高等數(shù)學課后習題答案第六章

習題六

1.指出下列各微分方程的階數(shù)：

(1)一階(2)二階(3)三階(4)一階

2.指出下列各題中的函數(shù)是否為所給微分方程的解：

⑴W=2y,y=5/.

解：由)'=5/得y=iox代入方程得

故是方程的解.

(2)y"+y=0,y=3sinx-4cosx.

解：/=3cosx+4sinx;=-3sinx+4cosx

代入方程得一3sinx+4cosx+3sinx-4cosx=0.

故是方瘡的解.

(3)/-2/+y=0,y=x2er.

解.y'=2xex+x2ex=(2x+x2)ev,y*=(2+4x+x2)ev

代入方程得2e'w0.

故不是方程的解.

x

解：y=G4e5+GM"r=G4?ey+c2^

代入方程得

故是方程的解.

3.在下列各題中，驗證所給二元方程為所給微分方程的解：

證：方程/一口+V=c兩端對x求導：

2x-y

得x-2y

代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.

證：方程丁二g(孫)兩端對"求導：

y=-+-y

xy(*)

得Xy-1).

(*)式兩端對x再求導得

將州y”代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.

4.從下列各題中的曲線族里，找出滿足所給的初始條件的曲線：

解：當x=0時，尸5.故C=-25

故所求曲線為：＞一”=25

2x

解：y=(C2+2C,+2C2x)e

當尸。時，尸o故有G=0

又當戶0時，V=1.故有G=1.

故所求曲線為：丫=朧2’

5.求下列各微分方程的通解：

(l)xy'-ylny=0.

僅供個人學習參考

解：分離變量，得標=7山7

積分得如

得二吟

dy_dr

解：分離變量，得正

得通解：一刈二7=_2jTG+c

(3)(er+y-eT)dx+(ex+v+ev)dy=0.

,

evje'

---ay=-----ax

解：分離變量，得l-e'----l+ev

積分得Tn(e'_1)=ln(er+l)-lnc

得通解為(e'+l)eT)=c.

(4)cosxsin)dr4-sinxcosydy=0.

cosx,cosy,八

----dx+——-dy=0

解：分離變量，得smxsiny-

積分得Insiny+Insinx=\nc

得通解為sinyTin*=

(5)yf=xy.

dy

--zxdr

解：分離變量，得J

2

\ny=^x+cl

積分得

c

得通解為衛(wèi)二比2"(C=e')

(6)2x+1+y=o.

解：y=-2x-l

積分得戶

得通解為y=_/_x+c

(7)4x3+2x—3y2y'=0.

9

解：分離變量，得3y%y=(4?+2幻山:

積分得y=xW+c

即為通解.

(8)/=e^1

解：分離變量，得e-'dy=e"

僅供個人學習參考

積分得上"=卜心

得通解為：_e-y=e'+c.

6.求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解:

（ny=e2x-\兀=0.

解：分離變量，得0Vdy=e?dr

ev=-e2x+c

積分得2

以X=O,y=0代入上式得C-]

ey=—(e2r+1)

故方程特解為2

(2)/sinx=ylny,此」=e

dydx

解：分離變量，得）”nysinx

積分得）'=e2

n

x=5，y=e

將代入上式得c=

tan-

故所求特解為y=e2

7.求下列齊次方程的通解：

(l)W-y->jy2-x2=0.

解:普臺MF

ydyd〃

u=—

令/dxdx

dudr

原方程變?yōu)閤

兩端積分得m(〃+Vw2-l)=lnx+lnc

即通解為：y+6—-2

(2)心=yl。

drx；

31n上

解：心xx

ydydu

u=——=M+x—

令x,則dxdx

dwdx

原方程變?yōu)椤癘n”一1)%

積分得ln(ln〃-1)=Inx+lnc

即方程通解為y=xe

i221+

dyx~+y

dx孫2

解：x

dydu

〃=?=u+x—

令X，則dxdx

d〃1+u2

u+x——=-------

原方程變?yōu)閐ru

dw1.dr

x—=一MOW=—

即dx〃x

—u2=Inx+lnc.

積分得2

故方程通解為、2=/皿以2)(c=c；)

(4)(x3+y。)dx-3xy2dy=0.

dyd+y3"

dx3孫

解：

曳dw

M=2=u+x——

令X,則心dx

du\+u3

u+—x=-

原方程變?yōu)榻?”

3〃

即1-2〃3X

--ln(2w3-1)=lnx+Inc.

積分得2

以X代替小并整理得方程通解為2y3-V=cx

心!-2

解：X

ydydu

w=——=u+x——

令x,貝ijdxdx

du1+M

u+x—=------

原方程變?yōu)閐x\-u

1,

-\-—-u7(l.w=-dx

分離變量，得l+〃-----X

僅供個人學習參考

arctan?——ln(l+w2)=Inx+lnq

積分得

7c2arctan-

2v.i+y*=cex

以工代替〃，并整理得方程通解為到

dv

—=V

令y則

原方程可變?yōu)?/p>

y—=\/v2+l

即dy

曳

分離變量，得＞/百y

積分得ln(y+J,+])=如y-lnc

v+Vv2+1=—

即C

y2=2cfx+—1

以yv=x代入上式，得I2)

即方程通解為丁=23+/.

