2022年高中物理第四章機(jī)械能和能源1功和功率學(xué)案教科版必修2

功和功率

一、能夠正確理解功的概念

1.做功的兩個(gè)要素

(1)作用在物體上的力.

(2)物體在力的方向上發(fā)生的位移.

2.公式：Hf=Ficosa

(1)。是力與位移方向之間的夾角,/為物體對(duì)地的位移.

(2)該公式只適用于恒力做功.

(3)功是標(biāo)(標(biāo)或矢)量.

3.功的正負(fù)

(1)。＜90°,力對(duì)物體做正功.

(2)?！?0。，力對(duì)物體做負(fù)功，或者說(shuō)物體克服這個(gè)力做了功.

(3)。=90°,力對(duì)物體不做功.

例L下列關(guān)于功的說(shuō)法，正確的是()

A.力作用在物體上的一段時(shí)間內(nèi)，物體運(yùn)動(dòng)了一段位移，該力一定對(duì)物體做功

B.力對(duì)物體做正功時(shí)，可以理解為該力是物體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力，通過(guò)該力做功，使其他形式的

能量轉(zhuǎn)化為物體的動(dòng)能或用來(lái)克服其他力做功

C.功有正、負(fù)之分，說(shuō)明功是矢量，功的正、負(fù)表示力的方向

D.當(dāng)物體只受到摩擦力作用時(shí)，摩擦力一定對(duì)物體做負(fù)功

答案B

例2.關(guān)于功的概念，下列說(shuō)法中正確的是()

A.力對(duì)物體做功多，說(shuō)明物體的位移一定大

B.力對(duì)物體做功小，說(shuō)明物體的受力一定小

C.力對(duì)物體不做功，說(shuō)明物體一定沒(méi)有移動(dòng)

D.物體發(fā)生了位移，不一定有力對(duì)它做功

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)物體做功必須同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：對(duì)物體施加力，物體在這個(gè)力的作用下通過(guò)一定的

位移.

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

1.關(guān)于功的說(shuō)法，正確的是（）

A.合力的功等于各分力功的代數(shù)和

B.由于功有正負(fù)，所以功是矢量

C.合力的功等于各分力功的矢量和

D.力對(duì)物體不做功，說(shuō)明物體一定無(wú)位移

【解答】解：A、合力的功與各個(gè)分力做功的代數(shù)和是一樣的，所以A正確.

B、既有大小也有方向，運(yùn)算時(shí)遵循平行四邊形定則的物理量是矢量，并不是說(shuō)有正負(fù)之分的物

理量就是矢量，功是物體之間能量轉(zhuǎn)化的量度，它是標(biāo)量.所以B錯(cuò)誤.

C、由A的分析可知C錯(cuò)誤.

D、當(dāng)力的方向和物體位移的方向垂直時(shí)，力對(duì)物體就不做功，所以物體的位移并不一定是零，

故D錯(cuò)誤.

故選A.

2.關(guān)于功和能，下列說(shuō)法正確的是（）

A.功和能的國(guó)際單位都是焦耳

B.功是矢量，能量是標(biāo)量

C.功是能量轉(zhuǎn)化的量度

D.若摩擦力對(duì)一個(gè)物體做了負(fù)功，總的能量肯定會(huì)消失一些

【解答】解：A、功和能的單位是相同的，它們的國(guó)際單位都是焦耳，故A正確；

B、功是標(biāo)量，能量也是標(biāo)量，但功是過(guò)程量，而能量卻是狀態(tài)量.故B錯(cuò)誤；

C、功是能量轉(zhuǎn)化的量度，做多少功，就有多少能量轉(zhuǎn)化，故C正確；

D、若摩擦力對(duì)一個(gè)物體做了負(fù)功，就會(huì)有其它形式能轉(zhuǎn)化成內(nèi)能，總的能量不變，故D錯(cuò)誤；

故選：AC

3.下列關(guān)于做功的說(shuō)法中正確的是（）

A.凡是受力作用的物體，一定有力對(duì)物體做功

B.凡是發(fā)生了位移的物體，一定有力對(duì)物體做功

C.只要物體受力的同時(shí)又有位移發(fā)生，則一定有力對(duì)物體做功

D.只要物體受力，又在力的方向上發(fā)生位移，則力一定對(duì)物體做功

【解答】解：只有同時(shí)滿(mǎn)足功的兩個(gè)條件，力才做功；即：物體受力，同時(shí)在力的方向上發(fā)生了

位移；

故只有D正確；

故選：D.

4.一端固定的輕質(zhì)彈簧處于原長(zhǎng)，現(xiàn)用互成角度的兩個(gè)力鼻、艮拉彈簧的另一端至0點(diǎn)，如圖

所示，在此過(guò)程K、&分別做了6J、8J的功；換用另一個(gè)力F仍使彈簧重復(fù)上述過(guò)程，該

過(guò)程F所做的功是（）

A.2JB.8JC.10JD.14J

【解答】解：&、&拉彈簧的作用效果與力F拉彈簧的作用效果相同，故力F拉彈簧做的功等于

力K、Fz拉彈簧做功之和故為W=6+8=14N

故選：D

二、能夠分析力做功的正負(fù)★★☆☆☆☆

考點(diǎn)一判斷正、負(fù)功的方法

1.恒力做功的判斷：若物體做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則依據(jù)力與位移的夾角來(lái)判斷.

2.曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中功的判斷：若物體做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則依據(jù)，'與，的方向夾角來(lái)判斷.當(dāng)0°Wa<90。

時(shí)，力對(duì)物體做正功；當(dāng)90°<aW180°時(shí)，力對(duì)物體做負(fù)功；當(dāng)。=90°時(shí)，力對(duì)物體不做

功.

3.依據(jù)能量變化來(lái)判斷：根據(jù)功是能量轉(zhuǎn)化的量度，若有能量轉(zhuǎn)化，則必有力對(duì)物體做功.此

法常用于判斷兩個(gè)相聯(lián)系的物體之間的相互作用力做功的判斷.

