2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 專題九 第3課時(shí) 圓錐曲線中的證明、探索性問題配套課件

專題九圓錐曲線的熱點(diǎn)問題

第3課時(shí)圓錐曲線中的證明、探索性問題2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第七章

平面解析幾何題型一證明問題考向1證明位置關(guān)系圖9-3考向2證明數(shù)量關(guān)系[例2]已知頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線Γ的焦點(diǎn)F在y軸正半軸M(－1，0)對(duì)稱.(1)求圓E和拋物線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)M的直線l與圓E交于A，B兩點(diǎn)，與Γ交于C，D兩點(diǎn).求證：|CD|＞

|AB|.所以E(－2，－1)，F(xiàn)(0，1).所以拋物線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y.因?yàn)閳AE與x軸相切，故半徑r＝|a|＝1.所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝1.

(2)證明：由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)l的斜率為k，那么其方程為y＝k(x＋1)(k≠0).得x2－4kx－4k＝0.Δ＝16k2＋16k＞0恒成立，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k.【題后反思】圓錐曲線中的常見證明問題(1)與位置關(guān)系有關(guān)的：如證明直線與曲線相切，直線間的平行、垂直，直線過定點(diǎn)等.(2)與數(shù)量關(guān)系有關(guān)的：如不等式恒成立問題等.在熟悉圓錐曲線的定義與性質(zhì)的前提下，一般采用直接法，通過相關(guān)的代數(shù)運(yùn)算證明.【互動(dòng)探究】(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)是雙曲線C上位于第一象限的任意兩點(diǎn)，求證：∠EAF＝∠EBF.(1)解：由雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，可設(shè)雙曲線C的方程為x2－y2＝λ.∵∠EAF，∠EBF∈(0，π)，∴∠EAF＝∠EBF.

題型二探索性問題(2)解：四邊形

OAPB能為平行四邊形.

因?yàn)樗倪呅蜲APB為平行四邊形，所以線段AB與線段OP互相平分，即xP＝2xM.幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)邊平行斜率相等，或向量平行對(duì)邊相等長度相等，橫(縱)坐標(biāo)差相等對(duì)角線互相平分中點(diǎn)重合

【題后反思】本例題干信息中涉及平行四邊形，把幾何關(guān)系用數(shù)量關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解此類問題的關(guān)鍵.幾種常見的幾何條件的轉(zhuǎn)化如下：(1)平行四邊形條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)點(diǎn)在圓上點(diǎn)與直徑端點(diǎn)向量數(shù)量積為零點(diǎn)在圓外點(diǎn)與直徑端點(diǎn)向量數(shù)量積為正數(shù)點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)與直徑端點(diǎn)向量數(shù)量積為負(fù)數(shù)(2)圓條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)銳角、直角、鈍角角的余弦(向量數(shù)量積)的符號(hào)倍角、半角、平分角角平分線的性質(zhì)與定理等角(相等或相似)比例線段或斜率(3)角條件的轉(zhuǎn)化【互動(dòng)探究】2.已知F為拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，過F的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn).當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，|AB|＝4.(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線AB與拋物線的準(zhǔn)線l相交于點(diǎn)M，在拋物線C上是否存在定點(diǎn)P，使得直線PA，PM，PB的斜率成等差數(shù)列？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.所以當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，|AB|＝2p＝4，解得p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x.

(2)在拋物線C上存在點(diǎn)P(1，2)或P(1，－2)，使直線PA，PM，PB的斜率成等差數(shù)列.設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1(m≠0)， 因?yàn)閽佄锞€y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，因?yàn)閙2＋1≠0，所以y－4＝0，解得y0＝±2.將y0