(華師版初中數(shù)學(xué)教案全)第十章軸對(duì)稱

第十章軸對(duì)稱

§10.1軸對(duì)稱

§10.1.1軸對(duì)稱（一）

教學(xué)目標(biāo)

1.在生活實(shí)例中相識(shí)軸對(duì)稱圖.

2.分析軸對(duì)稱圖形，理解軸對(duì)稱的概念.

教學(xué)重點(diǎn)

軸對(duì)稱圖形的概念.

教學(xué)難點(diǎn)

能夠識(shí)別軸對(duì)稱圖形并找出它的對(duì)稱軸.

教學(xué)過程

I.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

我們生活在一個(gè)充溢對(duì)稱的世界中，很多建筑物都設(shè)計(jì)成對(duì)稱形，藝術(shù)作

品的創(chuàng)作往往也從對(duì)稱角度考慮，自然界的很多動(dòng)植物也按對(duì)稱形生長(zhǎng)，中國(guó)

的方塊字中些也具有對(duì)稱性……對(duì)稱給我們帶來多少美的感受！初步駕馭對(duì)稱

的奧秒，不僅可以幫助我們發(fā)覺一些圖形的特征，還可以使我們感受到自然界

的美與和諧.

軸對(duì)稱是對(duì)稱中重要的一種，從這節(jié)課起先，我們來學(xué)習(xí)第十四章：軸對(duì)

稱.今日我們來探討第一節(jié)，相識(shí)什么是軸對(duì)稱圖形，什么是對(duì)稱軸.

II.導(dǎo)入新課

出示課本的圖片，視察它們都有些什么共同特征.

這些圖形都是對(duì)稱的.這些圖形從中間分開后，左右兩部分能夠完全重合.

小結(jié)：對(duì)稱現(xiàn)象無處不在，從自然景觀到分子結(jié)構(gòu)，從建筑物到藝術(shù)作品，

?甚至日常生活用品，人們都可以找到對(duì)稱的例子.現(xiàn)在同學(xué)們就從我們生活

四周的事物中來找一些具有對(duì)稱特征的例子.

我們的黑板、課桌、椅子等.

我們的身體，還有飛機(jī)、汽車、楓葉等都是對(duì)稱的.

如課本的圖14.1.2,把一張紙對(duì)折，剪出一個(gè)圖案（折痕處不要完全剪

斷），?再打開這張對(duì)折的紙，就剪出了漂亮的窗花.視察得到的窗花和圖14.1.1

中的圖形，你能發(fā)覺它們有什么共同的特點(diǎn)嗎？

窗花可以沿折痕對(duì)折，使折痕兩旁的部分完全重合.不僅窗花可以沿一條

直線對(duì)折，使直線兩旁重合，上面圖14.1.1中的圖形也可以沿一條直線對(duì)

折，使直線兩旁的部分重合.

結(jié)論：假如一個(gè)圖形沿始終線折疊，直線兩旁的部分能夠相互重合，這個(gè)

圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.這時(shí)，我們也說這個(gè)圖形

關(guān)于這條直線（成軸）?對(duì)稱.

了解了軸對(duì)稱圖形及其對(duì)稱軸的概念后，我們來做一做.

取一張質(zhì)地較硬的紙，將紙對(duì)折，并用小刀在紙的中心隨意刻出一個(gè)圖案,

?將紙打開后鋪平，你得到兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖案了嗎？與同伴進(jìn)行溝通.

結(jié)論：位于折痕兩側(cè)的圖案是對(duì)稱的，它們可以相互重合.

由此可以得到軸對(duì)稱圖形的特征：一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，折痕兩側(cè)

的圖形完全重合.

接下來我們來探討一個(gè)有關(guān)對(duì)稱軸的問題.有些軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸只有

一條，但有的軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸卻不止一條，有的軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸甚至

有多數(shù)條。

下列各圖，你能找出它們的對(duì)稱軸嗎?

對(duì)稱軸；圖（4）有兩條對(duì)稱軸；圖（5）有七條對(duì)稱軸.

像這樣，?把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，假如它能夠與另一個(gè)圖形重

合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，?這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后

重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).

m.隨堂練習(xí)

(-)課本P117練習(xí)(二)P118練習(xí)

IV.課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課我們主要相識(shí)了軸對(duì)稱圖形，了解了軸對(duì)稱圖形及有關(guān)概念，進(jìn)一

步探討了軸對(duì)稱的特點(diǎn)，區(qū)分了軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱.

V.作業(yè)

(―)課本習(xí)題14.1—1、2、6、7、8題.

課后作業(yè)：〈V課堂感悟與探究>>

VI.活動(dòng)與探究

課本P118思索.

成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等嗎？假如把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)

圖形，那么這兩個(gè)圖形全等嗎？這兩個(gè)圖形對(duì)稱嗎？

過程：在硬紙板上畫兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形，再用剪刀將這兩個(gè)圖形剪下來

看是否重合.再在硬紙板上畫出一個(gè)軸對(duì)稱圖形，然后將該圖形剪下來，?再

沿對(duì)稱軸剪開，看兩部分是否能夠完全重合.

結(jié)論：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等.假如把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩

個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形全等，并且也是成軸對(duì)稱的.

軸對(duì)稱是說兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，而軸對(duì)稱圖形是說一個(gè)具有特別形態(tài)的

圖形.

軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形和軸對(duì)稱圖形，都要沿某一條直線折疊后重合；假如把

軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩部分，那么這兩個(gè)圖形就關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱；

反過來，?假如把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱

圖形.

板書設(shè)計(jì)

§14.1.1軸對(duì)稱（一）

一、軸對(duì)稱：假如一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠

完全重合，這個(gè)圖形就叫軸對(duì)稱圖形，這條直線叫對(duì)稱軸.

二、兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，假如它能

夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.

§10.1.2軸對(duì)稱（二）

教學(xué)目標(biāo)

1.了解兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱性的性質(zhì)，了解軸對(duì)稱圖形的性質(zhì).

2.探究線段垂直平分線的性質(zhì).

3.經(jīng)驗(yàn)探究軸對(duì)稱圖形性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體驗(yàn)軸對(duì)稱的特點(diǎn)，發(fā)展空

間視察.

教學(xué)重點(diǎn)

1.軸對(duì)稱的性質(zhì).

2.線段垂直平分線的性質(zhì).

教學(xué)難點(diǎn)

體驗(yàn)軸對(duì)稱的特征.

教學(xué)過程

I.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

上節(jié)課我們共同探討了軸對(duì)稱圖形，知道現(xiàn)實(shí)生活中由于有軸對(duì)稱圖形,

而使得世界特別漂亮.那么大家想一想，什么樣的圖形是軸對(duì)稱圖形呢？

今日接著來探討軸對(duì)稱的性質(zhì).

II.導(dǎo)入新課

觀看投影并思索.

如圖，ZkABC和4A'B'C關(guān)于直線MN對(duì)稱,

A'、B'、C分別是點(diǎn)A、?B、C的對(duì)稱點(diǎn)，線段

AA'、BB'、CC'與直線MN有什么關(guān)系？

圖中A、A'是對(duì)稱點(diǎn)，AA'與MN垂直，BB'和CC'也與MN垂直.

