高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)提升練習(xí)：空間向量與立體幾何-解答題

高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)提升練習(xí)

空間向量與立體幾何——解答題1

1.如圖，在多面體A3CDER中，四邊形3CER是矩形，ADHBC,BCLCD,

BC=CD=1,AD=FA=FB=2,CM=2ME.

(1)證明：FArCD;

(2)求直線AR與平面M3。所成角的正弦值.

2.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面A3CD是邊長為1的菱形，ZBCD=60°,E為AD

的中點，PEL平面A3CD,R為PC上的一點，＜PF=-FC.

2

⑴證明：上4//平面3ER

(2)若二面角P-助-產(chǎn)的平面角為30°,求四棱錐尸-MCD的體積.

3.如圖，在平面五邊形ABCDE中ZxADE是邊長為2的等邊三角形，四邊形A3CD是直

角梯形，其中AD//BC,0cBe=1,8=月.將沿AD折起，使得點E到達點M

的位置，且使

M

(1)求證：平面平面A3CD；

(2)設(shè)點P為棱CM上靠近點C的三等分點，求平面P3D與平面MAD所成的二面角的

正弦值.

4.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，。為AC的中點，AB=BC=BBt,ZABC=,求

CG與面BCQ所成角的正弦值.

5.如圖，已知△ABC中，ZACB=90°,1ABC,ADLSC于。，求證：AD,平面

SBC.

6.如圖，在斜三棱柱ABC-44G中，CA=CB,D,E分別是48,耳C的中點.

求證：DEH平面ACQA.

7.如圖，在四棱錐尸-MCD中,4)//BC,ZAfiC=ZSPC=90。，5C=CD=2AD=2CP=2,平面

PBCL平面ABCD.

⑴證明:PCLR4;

(2)求直線Afi與平面PCD所成角的正弦值.

8.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中,A3=M=2,耳尸分別是A耳和網(wǎng)的中點,AC_LA尸，尸

是棱AC上一點.

A

B

(I)求證：PE"F；

(II)若CP=2B4,三棱錐P-EFC的體積為1,求PE與平面EFC所成角的正弦值.

9.如圖，四棱錐的底面為矩形，平面PCDJL平面是邊長為2的等邊

三角形,2C=應(yīng)，點E為CD的中點，點般為PE上一點(與點P,E不重合).

(1)證明:AA/_LBD.

(2)當(dāng)AM為何值時，直線AM與平面BDM所成的角最大？

10在三棱錐尸-TWC中,ZABC=44B=60。，PA=1,A3=2,AC=26,。為棱8c上一點，且

①證明:PD_LAB；

(II)若平面上平面ABC,求直線PC與平面ABC所成角的余弦值.

高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)提升練習(xí)

空間向量與立體幾何——解答題2

1.如圖，多面體由兩個正四棱臺MCD-EFGH,〃笈-￡FG”組成,兩個棱臺的高之比為2:1,

點〃為線段用上靠近R的四等分點.

(1)證明:PG_L平面4⑷.

(2)若AB=3,E尸=6,4=12,求二面角"-4-尸的余弦值.

2.如圖，四邊形ABEF是矩形，平面ABC±平面ABEF,D為BC的中點,

ZCAB=120。,AB=AC^4,AF=y/6.

(1)證明:平面4陰_L平面BCF；

⑵求二面角尸-AD-E的余弦值.

3.如圖，在多面體ABCDEF中,ABCD是正方形,AB=2,3尸=DE且BF//DE,M為棱的中點.

E

(1)求證:平面BMDH平面EFC；

(2)若OE，底面ABCD,3M，CF,求二面角E-AF-3的余弦值.

4.如圖，四邊形ABCD為正方形，四邊形CDEF為等腰梯形,CD//EF,CD=DE」EF,平面

2

ABCD，平面CDM,點P為線段BE上一點.

(2)求直線DP與平面ABFE所成角的正弦值的最大值.

答案：(1)見解析

⑵迪

7

(1)證明：延長耳，交河于點G,連接DG,延長&1與抨的延長線交于點H,如圖.

因為絲=2,BH〃CD〃EF,所以里二.

PB3HB3

又EF=2CD=2AB,

所以EF=H4,即點G為E4的中點.

因為平面ABCD_L平面CDEF,AD_LCD,平面ABCDI平面CDEF=CD,

所以AD_L平面CDEF.

又u平面CDEF，所以AD_LDF.

在等腰梯形CDEF中，易得DE，分.

又ADIDE=D,

所以D尸，平面ADE.

又AEu平面AGE,所以_LAE.

因為CD=OE,所以AD=DE,所以AE_LDG.

又DGIDF=D.

所以AE_L平面DFG.