特別提醒1.作用力和反作用力雖然等大反向，但由于其分別作用在兩個(gè)物體上，產(chǎn)生的位移效

果無(wú)必然聯(lián)系，故作用力和反作用力做的功不一定一正一負(fù)，大小也不一定相等.

2.摩擦力并非只做負(fù)功，也可以做正功或不做功.

例3.如圖所示，高速列車(chē)在平直軌道上勻速運(yùn)行，對(duì)列車(chē)所受力的做功情況，下列判斷正確的是

()

A.重力做正功B.牽引力做正功

C.牽引力做負(fù)功D.空氣阻力做正功

故選：B.

例4.生活中有人常說(shuō)在車(chē)廂內(nèi)推車(chē)是沒(méi)用的，如圖3,在水平地面上運(yùn)動(dòng)的汽車(chē)車(chē)廂內(nèi)一人用力

推車(chē)，當(dāng)車(chē)在倒車(chē)時(shí)剎車(chē)的過(guò)程中（）

圖3

A.人對(duì)車(chē)做正功

B.人對(duì)車(chē)做負(fù)功

C.人對(duì)車(chē)不做功

D.車(chē)對(duì)人的作用力方向水平向右

解析倒車(chē)表示速度向右，剎車(chē)表示減速運(yùn)動(dòng)，即a、u方向相反，加速度a向左，人與車(chē)具有相

同的加速度，對(duì)人受力分析，受到重力和車(chē)對(duì)人的作用力，則車(chē)對(duì)人的作用力方向?yàn)樾毕蜃笊戏?

D錯(cuò)；那么人對(duì)車(chē)的作用力方向斜向右下方，人對(duì)車(chē)的作用力與車(chē)運(yùn)動(dòng)位移方向成銳角，即人對(duì)

車(chē)做正功（或?qū)θ擞蓜?dòng)能定理，人的動(dòng)能減小，車(chē)對(duì)人做負(fù)功，人對(duì)車(chē)做正功來(lái)判斷），A對(duì)，B、

C錯(cuò).

答案A

例5.如圖4所示，質(zhì)量為0的物體置于傾角為。的斜面上，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為“，在

外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做勻加速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中物體而與斜面體相對(duì)靜

止.則關(guān)于斜面對(duì)〃的支持力和摩擦力的下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是

（）

圖4

A.支持力一定做正功B.摩擦力一定做正功

C,摩擦力可能不做功D.摩擦力可能做負(fù)功

答案B

解析支持力方向垂直斜面向上，故支持力一定做正功.而摩擦力是

否存在需要討論，若摩擦力恰好為零，物體只受重力和支持力，如圖

所示，此時(shí)加速度a=/an0,當(dāng)a>Qan0,摩擦力沿斜面向下，摩擦

力與位移夾角小于90°,則做正功；當(dāng)水/an9,摩擦力沿斜面向上,

摩擦力與位移夾角大于90°,則做負(fù)功.綜上所述，B是錯(cuò)誤的.

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

5.人站在臺(tái)階式自動(dòng)扶梯上不動(dòng)，隨扶梯向上勻速運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.重力對(duì)人做負(fù)功B.摩擦力對(duì)人做正功

C.支持力對(duì)人做正功D.合力對(duì)人做功為零

【解答】解：人站在自動(dòng)扶梯上不動(dòng)，隨扶梯向上勻速運(yùn)動(dòng)，受重力和支持力，重力做負(fù)功，支

持力做正功，合外力為零，所以合外力做功等于零.人不受摩擦力，所以沒(méi)有摩擦力做功.故A、

C、D正確，B錯(cuò)誤.

本題選錯(cuò)誤的，故選：B

6.人用手托著質(zhì)量為m的“小蘋(píng)果”，從靜止開(kāi)始沿水平方向運(yùn)動(dòng)，前進(jìn)距離1后，速度為v

（物體與手始終相對(duì)靜止），物體與手掌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為U,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.手對(duì)蘋(píng)果的作用力方向豎直向上

B.蘋(píng)果所受摩擦力大小為umg

1

C.手對(duì)蘋(píng)果做的功為Ad

D.蘋(píng)果對(duì)手不做功

【解答】解：A、手對(duì)蘋(píng)果的作用力是支持力和摩擦力的合力，方向斜向上.故A錯(cuò)誤.

B、蘋(píng)果的加速度a=21,則摩擦力f=ma=21,故B錯(cuò)誤.

12

C、根據(jù)動(dòng)能定理得，手對(duì)蘋(píng)果做功的大小歸51"”.故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】考查動(dòng)能定理的應(yīng)用，注意物體在手的作用下運(yùn)動(dòng)，是靜摩擦力，但不一定是最大靜摩

擦力，而只有是最大靜摩擦力時(shí)，才能是umg.

7.如圖所示，物體沿弧形軌道滑下后進(jìn)入足夠長(zhǎng)的水平傳送帶，傳送帶以圖示方向勻速運(yùn)轉(zhuǎn)，

則傳送帶對(duì)物體做功情況可能是（）

A.始終不做功B.先做負(fù)功后做正功

C.先做正功后不做功D.先做負(fù)功后不做功

【解答】解：A、當(dāng)物體到達(dá)傳送帶上時(shí)，如果物體的速度恰好和傳送帶的速度相等，那么物體

和傳送帶將一起在水平面上運(yùn)動(dòng)，它們之間沒(méi)有摩擦力的作用，所以傳送帶對(duì)物體始終不做功，

所以A可能.

B、若物體速度大，則受向后的摩擦力，做負(fù)功.直至速度一致為止，摩擦力消失，不做功，不

會(huì)出現(xiàn)再做正功的情況，所以B錯(cuò)誤.