AA'、BB'和CC'與MN除了垂直以外還有什么關(guān)系嗎？

△ABC與4A'B'C'關(guān)于直線MN對(duì)稱，點(diǎn)A'、B'、C'分別是點(diǎn)A、

B、C的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)AA'交對(duì)稱軸MN于點(diǎn)P,將aABC和4A'B'C'沿

MN對(duì)折后，點(diǎn)A與A'重合，于是有AP=A'P,NMPA=NMPA'=90°.所

以AA'、BB'和CC'與MN除了垂直以外，MN還經(jīng)過線段AA'、BB'

和CC'的中點(diǎn).

對(duì)稱軸所在直線經(jīng)過對(duì)稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段.我們

把經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

自己動(dòng)手畫一個(gè)軸對(duì)稱圖形，并找出兩對(duì)稱點(diǎn)，看一下對(duì)稱軸和兩對(duì)稱點(diǎn)

連線的關(guān)系.

我們可以看出軸對(duì)稱圖形與兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱一樣，?對(duì)稱軸所在直線

經(jīng)過對(duì)稱點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段.

歸納圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)：

假如兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，?那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連線

段的垂直平分線.類似地，軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的

垂直平分線.

下面我們來探究線段垂直平分線的性質(zhì).r

[探究1]

如下圖.木條L與AB釘在一起，L垂直平分力AB,Pi,

P2,P3，…是L上的點(diǎn)，?分別量一量點(diǎn)Pl,P2,P3,…到

A與B的距離，你有什么發(fā)覺？[

1.用平面圖將上述問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，先作出線段AB,過AB中點(diǎn)作AB的

垂直平分線L,在L上取Pl、P2、P3…,連結(jié)AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…

2.作好圖后，用直尺量出APi、AP2、BPi、BP2、CPi、CP2…探討發(fā)覺什

么樣的規(guī)律.

探究結(jié)果：

線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.即AP尸BP],

AP2=BP2，…

證明.

證法一：利用判定兩個(gè)三角形全等.

如下圖，在aAPC和aBPC中,

PC=PCf一一d——5

<ZPCA=NPCB=RtZ.I

AC=BCI

^△APC^ABPCnPA=PB.

證法二：利用軸對(duì)稱性質(zhì).

由于點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，將線段AB沿直線L對(duì)折，線段PA與PB

是重合的，?因此它們也是相等的.

帶著探究1的結(jié)論我們來看下面的問題.

[探究2]

如右圖.用一根木棒和一根彈性勻稱的橡皮筋,做一個(gè)簡(jiǎn)

易的“弓”，“箭”通過木棒中心的孔射出去，怎么才能保持出

箭的方向與木棒垂直呢？為什么？

活動(dòng)：

1.用平面圖形將上述問題進(jìn)行轉(zhuǎn)

線段AB,取其中點(diǎn)P,過P作L,在L

Pl、P2,連結(jié)AP1、AP2、BP1、BP2.會(huì)

兩種可能.

2.探討：要使L與AB垂直，AP1、AP2、BPi、BP?應(yīng)滿意什么條件?

探究過程:

1.如上圖甲，若AP4BP］,那么沿L將圖形折疊后，A與B不行能重合,

也就是NAPPiWNBPPi,即L與AB不垂直.

2.如上圖乙，若AP尸BPi,那么沿L將圖形折疊后，A與B恰好重合，

就有NAPPi=NBPPi,即L與AB重合.當(dāng)AP2=BP2時(shí)，亦然.

探究結(jié)論：

與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.也就是

說在［?探究2］圖中，只要使箭端到弓兩端的端點(diǎn)的距離相等，就能保持射出箭

的方向與木棒垂直.

［師］上述兩個(gè)探究問題的結(jié)果就給出了線段垂直平分線的性質(zhì)，即：線段

垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過來，與這條線段兩個(gè)

端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在它的垂直平分線上.?所以線段的垂直平分線可以看成

是與線段兩端點(diǎn)距離相等的全部點(diǎn)的集合.

m.隨堂練習(xí)

課本P121練習(xí)1、2.

IV.課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課通過探究軸對(duì)稱圖形對(duì)稱性的過程，?了解了線段的垂直平分線的

有關(guān)性質(zhì)，同學(xué)們應(yīng)敏捷運(yùn)用這些性質(zhì)來解決問題.

V.課后作業(yè)

（一）課本習(xí)題14.1一3、4、9題.

課后作業(yè)：VV課堂感悟與探究>>

VI.活動(dòng)與探究

如圖甲，^ABC和AA'B'C關(guān)于直線L對(duì)稱,延長(zhǎng)對(duì)應(yīng)線段AB和A'

B',兩條延長(zhǎng)線相交嗎？交點(diǎn)與對(duì)稱軸L有什么關(guān)系？延長(zhǎng)其他對(duì)應(yīng)線段

呢？在圖乙中，AC與A?'C'又如何呢？再找?guī)讉€(gè)成軸對(duì)稱的圖形視察一下,

能發(fā)覺什么規(guī)律嗎？

過程：在圖甲中，AB與A'B'不平行，所以它們確定會(huì)相交.下面來探

討交點(diǎn)與對(duì)稱軸L的關(guān)系.

問題1：點(diǎn)和直線有幾種位置關(guān)系？

有兩種.一種是點(diǎn)不在直線上，另一種是點(diǎn)在直線上.

問題2：先來假設(shè)一下交點(diǎn)不在對(duì)稱軸L上，看是否成立.

假如交點(diǎn)（P）不在對(duì)稱軸L上，那么在L的另一側(cè)確定有另外一點(diǎn)（P'）

與交點(diǎn)（P）關(guān)于直線L對(duì)稱，且該點(diǎn)（P‘）也是兩延長(zhǎng)線的交點(diǎn).?但是由

于兩條直線相交只可能有一個(gè)交點(diǎn)，所以這兩點(diǎn)是重合的.即交點(diǎn)（P）只能

在對(duì)稱軸L上.所以交點(diǎn)確定在對(duì)稱軸上.延長(zhǎng)其他的對(duì)應(yīng)線段，結(jié)果也一樣.

再看圖乙，我們來探討下一個(gè)問題.

AC與A'C'是平行的，它們的兩條延長(zhǎng)線也不會(huì)相交.

結(jié)論：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段的延長(zhǎng)線假如相交，交點(diǎn)確定在對(duì)

稱軸上；對(duì)應(yīng)線段的延長(zhǎng)線假如不相交，也就是對(duì)應(yīng)線段所在的直線平行，?

那么它們也與對(duì)稱軸平行.

板書設(shè)計(jì)

§14.1.2軸對(duì)稱（二）

一、復(fù)習(xí)：軸對(duì)稱圖形.

二、線段垂直平分線的定義：經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直

線，叫做線段的垂直平分線.

三、圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)：假如兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱

軸是任何一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線.類似地，軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱

軸是任何一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

四、線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端

點(diǎn)的距離相等；反過來，與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在它的垂直

平分線上.

§10.2軸對(duì)稱變換

教學(xué)目標(biāo)

1.通過實(shí)際操作，了解什么叫做軸對(duì)稱變換.

2.如何作出一個(gè)圖形關(guān)于一條直線的軸對(duì)稱圖形.