又AEu平面ABFE,所以平面PDF_L平面ABFE.

(2)如圖，以。為坐標(biāo)原點，分別以AADC所在直線為x軸、y軸，過點。且垂直于平面

ABCD的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

設(shè)AB=2,貝!I。(0,0,0),4(2,0,0),3(2,2,0),磯0,-1,3),

L1LUUL1UULUUUU

所以A3=(0,2,0),AE=(-2,-1,V3),DE=(0,-1,5,EB=(2,3,—竟).

、UULULtUUIULlUUlULIULHUUU1

設(shè)砂=4班，貝！JQP=OE+E尸=。5+/1￡5=(0,—1,6)+/1(2,3,—五)=(243；1—1,近一扇).

設(shè)平面ABFE的法向量為〃=(羽y,z).

(uun

由'T=Q得2…廠

n-AE=0,[_2x_y+.3z=0.

令尤=百,則y=0,z=2,

所以"=(6,0,2).

num

2山/始3\n-DP\273白

所以|COS(M,OP)|=-----------HHU-=——,==――/=.

'/\n\-\DP\V7-V1622-12A+4＜7-^422-32+1

所以直線上與平面WE所成角的正弦值”廠，＞=—?出

"巧一32+1萬".+；

當(dāng)彳=3時」取最大值迪.

87

所以直線DP與平面池在;所成角的正弦值的最大值迪.

7

5.如圖，四邊形是菱形,44￡＞。=60。,￡4,平面ABCD,FD，平面ABCD,且AE=2,D/=1.

(1)證明:平面AEC_L平面￡FC；

(2)若二面角B-EC-F的余弦值為-零，求三棱錐E-AFC的體積.

6.如圖所示,AB,C,D四點共面，其中ZBMD=ZADC=90。,42=點在平面ABCD

2一

的同側(cè)，且B4_L平面ABCD,CQ_L平面ABCD.

⑴若直線/u平面PAB，求證:〃/平面CDQ;

(2)若PQ//AC,ZABP=ZDAC=45°，平面BPQ1平面CDQ=s,求銳二面角B-m-C的余弦值.

7.如圖，在四棱臺A3cD-AACQ中，底面A3CD是正方形，平面A3CD,

A.B,=DD,=AAB,2e(0,l).

(1)當(dāng)2=g時，證明：平面AB|C_L平面A3CD；

(2)若二面角3-AD「C的大小為30。，求2的值.

8.如圖所示，在三棱錐S-ABC中，點C到點A,民S的距離均為1,平面&4CL平面ABC,。是

線段M的中點,ZACB=ZACS=90°.

(1)求證:平面平面SCD.

(2)探究:在線段AB上(不含端點位置)是否存在點M使得直線SA與平面CSM所成角的正

弦值為士5?若存在，求出也的值若不存在,請說明理由.

10BA

9.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中,=A4,=gP=PG=1.

(1)求證:平面ABC±平面A.PC；

(2)求二面角A-A.C-P的余弦值.

10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ZABC=\20°,PA=PB=PC.

(1)證明：△PBD為直角三角形；

(2)若PD=2,E是PC的中點，且二面角尸的余弦值為硬，求三棱錐

P-ABE的體積.

高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)提升練習(xí)

空間向量與立體幾何——解答題3

1.如圖，在四棱錐O-MCD中，底面A5CD是正方形,OB=O￡>=5"OA=AD=5,點”為線

段00的中點.

(I)求證:AM_L平面&WD；

(II)求三棱錐O-ABC的表面積.

2.如圖，在四棱臺ABCD-ABCQ中，底面A3CD是正方形，平面A3CD,

4B,=DDX=AAB,Ae(0,l).

(1)當(dāng)2=工時，證明：平面A4CL平面A3CD；

2

(2)若二面角3-9-C的大小為30。，求2的值.

3.如圖所示，在三棱錐S-ABC中，點。到點A,民S的距離均為1,平面&4CL平面ABC,。是

線段的的中點,ZACB=ZACS=90°.

(1)求證:平面SAB_L平面SCD.

(2)探究:在線段AB上(不含端點位置)是否存在點M使得直線SA與平面CSM所成角的正

弦值為生叵？若存在，求出也的值若不存在,請說明理由.

10BA

4.如圖，在直三棱柱48C-A4G中,A8_L8C,AB=A4,=4P=PC[=1.

(1)求證:平面ABC_L平面APC；

⑵求二面角A-AC-P的余弦值.

5.如圖，在多面體48CDA4G中，平面A￡>r>1,ABHCD,四邊形C￡>AG、四邊形

8CC14均為平行四邊形，AB=2AD=2DD,=2,BC=AD、=五,E,產(chǎn)分別為AB,CQ的

中I占八、、?

