寒假八年級(jí)數(shù)學(xué)教案

第1課時(shí)勾股定理

【知識(shí)要點(diǎn)1】:

勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

^a2+b2=c2.

1.我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的稱為股，斜邊稱為弦。

2.勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系.

3.結(jié)論變形：a=Vc2-b2,b=\Jc2-a2,c=+b~

4.勾股數(shù)組簡介：

若a、b、c均為自然數(shù)，當(dāng)它們滿足關(guān)系式時(shí)，我們稱心、6c）為勾股數(shù)組。

①要熟記幾組勾股數(shù)組：（3、4、5）（5、12、13）（7、24、25）（8、15、17）（9、40、41）；

②一組勾股數(shù)同時(shí)擴(kuò)大n（n=l,2,3……）倍，所得數(shù)據(jù)仍是勾股數(shù)；

③對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)m和n（m>n）,m2+n2,m'-r?和2mn這三個(gè)數(shù)就是一組勾股數(shù).

【知識(shí)要點(diǎn)2】

一、直角三角形的性質(zhì)

1.直角三角形的兩個(gè)銳角互余；

2.直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半；

（斜邊上的中線正好把直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形）

3.直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；

（反之如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°）

4.直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方（稱為勾股定理）；/+〃=，

（反之，一個(gè)三角形中，有一條邊的平方等于其它兩邊的平方和，那么它是直角三角形）

二、直角三角形的其它特殊性質(zhì)

1.直角三角形中，如果兩條直角邊為a、b,斜邊為c,

斜邊上的高為h,那么它們存在這樣的關(guān)系：而=出或卜=".

2.一銳角為45。的直角三角形的性質(zhì)一銳角為30。的直角三角形的性質(zhì)

a:/?:c=1:1:&a:b:c-l:>/3:2

【經(jīng)典例題】

例1、如圖，zLABD=Z.C=9(T,AC=BC,ZDAB=3(T,AD=12.求BC的長.

例2、如圖,等腰三角形的頂角為120°,求底與腰的比.

例3、如圖,在四邊形ABCD中，AB=2,CD=1,NA=60。，NB=NO=90°,求四邊形ABCD的面積.

例4、如圖,NX0Y=60°,其內(nèi)部的點(diǎn)M到0X的距離ME=2,到0Y的距離MF=11,求線段OF的長.

例5、如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)的位置上，若Nl=60°,AE=l.(l)

求N2,N3的度數(shù).(2)求長方形紙片ABCD的面積S.

例6、如圖，在AABC中，ZC=90°,D為AB上一點(diǎn)，作DE_LBC于點(diǎn)E,若BE=AC,BD=-,DE+BC=lo求證：Z

2

ABC=30°。

★思考：如圖，四邊形ABCD中,ZABC=135°,ZBCD=120°,AB=遙，BC=5—g,CD=6,求AD的長。

【課堂檢測】

一、選擇題：

1、下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A：4,5,6B：1,1,A/2C：6,8,11D：5,12,23

2、在RtZ^ABC中，NC=90°,a=12,b=16,則c的長為（）

A：26B：18C：20D：21

3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3,4）,則0P的長為（）

A：3B：4C：5I）：V7

4、在RtaABC中，/C=90°,/B=45°,c=10,則a的長為（）

A：5B：VlOC：572I）：y[5

5、下列定理中，沒有逆定理的是（）

A：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等B：直角三角形兩銳角互余

C：對(duì)頂角相等D：同位角相等，兩直線平行

6、ZkABC中，NA、NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c,AB=8,BC=15,CA=17,則下列結(jié)論不正確的是（）

A：AABC是直角三角形，且AC為斜邊B：Z^ABC是直角三角形，且/ABC=90°

C：△ABC的面積是60D：Z\ABC是直角三角形，且/A=60°

7、等邊三角形的邊長為2,則該三角形的面積為（）

A：4GB：石C：2y/3D：3

8、已知a、b、c是三角形的三邊長，如果滿足（a—6）2+J百+|c—10|=（）,則三角形的形狀是（）

A：底與邊不相等的等腰三角形B：等邊三角形

C：鈍角三角形D；直角三角形

9、如圖一艘輪船以16海里/小時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船12海里/小時(shí)從港口A出發(fā)

向東南方向航行，離開港口3小時(shí)后，則兩船相距（）

A：36海里B：48海里C：60海里D：84海里

10、若ABC中，AB=13cm,AC=15cm,高AD=12,則BC的長為（）

A：14B：4C：14或4D：以上都不對(duì)