教學(xué)重點(diǎn)

1.軸對(duì)稱變換的定義.

2.能夠按要求作出簡(jiǎn)潔平面圖形經(jīng)過軸對(duì)稱后的圖形.

教學(xué)難點(diǎn)

1.作出簡(jiǎn)潔平面圖形關(guān)于直線的軸對(duì)稱圖形.

2.利用軸對(duì)稱進(jìn)行一些圖案設(shè)計(jì).

教學(xué)過程

I.設(shè)置情境，引入新課

在前一個(gè)章節(jié)，我們學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱圖形以及軸對(duì)稱圖形的一些相關(guān)的性質(zhì)

問題.在上節(jié)課的作業(yè)中，我們有個(gè)要求，讓同學(xué)們自己思索一種作軸對(duì)稱圖

形的方法，現(xiàn)在來看一下同學(xué)們完成的怎么樣.

將一張紙對(duì)折后，用針尖在紙上扎出一個(gè)圖案，將紙打開后鋪平，?得到

的兩個(gè)圖案是關(guān)于折痕成軸對(duì)稱的圖形.

打算一張質(zhì)地較軟，吸水性能好的紙或報(bào)紙，在紙的一側(cè)上滴上一滴墨水,

將紙快速對(duì)折，壓平，并且手指壓出清楚的折痕.再將紙打開后鋪平，?位于

折痕兩側(cè)的墨跡圖案也是對(duì)稱的.

?這節(jié)課我們就是來作簡(jiǎn)潔平面圖形經(jīng)過軸對(duì)稱后的圖形.

II.導(dǎo)入新課

?由我們已經(jīng)學(xué)過的學(xué)問知道，連結(jié)隨意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直

平分.

類似地，我們也可以由一個(gè)圖形得到與它成軸對(duì)稱的另一個(gè)圖形，重復(fù)這

個(gè)過程，可以得到漂亮的圖案.

對(duì)稱軸方向和位置發(fā)生變更時(shí)，得到的圖形的方向和位置也會(huì)發(fā)生變更.大

家看大屏幕，從電腦演示的圖案變更中找出對(duì)稱軸的方向和位置，體會(huì)對(duì)稱軸

方向和位置的變更在圖案設(shè)計(jì)中的奇異用途.

F面，同學(xué)們自己動(dòng)手在一張紙上畫一個(gè)圖形，將這張紙折疊描圖，?再

打開看看，得到了什么？變更折痕的位置并重復(fù)幾次，又得到了什么？同學(xué)們

相互溝通一下.

結(jié)論：由一個(gè)平面圖形呆以得到它關(guān)于一條直線L對(duì)稱的圖形，?這個(gè)圖

形與原圖形的形態(tài)、大小完全相同；新圖形上的每一點(diǎn)，都是原圖形上的某一

點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)；

連結(jié)隨意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分.

我們把上面由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換.

成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看作由另一個(gè)圖形經(jīng)過軸對(duì)稱變

換后得到.一個(gè)軸對(duì)稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)軸對(duì)稱變換擴(kuò)

展而成的.

取一張長(zhǎng)30厘米，寬6厘米的紙條，將它每3厘米一段，?一正一反像

“手風(fēng)琴”那樣折疊起來，并在折疊好的紙上畫上字母E,用小刀把畫出的字

母E挖去，拉開“手風(fēng)琴”，你就可以得到以字母E為圖案的花邊.回答下列

問題.

(1)在你所得的花邊中，相鄰兩個(gè)圖案有什么關(guān)系？?相間的兩個(gè)圖案又

有什么關(guān)系？說說你的理由.

(2)假如以相鄰兩個(gè)圖案為一組，每一組圖案之間有什么關(guān)系？?三個(gè)圖

案為一組呢？為什么？

(3)在上面的活動(dòng)中，假如先將紙條縱向?qū)φ?，再折成“手風(fēng)琴”，?然

后接著上面的步驟，此時(shí)會(huì)得到怎樣的花邊？它是軸對(duì)稱圖形嗎？先猜一猜，

再做一做.

注：為了保證剪開后的紙條保持連結(jié)，畫出的圖案應(yīng)與折疊線稍遠(yuǎn)一些.

m.隨堂練習(xí)

(-)如圖(1),將一張正六邊形紙沿虛線對(duì)折折3次，得到一個(gè)多

層的60°角形紙，用剪刀在折疊好的紙上隨意剪出一條線，如圖(2).

(1)猜一猜，將紙打開后，你會(huì)得到怎樣的圖形?

(1)(2)

(2)這個(gè)圖形有幾條對(duì)稱軸？

(3)假如想得到一個(gè)含有5條對(duì)稱軸的圖形，你應(yīng)取什么形態(tài)的紙？應(yīng)

如何折疊？

答案：(1)軸對(duì)稱圖形.

(2)這個(gè)圖形至少有3條對(duì)稱軸.

(3)取一個(gè)正十邊形的紙，沿它通過中心的五條對(duì)角線折疊五次，?得到

一個(gè)多層的36°角形紙，用剪刀在疊好的紙上隨意剪出一條線，?打開即可得

到一個(gè)至少含有5條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.

(二)回顧本節(jié)課內(nèi)容，然后小結(jié).

IV.課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了如何通過軸對(duì)稱變換來作出一個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖

形，?并且利用軸對(duì)稱變換來設(shè)計(jì)一些漂亮的圖案.在利用軸對(duì)稱變換設(shè)計(jì)圖

案時(shí)，要留意運(yùn)用對(duì)稱軸位置和方向的變更，使我們?cè)O(shè)計(jì)出更新疑獨(dú)特的漂亮

圖案.

V.動(dòng)手并思索

(一)如下圖所示，取一張薄的正方形紙，沿對(duì)角線對(duì)折后，?得到一個(gè)等

腰直角三角形，再沿斜邊上的高線對(duì)折，將得到的角形沿黑色線剪開，去掉含

90°角的部分，拆開折疊的紙，并將其鋪平.

（1）你會(huì)得怎樣的圖案？先猜一猜，再做一做.

（2）你能說明為什么會(huì)得到這樣的圖案嗎？應(yīng)用學(xué)過的軸對(duì)稱的學(xué)問試

一試.

（3）假如將正方形紙按上面方式折3次，然后再沿圓弧剪開，去掉較小

部分，?綻開后結(jié)果又會(huì)怎樣？為什么？

（4）當(dāng)紙對(duì)折2次后，剪出的圖案至少有幾條對(duì)稱軸？3次呢？

答案：（1）得到一個(gè)有2條對(duì)稱軸的圖形.

（2）依據(jù)上面的做法，事實(shí)上相當(dāng)于折出了正方形的2條對(duì)稱軸；因此

（1）?中的圖案確定有2條對(duì)稱軸.

（3）按題中的方式將正方形對(duì)折3次，相當(dāng)于折出了正方形的4條對(duì)稱

軸，?因此得到的圖案確定有4條對(duì)稱軸.

（4）當(dāng)紙對(duì)折2次，剪出的圖案至少有2條對(duì)稱軸；當(dāng)紙對(duì)折3次，?剪

出的圖案至少有4條對(duì)稱軸.

（二）自己設(shè)計(jì)并制作一個(gè)花邊.