(1)判斷E/與平面ABC的位置關(guān)系，并給予證明；

(2)求直線AG與平面A42所成角的正切值.

6.如圖，在三棱柱4G中，A4,=AB=AC=BC=2,ZA.AB=60°,第=巫.

⑴求證：ABL\C-

(2)若A4,=5AM,求二面角的余弦值.

7.如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是正方形，9_L底面ABCD,E,F,H分別是3C,

PC,PD的中點，PA^AB=2.

H

(I)求證：平面￡7?〃/平面PR4；

(II)求四棱錐尸-ABC。被平面EFH分成的兩部分的體積比.

8.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱PD=a,

PA=PC=sf2a,^<iiE:

(1)PD±￥ffiABCD；

(2)平面叢CL平面P3D；

(3)二面角尸-BC-O的平面角的大小為45。.

9.如圖，在三棱柱3CE中，四邊形ABCD是菱形,

NABC=120O,AF=3,AD=2OF=26,P,Q分別為AD,BE的中點，且平面平面

ABCD.

⑴求證：DF±PQ；

(2)求直線PQ與平面所成角的正弦值.

10.如圖，在直四棱柱中，底面A3CD是菱形，

AB=sf5,BD=2AC,ACr>BD=O,E,F,G分別為例,的中點.

(1)若AA.=AC,求證：BF_L平面AQG；

⑵若直線RG與平面BOE所成角的正弦值為嚕，求平面30E與平面QOE所成的銳

二面角的余弦值.

高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)提升練習(xí)

空間向量與立體幾何——解答題4

1.如圖所示，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是菱形，ZADC=60°,AC與BD交于

點。，EC_L底面A3CD,R為3E的中點，AB=CE.

(1)求證：?！?/平面ACR；

(2)求異面直線E。與AR所成角的余弦值；

(3)求AR與平面防。所成角的正弦值.

2.如圖，在直三棱柱ABC-AUG中，CA=CB=1,ZBCA=9QP,棱懼=2,點N為A4,

的中點.

(1)求麗的模；

(2)求cos〈甌，西〉的值.

3.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，DA,DB,DC兩兩垂直，S.DB=DC=DA=2,E為1

(1)證明：AE±BC;

(2)求直線AE與DC所成角的余弦值.

4.如圖所示,該幾何體是由一個直三棱柱3CF和一個正四棱錐尸-ABCD組合而成

的,AD_L”，AE=AD=2.

(1)證明：平面平面A3ER

(2)求正四棱錐尸-ABCD的高力,使得二面角C-AF-尸的余弦值是手.

5.如圖，四棱臺ABC。-A4G。中，底面ABCD為直角梯形，ABPCD,ABLBC,

底面A3CD,AB=2BC=2CD=2D、=4DG,P為棱CG的中點.

(1)證明：ACP平面片DP；

(2)求二面角g-DP-C的余弦值.

6.如圖所示，在四棱錐尸-ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，側(cè)面PDC是邊長為

。的正三角形，且平面PDCL底面ABCD,E為PC的中點.

(1)求異面直線PA與DE所成角的余弦值；

(2)求直線AP與平面A3CD所成角的正弦值.

7.如圖，四棱錐尸-ABCD的底面A3CD是直角梯形，ABPDC,ADLDC,平面PDC_L

平面ABC。，VPDC是等邊三角形，AB=AD=-CD=1,E,R,G分別是棱PD/CBC的中

2

點.

(1)求證：尸4P平面ERG.

(2)求二面角G-防-。的大??；

ULUUUUI

(3)若線段P3上存在一點。，使得尸C,平面ADQ,且尸0=2尸8,求實數(shù)彳的直

8.如圖，已知鉆_L平面ACD,DE_L平面ACD,VACD為等邊三角形，

AD=DE=2AB=2a,F為CD的中點.

(1)求證：A尸尸平面3CE；

(2)判斷平面BCE與平面CDE的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

9.如圖，在直三棱柱ABC-A4cl中，AAl=AB=AC=2,AB_LAC,M,N分別是棱CQ，

3c的中點，點P在線段AB上(包括兩個端點)運動.

(1)當(dāng)尸為線段AB的中點時，求證：PNJ.AG；

(2)求直線PN與平面AMN所成角的正弦值的取值范圍.

10.如圖，在多面體ABCO砂中，底面A5CD是邊長為2的菱形，44A=60。，四邊形

BDEF是矩形,平面3C平面A5C0,DE=2,M為線段5尸的中點.

（1）求加到平面DEC的距離及三棱錐/—COE的體積;

（2）求證：平面ACE

答案以及解析1

1.答案：(1)證明過程見解析.

⑵正弦值為王.