C、若物體速度小，則受向前的摩擦力，做正功.到速度一致時(shí)，摩擦力又變?yōu)榱?，不做功，?/p>

以C正確.

【）、若物體速度大，則受向后的摩擦力，做負(fù)功.直至速度一致為止，摩擦力消失，不做功，所

以D正確.

故選：ACD

三、能夠計(jì)算恒力做的功

功的計(jì)算

1.恒力做的功：直接用mFicosa計(jì)算.

2.合外力做的功

方法一：先求合外力廠價(jià)，再用WO=6含/cos。求功.

方法二：先求各個(gè)力做的功例、的、他、……，再應(yīng)用%r=H4+傷+例+……求合外力做的功.

3.變力做的功

(1)應(yīng)用動(dòng)能定理求解.

(2)應(yīng)用/勺2求解，此法適用于變力的功率尸不變.

(3)將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功，此法適用于力的大小不變，方向與運(yùn)動(dòng)方向相同或相反，或力

的方向不變，大小隨位移均勻變化的情況.

例6.某人從4nl深的水井中，將50N的水桶勻速提至地面，又提著水桶在水平地面上勻速行走了

12m,在整個(gè)過(guò)程中，人對(duì)水桶所做的功為()

A.800JB.600JC.200JD.-200J

【解答】解：人在上提過(guò)程中做的功歸FL=GL=50X4J=200J；

而在人勻速行走時(shí)，人對(duì)水桶不做功，故人對(duì)水桶做的功為200J；

故選C.

例7.以一定的初速度豎直向上拋出一個(gè)小球，小球上升的最大高度為h,空氣阻力的大小恒為R,

則從拋出點(diǎn)至落回到原出發(fā)點(diǎn)的過(guò)程中，空氣阻力對(duì)小球做的功為()

A.0B.-FfhC.-2F,hD.-4Fth

【解答】解：上升過(guò)程：空氣阻力對(duì)小球做功班=-F,h

下落過(guò)程：空氣阻力對(duì)小球做功W2=-Ffh

則從拋出到落回到拋出點(diǎn)的過(guò)程中，空氣阻力對(duì)小球做的功為W=W,+W2=-2F,h

故選：C.

例8.如圖所示,一個(gè)物塊在與水平方向成a角的拉力F作用下,沿水平面向右運(yùn)動(dòng)一段距離X.在

此過(guò)程中，拉力F對(duì)物塊所做的功為()

A.FxsinaB.sinCLC.FxcosaD.cosa

【解答】解：物體的位移是在水平方向上的，

把拉力F分解為水平的Feos9,和豎直的Fsin。,

由于豎直的分力不做功，所以拉力F對(duì)物塊所做的功即為水平分力對(duì)物體做的功，

所以w=Fcos9?s=Fscos0

故選：C

例9.一人乘電梯從1樓到20樓，在此過(guò)程中經(jīng)歷了先加速，后勻速，再減速的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，則電

梯支持力對(duì)人做功情況是（）

A.加速時(shí)做正功，勻速時(shí)不做功，減速時(shí)做負(fù)功

B.加速時(shí)做正功，勻速和減速時(shí)做負(fù)功

C.加速和勻速時(shí)做正功，減速時(shí)做負(fù)功

D.始終做正功

【分析】功的正負(fù)的判斷1、直接用上述公式1^^8$（）（其中公式中0是力F與位移S間的夾

角）來(lái)判斷，此公式常用來(lái)判斷恒力做功的情況；2、利用力和速度的方向夾角；3、利用功能轉(zhuǎn)

化關(guān)系，看物體的能量是否增加.

【解答】解：根據(jù)力對(duì)物體做功的定義W=FScos。（其中公式中9是力F與位移S間的夾角），

可知若0°W0<90°,則力F做正功；

若9=90°,則力F不做功；若90。<0^180°,則力F做負(fù)功（或者說(shuō)物體克服力F做了功）.

人乘電梯從一樓到20樓，在此過(guò)程中，他雖然經(jīng)歷了先加速，后勻速，再減速的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，但

是支持力的方向始終向上，與位移方向一致，即。=0°,所以支持力始終做正功.

故選：D

例10.如圖所示，在以角速度3=2rad/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤(pán)上，放一質(zhì)量m=5kg的滑塊，滑

塊離轉(zhuǎn)軸的距離r=0.2m,滑塊跟隨圓盤(pán)一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（二者未發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)）.求：

（1）滑塊運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)速度大??；

（2）滑塊受到靜摩擦力的大小和方向.

（3）滑塊跟隨圓盤(pán)運(yùn)動(dòng)一周過(guò)程中靜摩擦力所做的功.

【解答】解：（1）滑塊的線(xiàn)速度大小v=cor

代入數(shù)據(jù)得v=0.4m/s

2

(2)滑塊受到靜摩擦力的大小Ff=m3r

代入數(shù)據(jù)得F產(chǎn)4N

方向：由所在位置垂直指向轉(zhuǎn)軸

(3)摩擦力方向始終與位移垂直，故摩擦力做功為W=0

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

8.一物體放在水平地面上，如圖1所示，已知物體所受水平拉力F隨時(shí)間t的變化情況如圖2

所示，物體相應(yīng)的速度v隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖3所示.求：

(1)物體與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)；

(2)0?10s時(shí)間內(nèi)，物體克服摩擦力所做的功.

3

【解答】解:(1)在8-10s：根據(jù)圖象知加速度大小a,=2=L5m/s2

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律知f=umg=ma)

3d15

.二:針815

(2)結(jié)合圖2和圖3可知：在0-2s物體不動(dòng)，受到的靜摩擦力不做功;

在2-10s受到的滑動(dòng)摩擦力做負(fù)功，滑動(dòng)摩擦力不變f=2N

在010sv12+v13+|v14=0.5x3x4+3x2+0.5x3x2=15m

W克kfs=2X15=30J

(1)物體與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.15；

(2)0?10s時(shí)間內(nèi)，物體克服摩擦力所做的功為30J

9.如圖所示，同一物體在大小相同、方向不同的F力的作用下，在光滑水平面上移動(dòng)了一段相

同的位移s,兩種情況下力所做的功分別為W“、取，下列表述正確的是()

【解答】解：這兩種情形下力F和位移x的大小都是一樣的，將力沿著水平和豎直方向正交分解,

水平分力大小相同，只有水平分力做功，豎直分力不做功，故兩種情況下力F的功的大小是相同

的；并且均做正功；

故選：A.