課后作業(yè)：VV課堂感悟與探究>>

VI.活動(dòng)與探究

假如想剪出如下圖所示的“小人”以及“十字”，你想怎樣剪？設(shè)法使剪

的次數(shù)盡可能少.

過程：學(xué)生通過視察、分析設(shè)計(jì)自己的操作方法，老師提示學(xué)生利用軸對(duì)

稱變換的應(yīng)用.

結(jié)果：“小人”可以先折疊一次，剪出它的一半即可得到整個(gè)圖.

“十字”可以折疊兩次，剪出它的四分之一即可.

板書設(shè)計(jì)

§14.2.1.1軸對(duì)稱變換（一）

一、軸對(duì)稱變換

由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換.

二、利用軸對(duì)稱變換設(shè)計(jì)圖案

10.2.2用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱

教學(xué)目標(biāo)

在平面直角坐標(biāo)系中，確定軸對(duì)稱變換前后兩個(gè)圖形中特別點(diǎn)的位置關(guān)

系，再利用軸對(duì)稱的性質(zhì)作出成軸對(duì)稱的圖形

教學(xué)重點(diǎn)

用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱

教學(xué)難點(diǎn)

利用轉(zhuǎn)化的思想，確定能代表軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵點(diǎn)

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)軸對(duì)稱圖形的有關(guān)性質(zhì)

一、新投：

1.學(xué)生探究：

點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,—y)；點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

(—x,y)；點(diǎn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)(一x,—y)

2.例3四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(—5,1)、B(—2,1)、C(-

2,5)、D(—5,4),分別作出與四邊形ABCD關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱的圖形.

(1)歸納：與已知點(diǎn)關(guān)于y軸或x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律；

(2)學(xué)生畫圖

(3)對(duì)于這類問題，只要先求出已知圖形中的一些特別點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),

描出并順次連接這些特別點(diǎn)，就可以得到這個(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形.

3、探究問題

分別作出△PQR關(guān)于直線x=l(記為m)和直線y=-1(記為n)對(duì)稱的圖形，你

能發(fā)覺它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間分別有什么關(guān)系嗎？

(1)學(xué)生畫圖，由詳細(xì)的數(shù)據(jù)，發(fā)覺它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系

(2)若△PQ|R|中P|(x「yJ關(guān)于x=l(記為m)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)P2

(x2,y2),

則"^=%y=y2.

若△P|QR中P<X],yJ關(guān)于y=—1(記為n)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)P2(x2,y2),

則x?=x,,"+?=n.

2

三、小結(jié)本節(jié)內(nèi)容

四、訓(xùn)練：課本135頁的第1?3題

五、作業(yè)：課本136頁的第5?7題

課后練習(xí)〈課堂感悟與探究〉

§10.3.1.1等腰三角形

教學(xué)目標(biāo)

1.等腰三角形的概念.

2.等腰三角形的性質(zhì).

3.等腰三角形的概念及性質(zhì)的應(yīng)用.

教學(xué)重點(diǎn)

1.等腰三角形的概念及性質(zhì).

2.等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)

等腰三角形三線合一的性質(zhì)的理解及其應(yīng)用.

教學(xué)過程

I.提出問題，創(chuàng)設(shè)情境

在前面的學(xué)習(xí)中，我們相識(shí)了軸對(duì)稱圖形，探究了軸對(duì)稱的性質(zhì)，?并且

能夠作出一個(gè)簡(jiǎn)潔平面圖形關(guān)于某始終線的軸對(duì)稱圖形，?還能夠通過軸對(duì)稱

變換來設(shè)計(jì)一些漂亮的圖案.這節(jié)課我們就是從軸對(duì)稱的角度來相識(shí)一些我們

熟悉的幾何圖形.來探討：①三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？②什么樣的三角形是軸

對(duì)稱圖形？

有的三角形是軸對(duì)稱圖形，有的三角形不是.

問題：那什么樣的三角形是軸對(duì)稱圖形？

滿意軸對(duì)稱的條件的三角形就是軸對(duì)稱圖形，?也就是將三角形沿某一條

直線對(duì)折后兩部分能夠完全重合的就是軸對(duì)稱圖形.

我們這節(jié)課就來相識(shí)一種成軸對(duì)稱圖形的三角形——等腰三角形.

II.導(dǎo)入新課

要求學(xué)生通過自己的思索來做一個(gè)等腰三角形.

A

B*

I

作一條直線L,在L上取點(diǎn)A,在L外取點(diǎn)B,作出點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)

稱點(diǎn)C,連結(jié)AB、BC、CA,則可得到一個(gè)等腰三角形.

等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩邊

叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫底角.同

學(xué)們?cè)谧约鹤鞒龅牡妊切沃?，注明它的腰、底邊、頂角和底?

思索：

1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？請(qǐng)找出它的對(duì)稱軸.

2.等腰三角形的兩底角有什么關(guān)系？

3.頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸嗎？

4.底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對(duì)稱軸嗎？?底邊上的高所在

的直線呢？

結(jié)論：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.它的對(duì)稱軸是頂角的平分線所在的直

線.因?yàn)榈妊切蔚膬裳嗟?，所以把這兩條腰重合對(duì)折三角形便知：等腰

三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是頂角的平分線所在的直線.

要求學(xué)生把自己做的等腰三角形進(jìn)行折疊，找出它的對(duì)稱軸，并看它的兩

個(gè)底角有什么關(guān)系.

沿等腰三角形的頂角的平分線對(duì)折，發(fā)覺它兩旁的部分相互重合，由此可

知這個(gè)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，?而且還可以知道頂角的平分線既是底邊

上的中線，也是底邊上的高.

由此可以得到等腰三角形的性質(zhì)：

1.等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）.

2.等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線、?底邊上的高相互重合（通

常稱作“三線合一”）.

由上面折疊的過程獲得啟發(fā)，我們可以通過作出等腰三角形的對(duì)稱軸，得

到兩個(gè)全等的三角形，從而利用三角形的全等來證明這些性質(zhì).同學(xué)們現(xiàn)在就

動(dòng)手來寫出這些證明過程）.

如右圖，在aABC中，AB=AC,作底邊BC的中線AD,因?yàn)?/p>

AB=AC,

BD=CD,

AD=AD,

所以4BAD&Z\CAD(SSS).

所以NB=NC.

］如右圖，在AABC中，AB=AC,作頂角NBAC的角平分線AD,因?yàn)?/p>

AB=AC,A

<NBAD=NCAD,A

AD=AD,/\

所以ABAD也ZXCAD.BDc

所以BD=CD,NBDA=NCDA=L/BDC=90°.

2

［例1］如圖，在aABC中，AB=AC,點(diǎn)D在AC上，且A

BD=BC=AD,/\

求：^ABC各角的度數(shù).

BC

分析：

依據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)，我們可以得到

NA=NABD,NABC=NC=NBDC,?

再由NBDC=NA+NABD,就可得至Ij/ABC=NC=NBDC=2NA.

再由三角形內(nèi)角和為180°，?就可求出AABC的三個(gè)內(nèi)角.

把NA設(shè)為x的話，那么/ABC、NC都可以用x來表示，這樣過程就更

簡(jiǎn)捷.