解析：⑴如圖，取AD的中點。，連接OF,

則OA=OD=BC=CD=\.

因為3C//AD,3C，CD,所以

所以四邊形是正方形，OBA.BC.

因為四邊形3CER是矩形，所以3c_LM.

因為C?c3尸=3,

所以3c，平面03R,又Ofu平面03R,所以BCLOf,所以AD_LO『

因為E4=FB,Q4=C?,O/=。尸，所以△QIFMAO射.

因為。4_L。尸，所以O(shè)B_L。尸，所以CD_L。尸.

XCD±AD,OF<^AD^O,所以C￡>_L平面ADEE

又Abu平面ADER,所以CD_LAF.

(2)以。為坐標(biāo)原點，OA,OB,。歹所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，

則A(l,0,0),B(0,1,0),C(-l,1,0),0(-1,0,0),E(-l,0,^),F(0,0,.

UUU1ULIL110111r-

所以8。=(T,T0),FA=(1,0,-A/3),EC=(0,1,-A/3),

uuiriuun(1(i

由CM=2AZE,得EM=-EC=0,-,--,所以M-1,-,

3333

-uuur(0)C、

所以期=T”,亍

設(shè)平面MBD的法向量機=(x,y,z),

(uumf—x—y=0

m-BD=0匚ui、i「

則niI彳uuur,所以〈22百

mBM=0-x--y+——z=O

°I33

設(shè)直線A尸與平面"5。所成的角為6,

uur3xl+(-3)xO+3

uir\m-FA\

則sin0=|cos〈E4,ni)|=------

\m\\FA\”256一10.

2

直線AR與平面MBD所成角的正弦值為*.

2.答案：（1）見解析.

⑵體積為，

解析：（1）證明：如圖，連接AC交3E于G,連接RG.

因為底面ABCD是菱形，所以AD//3C,AD=BC.

又E為AD的中點，所以所以竺=任」.

2GCBC2

因為黑」院，即竺」，所以竺="，所以尸4//G

2FC2GCFC

又PGu平面3ER,7W平面3EE

所以R4//平面BEF.

(2)在A4BE中，|AB|=1,|AE|=g,4AE=60。，

所以由余弦定理得A￡f+|AB|2-2|A￡|-|AB|-cos60°=-+l-2x-xlxl=-,

4224

gPBE=—,所以|A8|2=|AE|2+|BE/，所以

2

如圖，以E為坐標(biāo)原點，E4所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EP所在直線為z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

令|PE|=o(a>0),貝1j￡(O,O,O),A(；,O,o1,80,*,o]p(O,,a),

~UUT(出、ULT門、

所以仍=10,芋oJ,PA七,0,一aj.

因為AELPE,AELBE,PEcBE=E,

所以隹，平面P3E,所以平面P3E的一個法向量為帆=(1,0,0).

設(shè)平面BEF的法向量為〃=(x,y,z),由"_LEB,可得y=0.

LILUUUU

因為〃_L/G,PA〃尸G,所以〃_LPA,

即有!九+0義丁一/=0,令z=l,貝！Jx=2a,

2

所以n=(2a,0,l),

由二面角尸-5￡-尸的平面角為30°,

徨。7。。-一所九一I冊.即4^=走，

Im||n|ixJl+4/Vl+4a22

解得a=*(負值舍去)，所以|PE|=g,

所以%棱錐”=為菱形+1尸引=g皿xl幽x|尸引=；xlx爭。5

3.答案：(1)見解析.

⑵正弦值為當(dāng).

解析：如圖，取AD的中點N,連接MN,BN.

因為△AMD是等邊三角形，所以ACV_LAZ),且MV=AMsinGO。：后，

在直角梯形A3CD中，因為DN=BC=1,DN〃BC,AD工DC,

所以四邊形3CDN是矩形，所以3N_LAZ),且BN=CDf,

所以口儲+萩=6=B”，gpBNYMN,

又ADcMN=N,所以3N_L平面MAD

因為BNu平面A3CD,

所以平面舷4D_L平面ABCD.

⑵由⑴知W4,NB,NM兩兩互相垂直，

以N為坐標(biāo)原點，直線W4為x軸、NB為y軸、NM為z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

根據(jù)題意，NQ,0,0),A(l,0,0),3(0,根,O),C(-1,根,0),M(0,0,有),0(-1,0,0),DB=(1,瓜0),

由P是棱CM的靠近點C的三等分點得，

uuruuniuutri(o

BP=BC+-CM=(-1,0,0)+-(1,-A/3,^)=,--—

設(shè)平面PBD的一個法向量為〃=(%,y,z),

uur23y+迫Z=0,

n,BP=0,即——x-

則uum即j333

n,DB=U,

x+島=0,

令y=l,則尤=一如/=-1,故平面的一個法向量為”=(-后

而平面MAD的一個法向量為薪=(0,后,0),

設(shè)平面尸與平面MA。所成的二面角的平面角為e,

UiwLL

貝|J|cose1=1cos(n,器〉|=I豈然I=JL=—,

|n||A?|V5-735

所以sin0=\J1-cos20=

所以平面PBD與平面MAD所成的二面角的正弦值為十.