8.求下列各齊次方程滿足所給初始條件的解：

(1)(/-3x2)dy+2xydx=0,Ng=1.

dy_:

工

77

解：U

du2u

u+x—=—-----

令y=ur,則得dx一一3

“2—3,dr

rUW=

分離變量，得〃一〃------X

積分得一31n"+ln("-l)+ln("+l)=\ncx

.u2-1.

In---=Inc

即u5x

得方程通解為V—f=勺3

以x=0,產1代入上式得c=l.

故所求特解為y2-f=V.

⑵y，=3,y|2

yx

殳…*

解：設)'=依，則dxdx

.dr

uau=—

原方程可變?yōu)楣?/p>

一〃2=inx+lnc

積分得2

得方程通解為y2=2f(lnx+lnc)

以x=l,產2代入上式得c=e2.

故所求特解為y2=2/(lnx+2)

9.利用適當?shù)淖儞Q化下列方程為齊次方程，并求出通解：

解：設入'=X+l,y=Y+l,則原方程化為

Y..du2-5u

u=——=>u+X——=---

令XdX2+4〃

代回并整理得

(4)，-x-3)2(y+2x_3)=c,(。=向

dyx-y-\

解：出4y+x-1

作變量替換，令x=X+l,y=Y+°=y

"二x_y="又

及1+4廣一[+4上

原方程化為X

令y=w,則得

1+4〃JdX

7dw=——

分離變量，得1+4/x

積分得

即2InX+ln(l+4w2)+arctan2w=c

ln[4y2+(x-l)2]+arctan——=c.

代回并整理得x-1

(3)(x+y)dx+(3x+3y—4)dy=0.

dy_du

解：作變量替換-=1+乂則晟一位一

dv_v

原方程化為泣-31

代回并整理得1+3丁+21n(x+y—2)=c.

(4)d/y=——1+1

axx-y

包=1.位

解：令〃=x-X則dxdr

僅供個人學習參考

duI

原方程可化為*w

分離變量，得人"=一泣

12

-u=-X+G

積分得2

故原方程通解為(“_歷2=_2x+c.(c=2q)

10.求下列線性微分方程的通解：

(l)y+y=e-\

解:由通解公式

(2)xy'+y=x2+3x+2,

y'+—y=x+3+—

解：方程可化為xx

由通解公式得

sinr

y=rf=e-(x+c).

解：LJJ

(4)/=4xy+4x.

()dv2?

解,y[j4J^dr+c]=e[f4^dr+c]

=e2t2^-e-2v：+c)=ce2x2-1

(5)(x-2)y=y+2(x-2)3.

dy_1

y=2(x-x)2

解：方程可化為讓x-2

,2x4x2

yH-----y=--------

解：方程可化為f+1x2+l

11.求下列線性微分方程滿足所給初始條件的特解:

以X=7t.y=l代入上式得C=7l_l,

y=—(TI-1-COSX)

故所求特解為X

(2)"』(2-3爐)廣1,y|x=i=0

X

2-3x2

解「Jdx=-x-2-31nx+c

x3

±

-

以x=1,產0代入上式，得2e

y=x\--------

故所求特解為122e

12.求下列伯努利方程的通解:

解：令2=爐-2=>7,則有

即為原方程通解.

(2)/4-iy=(1-2x)/

z=y~3=>--z=2x-l

解：令心

即為原方程通解.

13.求下列各微分方程的通解：

(l)y*=x+sinx.

解：方程兩邊連續(xù)積*兩次得

(2)ym=xe\

解：積分得y〃=Jxe"=*Y+G

(3)/=y+x.

解：令。=了,則原方程變?yōu)?/p>

故y=J(qe*-x-l)dr=qe'~^+c2

(4)r=(y)3+y.

〃dp

y=p——

解：設了’二P，則dy

泮=〃3+〃

原方程可化為由，

P半-(1+〃2)=0

即L5.

由p=0矢J產c,這是原方程的一個解.

生=1+p2n即,=⑥

當「工°時，dy1+p-

戶J》=ln|x|+c；

解：人

⑹八白

y=fJ_dx=arcsinx+q

解：vi-X2

(7)冷/+y'=0.

,1八即dx八

p+—p=0=>—H---=0

解：令)則得xPx

C

,p=~

得人

y=1—dx=c}\n\^+c2

故」工

(8)//-1=0

僅供個人學習參考

y〃=p—d〃

解：令。=丁，則?

3p—-1=0,pdp=y~3dy

原方程可化為dy

14.求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解:

(i)y3y+i=o,乂日=1,=°.

〃d〃

,y=p—

解：令)'=。，則dy,

3助?,1,

y-p—=-1=>pap=——T-dy

原方程可化為dyy

由x=l,y=l,y'=p=0知，q=-l從而有

由％=Ly=1,得。2=孑1

故f+),2=2x或y=\/2x-x2

(2)?+江=l，Mz=0,y*=1；

解：令)''=P,則/=".