解：因?yàn)锳B=AC,BD=BC=AD,

所以NABC=NC=NBDC.

NA=NABD（等邊對(duì)等角）.

設(shè)NA=x,則

NBDC=NA+NABD=2x,

從而NABC=NC=NBDC=2x.

于是在△ABC中，有

NA+NABC+NC=x+2x+2x=180°,

解得x=36°.

在aABC中，NA=35°,NABC=NC=72°.

［師］下面我們通過練習(xí)來鞏固這節(jié)課所學(xué)的學(xué)問.

m.隨堂練習(xí)

（一）課本P141練習(xí)1、2、3.

（二）閱讀課本P138?P140,然后小結(jié).

IV.課時(shí)小結(jié)

這節(jié)課我們主要探討了等腰三角形的性質(zhì)，并對(duì)性質(zhì)作了簡(jiǎn)潔的應(yīng)用.等

腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角），等腰三角形的對(duì)

稱軸是它頂角的平分線，并且它的頂角平分線既是底邊上的中線，又是底邊上

的高.

我們通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，首先就是要理解并駕馭這些性質(zhì)，并且能夠敏捷

應(yīng)用它們.

V.作業(yè)

（一）課本P147—1、3、4、8題.

課后作業(yè)：VV課堂感悟與探究>>

板書設(shè)計(jì)

14.3.1.1等腰三角形（一）

一、設(shè)計(jì)方案作出一個(gè)等腰三角形

二、等腰三角形性質(zhì)

1.等邊對(duì)等角

2.三線合一

參考練習(xí)

一、選擇題

1.假如aABC是軸對(duì)稱圖形，則它的對(duì)稱軸確定是（）

A.某一條邊上的高；B.某一條邊上的中線

C.平分一角和這個(gè)角對(duì)邊的直線；D.某一個(gè)角的平分線

2.等腰三角形的一個(gè)外角是100°,它的頂角的度數(shù)是（）

A.80°B.20°C.80°和20°D.80°或50°

答案：1.C2.C

二、已知等腰三角形的腰長(zhǎng)比底邊多2cm,并且它的周長(zhǎng)為16cm.

求這個(gè)等腰三角形的邊長(zhǎng).

解：設(shè)三角形的底邊長(zhǎng)為xcm,則其腰長(zhǎng)為（x+2）cm,依據(jù)題意，得

2（x+2）+x=16.

解得x=4.

所以，等腰三角形的三邊長(zhǎng)為4cm、6cm和6cm.

§10.3.1.1等腰三角形（二）

教學(xué)目標(biāo)

1、理解并駕馭等腰三角形的判定定理及推論

2、能利用其性質(zhì)與判定證明線段或角的相等關(guān)系.

教學(xué)重點(diǎn)

等腰三角形的判定定理及推論的運(yùn)用

教學(xué)難點(diǎn)

正確區(qū)分等腰三角形的判定與性質(zhì).

能夠利用等腰三角形的判定定理證明線段的相等關(guān)系.

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)

二、新授：

I提出問題，創(chuàng)設(shè)情境B北

出示投影片.某地質(zhì)專家為估測(cè)一條東西流向河流的寬度，\選

擇河流北岸上一棵樹（B點(diǎn)）為B標(biāo)，然后在這棵樹的正南方（南卡T岸A

南

點(diǎn)抽一小旗作標(biāo)記）沿南偏東60°方向走一段距離到C處時(shí)，測(cè)

得/ACB為30°,這時(shí)，地質(zhì)專家測(cè)得AC的長(zhǎng)度就可知河流寬度.

學(xué)生們很想知道，這樣估測(cè)河流寬度的依據(jù)是什么？帶著這個(gè)問題，引導(dǎo)

學(xué)生學(xué)習(xí)”等腰三角形的判定”.

II引入新課

1.由性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論的變更，引出探討的內(nèi)容一一在aABC中，

苦NB=NC,貝l]AB=AC嗎？

作一個(gè)兩個(gè)角相等的三角形，然后視察兩等角所對(duì)的邊有什么關(guān)系？

2.引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)圖形，寫出已知、求證.

2、小結(jié)，通過論證，這個(gè)命題是真命題，即“等腰三角形的判定定理”（板

書定理名稱）.

強(qiáng)調(diào)此定理是在一個(gè)三角形中把角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化成邊的相等關(guān)系的重

要依據(jù)，類似于性質(zhì)定理可簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”.

4.引導(dǎo)學(xué)生說出引例中地質(zhì)專家的測(cè)量方法的依據(jù).

III例題與練習(xí)

其中aABC是等腰三角形的是[]

2.①如圖3,已知aABC中，AB-AC.NA=36°,則NC（依據(jù)什

么？）.

②如圖4,已知AABC中，NA=36°,/C=72°,ZkABC是三角

形（依據(jù)什么？）.

③若已知/A=36°,ZC=72°,BD平分NABC交AC于D,推斷圖5

中等腰三角形有.

④若已知AD=4cm,則BCcm.

3.以問題形式引出推論1.

4.以問題形式引出推論2.

例：假如三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，求證這個(gè)三角形

是等腰三角形.

分析：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意作出圖形，寫出已知、求證，并分析證明.

練習(xí)：5.⑴如圖6,在aABC中，AB=AC,NABC、NACB的平分線相交

于點(diǎn)F,過F作DE//BC,交AB于點(diǎn)D,交AC于E.問圖中哪些三角形

是等腰三角形？

（2）上題中，若去掉條件AB=AC,其他條件不變，圖6中還有等腰三角形

嗎？

iv課堂小結(jié)A

1.判定一個(gè)三角形是等腰三角形有

2.判定一個(gè)三角形是等邊三角形有人點(diǎn)為法？

3.等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理有何關(guān)系？

4.現(xiàn)在證明線段相等問題，一般應(yīng)從幾方面考慮？

V布置作業(yè)

1.閱讀教材

2.書面作業(yè)：教材第150頁第12題

3、《課堂感悟與探究》

10.3.2等邊三角形（一）

教學(xué)目的

1.使學(xué)生嫻熟地運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)求等腰三角形內(nèi)角的角度。

2.熟悉等邊三角形的性質(zhì)及判定.

2.通過例題教學(xué)，幫助學(xué)生總結(jié)代數(shù)法求幾何角度，線段長(zhǎng)度的方法。

教學(xué)重點(diǎn)、

等腰三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)

簡(jiǎn)潔的邏輯推理。

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)鞏固

1.敘述等腰三角形的性質(zhì)，它是怎么得到的？

等腰三角形的兩個(gè)底角相等，也可以簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角“。把等腰三角形

對(duì)折，折疊兩部分是相互重合的，即AB與AC重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，線

段BD與CD也重合，所以NB=NC。

等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線和底邊上的高線相互重合，簡(jiǎn)稱

“三線合一”。由于AD為等腰三角形的對(duì)稱軸，所以BD=CD,AD為底邊

上的中線；ZBAD=ZCAD,AD為頂角平分線，ZADB=ZADC=90°,

AD又為底邊上的高，因此“三線合一”。

2.若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為3和4,則其周長(zhǎng)為多少？

二、新課

在等腰三角形中，有一種特別的狀況，就是底邊與腰相等，這時(shí)，三角形

三邊都相等。我們把三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。

等邊三角形具有什么性質(zhì)呢？

1.請(qǐng)同學(xué)們畫一個(gè)等邊三角形，用量角器量出各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，并提出