二、填空題：

11、木工師傅要做一個(gè)長方形桌面，做好后量得長為80cm,寬為60cm,對(duì)角線為100cm,則這個(gè)桌面（填

“合格”或“不合格”）；

12、如圖所示，以RfABC的三邊向外作正方形，其面積分別

為St,S2,S3，且工=4,S2=8,則S3=；

13、將長為10米的梯子斜靠在墻上，若梯子的上端到梯子的底端的

距離為6米，則梯子的底端到墻的底端的距離為；

14、如圖，NC=ZA3O=90",AC=4,8C=3,3。=12,

則AD=；

15、若三角形的三邊滿足a:3:c=5:12:13,則這個(gè)三角形中最大的角為；

16、已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為6cm、8cm,那么這個(gè)直角三角形斜邊上的高為；

17、寫出一組全是偶數(shù)的勾股數(shù)是；

18、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬、高分別為

20dm、3dm、2dm,A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)

有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階

面爬到B點(diǎn)的最短路程是；

19、如圖，已知一根長8m的竹桿在離地3m處斷裂，竹桿頂部

抵著地面，此時(shí)，頂部距底部有m；

20、一艘小船早晨8：00出發(fā)，它以8海里/時(shí)的速度向東航行，1小時(shí)后，另一艘小船以12海里/時(shí)的速度向

南航行，上午10：00,兩小相距海里。

三、解答題：

21、如圖，為修通鐵路鑿?fù)ㄋ淼繟C,量出/A=40°NB=50°,AB=5公里，BC=4公里，若每天鑿隧道0.3公

里，問幾天才能把隧道AB鑿?fù)ǎ?/p>

22、如圖，每個(gè)小方格的邊長都為1.求圖中格點(diǎn)四邊形ABCD的面積。

23、如圖所示,有一條小路穿過長方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,則這條小路的面積是多少？

24、如圖，已知在△ABC中，CD_LAB于D,AC=20,BC=15,DB=9。

⑴求DC的長。

(2)求AB的長。

25、如圖9,在海上觀察所A,我邊防海警發(fā)現(xiàn)正北6km的B處有一可疑船只正在向東方向8km的C處行駛.我邊

防海警即刻派船前往C處攔截.若可疑船只的行駛速度為40km/h,則我邊防海警船的速度為多少時(shí)，才能

恰好在C處將可疑船只截住？

26、如圖，小明在廣場上先向東走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向東走70米.

求小明到達(dá)的終止點(diǎn)與原出發(fā)點(diǎn)的距離.

27、如圖，小紅用一張長方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，已知該紙片寬AB為8cm,長BC為10cm.當(dāng)小紅折疊時(shí),

頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處（折痕為AE）.想一想，此時(shí)EC有多長？

28、如圖所示為一棱長為3cm的正方體，把所有的面都分成3X3個(gè)小正方形，其邊長都為1cm,假設(shè)一只螞蟻

每秒爬行2cm,則它從下底面A點(diǎn)沿表面爬行于右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？

第2課時(shí)實(shí)數(shù)

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

'正有理數(shù)'

有理數(shù)零）有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)［負(fù)有理數(shù)

無理數(shù)警1無限不循環(huán)小數(shù)

i負(fù)無理數(shù)j

2.無理數(shù)的概念：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，

如n=3.1415926…,拒=1.414213,-1.010010001-,都是無理數(shù)。

對(duì)無理數(shù)概念的理解主要抓住以下幾點(diǎn)：

①既是無限小數(shù)，又是不循環(huán)小數(shù)，這兩點(diǎn)必須同時(shí)滿足；

②無限不循環(huán)小數(shù)與有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)的本質(zhì)區(qū)別是：前者不能化成分?jǐn)?shù)，而后者都可以化成分?jǐn)?shù)；

③凡是整數(shù)的開不盡的方根都是無理數(shù)，如血、、回等。

3.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的關(guān)系

實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示出來。

4.實(shí)數(shù)中的倒數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值概念和有理數(shù)一樣；

【典型例題】

例1在實(shí)數(shù)3.14,-,3.3333,石，0.412,0.10110111011110-,n,中，哪些是有理數(shù)，哪

些是無理數(shù)？

例2(1)下列說法中，正確的是()

