2025屆高三數學一輪總復習 第九章 專題十 概率與統計的熱點問題配套課件

專題十概率與統計的熱點問題2025年高考一輪總復習第九章

計數原理、概率、隨機變量及其分布題型一數據分析型問題

[例1]《中國制造2025》提出，堅持“創(chuàng)新驅動、質量為先、綠色發(fā)展、結構優(yōu)化、人才為本”的基本方針，通過“三步走”實現制造強國的戰(zhàn)略目標：第一步，到2025年邁入制造強國行列；第二步，到2035年中國制造業(yè)整體達到世界制造強國陣營中等水平；第三步，到新中國成立一百年時，我制造業(yè)大國地位更加鞏固，綜合實力進入世界制造強國前列.質檢部門對出口的甲、乙兩種無人機分別隨機抽取100架檢測某項質量指標，由檢測結果得到如圖10-1所示的頻率分布直方圖：甲乙圖10-1

(1)寫出頻率分布直方圖(甲)中a的值；記甲、乙兩種無人機大小(只需給出答案)；

(2)若質檢部門規(guī)定質量指標高于20的無人機為優(yōu)質產品，根據上面抽取的200架無人機的質量指標及小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否推斷甲、乙兩種無人機的優(yōu)質率有差異.產品質量甲乙合計優(yōu)質產品/架不是優(yōu)質產品/架合計/架100100200α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解：(1)a＝0.010，且

(2)甲種無人機的優(yōu)質率為0.25＋0.1＋0.35＝0.7，所以甲種無人機優(yōu)質產品有70架，不是優(yōu)質產品的有30架；乙種無人機中優(yōu)質率為0.3＋0.2＋0.1＝0.6，所以乙種無人機中優(yōu)質產品有60架，不是優(yōu)質產品的有40架.產品質量甲乙合計優(yōu)質產品/架7060130不是優(yōu)質產品/架304070合計/架1001002002×2列聯表如下：

零假設H0：甲、乙兩種“無人機”的優(yōu)質率沒有差異.經計算得到

故依據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，不能推斷甲、乙兩種“無人機”的優(yōu)質率有差異.(3)計算得x＝5×0.15＋15×0.25＋25×0.3＋35×0.2＋45×0.1＝23.5.因為Z～N(23.5，142.75)，11.6≈μ－σ，35.4＝μ＋σ，所以P(11.6≤Z≤35.4)＝0.6827.故從乙種無人機中隨機抽取1架，其質量指標值位于[11.6，35.4]的概率是0.6827.根據題意得X～B(10，0.6827)，∴E(X)＝10×0.6827＝6.827.

【題后反思】數據分析主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型對信息進行分析、推斷，獲得結論.該類問題常以科技、生活中的熱點為載體，將收集到的數據信息以圖表(頻率分布直方圖、餅圖、條形圖等)的形式展現，重在考查數據提取能力和解決問題的能力.的概率為，被感染的白鼠數用隨機變量X表示，假設每只白鼠是【互動探究】

1.(2023年深圳市模擬)某制藥公司研制了一款針對某種病毒的新疫苗.該病毒一般通過病鼠與白鼠之間的接觸傳染，現有n只白鼠，讓這n只白鼠都接觸病鼠，每只白鼠在接觸病鼠后被感染否被感染之間相互獨立.(1)若P(X＝5)＝P(X＝95)，求數學期望E(X)；圖10-2①試寫出事件“X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10”發(fā)生的概率表達式(用p表示，保留組合數)；題型二概率與數列交匯問題

[例2](2023年全國Ⅰ卷)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第i次投籃的人是甲的概率；(3)若隨機變量Xi

服從兩點分布，且滿足P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝到第n次投籃)中甲投籃的次數為Y，求E(Y).解：(1)設第2次投籃的人是乙的概率為P，由題意得P＝0.5×0.4＋0.5×0.8＝0.6.(2)由題意設Pn

為第n次投籃的是甲，則Pn＋1＝0.6Pn＋0.2(1－Pn)＝0.4Pn＋0.2，【題后反思】

此類問題應先抓住變化前后量的變化，借助概率統計的知識建立有關P的函數解析式或遞推關系式，在此基礎上借助數列知識求解相應問題.為，游客之間選擇意愿相互獨立.【互動探究】