猜想。

2.你能否用已知的學(xué)問，通過推理得到你的猜想是A正確

的？

等邊三角形是特別的等腰三角形，由等腰三角形等邊°‘對(duì)等

圖⑴

角的性質(zhì)得到NA=NB=C,又由NA+NB+/C=

180°,從而推出NA=NB=NC=60°。

3.上面的條件和結(jié)論如何敘述？

等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。

等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎?假如是，有幾條對(duì)稱軸？

等邊三角形也稱為正三角形。

例1.在aABC中，AB=AC,D是BC邊上的中點(diǎn)，ZB=30°,求N1

和NADC的度數(shù)。

分析：由AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，可知AB為BC底邊上的中線，由

“三線合一”可知AD是4ABC的頂角平分線，底邊上的高，從而NADC=

90°,Z1=ZBAC,由于NC=NB=30°,NBAC可求，所以/I可求。

問題1：本題若將D是BC邊上的中點(diǎn)這一條件改為AD為等腰三角形頂

角平分線或底邊BC上的高線，其它條件不變，計(jì)算的結(jié)果是否一樣？

問題2：求N1是否還有其它方法?

三、練習(xí)鞏固

1.推斷下列命題，對(duì)的打“J”，錯(cuò)的打“X”。

a.等腰三角形的角平分線，中線和高相互重合()

b.有一個(gè)角是60°的等腰三角形，其它兩個(gè)內(nèi)角也為60°()

2.如圖(2),在aABC中，已知AB=AC,AD為NBAC的平分線，且N2

=25°,求/ADB和NB的度數(shù)。

;圖⑵圖⑶

四、小結(jié)

由等腰三角形的性質(zhì)可以推出等邊三角形的各角相等，且都為60°三

線合一”性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中，只要推出其中一個(gè)結(jié)論成立，其他兩個(gè)結(jié)論一樣

成立，所以關(guān)鍵是找尋其中一個(gè)結(jié)論成立的條件。

五、作業(yè)

1.課本P147—7,9

2、補(bǔ)充：如圖(3),AABC是等邊三角形，BD、CE是中線，求/CBD,Z

BOE,ZBOC,

ZEOD的度數(shù)。

(一)課本P147—1、3、4、8題.

課后作業(yè)：〈V課堂感悟與探究>>

§10.3.2.2等邊三角形(二)

教學(xué)目標(biāo)

駕馭等邊三角形的性質(zhì)和判定方法.

培育分析問題、解決問題的實(shí)力.

教學(xué)重點(diǎn)

等邊三角形的性質(zhì)和判定方法.

教學(xué)難點(diǎn)

等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用

教學(xué)過程

I創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

回顧上節(jié)課講過的等邊三角形的有關(guān)學(xué)問

1.等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸.

2.等邊三角形每一個(gè)角相等，都等于60°

3.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.

4.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

其中1、2是等邊三角形的性質(zhì)；3、4的等邊三角形的推斷方法.

II例題與練習(xí)

1.AABC是等邊三角形，以下三種方法分別得到的4ADE都是等邊三角形嗎,

為什么？

①在邊AB、AC上分別截取AD=AE.

②作NADE=60。，D、E分別在邊AB、AC上.

③過邊AB上D點(diǎn)作DE〃:BC,交邊AC于E點(diǎn).

2.已知：如右圖，P、Q是aABC的邊BC上的兩點(diǎn)，，并且PB=PQ=QC=

AP=AQ.求NBAC的大小.

分析：由已知明顯可知三角形APQ是等邊三角形，每個(gè)角都是60°.又知

△APB與aAQC都是等腰三角形，兩底角相等，由三角形外角性質(zhì)即可推

得NPAB=30°.

Ill課堂小結(jié)

1、等腰三角形和性質(zhì)

2、等腰三角形的條件

V布置作業(yè)

1.教科書第147頁練習(xí)1、2

2.選做題:

⑴教科書第150頁習(xí)題14.3第11題.

⑵已知等邊AABC,求平面內(nèi)一點(diǎn)P,滿意A,B,C,P四點(diǎn)中的隨意三點(diǎn)連

線都構(gòu)成等腰三角形.這樣的點(diǎn)有多少個(gè)？

(3)《課堂感悟與探究》

§10.3.2.1等邊三角形(三)

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)等腰三角形的判定與性質(zhì)

二、新授：

1.等邊三角形的性質(zhì)：三邊相等；三角都是60°；三邊上的中線、高、角平

分線相等

2.等邊三角形的判定：

三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三

角形；

在直角三角形中，假如一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一

半

留意：推論1是判定一個(gè)三角形為等邊三角形的一個(gè)重要方法.推論2說明在

等腰三角形中，只要有一個(gè)角是60°,不論這個(gè)角是頂角還是底角，就可以判

定這個(gè)三角形是等邊三角形。推論3反映的是直角三角形中邊與角之間的關(guān)系.

3.由學(xué)生解答課本148頁的例子；

4.補(bǔ)充：已知如圖所示，在AABC中，BD是AC邊上的中線,DB_LBC于B,

ZABC=120°,求證:AB=2BC

分析由已知條件可得NABD=30。，如能構(gòu)造有一個(gè)銳角是30。的直角

三角形，斜邊是AB,30。角所對(duì)的邊是與BC相等的線段,問題就得到解決了.

證明：過A作AE〃BC交BD的延長(zhǎng)線于E

DB±BC（已知）

.,.NAED=90。（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）

在4ADE和4CDB中

ZE=NC3O（已證）

<（對(duì)頂角相等）

A￡>=CO（已知）

AADE^ACDB(AAS)

，AE=CB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

NABC=12CT,DB_LBC（已知）

NABD=30。

在RtAABE中,NABD=30。

.\AE=；AB（在直角三角形中，假如一個(gè)銳角等于30。，

那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）

：.BC=-AB即AB=2BC

2

點(diǎn)評(píng)本題還可過C作CE〃AB

5、訓(xùn)練：如圖所示,在等邊aABC的邊的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,以CE為邊作等邊

△CDE,使它與4ABC位于直線AE的同一側(cè)，點(diǎn)M為線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N為

線段BE的中點(diǎn)，求證:Z^CNM是等邊三角形.

分析由已知易證明AADC也△BEC,得BE=AD,NEBC=NDAE,而M、

N分別為BE、AD的中點(diǎn)，于是有BN=AM,要證明aCNM是等邊三角形，

只須證MC=CN,NMCN=60。，所以要證ANBC&aMAC,由上述已推出的結(jié)

論，依據(jù)邊角邊公里，可證得ANBC&ZSMAC

證明：???等邊AABC和等邊4DCE,

.\BC=AC,CD=CE,（等邊三角形的邊相等）

NBCA=NDCE=60。（等邊三角形的每個(gè)角都是60）

.??NBCE=NDCA

.,.△BCE^AACD（SAS）

AZEBC=ZDAC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）

BE=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

XVBN=-BE,AM=-AD（中點(diǎn)定義）

22

二?BN=AM

AANBC^AMAC（SAS）

ACM-CN（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

NACM=NBCN（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）

.?.NMCN=NACB=60。

/.△MCN為等邊三角形（有一個(gè)角等于60。的等腰三角形是等邊三角形）

解題小結(jié)

1.本題通過將分析法和綜合法并用進(jìn)行分析，得到了本題的證題思路，較困

難的幾何問題常常用這種方法進(jìn)行分析

2.本題反復(fù)利用等邊三角形的性質(zhì)，證得了兩對(duì)三角形全等，從而證得△

MCN是一個(gè)含60。角的等腰三角形，在較困難的圖形中，如何精確地找到

所須要的全等三角形是證題的關(guān)鍵.

