數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練：不等式的實(shí)際應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.4不等式的實(shí)際應(yīng)用5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1.一元二次不等式ax2+2x—1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是（)A.a＞1B。a＜1且a≠0C。a＜-1D。a＞-1且a≠0解析：一元二次不等式有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，其判別式Δ=4+4a＞0，即a＞-1且二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，即a≠0。答案：D2。某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品x（百件）件的成本為(3x-3）萬(wàn)元,銷(xiāo)售總收入為（2x2-5）萬(wàn)元，如果要保證該企業(yè)不虧本，那么至少生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)為_(kāi)____________(百件).解析:要不虧本只需收入不小于成本,即2x2-5-（3x-3）≥0,即2x2-3x—2≥0,解之得x≤或x≥2，而產(chǎn)品件數(shù)不能是負(fù)數(shù)，所以，x的最小值為2。答案：23.已知不等式ax2+bx—2＞0的解集為（1，2)，那么實(shí)數(shù)a=__________，b=__________.解析：根據(jù)不等式解集的特點(diǎn)可知a＜0，且方程ax2+bx—2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為1和2,代入方程或者利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出a，b的值.答案：-134.不等式x2—ax+b＜0的解集為｛x｜2＜x＜3｝，則a=__________，b=__________。解析：根據(jù)條件2和3是方程x2-ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根,由根與系數(shù)的關(guān)系可得即a=5,b=6.答案：5610分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1.關(guān)于x的一元二次不等式x2-ax+2a=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（)A。a＜0B.a＞0C.a＞1解析：令函數(shù)f（x）=x2—ax+2a,則f（x）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別在y軸的兩側(cè),結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知，應(yīng)有f（0）=2a＜0，即a＜0.答案：A2。乘某種出租車(chē),行程不足4千米時(shí)，車(chē)票10.40元,行程不足16千米時(shí)，大于或等于4千米的部分，每0.5千米車(chē)票0。8元，計(jì)程器每0.5千米計(jì)一次價(jià).例如當(dāng)行駛路程x（千米）滿足12≤x≤12。5時(shí)，按12。5千米計(jì)價(jià);當(dāng)12。5≤x＜13時(shí)，按13千米計(jì)價(jià)。若某人乘車(chē)從A到B共付費(fèi)28元，則從A地到B地行駛的路程m千米滿足（)A.10.5≤m＜11B。11≤m＜11。5C.14.5≤m＜15D。15≤m＜15。5解析：可以根據(jù)條件首先判斷出m的大致范圍，然后代入驗(yàn)證即可。當(dāng)m=15時(shí)，付費(fèi)10。40+（15—4）×2×0。8元=28元。答案：D3。建造一個(gè)容積為8m3，深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池,如果池底和池壁的造價(jià)1m2分別為120元和80元，那么水池的最低總造價(jià)為解析：設(shè)池底一邊長(zhǎng)為xm，水池的總造價(jià)為y元，則依題意得y=4×120+2（2x+2×)×80=480+320(x+)（x＞0）.因?yàn)閤+≥=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=2時(shí),取等號(hào)。所以,y的最小值為1760。答案：17604。已知直線l過(guò)點(diǎn)P（2,1）,且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),則三角形OAB面積的最小值為_(kāi)__________.解析：設(shè)直線l為=1（a＞0，b＞0），則有關(guān)系=1．對(duì)=1應(yīng)用二元均值不等式,得1=≥，即ab≥8．于是,△OAB面積為S=ab≥4．從而應(yīng)填4．答案：45.定義域?yàn)椋?1,1］的函數(shù)f（x)=kx+2k+1，其值域既有正數(shù)也有負(fù)數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______________.解析:由已知可得f(x)=kx+2k+1是單調(diào)函數(shù),其值域既有正數(shù)也有負(fù)數(shù)，應(yīng)有f（—1）·f(1）＜0且k≠0，即（k+1)(3k+1)＜0且k≠0。所以＜k＜—1.答案：＜k＜—16.若函數(shù)f(x）=的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解:函數(shù)的定義域?yàn)镽等價(jià)于函數(shù)y=kx2-6kx+k+8≥0對(duì)于一切x∈R都成立。(1)k=0時(shí)，y=8≥0恒成立;(2）當(dāng)k≠0時(shí)，解之得0＜k≤1,所以0≤k≤1.30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練,可用于課后）1。不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|＜x＜｝，則a—b等于（)A?！?B.14C。-10解析:由ax2+bx+2＞0的解集是{x｜＜x＜｝，知、是方程ax2+bx+2=0的兩根，且a＜0，由韋達(dá)定理得：∴∴a—b=-10.答案：C2。如圖甲所示,P是球O的直徑AB上的動(dòng)點(diǎn),PA=x，過(guò)P點(diǎn)且與AB垂直的截面面積記為y,則y=f(x）的大致圖象是圖乙中的（）圖甲圖乙解析：不妨設(shè)球的半徑為R（常數(shù)).∵PA=x，∴OP=R-x.∴截面圓的半徑r=?！鄖=πr2=2πRx-πx2（0≤x≤R）?！噙xA。答案:A3.一個(gè)車(chē)輛制造廠引進(jìn)了一條摩托車(chē)整車(chē)裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車(chē)數(shù)量x（輛）與創(chuàng)造的價(jià)值y（元）之間有如下關(guān)系：y=-2x2+220x。若這家工廠希望在一個(gè)星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個(gè)星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)摩托車(chē)數(shù)量為(）A.41—49B。