4.答案：］

解析：過點C作CH，C,D交CQ于點H,

由于三棱柱ABC-44G為直三棱柱.

CC11平面ABC,3。U平面ABC,故CG±BD,

又AB=BC,。為AC的中點，所以BD_LAC.

所以平面4(704,8<=平面4(704，故9_LCH.

又CHLCQ,所以CH_L平面

所以CH為CC］在平面BQD內(nèi)的射影,

ZCCtD為CG與平面BCQ所成的角，

設(shè)AB=2a,貝!JC￡)=夜0,CQ=灰。，

CD_叵a_退

所以sinNCC；O=

GD屈a3

5.答案：見解析.

解析：因為ZACB=90。，所以3C_LAC.

又5A_L平面ABC,所以&4_L3C.

又ACc5A=A,所以3C_L平面SAC.

因為ADu平面SAC,所以3C_LAD.

MCLAD,SCcBC=C,

所以AD，平面SBC.

6.答案：見解析.

解析：方法一：連接BC|,AG，

因為A3C-a4a是斜三棱柱，

所以四邊形BCG4為平行四邊形，由平行四邊形性質(zhì)得點E也是的中點,

因為點。是A3的中點，所以。E//AG，

又DE仁平面ACCA，AGu平面ACGA，

所以。E7/平面ACGA.

方法二：連接ACAG交于。，連接。E,

則。是AC的中點，又E是與C的中點，

所以O(shè)EgB、,OE=^\B},

又AD//AiBl,AD=^AiBl,

所以。/AD,

所以四邊形ADE。是平行四邊形，

所以AO//DE,因為AOu平面ACGA，DEV平面ACGA，所以DE7/平面ACG》

7.答案：（1）見解析

解析：（1）因為平面PBC_L平面4BCD,平面PBCI平面ABCD=3C,ZABC=90。,

所以AB,平面P8C.

因為尸Cu平面PBC,所以AB_LPC.

XZBPC=90°,ABI尸3=3,所以「。_1.平面95.

因為B4u平面R4B,所以PC_LB4.

（2）如圖，取CB的中點E,連接DE,

p

CMEB

因為BC=2AD,45//3C,所以AD//BE,AD=BE,

所以四邊形ABED為平行四邊形，所以DE//AB,

故直線AB與平面PCD所成的角即直線DE與平面PCD所成的角.

過P作8C的垂線交8C于點跖過〃作CD的垂線交CD于點N,連接NP，因為平面PBC1

平面ABCD，平面PBCI平面ABCD=BC,PM±BC,

所以尸M_L平面AfiCD,

因為。Cu平面ABCD,

所以PM_LDC.

又MN1DC,PM1MN=M,

所以O(shè)CJ_平面PW,

所以平面P肱V，平面PCD.

過M作PN的垂線交PN于點H,則MH，平面PCD.

易知/DCB=60。,PB=瓜CM=ME=工,PM=^^~=叵,MN=CMsinNDCB=工xg=也,

2CB2224

所以PN=1PM。+MN?=叵,

4

所以MH=PM-MN=姮.

PN10

又EC=2MC,所以點E到平面PCD的距離d為點、M到平面PCD的距離的2倍，

所以d==坐.

在RtACED中,DE=4CD。-CE?=退,

A/15

設(shè)直線AB與平面PCD所成的角為仇則sine=&=、=亞，

DEy/35

所以直線的與平面PCD所成角的正弦值為骼.

8.答案：（I）見解析

(II)T

解析：（I）證明:如圖，連接AE,PE,在直三棱柱ABC-A4G中,

A4,_L平面A4G，A4u平面A4G，

所以A4,，4丹.

因為AB=M=2,

所以△44戶名△用石，

所以4網(wǎng)=幺五耳.

因為幺尸耳+/啰8=90。，

所以ZAE4,+ZFA.B=90°,

即\FLAE.

又A~AC,ACIAE=A,

所以AB，平面ACE.

又PEu平面ACE,

所以尸E_LAP.

(II)因為AFLAC.

又AC_LAW【M=A，

所以AC_L平面A414g.

又ABu平面A4,g8,所以ACJ_AB.