10.如圖所示，兩個(gè)同學(xué)都從地面登上階梯頂端A處.女同學(xué)沿臺(tái)階走上去，克服重力做功為除

男同學(xué)從直梯攀爬上去，克服重力做功為%.如果兩人的體重相同，則（）

A.W,=W2B.W(>W2C.W,<W2D.無(wú)法確定

【解答】解：

這兩個(gè)同學(xué)的體重相同，爬樓的高度前后不變，根據(jù)公式行-Gh可知兩人上樓過(guò)程重力做功相

同，故克服重力做的功也、1%大小相等；

故A正確.

故選：A.

II.如圖所示，質(zhì)量為m的物體在與水平方向成0的恒力F作用下以加速度a做勻加速度直線(xiàn)運(yùn)

動(dòng)，已知物體和地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為u,物體在地面上運(yùn)動(dòng)距離為x的過(guò)程中力F做功為

()

m(a+M-g)x

A.umgxB.1-M-tan?

m(a-艮g)x?mgx

C.1+M-tanQD.1+M-tan9

【解答】解:

對(duì)物體受力分析如圖:

水平方向由牛頓第二定律得Feos0-Fi-mai,

豎直方向由平衡得：Fsin0+F后mg,

又Fi-PFN,

解得:

m(a+M-g)

p=l-P-tan?,

故拉力F的功為:

m(a+Fg)x

比1-Wtan8

故B正確.

故選：B.

12.一木塊前端有一滑輪，繩的一端系在右方固定處，另一端穿過(guò)滑輪用恒力F拉住保持兩股繩

之間的夾角。不變，如圖所示.當(dāng)用力拉繩使木塊前進(jìn)s時(shí)，力F對(duì)木塊做的功(不計(jì)繩重

A.FscosvB.Fs(1+cos0)C.2Fscos0D.2Fs

【解答】解：拉繩時(shí)，兩股繩中的拉力都是F,它們都對(duì)物體做功，根據(jù)恒力做功的表達(dá)式

W=FScos0,得到：

斜向右上方的拉力F做功為：W,=FScos0

水平向右的拉力做功為：W,=FS

因此其對(duì)物體做的功為W=M+Wz=Fscos0+Fs=Fs(1+cos0)

故選B.

13.如圖所示，A、B兩物體質(zhì)量分別是m.和m“，用勁度系數(shù)為k的彈簧相連，A、B處于靜止?fàn)?/p>

態(tài).現(xiàn)對(duì)A施豎直向上的力F提起A,使B對(duì)地面恰無(wú)壓力.當(dāng)撤去F,A由靜止向下運(yùn)動(dòng)至

最大速度時(shí)，重力做功為()

Xv-----

【解答】解：開(kāi)始時(shí)B對(duì)地面恰無(wú)壓力，故kx尸niBg,解得1-V

A速度最大時(shí)，處于平衡位置，有：kx2=niAg,解得“2k

故從靜止向下運(yùn)動(dòng)至最大速度時(shí)，彈簧的位移為：x=x,+x2；

,IDRginAginA(in*+irip)g

1/IWG=mAgx=inAg(――+——)----------------；-----------------

故重力做功為：GAAkk=k

故選C.

14.如圖所示，楔形物塊固定在水平地面上，其斜面的傾角9=37°.一個(gè)質(zhì)量m=0.50kg的小物

塊以v°=8.0m/s的初速度，沿斜面向上滑行一段距離速度減為零.已知小物塊與斜面間的動(dòng)

摩擦因數(shù)口=0.25,sin37°=0.60,cos37°=0.80,g取lOm/s*求:

(1)小物塊向上滑行過(guò)程中的加速度大?。?/p>

(2)小物塊向上滑行的時(shí)間；

(3)小物塊向上滑行過(guò)程中克服摩擦力所做的功.

【解答】解：(1)小物塊沿斜面向上滑行的過(guò)程中，受重力、支持力、摩擦力,

根據(jù)牛頓第二定律有mgsin370-umgcos37°=ma

解得：a=8.Om/s2

Jo

（2）設(shè)小物塊向上滑行時(shí)間為t,根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式th]

解得：t=l.0s

v0

V---t

（3）小物塊沿斜面向上滑行的位移2

此過(guò)程中，小物塊克服摩擦力做的功％=umgcos37°x

解得：W,=4.0J

四、能夠求變力做的功★★★★☆☆

例11.人用繩子通過(guò)光滑定滑輪拉靜止在地面上的物體A,A穿在光滑的豎直桿上當(dāng)人以速度v

豎直向下勻速拉繩使質(zhì)量為m的物體A上升高度h后到達(dá)如圖所示位置時(shí)此時(shí)繩與豎直桿的

夾角為0.已知重力加速度為g,則下列說(shuō)法正確的是（）

v

A.此時(shí)物體A的速度為cos8

B.此時(shí)物體A的速度為vcos。

2

mv

C.該過(guò)程中繩對(duì)物體A做的功為mgh+2cos29

1

D.該過(guò)程中繩對(duì)物體A做的功為mgh+2iiv2cos2

【解答】解：將A的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，如圖所示，拉繩子的速度等于A

沿繩子方向的分速度,

根據(jù)平行四邊形定則得，實(shí)際速度”『cose,故A正確，B錯(cuò)誤;

_mgh+W=/mv：-0

CD、在A上升的過(guò)程中根據(jù)動(dòng)能定理有:

1V

mgh+~w2

即繩對(duì)A做的功為：W=Zcos”8,故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

例12.如圖所示，質(zhì)量為m的物體置于光滑水平面上，一根繩子跨過(guò)定滑輪一端固定在物體上,

另一端在力F作用下，以恒定速度V。豎直向下運(yùn)動(dòng).物體由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到繩與水平方向夾

角a=45°過(guò)程中，繩中拉力對(duì)物體做的功為（）

1j,V2

A.4mvjB.mvjC.2mvo；D.2mvo2

[

【解答】解：一根繩子跨過(guò)定滑輪一端固定在物體上，另一端在力F作用下，以恒定速度V。豎直

向下運(yùn)動(dòng).