三、小結(jié)本節(jié)學(xué)問

四、作業(yè)：課本151頁第13,14題

第十章《軸對(duì)稱》教材分析

—本章的主要內(nèi)容

1、本章的主要內(nèi)容是軸對(duì)稱和等腰三角形

現(xiàn)實(shí)生活中的圖形入手，軸對(duì)稱圖形，具有特別和諧的對(duì)稱美，因此在生活、生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)道行方面應(yīng)用

比較廣泛。如建筑物的對(duì)稱、房屋的對(duì)稱、宇宙天體的對(duì)稱等無不滲透著對(duì)稱美，小到日常生活的鏡子，大到

宇宙星球的影射，無不散發(fā)出對(duì)稱的光線。讓學(xué)生學(xué)習(xí)軸對(duì)稱及其基本性質(zhì)，觀賞并體驗(yàn)軸對(duì)稱在現(xiàn)實(shí)生活中

的廣泛應(yīng)用.能利用軸對(duì)稱性去探究等腰三角形的性質(zhì).

2、本章接著將合情推理和演繹推理有機(jī)結(jié)合，并讓學(xué)生在相識(shí)數(shù)學(xué)推理形式的基礎(chǔ)上，嘗試就一些較為簡(jiǎn)潔的

數(shù)學(xué)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)推理。

3、學(xué)問網(wǎng)絡(luò)歸納:

二建議課時(shí)

本章的教學(xué)時(shí)間為10課時(shí)，建議安排如下:

§10.1生活中的軸對(duì)稱---------1課時(shí)

§10.2軸對(duì)稱的相識(shí)-.........-4課時(shí)

§10.3等腰三角形-----------3課時(shí)

復(fù)習(xí)---------------------2課時(shí)

三重點(diǎn)、難點(diǎn)。

重點(diǎn)：駕馭好軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的概念，弄清他們的區(qū)分和聯(lián)系，并能進(jìn)行簡(jiǎn)潔的應(yīng)用，駕馭等腰三角形

的性質(zhì)和識(shí)別，并應(yīng)用它們解決有關(guān)問題。

難點(diǎn)：弄清軸對(duì)稱和對(duì)稱軸圖形的區(qū)分和聯(lián)系；應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)和職別解決有關(guān)問題。

四學(xué)習(xí)目標(biāo)。

1、通過生活中的詳細(xì)實(shí)例相識(shí)軸對(duì)稱的概念。

2、探究線段、角和圓等圖形的軸對(duì)稱。

3、了解“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等”，“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”。

4、通過畫軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，探究軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分的性質(zhì)。

5、能夠按要求畫出簡(jiǎn)潔平面圖形經(jīng)過一次軸對(duì)稱后的圖形。

6、能利用軸對(duì)稱進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。

7、了解等腰三角形的概念，探究并駕馭等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等，底邊上的高、中線及頂

角平分線三線合一。

8、探究并駕馭一個(gè)三角形是等腰三角形的條件：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。

9、了解等邊三角形的概念并探究其性質(zhì)：等邊三角形每個(gè)角都是60°。

10、在直觀感知、操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)會(huì)說理，駕馭確定的演繹推理實(shí)力。

五.教學(xué)過程中應(yīng)留意的幾點(diǎn)

1、把握好重點(diǎn)難點(diǎn)，即首先要駕馭好軸對(duì)稱圖形及其性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，探究等腰三角形的特征及識(shí)別，其次,

留意分析、比較歸納等腰三角形與一般的三角形之間的聯(lián)系與區(qū)分。

2、在學(xué)法上留意教材設(shè)置的探究，做一做、試一試欄目，多操作，多與同伴溝通，實(shí)行直觀感知、操作確認(rèn)的

方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，并輔以數(shù)學(xué)說理得到圖形的結(jié)論。

3、在解題過程中留意轉(zhuǎn)化思想方法的應(yīng)用，在解計(jì)算題時(shí)，要留意方程思想的應(yīng)用。

4、我們學(xué)過的線段、角都是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線、角平分線所在的直線分別是他們的對(duì)稱軸。其中

線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。等腰三角形也是軸

對(duì)稱圖形，利用軸對(duì)稱法得出等腰三角形的兩個(gè)底角相等，底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線相互重

合。進(jìn)而學(xué)習(xí)等腰三角形的識(shí)別方法''等角對(duì)等邊”。等邊三角形是特別的等腰三角形，它的三個(gè)角相等，都等

于60。。

5、“等角對(duì)等邊”、“等邊對(duì)等角”體現(xiàn)了三角形中邊的相等與角的相等關(guān)系的轉(zhuǎn)化。

六、新課標(biāo)體現(xiàn)學(xué)科綜合

《將軍飲馬》

唐朝詩(shī)人李欣的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”。詩(shī)中隱含著一個(gè)好

玩的數(shù)學(xué)問題：

詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳上的A點(diǎn)動(dòng)身，奔向交河旁邊的C點(diǎn)飲馬，飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng)，試問怎

樣走，才能使總的路程最短？

（分析）：

ACf+CB=AC,+CB①（虛線）

AC1+CB^AC+CB=AB②（實(shí)線）

①》②

可見，在C點(diǎn)以外任何一點(diǎn)C'飲馬，所走的路程都要遠(yuǎn)一點(diǎn)。

這里運(yùn)用軸對(duì)稱的原理，信任不用多說明，但好玩的是它的變形可以過渡到物理方面,

例如：物理光學(xué)中把上圖的河岸線看作一面鏡子，光從點(diǎn)A射出，被鏡面反射，假如要反射經(jīng)過點(diǎn)B,則入射點(diǎn)

必定是點(diǎn)C,即光線總是沿著最近的路程行走。

新課標(biāo)主旨生活數(shù)學(xué)，敏捷運(yùn)用數(shù)學(xué)到各門科，因此，信任從學(xué)科綜合進(jìn)行題型變形將成為趨勢(shì)，估計(jì)創(chuàng)

新題型還是來之有據(jù)的。

§10.2軸對(duì)稱的相識(shí)（1）教學(xué)反思

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.相識(shí)線段和角等圖形的軸對(duì)稱性

2.理解線段的垂直平分線的概念

3.通過變換的方式去探究垂直平分線和角平分線的性質(zhì)

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：線段的中垂線和角平分線的性質(zhì)的相識(shí)。

難點(diǎn)：運(yùn)用線段的垂直平分線和角平分線的性質(zhì)解決問題。

學(xué)習(xí)過程：

一、復(fù)習(xí)