A.帶根號(hào)的數(shù)是無理數(shù)B.無理數(shù)都是開不盡方的數(shù)

C.無限小數(shù)都是無理數(shù)D.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)

(2)下列說法正確的是()

A.若a為實(shí)數(shù)，則a大于一aB.實(shí)數(shù)m的倒數(shù)一定是工

m

C.若實(shí)數(shù)x、y,有W=3，則D.任何負(fù)數(shù)的倒數(shù)都小于它的相反數(shù)

例3求下列各數(shù)的相反數(shù)及絕對(duì)值：

(1)-(2)---(3)2—V5

3

例4試比較下列各組數(shù)的大小:

(1)3有和2VH(2)-(3)一3后+1與一241+1

2萬7

例5已知小。是有理數(shù)，并且滿足5-辰=2。+[>5-。，求。、6的值。

【課堂檢測】：

一、填空題：

1、(-6)2的算術(shù)平方根是；平方根等于本身的實(shí)數(shù)是

2、化簡：J（3一%『=。

4

3、2的平方根是；125的立方根是。

9

4、實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示

化簡a++目-Vc~~|Z?—c|=。

5,若m、n互為相反數(shù)，貝一6+〃|=?

6、若—l|+（y—2＞+Jz-3=0,則x+y+z=。

7、若——a,則a0。

8、、歷一1的相反數(shù)是o

9、V-^8=________，-我=o

10、絕對(duì)值小于n的整數(shù)有.

11、一個(gè)正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼臋C(jī)倍，則面積變?yōu)樵瓉淼谋?；一個(gè)立方體的體積變?yōu)樵瓉淼摹ū?

則棱長變?yōu)樵瓉淼谋丁?/p>

12、估計(jì)鬧的大小約等于或（誤差小于1）。

13、比較下列實(shí)數(shù)的大小（在填上＞、＜或=）

①一行-V2；-；③2疝375o

22

14、如圖，在網(wǎng)格圖中的小正方形邊長為1,

則圖中的MBC的面積等于。

15、滿足一行＜x＜石的整數(shù)x有

16.如果同=3,北=2,且成＜0,則a-b=

二、選擇題:

17.在下列各數(shù)中是無理數(shù)的有（）

-0.333-,",V5,-4,3不，3.1415,2.010101…（相鄰兩個(gè)1之間有1個(gè)0）,76.0123456…（小數(shù)部

分由相繼的正整數(shù)組成）.

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

18.下列說法正確的是（）

A.有理數(shù)只是有限小數(shù)B.無理數(shù)是無限小數(shù)

TT

C.無限小數(shù)是無理數(shù)D.三是分?jǐn)?shù)

3

19.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.1的平方根是1B.-1的立方根是一1

C.是2的平方根D.-3是,（一3尸的平方根

20.下列平方根中，已經(jīng)簡化的是（

B.V20C.272D.V121

21.下列結(jié)論正確的是（）

A.7（*）2=-6B.（-V3）2=9C.7（-16）2=±16I）.-

22.下列說法正確的是（）

A.-0.064的立方根是0.4B.-9的平方根是±3

C.16的立方根是祈石D.0.01的立方根是0.000001

23.以下語句及寫成式子正確的是（）

A.7是49的算術(shù)平方根，即"3=±7B.7是（-7）2的平方根，即&—7丫=7

C.±7是49的平方根，即±回=7D.±7是49的平方根，即回=±7

24.若C和CZ都有意義，則a的值是（）

A.?>0B.a<0C.Q=0D.QW0

三、解答題：

25、求2」7的平方根和算術(shù)平方根。26、計(jì)算有（后-

9

V6xV3

27.化簡：712x73-528.---產(chǎn)—

V2

29.化簡：電-電+行）+2.化簡：71452-242

33.求x值：4x2=2534.求工值：(x—0.7)3=0.027

35.求x值：36(X-2)2-7=036.求x的值：8(%—3)3+125=0

37.已知，〃、〃互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)，求一場+Jc+d+l的值。

38、若Jk萬+(3x+y-l)2=0,求J5x+y2的值。

四、綜合應(yīng)用:

若a、b、c滿足'一3|+)(5+份2+6=7=0,求代數(shù)式上￡的值。

39、

a

Jy-2x+\x~4-25)

40、已知-------,------=0,求7(x+y)—20的立方根。

V5-x

41、有一個(gè)邊長為11cm的正方形和一個(gè)長為13cg寬為8cm的矩形，要作一個(gè)面積為這兩個(gè)圖形的面積之和的

正方形，問邊長應(yīng)為多少cm。

42、細(xì)心觀察圖表，認(rèn)真分析各式，然后解答問題。

I—,-\/\

（V1）~+1-2，S1=—；

2

歷

（V2）,1=3,S，=----；

-2

n

（V3）2+l=4.83=----；......