將物體的運(yùn)動(dòng)分解為沿繩子方向的運(yùn)動(dòng)，以及垂直繩子方向運(yùn)動(dòng)即繞滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，

則由三角函數(shù)可解得：運(yùn)動(dòng)到繩與水平方向夾角a=45°時(shí)物體的速度v=cosa=&v。

物體由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到繩與水平方向夾角a=45。過(guò)程中，物體只受繩子拉力做功，

運(yùn)用動(dòng)能定理得

W=2mv--O=mvo2.

故選B.

例13.如圖所示，豎直平面內(nèi)放一直角桿MON,桿的水平部分粗糙，動(dòng)摩擦因數(shù)U=0.2,桿的

豎直部分光滑.兩部分各套有質(zhì)量均為1kg的小球A和B,A、B球間用細(xì)繩相連.初始A、B

均處于靜止?fàn)顟B(tài)，已知：0A=3m,0B=4m,若A球在水平拉力的作用下向右緩慢地移動(dòng)1m（取

gfOm/sb,那么該過(guò)程中拉力F做功為（）

N\?-A.14JB.10JC.6JD.4J

[G.【解答】解：對(duì)AB整體受力分析，受拉力F、重力G、支持力N、向左

的摩擦力f和向左的彈力N”如圖

根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件，有

豎直方向：N=G.+G2

水平方向：F=f+Ni

其中：f—uN

解得

N=(mi+m2)g=20N

f=uN=0.2X20N=4N

對(duì)整體在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中運(yùn)用動(dòng)能定理列式，得到

WP-fs-m2g,h=0

根據(jù)幾何關(guān)系，可知求B上升距離h=lm

故

W產(chǎn)fs+m2g,h=4X1+1X10X1=I4J

故選：A.

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

15.如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一個(gè)半徑為R,粗細(xì)不計(jì)的圓管軌道.半徑0A水平、0B豎直,

一個(gè)質(zhì)量為m的小球自A正上方P點(diǎn)由靜止開(kāi)始自由下落，小球恰能沿管道到達(dá)最高點(diǎn)B,

已知AP=2R,重力加速度為g,則小球從P到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中()

oP

A.重力做功2mgRB.機(jī)械能減少mgR

1

C.合外力做功mgRD.克服摩擦力做功2mgR

【解答】解：A、重力做功與路徑無(wú)關(guān)，只與初末位置高度差有關(guān)，故Wc=mgR,故A錯(cuò)誤；

B、小球恰能沿管道到達(dá)最高點(diǎn)B,得到B點(diǎn)速度為零；

故小球從P到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能增加量為零；重力勢(shì)能減小量為mgR；故機(jī)械能減少量為mgR；

故B正確；

C、小球從P到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，合外力做功等于動(dòng)能的增加量，為零，故C錯(cuò)誤；

I）、由B選項(xiàng)分析得到機(jī)械能減小量為mgR,而機(jī)械能減小量等于克服摩擦力做的功，故克服摩擦

力做功為mgR,故D錯(cuò)誤；

故選B.

16.在離地面高為h處豎直上拋一質(zhì)量為m的物塊，拋出時(shí)的速度為v。，當(dāng)它落到地面時(shí)速度為

v,用g表示重力加速度，則在此過(guò)程中物塊克服空氣阻力所做的功等于（）

9292

mv*-丫。mv"mv。

A.mgh-2-2B.-mgh-2-2

?229?2

mv（）mv"mv"mv。

C.mgh+2-2D.mgh+2-2

【解答】解：選取物體從剛拋出到正好落地，空氣阻力做功為Wr

122

由動(dòng)能定理可得：mgh-W,-2mV即F

2

o

m

gh

2

mv。l2

則克服阻力做功為-w1為mgh+2-2rav

則C正確，ABD錯(cuò)誤

17.故選：C如圖在光滑的水平面上，物塊在恒力F=100N作用下從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，不計(jì)滑輪的

大小，不計(jì)繩與滑輪的質(zhì)量及繩、滑輪間的摩擦，H=2.4m,a=37。，B=53°.求拉力F做

的功？

??(1一/?*I

【解答】解：物體從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系得：

繩子向下運(yùn)動(dòng)的位移x=sindsinB=0.6祗-11r

則拉力做的功W=Fx=100Xl=100J

答：拉力F做的功為100J.

18.如圖所示，物塊A、B用一勁度系數(shù)為k=200N/m的輕彈簧相連靜止于水平地面上，A物體

質(zhì)量nu=2Kg,B物體質(zhì)量niB=4Kg.現(xiàn)用一恒力F=30N豎直向上拉物體A,使A從靜止開(kāi)始運(yùn)

動(dòng)，當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)B剛好要離開(kāi)地面但不能繼續(xù)上升.若彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，

MXg=10m/s',求：

(1)B剛要離開(kāi)地面時(shí)，拉力F做的功：

(2)B剛耍離開(kāi)地面時(shí)A的加速度大??；

(3)從A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到A到達(dá)最高點(diǎn)的過(guò)程中彈簧彈力對(duì)A做的功.

