解：，，，，；故答案為：；（3）解：由題意可知，點(diǎn)表示的數(shù)是，若點(diǎn)，為線段的圓周率點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)離點(diǎn)近，且，根據(jù)題意可得：，解得：，；（4）解：由題意可知，點(diǎn)，，所表示的數(shù)分別為：，，，當(dāng)，，三點(diǎn)中某一點(diǎn)為其余兩點(diǎn)所構(gòu)成線段的圓周率點(diǎn)時，有下列四種情況：①點(diǎn)在左側(cè)，；，解得：，②點(diǎn)在左側(cè)，；，解得：，③點(diǎn)在點(diǎn)，點(diǎn)之間，且；，解得：，④點(diǎn)在點(diǎn)，點(diǎn)之間，且；，解得：，符合題意的的值為：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程在新定義類動點(diǎn)問題中的應(yīng)用，數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題關(guān)鍵．13．（2023秋·四川達(dá)州·七年級?？计谀┤鐖D，點(diǎn)P是線段上任一點(diǎn)，，C，D兩點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時向點(diǎn)A運(yùn)動，且點(diǎn)C的運(yùn)動速度為，點(diǎn)D的運(yùn)動速度為，運(yùn)動的時間為．(1)若，①運(yùn)動1s后，求的長；②當(dāng)點(diǎn)D在線段上運(yùn)動時，與的關(guān)系；(2)如果時，，試探索的值．【答案】(1)①，②(2)或【分析】（1）①先求出與的長度，然后利用即可求出答案．②用t表示出的長度即可求證；（2）當(dāng)時，求出的長度，分兩種情況：D點(diǎn)在C點(diǎn)的左邊和D點(diǎn)在C點(diǎn)的右邊，即可求解．【詳解】（1）解：①由題意可知：，∵，，∴，∴；

②由題意可知：

∴，∴，

∴；（2）解：當(dāng)時，，當(dāng)點(diǎn)D在C的右邊時，∵，∴，∴，∴；

當(dāng)點(diǎn)D在C的左邊時，∴，∴，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，涉及列代數(shù)式，分類討論的思想，屬于中等題型．14．（2022·浙江杭州·七年級期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒（）．（1）填空：①A、B兩點(diǎn)間的距離________，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為________；②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為________；點(diǎn)Q表示的數(shù)為________；（2）求當(dāng)t為何值時，；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B的右側(cè)時，線段PA的中點(diǎn)為M，N為線段PB的三等分點(diǎn)且靠近于P點(diǎn)，求的值．【答案】（1）①10；3；②點(diǎn)P表示的數(shù)為2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為82t；（2）1或3；（3）5【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)A表示的數(shù)為2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，即可得到A、B兩點(diǎn)間的距離以及線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)；②依據(jù)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動速度以及方向，即可得到結(jié)論；（2）由t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為82t，于是得到|PQ|=|（2+3t）（82t）|=|5t10|，列方程即可得到結(jié)論；（3）依據(jù)PA的中點(diǎn)為M，N為PB的三等分點(diǎn)且靠近于P點(diǎn)，運(yùn)用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可得到的值．【詳解】解：（1）①8（2）=10，2+×10=3，故答案為：10，3；②由題可得，點(diǎn)P表示的數(shù)為2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為82t；故答案為：2+3t，82t；（2）∵t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為82t，∴|PQ|=|（2+3t）（82t）|=|5t10|，又=×10=5，∴|5t10|=5，解得：t=1或3，∴當(dāng)t=1或3時，；（3）∵PA的中點(diǎn)為M，N為PB的三等分點(diǎn)且靠近于P點(diǎn)，∴|MP|=|AP|=×3t=t，|BN|=|BP|=（|AP||AB|）=×（3t10）=2t，∴=t（2t）=5．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)和數(shù)軸以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的移動與點(diǎn)所表示的數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程求解．15．（2022秋·浙江·七年級期末）如圖，P是線段上任意一點(diǎn)，cm，C，D兩點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時向點(diǎn)A運(yùn)動，且點(diǎn)C的運(yùn)動速度為2cm/s，點(diǎn)D的運(yùn)動速度為3cm/s，運(yùn)動的時間為ts．（其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)A時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動）(1)若cm．①運(yùn)動1s后，求的長；②當(dāng)點(diǎn)D在線段上運(yùn)動時，試說明：．(2)如果s時，cm，試探索的長．【答案】(1)①cm；②見解析(2)的長為11cm或13cm【分析】（1）①先求出、與的長度，然后利用即可求出答案；②用t表示出、、的長度即可求證；（2）當(dāng)時，求出、的長度，由于沒有說明D點(diǎn)在C點(diǎn)的左邊還是右邊，故需要分情況討論．【詳解】（1）①當(dāng)時，cm，cm，∵cm，cm，∴cm，∴cm；②∵，，∴，∵，，∴，，∴，∴．（2）當(dāng)時，cm，cm，當(dāng)點(diǎn)D在C的右邊時，如圖：，∴cm；當(dāng)點(diǎn)D在C的左邊時，如圖：，∴cm；綜上可得，AP的長為11cm或13cm．