2

（1）請(qǐng)用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律;

（2）推算出OAio的長；

（3）推算出S/+S22+S32+…+S］（）2的值。

第3課時(shí)平行四邊形的性質(zhì)

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.平行四邊形的定義：（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

（2）表示：平行四邊形用符號(hào)“來表示。

2.平行四邊形性質(zhì)：

（1）邊：兩組對(duì)邊分別平行且相等；數(shù)學(xué)形式：：DABCD

AABDC,ADBC

（2）角：對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；數(shù)學(xué)形式：YDABCD

:.ZA=NC,NB=ND

（3）對(duì)角線：對(duì)角線互相平分。數(shù)學(xué)形式：ABCD

.,.OA=OC=-AC,OB=OD=-BD.

22

3.兩條平行線間的距離的定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距

離叫做這兩條平行線間的距離。

平行線之間垂直線段的性質(zhì)：平行線之間的垂線段處處相等.

4.平行四邊形的面積：（1）計(jì)算公式：5=底乂高；

（2）等底等高的平行四邊形面積相等，等底等高的三角形面積是平行四邊形面積的一半。

【經(jīng)典例題】

例1.如圖:中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,AC±CD,A0=3cm,B0=5cm,求DC和

AD的長.

例2如圖：已知在中，BE=6cm,EC=3cm,DC=5cm,DE±EC,求:

（1）DE的長;（2）的面積.

例5如圖：已知中，E是AD的中點(diǎn)，CE的延長線交BA的延長線于點(diǎn)F,求證：（1）

CD=FA,（2）若使/尸=/8。/，的邊長之間還需再添加一個(gè)什么條件？請(qǐng)你補(bǔ)

上這個(gè)條件，并進(jìn)行證明.（不需要添加輔助線）.

例6如圖，在，ABCD中，E,F分別是AC,CA延長線的點(diǎn)，且CE=AF,則BF與DE具有怎樣

的位置關(guān)系，試說明理由.

例7如圖，ZiABC中，AB=AC,P是BC上一點(diǎn)，PE〃AC交AB于E,PF〃AB交AC于點(diǎn)F.求

證：PE+PF=ACo

一、選擇題

1、在QBCD中，/A=65°,則ND度數(shù)是（）

A.105°B.115°C.125°D.65°

2、下列說法正確的是（）.

A平行四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，鄰角相等B平行四邊形的對(duì)角線相等

C兩組對(duì)邊分別平行的圖形是平行四邊形D平行四邊形的對(duì)邊平行且相等

3、下列四邊形中，不一定是平行四邊形的是（）

A兩組對(duì)邊分別平行B對(duì)角線互相平分

C一組對(duì)邊平行且相等D一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等

4、如圖，平行四邊形ABCD的周長是28c勿，△ABC的周長是22c處則AC的長為（）

A6cmB12cmC4cmD8c/n

第4題第5題

5、如圖，在.UABCD中,已知10=8cm,AB=<ocm,瓦1平分NA9C交比1邊于點(diǎn)反則龐等于（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

6.如圖，四邊形4?切是平行四邊形，ZD=120°,

ZCAD=32°.則NABC、/CAB的度數(shù)分別為（）

A.28°,120°B.120°,28°C.32°,120°D.120°,32°

7.如圖，在EJABCD中,下列不正確的是（）.

（A）Zl+Z2=180°e）N2+N3=18（）°

（C）Z3+Z4=180°（D）Z2+Z4=180°

第6題第7題

8.在3BCD中，ZB-ZA=20°,則/D度數(shù)是（）

A.80°B.90°C.100°D.110°

9、平行四邊形的兩鄰邊分別為3、4,那么其對(duì)角線必（）

A.大于1B.小于7C.大于1且小于7D.小于7或大于1

10、如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，按下列條件得到的四邊形BFDE是平行四邊形的個(gè)數(shù)是（）

①圖甲，DE_LAC,BF1AC

②圖乙，DE平分NADC,BF平分/ABC

③圖丙，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)

④圖丁，E是AB上一點(diǎn)，EF1AB

A、3個(gè)B、4個(gè)

C、1個(gè)D、2個(gè)

二、填空題

11、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形一定是一.形.