【解答】解：(1)未施加拉力時(shí)彈簧的縮短量為七

kxi=ni\g

B剛要離地是彈簧伸長(zhǎng)量為x2

kx2=niBg

拉力做功：Wi=F(xi+x2)=9J

(2)B剛要離地時(shí)，對(duì)A：

F-mAg-kx2=mAaA

解得：a0_15m/s2

(3)對(duì)A有動(dòng)能定理得：

解得桁

W,+W?-nug(x1+x2)=0W-3J

五、能夠理解瞬時(shí)功率和平均功率的公式

W

公式戶(hù)=1;和戶(hù)=后的區(qū)別：

(1)々!是功率的定義式，是功率的計(jì)算式.

(2)平均功率的計(jì)算方法

W

①利用=t.

②利用=F?cosa,其中為物體運(yùn)動(dòng)的平均速度.

(3)瞬時(shí)功率的計(jì)算方法

①利用公式々尸出osa,其中〃為￡時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

②『'?%,其中匕為物體的速度r在力尸方向上的分速度.

③片區(qū)?%其中尤為物體受到的外力/在速度/方向上的分力.

W

例14.關(guān)于功率公式p="Dp=Fv,下列說(shuō)法正確的是()

W

A.由p=8知，只要知道W和t就可求出任意時(shí)刻的功率

B.由p=Fv只能求某一時(shí)刻的瞬時(shí)功率

W

c.由p=t知，功率與時(shí)間成反比

D.由p=Fv知，當(dāng)汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)功率一定時(shí)，牽引力與速度成反比

W

【解答】解：A、P=i只能計(jì)算平均功率的大小，所以只要知道W和t就可求出時(shí)間t內(nèi)的平均功

率，所以A錯(cuò)誤；

B、P=Fv可以計(jì)算平均功率也可以是瞬時(shí)功率，取決于速度是平均速度還是瞬時(shí)速度，所以B錯(cuò)

誤;

w

C、P=7是比值定義式，功率與時(shí)間無(wú)關(guān)，所以c錯(cuò)誤；

D、從P=Fv知，當(dāng)汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)功率一定時(shí)，牽引力與速度成反比，所以D正確；

故選：D

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

19.如圖，一物體在水平面上受到水平向右、大小為8N的恒力F作用，在4s時(shí)間內(nèi)，向右運(yùn)動(dòng)

2m,則在此過(guò)程中，力F對(duì)物體所做的功和平均功率分別為（）

A.32J,4WB.32J,8WC.16J,8WD.16J,4W

【解答】解：力F所做的功為：W=Fx=8X2J=16J

平均功率為：t4,故D正確；

20.故選：D.物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，在下落的第1s末和第2s末重力的瞬時(shí)功率之比為（）

A.1：1B.1：2C.1：3D.1：4

【解答】解：第1s末速度與第2s秒末速度之比為：v“V2=gtugt?=l：2

故第Is末速度與第2s秒末重力做功的瞬時(shí)功率之比為：mgvi：mgv2=vi：vz=l：2

故選：B

21.航天員進(jìn)行素質(zhì)訓(xùn)練時(shí)，抓住秋千桿由水平狀態(tài)向下擺，到達(dá)豎直狀態(tài)的過(guò)程如圖所示，則

這一過(guò)程中航天員所受重力的瞬時(shí)功率變化情況是（）

A.一直增大B.一直減小C.先增大后減小D.先減小后增大

【解答】解：由于重力是豎直向下的，重力的瞬時(shí)功率只與人在豎直方向上的速度有關(guān)，在剛開(kāi)

始運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，人的速度為零，所以此時(shí)人的重力的瞬時(shí)功率為零，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，人的速

度為水平方向的，與重力的方向垂直，此時(shí)的人重力的功率為零，所以重力的功率是先增大后或

減小，所以C正確.

故選C.

六、能夠計(jì)算瞬時(shí)功率和平均功率★★★★☆☆

例15.豎直上拋一球，球又落回原處，已知空氣阻力的大小正比于球的速度（）

A.上升過(guò)程中克服重力做的功大于下降過(guò)程中重力做的功

B.上升過(guò)程中克服重力做的功等于下降過(guò)程中重力做的功

C.上升過(guò)程中克服重力做功的平均功率大于下降過(guò)程中重力的平均功率

D.上升過(guò)程中克服重力做功的平均功率等于下降過(guò)程中重力的平均功率

【解答】解：重力是保守力，做功的大小只與物體的初末的位置有關(guān)，與物體的路徑等無(wú)關(guān)，所

以在上升和下降的過(guò)程中，重力做功的大小是相等的，所以A錯(cuò)誤B正確.

物體在上升的過(guò)程中，受到的阻力向下，在下降的過(guò)程中受到的阻力向上，所以在上升時(shí)物體受

到的合力大，加速度大，此時(shí)物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間短，在上升和下降的過(guò)程中物體重力做功的大小是

W

相同的，由P=Z可知，上升的過(guò)程中的重力的功率較大，所以C正確，D錯(cuò)誤.

例16.如圖，質(zhì)量相等的兩小球A和B,A球自由下落，B球從同一高度沿光滑斜面由靜止開(kāi)始

下滑.當(dāng)它們運(yùn)動(dòng)到同一水平面時(shí)，速度大小分別為V.和VB,重力的功率分別為P.和建，則

（）

A.V,\=VB,PA=PBB.V產(chǎn)VB,PA>PBC.V*>VB,P,\>PBD.VA>VB,PA=PB

【解答】解：AB在下落過(guò)程中，只有重力做功，因下降高度相同，重力做功全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，故

VA=VB,

A的速度豎直向下，B的速度沿斜面向下，由P=mgvsin?？芍琍A>PB,故B正確

故選：B

例17.如圖所示，細(xì)線(xiàn)的一端固定于0點(diǎn)，另一端系一小球.在水平拉力作用下，小球以恒定

速率在豎直平面內(nèi)由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn).在此過(guò)程中拉力的瞬時(shí)功率變化情況（）

A.逐漸增大B.逐漸減小

C.先增大，后減小D.先減小，后增大

【解答】解：因?yàn)樾∏蚴且院愣ㄋ俾蔬\(yùn)動(dòng)，即它是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，那么小球受到的重力G、水

平拉力F、繩子拉力T三者的合力必是沿繩子指向0點(diǎn).