2.(2023年邵陽市期末)位于新寧縣的崀山風景名勝區(qū)是國家5A級景區(qū)，其中“八角寨”景區(qū)和“天下第一巷”景區(qū)是新寧崀山景區(qū)的兩張名片.為了合理配置旅游資源，現對已游覽“八角寨”景區(qū)且尚未游覽“天下第一巷”景區(qū)的游客進行隨機調查，若不游覽“天下第一巷”景區(qū)記2分，若繼續(xù)游覽“天下第一巷”景區(qū)記4分.假設每位游客選擇游覽“天下第一巷”景區(qū)的概率均(1)從游客中隨機抽取2人，記總得分為隨機變量X，求X的數學期望；(2)①記pk(k∈N*)表示“從游客中隨機抽取k人，總分恰為2k分”的概率，求{pk}的前4項和；②在對游客逐一進行隨機問卷調查中(參與調查的游客足夠多)，記an(n∈N*)表示“曾有某一刻已調查過的游客的累計得分恰為2n分”的概率，探求an與an－1(n≥2)的關系，并求數列{an}的通項公式.解：(1)易知X的所有取值為4，6，8，題型三概率與統計案例的綜合應用

[例3](2022年蘇州市模擬)為落實“十三五”規(guī)劃節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對市場上兩種設備的使用壽命進行調查統計，隨機抽取A型和B型設備各100臺，分別得到如圖10-3和圖10-4所示的頻率分布直方圖：圖10-3圖10-4型號超過2500小時不超過2500小時合計A型/臺B型/臺合計/臺(1)將使用壽命超過2500小時和不超過2500小時的臺數填入下面的列聯表：根據上面的列聯表，依據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為使用壽命是否超過2500小時與型號有關？

(2)用分層隨機抽樣的方法從不超過2500小時的A型和B型設備中抽取8臺，再從這8臺設備中隨機抽取3臺，其中A型設備為X臺，求X的分布列和均值；

(3)已知用頻率估計概率，現有一項工作需要10臺同型號設備同時工作2500小時才能完成，工作期間設備損壞立即更換同型號設備(更換設備時間忽略不計)，A型和B型設備每臺的價格分別為1萬元和0.6萬元，A型和B型設備每臺每小時耗電分別為2度和6度，電價為0.75元/度.只考慮設備的成本和電費，你認為應選擇哪種型號的設備，請說明理由.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828參考數據：

解：(1)由頻率分布直方圖可知，A型超過2500小時的有100×(0.0006＋0.0005＋0.0003)×500＝70(臺)，則A型不超過2500小時的有30臺，同理，B型超過2500小時的有100×(0.0006＋0.0003＋0.0001)×500＝50(臺)，則B型不超過2500小時的有50臺.型號超過2500小時不超過2500小時合計A型/臺7030100B型/臺5050100合計/臺12080200列聯表如下：零假設為H0：使用壽命是否超過2500小時與型號無關，根據列聯表中的數據，經計算得到

所以依據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0

不成立，即認為使用壽命是否超過2500小時與型號有關.

(2)由(1)和分層隨機抽樣的定義可知A型設備有3臺，B型設備有5臺，

所以X的所有可能取值為0，1，2，3，(3)由頻率分布直方圖中的頻率估計概率知，A型設備每臺更換的概率為0.3，所以10臺A型設備估計要更換3臺；B型設備每臺更換的概率為0.5，所以10臺B型設備估計要更換5臺，選擇A型設備的總費用y1＝(10＋3)×1＋10×2×0.75×2500×10-4＝16.75(萬元)，選擇B型設備的總費用y2＝(10＋5)×0.6＋10×6×0.75×2500×10-4＝20.25(萬元)，y1<y2，所以選擇A型設備.

【反思感悟】高考中常將獨立性檢驗與分布列等交匯在一起進行考查，由頻率分布直方圖解決相關問題，解題的關鍵是正確理解頻率分布直方圖，能利用頻率分布直方圖正確計算出各組數據.度y/cm0479111213【互動探究】3.(2022年瓊山區(qū)校級月考)設某幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測得的