12、在平行四邊形ABCD中，NA:/B=3:2,則

ZC=_,ZD=度.

13、如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB,CALAB,則ZB=度，NCAD=度.

14、在平行四邊形中，若一個(gè)角為其鄰角的2倍，則這個(gè)平行四邊形各內(nèi)角的度數(shù)分別是。

15、OABCD中，如果/B=100°,那么/A、ND的值分別是（,

16、平行四邊形的周長為36cm,相鄰兩邊的比為1:2,則它的兩鄰邊長分別是.

17、ZZ7ABCD的周長是30,AC、BD相交于點(diǎn)0,/XOAB的周長比△0BC的周長大3,則AB=。

18、已知：平行四邊形一邊/生12cm,它的長是周長的則除cm,CD=cm.

6

19、已知平行四邊形的面積是144,相鄰兩邊上的高分別為8和9,則它的周長是

20、在四邊形ABCD中，AD〃BC,分別添加下列一個(gè)條件，①AB〃CD,②AB=DC,③AD=BC,④/A=/C,⑤/B=NC,

能使四邊形ABCD成為平行四邊形的條件的序號(hào)是—

三、簡答題

21、如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,AB=10,AD=8,AC1BC,求AC、OA以及平行四邊形ABCD的面積.

22、如圖所示：四邊形/伙力是平行四邊形，加'平分44力。,8/平分NABC.試證明四邊形朋應(yīng)是平行四邊

形.

23、如圖14,E、F是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AF=CE,DF=BE,DF〃BE.求證：（1）/AFD絲/CEB.（2）

四邊形ABCD是平行四邊形.

24、請(qǐng)?jiān)谙铝兴膫€(gè)條件中，選出兩個(gè)恰當(dāng)?shù)年P(guān)系作為條件，推出四邊形ABCD是平行四邊形，并予以證明（寫出

一種即可）。關(guān)系：①AD〃BC②AB=CD③/A=NC@ZB+ZC=180".

已知：在四邊形ABCD中，

求證：四邊形ABCD是平行四邊形。

25、已知如圖，0為平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，EF經(jīng)過點(diǎn)0,且與AB交于E,與CD交于F,BE=DF?

求證：EF和AC互相平分。

26.如圖，在OABC力中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)0,MN是過。點(diǎn)的直線，交BC于M,交A￡)于MBM=2,

AV=2.8,求BC和AO的長.

27.如圖，在D4BC。中，E、尸分別是BC、AO上的點(diǎn)，S.AE//CF,AE與C尸相等嗎？說明理由.

28.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,且AD<BC,BC=18cm,CD=15cm,AD=10cm,AB=12cm,動(dòng)點(diǎn)P、

Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/秒的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以3cm/秒的速度由C向B運(yùn)動(dòng)。

⑴幾秒鐘后，四邊形ABQP為平行四邊形？并求出ABQP的周長。

(2)幾秒鐘后，四邊形PDCQ為平行四邊形？并求出PDCQ的周長。

第4課時(shí)平行四邊形的判定

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.平行四邊形的5個(gè)判定方法：

（1）邊：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

AB納U做平行四邊形。

AD//BC]

（2）邊：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

AB^CD]ABCZMI做平行四邊形。

AD=BC\

（3）邊：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

AB//CD]

nABC。叫做平行四邊形。

AB=CD}

（4）角：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

"nABCD是平行四邊形。

NB=ZD]

（5）對(duì)角線：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

nA—nr

"nABSnU做平行四邊形。

OB=OD

2.平行四邊形的知識(shí)運(yùn)用包括三個(gè)方面：

（1）直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)去解決問題，求角、線段，證明角相等，互補(bǔ)，

證明線段相等或平分；

（2）判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，從而判定兩直線平行；

（3）先判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，然后用平行四邊形的性質(zhì)去解決某些問題。

【經(jīng)典例題】

例1.四邊形任意兩個(gè)相鄰的角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形是.

例2.若一個(gè)四邊形的邊長依次是a,b,c,d,JLrz2+b2+c2+d2=2ac+2bd,則這個(gè)四邊形

是.