F

設(shè)繩子與豎直方向夾角是。，則G=tan6（F與G的合力必與繩子拉力在同一直線(xiàn)上）

得F=Gtan0

而水平拉力F的方向與速度V的方向夾角也是6,所以水平力F的瞬時(shí)功率是

P=Fvcos0

則P=Gvsin9

顯然，從A到B的過(guò)程中，0是不斷增大的，所以水平拉力F的瞬時(shí)功率是一直增大的.故A正

確，B、C、D錯(cuò)誤.

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵掌握瞬時(shí)功率的表達(dá)式P=Fvcosa,注意a為F與速度的夾角.

【點(diǎn)評(píng)】本題就是考查學(xué)生對(duì)功率概念的理解，瞬時(shí)功率的大小與力的大小和方向都有關(guān).

例18.如圖，兩個(gè)完全相同的小球A、B,在同一高度處以相同大小的初速度v分別水平拋出和

豎直向上拋出，下列說(shuō)法正確的是（）

'1A1B

h

A.兩小球落地時(shí)的速度相同

B.兩小球落地時(shí)，A球重力的瞬時(shí)功率較小

C.從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至落地，A球速度的變化率較大

D.從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至落地，重力對(duì)兩球做功的平均功率A的大于B的

【解答】解：A、兩個(gè)小球在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中都是只有重力做功，機(jī)械能守恒，所以根據(jù)機(jī)械能守

恒可以知兩物體落地時(shí)速度大小相等，方向不同，所以速度不同，故A錯(cuò)誤.

B、到達(dá)底端時(shí)兩物體的速率相同，重力也相同，但A物體重力與速度有夾角，B物體重力與速度

方向相同，所以落地前的瞬間B物體重力的瞬時(shí)功率大于A物體重力的瞬時(shí)功率，故B正確.

C、速度的變化率等于加速度，兩球在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，加速度相同.故C錯(cuò)誤.

W

D、A球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于B球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，重力做功相等，根據(jù)P=三知，A球重力的平均功率大于

B球重力的平均功率.故D正確.

故選：BD.

例19.質(zhì)量為m的物體靜止在光滑水平面上，從t=0時(shí)刻開(kāi)始受到水平力的作用.力的大小F

與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示，力的方向保持不變，則（）

.尸

3F0---------；------

%2/o3%t

52to

A.3t。時(shí)刻的瞬時(shí)功率為m

15F。2to

B.3t。時(shí)刻的瞬時(shí)功率為m

23F。2to

C.從t=0到3t。這段時(shí)間內(nèi)，水平力的平均功率為一1丁

25F。2to

D.從t=0到3to這段時(shí)間內(nèi)，水平力的平均功率為6m

Io

【解答】解:A、在0-2t。時(shí)間內(nèi),a=m,則2to時(shí)刻的瞬時(shí)速度v產(chǎn)a?2t°=2at0,在2t。-3to時(shí)

3F（）5F（jt。

間內(nèi)，a'=m,則3t。時(shí)刻的瞬時(shí)速度v=%+a'to=m.所以3to時(shí)刻的瞬時(shí)功率

乂5尸屋015F02to

P=°mm故A錯(cuò)誤，B正確.

22

12_nlyJFot。J25F0t0

c、根據(jù)動(dòng)能定理得，W=2IUV=2m21n.則

-W25F02to

----二---------

3to6m.故C錯(cuò)誤，D正確.

故選BD.

例20.物體靜止在光滑水平面上.先施加一水平向右的恒力R,經(jīng)t時(shí)間后撤去F”立刻施加

另一水平向左的恒力艮，又經(jīng)t時(shí)間后物體回到開(kāi)始出發(fā)點(diǎn).在前后兩段時(shí)間內(nèi)r、J對(duì)應(yīng)

的平均功率P”巴關(guān)系是（）

A.P2=5P,B.P2=3P,C.P2=2PID.P2=P,

【解答】解：物體從靜止起受水平恒力F,作用，做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)一段時(shí)間t后的速度為：

￡1

vi=ait=int

上

以后受恒力F”做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為：a尸m

經(jīng)同樣時(shí)間后回到原處，整個(gè)時(shí)間內(nèi)再聯(lián)系物體的位移為零，得：

1+2,+_1+2_n

■^^it+vr-a2t-0

解得：F＞：F2=l：3

又經(jīng)時(shí)間t后物體回到出發(fā)點(diǎn)，所以：X1=X2

兩個(gè)力做的功：Wi=F兇，W2=F2X2

P1_T_1

--

P2W23

所以：t所以正確的選項(xiàng)為B.

故選：B

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

22.如圖甲所示，物體受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).通過(guò)力傳感器和速度

傳感器監(jiān)測(cè)到推力F、物體速度v隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖乙所示.（g=10m/s2）則（）

Z,

A.物體的質(zhì)量m=L0kg

B.物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)U=0.20

C.第2s內(nèi)物體克服摩擦力做的功W=2.0J

1）.前2s內(nèi)推力F做功的平均功率F=l.5W

【解答】解：A、由速度時(shí)間圖象可以知道在2-3s的時(shí)間內(nèi)，物體勻速運(yùn)動(dòng)，處于受力平衡狀

態(tài)，所以滑動(dòng)摩擦力的大小為2N,

在1-2s的時(shí)間內(nèi)，物體做勻加速運(yùn)動(dòng)，直線(xiàn)的斜率代表加速度的大小，所以a=2m/s2,由牛頓

F-f3~2

第二定律可得F-f=ma,所以m=a=2=0.5kg,所以A錯(cuò)誤；

f2

B、由f=uFs=umg,所以u(píng)=mg=5=0.4,所以B錯(cuò)誤；

_11

C、第二秒內(nèi)物體的位移是x=^at2='x2Xl=lm,摩擦力做的功gfx=-2X1J=-2J,即克服摩擦

力做功2J,所以C正確；

D、在第一秒內(nèi)物體沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，只在第二秒運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)也只在第二秒做功，F(xiàn)的功為W=Fx=3XlJ=3J,

_W3

所以前2S內(nèi)推力F做功的平均功率為爭(zhēng)=三=■稀'=1.5W,所以D正確.