51—59C.61—69解析:設(shè)在一個(gè)星期內(nèi)大約應(yīng)該生產(chǎn)x輛摩托車(chē).根據(jù)題意,得—2x2+220x＞6000。移項(xiàng)整理，得x2—110x+3000＜0.因?yàn)棣?100＞0,所以方程x2—110x+3000=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1=50，x2=60.由二次函數(shù)y=x2-110x+3000的圖象得不等式的解為50＜x＜60。因?yàn)閤只能取整數(shù)值，所以當(dāng)這條摩托車(chē)整車(chē)裝配流水線在一周內(nèi)生產(chǎn)的摩托車(chē)數(shù)量在51—59輛之間時(shí)，這家工廠能夠獲得6000元以上的收益。答案：B4.若實(shí)數(shù)a、b滿足a2+b2=1,且c＜a+b恒成立,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_____________.解析：只需使c小于a+b的最小值，根據(jù)條件設(shè)a=cosθ，b=sinθ，則a+b=cosθ+sinθ=sin（θ+），所以a+b的最小值為，故只需c＜。答案：（—∞，）5。在△ABC中，三邊a、b、c的對(duì)角分別為A、B、C,若2b=a+c，則角B的取值范圍是___________。解析：因?yàn)?b=a+c，所以b=,所以,cosB=，所以，0＜B≤。答案:0＜B≤6。某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸，每次都購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x=_____________噸.解析:某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸，每次都購(gòu)買(mǎi)x噸，則需要購(gòu)買(mǎi)次，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元,一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為·4+4x萬(wàn)元，·4+4x≥160，當(dāng)=4x，即x=20噸時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小。答案：207.某種汽車(chē)購(gòu)車(chē)時(shí)費(fèi)用為10萬(wàn)元,每年保險(xiǎn)、養(yǎng)路、汽油費(fèi)用為9000元；汽車(chē)的維修費(fèi)各年為：第一年2000元,第二年4000元,第三年6000元,以每年2000元的增量遞增,問(wèn)這種汽車(chē)最多使用多少年報(bào)廢最合算（即使用多少年的平均費(fèi)用為最少）?(計(jì)算總維修費(fèi)可用:×年數(shù)）解：設(shè)使用n年平均費(fèi)用為y萬(wàn)元，則y=+1≥2+1=3(萬(wàn)元)。當(dāng)且僅當(dāng)，即n=10時(shí)等號(hào)成立.答：最多使用10年報(bào)廢最合算。8。某租賃公司擁有汽車(chē)100輛,當(dāng)每輛車(chē)的月租金為3000元時(shí),可全部租出。當(dāng)每輛車(chē)的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車(chē)將會(huì)增加一輛，租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元。(1)當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為3600元時(shí),能租出多少輛車(chē)?（2）當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為多少元時(shí),租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？解:(1）當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為3600元時(shí)，租出的車(chē)輛數(shù)為=12,所以這時(shí)租出了88輛.(2)設(shè)每輛車(chē)的租金定為x元,則租賃公司的月收益為f(x）=（100-）（x—150)-×50,整理得f(x）=+162x-21000=（x—4050)2+307050。所以,當(dāng)x=4050時(shí)，f（x)最大,最大值為f(4050)=307050.即當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為4050元時(shí)，租賃公司的月收益最大,最大收益為307050元。9.某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m解：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為am，后側(cè)邊長(zhǎng)為bm，則ab=800.蔬菜的種植面積S=(a—4）(b—2）=ab—4b—2a+8=808-2(a+2b）.所以S≤808—=648(m2).當(dāng)a=2b,即a=40（m）,b=20（m）時(shí)，S最大值=648（m2）答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為40m,后側(cè)邊長(zhǎng)為20m時(shí),蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m210。（2006高考湖南卷,理20)對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗,清洗前其清潔度〔含污物體的清潔度定義為:〕為0.8,要求清洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇，方案甲:一次清洗；方案乙：兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)閍（1≤a≤3).設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是（x＞a-1），用y質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中c(0.8＜c＜0。99）是該物體初次清洗后的清潔度。(1)分別求出方案甲以及c=0.95時(shí)方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；(2)若采用方案乙，當(dāng)a為某定值時(shí),如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最少?并討論a取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量的影響.解：(1）設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z，由題設(shè)有=0.99,解得x=19.由c=0。95得方案乙初次用水量為3,第二次用水量y滿足方程：=0.99，解得y=4a，故z=4a+3。即兩種方案的用水量分別為19與4a+3。因?yàn)楫?dāng)1≤a≤3時(shí)，x-z=4（4-a）＞0,即x＞z,故方案乙的用水量較少。（2）設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y，類似（1）得x=，y=a（99-100c)。(＊）于