例3.四邊形ABCD中，AB=CD,要使四邊形ABCD是平行四邊形，那么還應(yīng)滿足（）

A.ZA+ZB=180°B.ZB+ZC=180°C.ZA+ZB=180°D.ZA+ZB=180°

例4.下列條件中，能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的是（)

A.一組對(duì)角相等B.一組對(duì)邊相等

C.兩條對(duì)角線互相平分D.兩條對(duì)角線互相垂直

例5.如右圖所示，AO=OC,BD=16cm,當(dāng)0B=cm時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形.

例6.如圖，在ABCD中，AE=CG,求證：GF=HE。

例7.已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，BEJ_AC于點(diǎn)E,DF_LAC于點(diǎn)F,又M、N分別是DC、AB

的中點(diǎn)。求證：四邊形EMFN是平行四邊形。

例8.如圖，4ABC為等邊三角形，D、F分別為CB、BA上的點(diǎn)，且CD=BF,以AD為一邊作等邊AADE。

求證：(1)AACD^ACBF；(2)四邊形CDEF為平行四邊形。

提示：△ACDg/kCBF可得AD=FC,ED=FC.證明ED平行且等于FC.

例9.如圖是某區(qū)部分街道示意圖，其中CE垂直平分AF,AB〃CD,BC〃DF.從B站乘車到E站只有兩

條路線有直接到達(dá)的公交車，路線1是B-D-A-E,路線2是B-C-F-E,請(qǐng)比較兩條路線路程的長

短，并給出證明。

【鞏固練習(xí)】

1.能判別一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件是()

A.一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行B.一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角互補(bǔ)

C.一組對(duì)角相等，一組鄰角互補(bǔ)D.一組對(duì)角互補(bǔ)，另一組對(duì)角相等

2.一組平行線有三條直線，另一組平行線也有三條直線，這兩組平行線相交所圍成的平行四邊形

有個(gè).

3.四邊形ABCO中，已知A3//CO,若再增加條件可知四邊形ABC。為平行四邊形.

4.過U7a的頂點(diǎn)A,C分別作對(duì)角線3。的垂線，垂足是E,F,則四邊形AECF是.

5.在平行四邊形ABCD中，分別由下列條件得到四邊形DEBF,其中四邊形DEBF一定是平行四邊形

的個(gè)數(shù)有()o

(1)BE±AC,DF1AC,垂足分別是E、F；(2)EF〃AB,分別交AD、BC于點(diǎn)E、F；

(3)點(diǎn)E、F分別在AB邊和CD邊上，且BE=DF；

(4)EF過AC、BD的交點(diǎn)，分別交AB、DC于點(diǎn)E、F。

A.1B.2C.3D.4

6.已知下列命題：

(1)一組對(duì)邊平行、另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；

(2)一組對(duì)邊平行、一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；

(3)兩組鄰角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形；

(4)有一個(gè)角與相鄰兩角都互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形。

其中，真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

7.已知：如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)0,且0A=0C,AB〃DC,求證：四邊形

ABCD是平行四邊形。

8.已知：如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)0,A0=0C,BA±AC,DC±ACo求證:

四邊形ABCD是平行四邊形。

9.如圖，平行四邊形ABCD中，E、F是AC上兩點(diǎn)，且AE=CF,又點(diǎn)M、N分別在AB、CD上，旦MF

〃EN,MN交AC于0。求證：EF與MN互相平分。

第5課時(shí)菱形

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.菱形的定義：

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形，菱形是特殊的平行四邊形。

2.菱形的性質(zhì)：

（1）對(duì)邊平行，四邊相等。

(2)對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)。

(3)對(duì)角線互相垂直平分且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

ABCD是菱形=AB=BC=CD=DA

ABCD是菱形=>AC，BDZl=Z2

3.菱形的判定：

(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

(2)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形。

(3)四條邊都相等的四邊形。

4.菱形的面積=邊長*高=對(duì)角線的乘積的一半。

【經(jīng)典例題】

例1：如圖已知菱形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,AC=16cm,BD=12cm,求菱形的高。