連接就，因為CP=2RL,

所以Vp-EFC=^E-PFC=^^E-AFC=^^C-AEF'

3

又AS平面

所以Vp_E"=：xg><m,AC=l,

解得AC=3.

以a為坐標(biāo)原點，A4,AG，4A所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),E(l,0,0),F(2,0,l),P(0,l,2),C(0,3,2),

UUUULIUUUU

所以尸E=(1,-1,-2),EF=(1,0,1),EC=(-1,3,2),

設(shè)平面EFC的法向量為〃=(羽y,z),

ruun

r-,,,n-EF=X+Z=0,—Erlan

則5uun取x=l,則y=l,z=-l,即n=(1,1,-1),

n?EC=-x+3y+2z=0,

設(shè)PE與平面EFC所成角為0,

uim

則sinQ=|cos(P￡,n\|=也''=—,

\/\PE\-\n\3

所以PE與平面EFC所成角的正弦值為變.

3

9.答案：(1)見解析

(2)30°

解析：(1)證明：如圖，連接鉆,交班)于點R因為四邊形ABCD為矩形,8=2,8。=也，點

E為CD的中點,J^fy!tanZDA￡=—=—,tanZBZ)C=—=—,

AD2CD2

所以tanZQ4E=tanZBDC,

則ZDAE=ABDC.

因為NDAE+ZAED=90°,

所以ZBDC+ZAEE)=90。，

所以ZDFE=90。,則BD_LAE.

因為VPCD是邊長為2的等邊三角形，點E為CD的中點，所以PELCD.

因為平面尸CD_L平面ABCD,平面PCDI平面TWCD=CD,所以PE_L平面ABCD.

又fiDu平面ABCD,所以PE_L.

因為PEIAE=￡T，所以應(yīng))，平面APE.

因為4以u平面"E,所以BD_LAM.

Pj

(2)取他的中點連接EH，則EHLCD.

以E為坐標(biāo)原點,EH,EC,EP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖的空間直角坐

標(biāo)系，

由已知條件可知,A(A/2,-1,0),0(0,-1,0),B(72,1,0),PE=#C2-CE2=>/22-l2=也.

、_UUUL_UUlULCIULIU

設(shè)M(0,0,m)(0<相<真)，貝I」AM=(-V2,l,m),BD=(-72,-2,01DM=(0,1,m).

設(shè)平面BDM的一個法向量為/i=(x,y,z),

ruum

則第…即卜岳一2y=0,

令z=l,貝!jy=—m,x=4^m.

所以〃=.

設(shè)直線AM與平面BDM所成的角為仇

UULU

則sin。=|cos(Z,n\|==/,2〃；=

'/IAM||nIV3+m2-A/3m2+1

I2<2△，當(dāng)且僅當(dāng)3蘇=3,即加=1時，等號成立.

23。邯可+】。加

所以直線AM與平面BDM所成的角的最大值為30。,止匕時AM=\AM\=也+1+1=2.

10.答案：①見解析

(II)跡

26

解析：(I)證明:在中,ZB4fi=60。,P1=1,AB=2,

由余弦定理得PB2+AB2-2PAAB-cos60°=3,

所以尸B=

在AABC中,/ABC=60。,AC=2括,AB=2,

由正弦定理得」^

sinZABCsinZACB

即窄=.2

73sinZACB

~2

解得sinZACB=L

2

又AB<AC,所以ZACB<ZABC=60。，

所以ZACB=30。，

所以44c=90。,即△ABC為直角三角形,

則由勾股定理得BC=y/AB2+AC2=4.

過點。作DE，AB于點E,則DE//AC,

所以處=更，即氣毀，所以此二

BCBA422

連接PE,在中,尸2=代,8石=3,/尸班=30。,

2

則由余弦定理得PE2=PB2+BE2-2PB-BEcos30°=-,

所以PE=3,貝IPE?+酩2=PB-,

2

所以PE_L3E,即PEYAB.

又DE_LAB,PEIDE=E,

所以AB_L平面PDE.

又PZ)u平面包無，所以PD_LAB.

(II)若平面_L平面ABC,

由(I)可知PE_LBE.

因為BEu平面ABC,

所以PEL平面ABC,連接EC,

則ZPCE即為直線PC與平面ABC所成角.

在RtAAEC中,ZEAC=90°,AE=-,AC=2y5,

2

由勾股定理得EC2=AE1+AC'=—,

4

所以EC」.

2

在中，

由勾股定理得PC2=PE-+EC2=—=13,

4

則PC=y/l3,

7

所以直線PC與平面ABC所成角的余弦值為UU.

26

答案以及解析2

1.答案：(1)見解析

20^553

O----------

553

解析：⑴證明：如圖，連接3J,CK,”,易知四棱柱ABCD-〃他為長方體.