—p=—

原方程可化為X廠

y=—(Inx+q)

則x

以尢=i，y'=i代入上式得q=1

y=—(lnx+1)

則x

當時，尸0代入得。2=°

y=—Inx+lnx

故所求特解為2

(3)'〃=7^?，1-0=刃戶0=。.

解：/=arctanx+c,

當x=0,y=0得q=0

以D,產0代入上式得G=°

y=xarctanx—ln(l+x2)

故所求特解為2

(4)、〃=11,尢0=1,九=0

解：令。=丁'，則p'=y".

原方程可化為p'=p?+i

以x=0,y=0代入上式得G=E

以40,產1代入上式得‘2=1

故所求特解為

(5)>-2,4=嘰=0；

，y〃=泮

解：令)'=〃，則?

原方程可化為dy

即Pd〃=e2'd)，

111

-p2=—e2y-+—c.

積分得222

以x=O,)，=y'=O代入上式得G=—l,

則P=yf=±7e2y-l

_n

以x=O,y=O代入得22,

._7T

arcsine)v=zx+—

故所求特解為2

e-7=sin—±x=cosx

即k2J即y=lnsecx

(6)/=37?,^0=1,/|^=2

即

y=

解:令dy

〃dp/=3*-

原方程可化為由，

以x=0,y=p=2,y=l代入得q=0

3

故V=P=±2y，

W華=2dx

由于y〃=34>0.故"2八即/

1

積分得4y；=2x+c2

以戶0,產1代入得G=4

故所求特解為12).

15.求下列微分方程的通解：

(l)r+y-2y=0.

解：特征方程為r+--2=0

解得/=1，弓=一2

故原方程通解為曠=Ge'+C2D

(2)y"+y=0.

解：特征方程為/+1=0

僅供個人學習參考

解得

故原方程通解為y=qCOSX+sinX

Ad-x?、dr

(3)4--T7-20—+25x=0

drdt

解：特征方程為4/―20r+25=0

5

^1=A=—

解得2

故原方程通解為”=(G+cy)e2

(4)y"-4y'+5y=0.

解：特征方程為產—4〃+5=0

解得八2=2土i

故原方程通解為丁=cosx+Qsinx)

(5)y"+4y'+4y=0.

解：特征方程為尸+4廠+4=0

解得4=4=-2

故原方程通解為丁=e-x（q+c2x）

（6）/-3/+2y=0

解：特征方程為/-3廠+2=0

解得廠="2

2x

故原方程通解為y=qe*+c2e

16.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：

（l）y"-4y,+3y=0,兒力=6,以=。=10

解：特征方程為產―4r+3=0

解得4="=3

通解為）'=Ge'+c2dx

q+G=6（c.=4

<=><

由初始條件得匕+36=10[C2=2

故方程所求特解為丁=4e'+2e3x

解：特征方程為4/+4廠+1=0

1

彳二弓=—

解得2

￡

通解為）'=匕+。2才把《“

JU=卜=2

由初始條件得C2~2C'=°L=1

故方程所求特解為y=（2+x）e21

解：特征方程為r+41+29=0

解得大=一2±5’

通解為）'=e-，Gcos5x+Gsin5x）

9=0\c,=0

,n

由初始條件得[5。2-2。=15,2=3

故方程所求特解為y=3e-2tsin5x

（4）y"+25y=O，M=o=2,y'L0=5

解：特征方程為/+25=0

解得七=±5，

通解為）'=cicos5x+Gsin5x

G=2

由初始條件得15c2=5[c2=l

故方程所求特解為y=2cos5x+sin5x

17.求下各微分方程的通解：

（l）2/+y-y=2e\

9

解：2/+—i=o

得相應齊次方程的通解為

令特解為V*=40二代入原方程得

2Aex+Aex-Aex=2ex

解得4=1,故y?=e：

X

故原方程通解為y=e"+qe:+6?標

（2）2/+5/=5x2-2x-1.

解：2r2+5r=0

5

對應齊次方程通解為2”

令六式,+瓜+，代入原方程得

比較等式兩邊系數(shù)得

y=ct+c2e亍+

故方程所求通解為

(3)y"+3y'+2y=3xe~x.

解：r-3r+2=0

4=T弓二一2

對應齊次方程通解為予=Je-*+Ge-*

僅供個人學習參考

令y*=式Ar+8)e-x代入原方程得

3

A=-tB=-3

解得2

/=f-x2-3xle-x

則12J

2x2x

y=eg-+c2e~+(-X-3X]e'

故所求通解為12)

(4)y"-2y'+5y=ersin2x.

解：r-2r+5=0

相應齊次方程的通解為

令y.=xe'(Acos2x+8sin2x)，代入原方程并整理得

A=—,B=0

得4

y*=--xexcos2x

則4

y=e'(Gcos2x+c、sin2x)——xexcos2x

故所求通解為4

(5)y"+2y'+y=x.

解：r-2r+l=0

相應齊次方程通解為反=(。+c2x^~x

令=代入原方程得

得A=l,〃=一2

則

x

故所求通解為y=(G+c2x)e~+x-2

(6)/-4/+4j*=e2x

解：r-4r+4=0

對應