故選：CD

23.如圖，輕桿長(zhǎng)為L(zhǎng),一端較接在地面上可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，一端固定一質(zhì)量為m的小球（半徑可忽

略），一表面光滑的立方體物塊（邊長(zhǎng)為a,且a遠(yuǎn)小于桿長(zhǎng)L）在水平外力F作用下由桿的

小球一端沿光滑地面以速度V。向左做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，并將桿頂起.下列哪些說(shuō)法是正確的

m

A.在桿與地面夾角轉(zhuǎn)到90°之前，小球的速度一直增大

B.在桿與地面夾角轉(zhuǎn)到90°之前，F(xiàn)所做的功等于小球動(dòng)能的改變量

Vgsin8cos8

C.當(dāng)桿與地面的夾角為0時(shí)，棒的角速度3=a

mgVgLsin26cos8

D.當(dāng)桿與地面的夾角為9時(shí)，小球克服重力做功的瞬時(shí)功率為3=a

【解答】解：A、木塊速度為v。，桿上和木塊接觸點(diǎn)的速度為v。，觸點(diǎn)繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的分速度v',

由運(yùn)動(dòng)的分解可得：v'=v°sin0,因觸點(diǎn)點(diǎn)和小球在同一桿上以相同角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，故在桿與地面

夾角轉(zhuǎn)到90°之前，小球的速度一直增大，故A正確.

B、由能量守恒定律可得，在桿與地面夾角轉(zhuǎn)到90°之前，F(xiàn)所做的功等于小球機(jī)械能（動(dòng)能和

重力勢(shì)能）的改變量，故B錯(cuò)誤.

C、當(dāng)桿與地面的夾角為9時(shí)，木塊與棒的觸點(diǎn)繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的分速度▼=v0sin0,而觸點(diǎn)與

av0sin2e

固定點(diǎn)的距離為廠sin8,故棒的角速度3=a,故C錯(cuò)誤.

Vgsin29

D、D、當(dāng)桿與地面的夾角為。時(shí)，故棒的角速度3=a,故小球的豎直方向分速度為

2

mgv0Lsin9cos8

v"43cos。，小球克服重力做功的瞬時(shí)功率P=mgv"=a,故D正確.

故選：AD

24.如圖，分別用力R、F2、邑將質(zhì)量為m的物體由靜止沿同一固定粗糙的斜面以相同的加速度

從斜面底端拉到斜面的頂端時(shí)，件、F2、F3做功的功率大小關(guān)系是（）

A.P產(chǎn)P?=P3B.PI>P2=P3C.PZ>PI>P3D.P,>P2>P3

【解答】解：物體的加速度相同，說(shuō)明物體受到的合力相同，

物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，受到拉力F,重力mg,摩擦力f,

摩擦力f=uR,根據(jù)圖象可知,f2>fi>f3,

根據(jù)牛頓第二定律，有：Fi-mgsina-ymgcosa=ma,故R=mgsina+口mgcosa+ma,

mgsina+p,(mgcosCl+F2sinCl)+ma

F2cosa-mgsina-u(mgcosa+Fzsina)=ma,故F2=cosa,

Fscosa-mgsina-11(mgcosa-F3sina)=ma,故

mgsinCL+|1(mgcosa-FjSina)+ma

F3=COSa,

所以F2cosa>Fi>Fscosa,

由于斜面的長(zhǎng)度相同，物體的加速度相同，所以物體到達(dá)頂端的時(shí)候，物體的速度的大小也是相

同的；

根據(jù)P=Fv可知，P2>P1>P3,

故選：C.

七、能夠正確計(jì)算功和功率的綜合問(wèn)題★★★★★☆

例21.在傾角為。的固定光滑斜面上有兩個(gè)用輕彈簧相連接的物塊A、B,它們的質(zhì)量分別為

m,>m2,彈簧勁度系數(shù)為k,C為一固定擋板，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)用一平行于斜面向上的

恒力F拉物塊A使之向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物塊B剛要離開(kāi)擋板C時(shí)，物塊A運(yùn)動(dòng)的距離為d,速度

為V.則此時(shí)()

B.物塊B滿(mǎn)足nhgsin9=kd

F-kd

C.物塊A的加速度為ml

1

D.彈簧彈性勢(shì)能的增加量為Fd-rmgdsinO-2m,v2

【解答】解：A、由于拉力F與速度v同向，所以拉力的瞬時(shí)功率為P=Fv,故A錯(cuò)誤；

B、開(kāi)始系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧彈力等于A的重力沿斜面向下的分力，當(dāng)B剛離開(kāi)C時(shí)，彈簧

的彈力等于B的重力沿斜面下的分力，故叱gsinO=kxz①，但由于開(kāi)始是彈簧是壓縮的，故d>

x2,故m2gsin°<kd,故B錯(cuò)誤;

C、當(dāng)B剛離開(kāi)C時(shí)，對(duì)A,根據(jù)牛頓第二定律得：F-migsinO-kx2=m,aI②，又開(kāi)始時(shí)，A平衡,

F-kd

二

則有：nngsin9=kxi③，而d=xi+xz④，①②③④解得：物塊A加速度為