因為IJKL-EFGH是正四棱臺,AB=〃=，￡F,點M為線段FG上靠近歹的四等分點,

2

所以FG_LJM.

又JK//PG,JK_L平面ABJI，所以/G_L平面ABJI.

又A/u平面〃，所以FGJ_A/.

又A7I加=」,所以b6_1平面4^7.

(2)如圖,易知“，平面ABCD，以D為坐標(biāo)原點，以以DC,DL所在直線分別為x軸、y

軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-.z,則J(3,3,12),A(3,0,0),F(|,|,8),

uuruumaQ

所以A/=(0,3,12),Ab=(』,2,8).

22

易知平面A/M的i個法向量為根=(1,0,0).

設(shè)平面AJF的法向量為〃=(%,y,z).

3y+12z=0,

n-AJ=0,

39

n?AF=0,—xH—y+8z=0.

、22

令z=l,則y=-4,%=g,所以n=(^,-4,1).

20

T207553

所以cos(m,n)=----------

\m\-\n\

經(jīng)觀察，二面角M-A7-尸為銳角，

所以二面角M-A7-b的余弦值為"逗.

553

2.答案：(1)見解析

解析：本題考查面面垂直的判定、利用空間向量求二面角的余弦值.

⑴證明：因為AB=AC,D為3c的中點，所以AD_L3C.

因為四邊形ABEF是矩形，所以AF，AB.

因為平面/WC_L平面A5EF,平面ABCI平面=AFu平面所以A尸_L平面

ABC.

因為3Cu平面ABC,所以AF_L3C.

又AFIAD=AAF,ADu平面廠，

所以3c，平面ADF.

又3Cu平面3CF,所以平面AZ3F_L平面3CF.

(2)由(1)知,AF_L平面ABC,且NC4B=120。，

ULIUUU1U

故以A為坐標(biāo)原點,分別以AB,A尸的方向為y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

E

By

則4(0,0,0),尸(0,0,后),5(0,4,0),C(2有,-2,0),石(0,4n)，所以。(百,1,0),所以

LlUUlUUUUUUI

AD=(A1,0),AE=(0,4,&)，BC=(26—6,0).

由(1)知,BC為平面ADF的一個法向量.

設(shè)平面ADE的法向量為〃=(%,%z)),

uum

幾?A。=0,日口A/3X+y=0,

則UUD即<

n-AE=0,4y+A/6Z=0,

令x=1廁y=-6z=20,

所以"=（1,-6,2后），

所以M吟點二親黑與因為二面角…3石為銳角,所以二面角

?3E的余弦值為*

3.答案：（1）見解析

⑵-？

解析：本題考查面面平行的判定及二面角的余弦值.

⑴證明：如圖，連接AC,交于點N,則N為AC的中點，連接MN.

QM為棱AE的中點,MN//EC.

QW平面EFC,ECu平面EFC,:.AGV〃平面EFC.

又QBF//DE且5尸=DE,/.四邊形BDEF為平行四邊形,

/.瓦）//FE.又BD仁平面EFC,FEu平面EFC,

/.BDHEFC,XMVI&D=N,.?.平面BMD〃平面EFC.

（2）Q￡D，底面ABCD,ABCD是正方形,，DADC,DE兩兩垂直,...以。為原點，以

.?.ZM,DC,DE所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)DE=2a,則

8（2,2,0）,M（l,0,a）,C（0,2,0）,P（2,2,2a）,E（0,0,2a）,A（2,0,0）,

UUUUUU

/.BM=（-l,-2,a）,CF=（2,0,2a）.QBM±CF,.\-lx2+a-2a=0，解得

〃=1,,溫=（2,0,—2）,等=（0,2,2）.設(shè)平面印的法向量為加=（%,乂2）,則|?—?二:取

[2y+2z=0,

z==BF//DE,DE_L底面ABCD,r.3尸_L底面ABCD,.,.N_LDA,又ZM_LAB,ZM_L

uunuun0

平面AFB平面AFB的法向量為DA=（2,0,0）./.cos（m,DA）=..—=二，且由圖可知

71+1+1x23

二面角E-AF-3為鈍角,.?.二面角的E-AF-3余弦值為

3

4.答案：（1）見解析

⑵逋

7

⑴證明：延長嚴(yán)，交融于點G,連接DG,延長腦與門的延長線交于點H,如圖.

因為世=2,BH//CD//EF,所以空=2.

PB3HB3

又EF=2CD=2AB,

所以即=H4,即點G為E4的中點.

因為平面ABCD_L平面€7汨尸,45_18,平面筋。1平面CDEF=CD,

所以AD_L平面CDEF.

又￡＞尸u平面CD￡F,所以AD_LZ）F.