頷A善品

以上圖形都是我們常見的圖標(biāo)或圖形，它們都具有什么特性呢？

（投影展示，讓學(xué)生回顧軸對(duì)稱圖形的特征）

二、引入

問題：最簡(jiǎn)潔的圖形一一（1）線段是軸對(duì)稱圖形嗎？

（2）角是軸對(duì)稱圖形嗎？

（設(shè)計(jì)問題，引出新課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，學(xué)生帶著問題去思索探究）

三、新課

［探究］

1.畫出線段及它的中點(diǎn)O,再過。點(diǎn)畫出與A3垂直的直線8

結(jié)論：線段是軸對(duì)稱圖形

AB

（學(xué)生通過動(dòng)手畫圖，形象生動(dòng)地熟悉線段是否關(guān)于某條特定的直線對(duì)稱，加上通過老師在課堂

上用透亮紙畫的圖來演示，讓學(xué)生更能體會(huì)其對(duì)稱性。還可以依據(jù)這種情境引出垂直平分線的定

義。）

垂直平分線的定義________________________________________

垂直平分線簡(jiǎn)稱

（引導(dǎo)歸納出垂直平分線的定義及其簡(jiǎn)稱）

2.在第一題的圖中，在直線CD上任取一點(diǎn)M,連接MA與MB,請(qǐng)量一量，看看，線段MA與

MB長(zhǎng)度相等嗎？

D

我們可以得到垂直平分線的性質(zhì)：

線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的

距離.

它的幾何表達(dá)語言為：----------------------ACB

VCD1AB,且AC=CB

AMA=MB

（通過學(xué)生畫圖，并親自量出MA與MB的長(zhǎng)度，從而驗(yàn)證MA=MB,相識(shí)到了線段垂直平分線

上的隨意點(diǎn)到這個(gè)線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，從而引導(dǎo)垂直平分的性質(zhì)，并教會(huì)其學(xué)會(huì)幾何語言）

3.（1）角是對(duì)稱軸圖形嗎？

（2）角的對(duì)稱軸是7

4.如圖，04是NPOQ的角平分線，M是。4上任一點(diǎn)，過點(diǎn)用扁意PO0兩條埼的垂線,垂

足分別為點(diǎn)。和點(diǎn)O.線段和相等嗎？（請(qǐng)量一量）

事實(shí)上，無論M點(diǎn)取在射線0A的何處，線段MC和MO都是相等的.

類似垂直平分線性質(zhì)，我們知道角平分線的性質(zhì)：

它的幾何表達(dá)語言為:

（通過用透亮紙片演示驗(yàn)證角是軸對(duì)稱圖形，形象生動(dòng)地體會(huì)到角平分線所在的直線就是這個(gè)角

的對(duì)稱軸，并且通過動(dòng)手畫圖，證明角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等，并引導(dǎo)學(xué)生共

同歸納其幾何語言）

三、例題

例1如圖，/XABC中，BC=10,邊的垂直平分線分別交A3、BC于點(diǎn)E、D.BE=6,求4

BCE的周長(zhǎng).

圖9.2.2

（此例題充分運(yùn)用到線段的垂直平分線的性質(zhì)來求解，先讓學(xué)生分析好題目的條件，尤其ED垂

直平分線段BC這個(gè)條件來說明EB=EC,這樣就很簡(jiǎn)潔求出所求三角形的周長(zhǎng)）

四、分層練習(xí)（A組）

1.如圖，△ABC中，AO垂直平分邊BC,AB=5,貝ljAC=.

2.如圖，假如/點(diǎn)在的角平分線上，那么AM=.

3.如圖，MN是線段AB的垂直平分線，C、D是MN上兩點(diǎn)，若CA=3cm,BD=5cm,

則CB=cm,AD=cm.

4.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°.

BD平分NABC交AC于D,

DE垂直AB,若DE=1厘米，

則DC=厘米.

圖9-14

（以上題目都是利用垂直平分線及角平分線的性質(zhì)來求解的，達(dá)到即學(xué)即用的目的，學(xué)生在練習(xí)

時(shí)老師也在隨堂批改，講解其中主要問題）

小結(jié)：這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)哪兩特性質(zhì)？

談?wù)勀愕膶W(xué)習(xí)心得。

作業(yè)：書本第86頁第2,4題

教學(xué)反思：

1、學(xué)生對(duì)圖形的相識(shí)還有待進(jìn)一步的加強(qiáng)，在動(dòng)手畫圖這方面部分學(xué)生欠缺基本功，尤其是畫角

平分線上的一點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離時(shí)，不知道這個(gè)“距離”就是，點(diǎn)到邊的垂線段，所以

還得加強(qiáng)訓(xùn)練。最重要的是大部分學(xué)生都能動(dòng)手嘗試畫，在動(dòng)手實(shí)踐過程中獲得探究和歸納總

結(jié)的實(shí)力和愛好。

2、其實(shí)在探究中第一、二個(gè)環(huán)節(jié)中，有條件的還可以每個(gè)學(xué)生都打算一張透亮紙讓他們動(dòng)手畫，

并用折疊的方法來驗(yàn)證其性質(zhì)會(huì)更加的形象和更能體現(xiàn)其特性，并且更加能激發(fā)學(xué)生的求知探

究欲望，增加其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的愛好。

3、課堂上能夠主動(dòng)表揚(yáng)反應(yīng)主動(dòng)的同學(xué)，讓他們更加富有激情的投入學(xué)習(xí)，但是對(duì)部分基礎(chǔ)較差

同學(xué)還是欠缺的足夠的指導(dǎo)和關(guān)切，這一點(diǎn)本人在日后的教學(xué)過程中須要不斷地改進(jìn)。

4、例題能夠充分運(yùn)用到線段的垂直平分線的性質(zhì)來求解，先讓學(xué)生分析好題目的條件，尤其ED

垂直平分線段BC這個(gè)條件來說明EB=EC,幫助學(xué)生發(fā)掘題目的有利的條件，即學(xué)即用，鞏固

學(xué)問。但是其實(shí)這個(gè)例題也可以讓學(xué)生陳述他們的表達(dá)方法及書面表達(dá)形式，表揚(yáng)其優(yōu)點(diǎn)指正

其不足，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)會(huì)更加有主動(dòng)性。

5、此教案實(shí)行學(xué)案學(xué)習(xí)的形式，形象生動(dòng)，簡(jiǎn)便易懂，讓學(xué)生通過練習(xí)提高其解題實(shí)力。

6、老師在教學(xué)過程中對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)較為單一，確定不夠剛好，表揚(yáng)不夠熱忱，比如當(dāng)最終一個(gè)平

常表現(xiàn)較為一般的學(xué)生有此創(chuàng)意時(shí)，老師就應(yīng)大加贊揚(yáng)，從而也能激發(fā)課堂氣氛。

第十章軸對(duì)稱復(fù)習(xí)

教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入

二：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，引入新課

三：新課：（老師板書板書）（課堂練習(xí)）

一、學(xué)問回顧

問題1：軸對(duì)稱圖形的定義是什么？

它是推斷圖形是否是軸對(duì)稱圖形的依據(jù)。

問題2：是否會(huì)畫軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸？

找出軸對(duì)稱圖形的任一組對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)，畫對(duì)稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線，即得到該圖形對(duì)稱軸。

問題3：軸對(duì)稱圖形對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸有什