例2：菱形的周長為20cm,兩鄰角的比為1：2,較短對(duì)角線的長是

一組對(duì)邊的距離為,面積是。

例3：如圖菱形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，且DEJ_AB,AB=a,

求：(1)NABC的度數(shù)。

(2)對(duì)角線AC的長。

(3)菱形ABCD的面積。

例4：如圖DE是平行四邊行ABCD中，N4DC的平分線，DF//AD交DC于F。

求證：(1)四邊形AEFD是菱形。

(2)如果NA=60。，AD=5,求菱形AEFD的面積。

【鞏固練習(xí)】

1.有一組鄰邊相等的是菱形，對(duì)角線的四邊形是菱形。

2.菱形的面積為24cm2,一條對(duì)角線的長為6cm,則另一條對(duì)角線長為cm,

邊長為cm,高為cmo

3.菱形周長為20cm,相鄰兩角比為1：2,則菱形的兩對(duì)角線的長。

4.菱形對(duì)角線的平方和等于一邊平方的（）

A、2倍B、3倍C、4倍D、8倍

5.菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A、對(duì)角線互相平分B、鄰角互補(bǔ)C、對(duì)角相等D、每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

6.如圖菱形ABCD,DE±AB,DF1BC,EF為垂足，AE=EB,則/EDF等于（）

A、75°B、60PC、50°D、45°

7.下列條件中不能確定菱形的形狀和大小的是（）

A、已知菱形的兩條對(duì)角線B、已知菱形的一邊和一個(gè)內(nèi)角

C、己知菱形的四條邊D、已知菱形的的周長和面積

8.下列命題正確的是（）

A、有兩組鄰角相等的四邊形為菱形B、有一組鄰邊相等的四邊形為菱形

C、對(duì)角線互相垂直的四邊形為菱形D、對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形

9.菱形的周長為a,高為h,一條對(duì)角線長為m,則另一對(duì)角線可表示為。

10.已知菱形ABCD的邊長為6,一個(gè)內(nèi)角為60。，求：菱形較短對(duì)角線的長。

11.如圖四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，DF交AC于E。求證：NAFD=/CBE。

12.如圖己知AABC中，AB=AC,D為BC中點(diǎn)，DEJ_AC,DF1AB,E、F為垂足，F(xiàn)G1AC,EHJ_AB且交

于Q、G、H為垂足。求證：四邊形DEQF為菱形。

13.如圖已知BD是A48c的對(duì)角線，AE_LBD交BC于E,交BD于F,ZFAG=ZFAD,連結(jié)EG、ED。

求證：四邊形AGED為菱形。

14.如圖菱形ABCD與等邊A4EE有公共頂點(diǎn)A,且AELBC,求NB的度數(shù)。

課后練習(xí)：

1.菱形的一個(gè)內(nèi)角等于120。，過這個(gè)角的頂點(diǎn)的對(duì)角線長為8cm,則這個(gè)菱形的周長為

______cm。

2.菱形的兩條對(duì)角線長分別為a、b,則它的邊長為,面積為,高為。

3.若以菱形的一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離等于邊長的一半，則該菱形的兩個(gè)相鄰內(nèi)角的度數(shù)分別是

和?

4.菱形ABCD的周長為52cm,N84D:NABC=1:2,則BD=。

5.已知菱形ABCD中，AE1BC,AF±CD,垂直E、F分別為BC、CD的中點(diǎn),

那么ZEAF=。

6.如圖，AABC中，AB=AC,AD是角平分線，E為AD延長線上的一點(diǎn)，CF//BE交AD于F,連結(jié)BF、CE。

求證：四邊形BECF是菱形。

7.如圖，已知平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線交BC、AD于點(diǎn)E、F。求證：四邊形AECF為菱

形。

第6課時(shí)矩形和正方形

【知識(shí)要點(diǎn)】

矩形正方形

定義

有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形一組鄰邊相等的矩形

邊對(duì)邊平行，對(duì)邊相等對(duì)邊平行，四邊相等

性

角四個(gè)角都是直角四個(gè)角都是直角

質(zhì)

對(duì)角線互相平分，相等互相平分，互相垂直，相等

有一個(gè)角是直角的平行四邊形

判定對(duì)角線相等的平行四邊形同時(shí)滿足矩形和菱形的判定條件

有三個(gè)角是直角的四邊形

4.直角三角形的性質(zhì)：

(1)直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

(2)直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

(3)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

重難點(diǎn)歸納：矩形的性質(zhì)和判定定理及矩形的性質(zhì)和判定定理的靈活應(yīng)用。

【典型例題】

例1如圖，在矩形ABCD中，AE1BD,且NDAE：ZBAE=3：1,求NBAE、/EAO的度數(shù)。

例2已知：如圖，Z7ABCD中，AE、BE、CG、DG分別是各內(nèi)角的平分線，E、F、G、H為它們的交點(diǎn)。求證：四

邊形EFGH是矩形。

例3如圖，已知AB=AC,AD=AE,DE=BC,且NBAD=NCA已求證：BCED是矩形。

例4已知：如圖，E點(diǎn)在矩形ABCD上，若BC=BE=2CD。求NECD的度數(shù)。

例5如圖，已知△如C中,AB=AC,D為BC上一點(diǎn)，DE±AB,DF1AC,BM為高,求證：DE+DF=BM.