在等腰梯形CDEF中，易得DE，DG

又ADIDE=D,

所以平面ADE.

又AEu平面4龍,所以

因為CD=OE,所以AD=DE,所以AE_L￡>G.

又DGIDF=D.

所以AE_L平面WG.

又AEu平面ABEE,所以平面PDF_L平面ABFE.

(2)如圖，以。為坐標(biāo)原點，分別以仞,DC所在直線為x軸、y軸，過點。且垂直于平面

ABCD的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

設(shè)？1B=2,則。(0,0,0),A(2,0,0),3(2,2,0),E(0,T3),

UUUUUUULHUULU

所以A8=(0,2,0),AE=(-2,-1,^),DE=(0,-1,A/3),EB=(2,3,-君).

ULILULIUUttlUL1WUliULUHULH

設(shè)砂=X砂，貝！JQP=+E尸=OE+X班=(0,—1,W3)+2(2,3,-73)=(2432—1,6一V32).

設(shè)平面ABFE的法向量為〃=(x,y,z).

(uun

由;".然=°'得，=&

n-AE=Q,[-2x-y+y/3z=0.

令x=山，則y=0,z=2,

所以"=(百,0,2).

UUIU

/UUD\M?。尸|26V3

所以|cos(〃,DP)|=-

\n\-\DP\T7-V1622-12A+4674萬-32+1

所以直線3P與平面ABFE所成角的正弦值t=「,=—,也.

――"加一K

當(dāng)彳=3時,/取最大值延.

87

所以直線上與平面在;所成角的正弦值的最大值述.

7

5.答案：(1)見解析

⑵逋

3

解析：本題考查面面垂直的判定、利用空間向量求二面角及三棱錐的體積公式.

⑴證明:連接血交AC于。，取EC的中點G,連接OG,FG,如圖.

由題知OC//AE,DF7/AE,且。尸=1,OG」AE=1,所以四邊形OGFD為平行四邊形，所以

2

FG//DO,即FG//BD.由ABCD是菱形，得3￡>_LAC.由平面ABCD,3Du平面ABCD，所以

因為EI47=4,短,4。匚平面4￡€1,所以￡0_1平面4￡（7.因為尸6〃皮?,所以/6_1

平面AEC,因為FGC平面EFC，所以平面AECJL平面EFC.

⑵以0為坐標(biāo)原點,OC,OB,OG所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系。-孫z,設(shè)AB=2a(a>0),則AC=2a.

可知C(a,0,0),8(0,舟,0),E(-a,0,2),F(0,-6a,l).

設(shè)平面BEC的一個法向量為7"=（無i，%,zj,

rUUU

EC?m=2axi-2z=0,日門Z.=ax.,r|LL

:x

則有uur即<廠?。?1,則m=(6,1,6a).

4二,3例，

EB-m=axl+/3町-2zx=0,

同理,設(shè)平面FEC的一個法向量為鹿=（々，%*2）,

ruim

則有器”=2"「：=0,即廣崇,，取尤2=1,則〃=（L0M）.

EFn=ax2-,3〃%-z2=0,[%~

因為二面角…「的余弦值為一嚶，且二面角…一的平面角是山與〃夾角的

退+■2

補角，所以cos⑺㈤=-理I，解得,S故

，3+1+3a~\/1+ci~I

VE-AFC=%.E4c=gxSv砌cX/G=；xgxAExACxFG=gxgx2x2y/2x-j6=^Y-.

6.答案：(1)見解析

解析：本題考查空間線面的位置關(guān)系,向量法求二面角的余弦值.

(1)證明：因為以_L平面ABCD,CQ_L平面ABCD,所以PA//CQ.

因為B4u平面MB,CQ<z平面叢B,所以CQ〃平面PLB.

因為ZS4￡>=ZADC=90。,所以AB//CD,因為ABC平面尸AF,CD0平面PAB,所以CD〃平面

PAB.

因為CQICD=C,C。u平面CDQ,CQu平面C。Q,

所以平面CDQH平面PAB.

因為直線IU平面的,所以I//平面CDQ.

(2)因為AP_L平面ABCD,ABu平面ABCD,ADu平面ABCD,所以AP_LAB,AP_L.又因為

AB，AD,所以AP,A民AD兩兩垂直.分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間

直角坐標(biāo)系如圖所示.

由⑴得PA//CQ,又因為PQ//AC,所以四邊形APQC為平行四邊形，所以CQ=AP.

不妨設(shè)9=1,由題意得4(0,0,0),8(1,0,0)/(0,0,1),。(2,1),0(0,2,0).

UULULHU

所以BP=(-1,0,1),BQ=(1,2,1).

ruur

設(shè)平面B