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，涉及列代數(shù)式，注意分類討論是解題關(guān)鍵．16．（2023秋·陜西商洛·七年級統(tǒng)考期末）如圖，P是線段上任一點(diǎn)，，C、D兩點(diǎn)分別從P、B同時向A點(diǎn)運(yùn)動，且C點(diǎn)的運(yùn)動速度，D點(diǎn)的運(yùn)動速度為，運(yùn)動的時間為．

(1)若，當(dāng)D在線段上運(yùn)動時，試說明；(2)若，時，試探索的值．【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）用t表示出、、的長度，即可證得；（2）當(dāng)時，求出、的長度，分點(diǎn)D在C的右邊和點(diǎn)D在C的左邊兩種情況，分別根據(jù)線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算．【詳解】（1）解：由題意可知：，，∴，，∴，

∴；（2）解：當(dāng)時，，，當(dāng)點(diǎn)D在C的右邊時，∵，∴，∴，∴；

當(dāng)點(diǎn)D在C的左邊時，可得，∴，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，線段的和差計算，正確分類討論是解題的關(guān)鍵．17．（2022·浙江·七年級課時練習(xí)）如圖，已知線段AB，延長線段BA至C，使CB＝AB．（1）請根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整．直接寫出＝_______；（2）設(shè)AB＝9cm，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線AB向左運(yùn)動．①當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動，求的值；②在點(diǎn)D，E沿直線AB向左運(yùn)動的過程中，M，N分別是線段DE、AB的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)C恰好為線段BD的三等分點(diǎn)時，求MN的長．【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm．【分析】（1）根據(jù)線段的和差倍分關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）①設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，表示出線段長即可得到結(jié)論；②分和兩種情況，根據(jù)三等分點(diǎn)求出BD的長，進(jìn)而求出運(yùn)動時間，求出MD、NB的長即可．【詳解】解：（1）圖形補(bǔ)充完整如圖，∵CB＝AB，∴CA＝，，故答案為：；（2）①AB＝9cm，由（1）得，（cm），設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，cm，cm，，②當(dāng)時，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，cm，運(yùn)動時間為：18÷3=6（秒），則cm，cm，cm，∵M(jìn)，N分別是線段DE、AB的中點(diǎn)．∴cm，cm，cm，當(dāng)時，∵AB＝9cm，cm，∴cm，∴cm，運(yùn)動時間為：36÷3=12（秒），則cm，cm，cm，∵M(jìn)，N分別是線段DE、AB的中點(diǎn)．∴cm，cm，cm，綜上，MN的長是12cm或24cm．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的計算，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確識圖，熟練表示出線段長．18．（2022·河南·南陽市七年級階段練習(xí)）如圖，三點(diǎn)A、B、P在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是﹣4，12（AB兩點(diǎn)間的距離用AB表示）（1）C在AB之間且AC＝BC，C對應(yīng)的數(shù)為；（2）C在數(shù)軸上，且AC+BC＝20，求C對應(yīng)的數(shù)；（3）P從A點(diǎn)出發(fā)以1個單位/秒的速度在數(shù)軸向右運(yùn)動，Q從B點(diǎn)同時出發(fā)，以2個單位/秒在數(shù)軸上向左運(yùn)動．求：①P、Q相遇時求P對應(yīng)的數(shù)；②P、Q運(yùn)動的同時M以3個單位長度/秒的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動，當(dāng)遇到P時，點(diǎn)M立即以同樣的速度（3個單位/秒）向右運(yùn)動，并不停地往返于點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間，求當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇時，點(diǎn)M所經(jīng)過的總路程是多少？（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）4；（2）﹣6或14；（3）①，②16．【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義可得；（2）設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為x，分點(diǎn)C在A、B之間，點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)和點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)三種情況，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式分別列方程求解可得；（3）①設(shè)t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣4+t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為12﹣2t，根據(jù)相遇時點(diǎn)P、Q所表示的數(shù)相同，列方程求解可得；②由①知點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇用時秒，據(jù)此知點(diǎn)M的運(yùn)動時間為秒，再根據(jù)路程＝速度×?xí)r間可得答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意知點(diǎn)C表示的數(shù)為4，故答案為：4；（2）設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為x，當(dāng)點(diǎn)C在A、B之間時，由題意知（x+4）+（12﹣x）＝20，即16＝20，不合題意，舍去；當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)時，由題意知（﹣4﹣x）+（12﹣x）＝20，解得：x＝﹣6，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時，由題意知x﹣12+x﹣（﹣4）＝20，解得：x＝14，即點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣6或14；（3）①設(shè)t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為﹣4+t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為12﹣2t，由題意知﹣4+t＝12﹣2t，解得：t，則相遇時點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)為﹣4；②∵由①知點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇用時秒，∴點(diǎn)M的運(yùn)動時間為秒，則點(diǎn)M所經(jīng)過的總路程是316單位．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸、兩點(diǎn)間的距離公式及一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式和分類思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．19．（2022·安徽蚌埠·七年級期末）如圖，點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，且滿足．（1）點(diǎn)表示的數(shù)是___________，點(diǎn)表示的數(shù)是____________．（2）若動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個單位長度向右運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個單位長度向點(diǎn)運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)即停止