例6如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，且AEXD+CE。求證：AF平分NDAE。

【經(jīng)典練習(xí)】

1.矩形的面積為60,一邊長為5,則它的一條對(duì)角線長等于。

2.若正方形的面積為Mm?,則它的邊長為,對(duì)角線長為o

3.已知正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，DE=2,CE=h那么正方形ABCD的面積為（）

A.6B.3C.4D.5

4.矩形對(duì)角線相交成的鈍角為120。，矩形寬為4cm,則對(duì)角線長為。

5.矩形的兩邊長分別為10cm和15cm,其中一個(gè)內(nèi)角平分線分長邊為兩部分，這兩部分分別為（）

A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm

6.如圖，矩形ABCD中，AE±BD,垂足為E,對(duì)角線AC、BD相交于0,且BE:ED=1:3,AD=6cm,求AE的長。

7.如圖，在正方形ABCD中，E為內(nèi)部一點(diǎn)，4BCE是正三角形，求NAED的度數(shù)。

8.如圖，已知四邊形ABCD和AEFG都是正方形，求證：DG=BE?

9.如圖所示，在正方形ABCD中，CF=CE,求證：BGJ_DF。

10.如圖，在矩形ABCD中，AE、BE、CG、DG分別是各內(nèi)角的平分線，E、F、G、H分為它們的交點(diǎn)。求證:

四邊形EFGH是正方形。

11.已知Z7ABCD,NAEC=/BED=90°,求證：四邊形ABCD是矩形。

12.如圖所示，正方形ABCD中，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，ZBAF=ZFAE?求證：AE=BC+CE?

課后作業(yè)

1.如圖，在矩形ABCD中，AE_LBD于E,CFJ_BD于F,AB=2,AD=2百，求CE。

2.如圖，在正方形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，MNJ.MD,且BN平分NCBE。

求證：DM=MNo

3.如圖，已知正方形ABCD中，NEAF=45°,求證：EF=BE+DF。

第7課時(shí)梯形

【知識(shí)要點(diǎn)】

1.梯形的定義：一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊不平行的四邊形。強(qiáng)調(diào)：“另一組對(duì)邊不平行”，其中，平行的兩邊叫

做梯形的底，不平行的兩邊叫梯形的腰，兩底之間的距離中梯形的高。

兩種特殊的梯形：①等腰梯形：兩腰相等的梯形。②直角梯形：有一腰垂直于底的梯形

2.梯形的判定：

(1)定義法：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形。

(2)一組對(duì)邊平行但不相等的四邊形是梯形。

3.等腰梯形的性質(zhì)與判定：

性質(zhì)：

①邊：兩底平行，兩腰相等

②角：同一底上的兩個(gè)直角相等

③對(duì)角線：對(duì)角線相等

④對(duì)稱性：軸對(duì)稱圖形，底邊中垂線是對(duì)稱軸

判定：

①兩腰相等的梯形是等腰梯形

②同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

③對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形

4.梯形面積公式：(上底+下底)X高+2

5.梯形中常見輔助線的添法：

【典型例題】

例1.如圖：已知等腰梯形的銳角為60°,上底長5下底長8,求它的腰長。

例2.已知等腰梯形ABCD中，AD=3,BC=7,AB=2行，求梯形ABCD的面積。

例3.如圖梯形ABCD,AB//CD,NO=80。，NC=5()。，DC=9,AB=5,求AD的長。

例4.如圖直角梯形ABCD中，底角NB=60°,對(duì)角線AC平分N8AD,上底AD=2cm,求梯形的面積。

例5.如圖鐵路路基的橫斷面為等腰梯形的ABCD,已知路基的頂寬為A=6cm,斜坡BC與下底CD的夾角為

60°,路基高為AE=2j5m,求下底CD的寬度。

【鞏固練習(xí)】

1.梯形ABCD中，AB//DC,AB=10,AD=8,ZD=60°