2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 第四講 平面向量的綜合應(yīng)用配套課件

第四講平面向量的綜合應(yīng)用2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第五章

平面向量與復(fù)數(shù)1.向量在平面幾何中的應(yīng)用

平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題.設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ為實(shí)數(shù).

(1)證明線段平行或點(diǎn)共線問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用共線向量定理：

a∥b

?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)證明垂直問(wèn)題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：

a⊥b

?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夾角問(wèn)題，利用夾角公式：2.平面向量與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯

平面向量作為一種運(yùn)算工具，經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)結(jié)合.當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時(shí)，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式.在此基礎(chǔ)上，可以求解有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問(wèn)題.此類問(wèn)題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).考點(diǎn)一平面向量在平面幾何中的應(yīng)用圖5-4-1圖5-4-2【題后反思】用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟平面幾何問(wèn)題向量問(wèn)題解決向量問(wèn)題解決幾何問(wèn)題.【變式訓(xùn)練】△ABC為()A.等邊三角形C.等腰三角形

B.直角三角形D.三邊均不相等的三角形答案：A考點(diǎn)二平面向量在解析幾何中的應(yīng)用

[例2]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F(0，1)，直線l：y＝－1.P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l的垂線，垂足為Q，且(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)記點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過(guò)點(diǎn)F作直線m，與曲線C交于【題后反思】向量在解析幾何中的兩個(gè)作用

(1)載體作用：向量在解析幾何問(wèn)題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，推導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問(wèn)題.

(2)工具作用：利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問(wèn)題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問(wèn)題常常是比較優(yōu)越的方法.

【變式訓(xùn)練】所以|QN|＝|QP|.由|MQ|＋|QP|＝|MP|＝4，可得|NQ|＋|QM|＝4，所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.圖D25(2)如圖D26，直線l：y＝kx＋1與軌跡Γ相交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)D，圖D26考點(diǎn)三平面向量在物理中的應(yīng)用

[例3](1)一物體在力F1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3，1)的共同作用下從點(diǎn)A(1，1)移動(dòng)到點(diǎn)B(0，5).在這個(gè)過(guò)程中三個(gè)力的合力所做的功等于________.即三個(gè)力的合力所做的功為－40.答案：－40

(2)如圖5-4-3所示，粗糙的水平地面上有一質(zhì)量為m的小木塊A，小木塊與桌面間的動(dòng)摩擦系數(shù)μ＝0.5.對(duì)小木塊施加一個(gè)向右上方的、大小恒為F的拉力，使木塊在地面上運(yùn)動(dòng).當(dāng)小木塊加速度最大時(shí)，拉力與水平面的夾角為θ，求tanθ的值.圖5-4-3解：如圖5-4-4所示，小木塊對(duì)地面的壓力的大小為mg－F·sinθ.圖5-4-4小木塊與桌面間的滑動(dòng)摩擦力的大小為μ(mg－F·sinθ)＝0.5(mg－F·sinθ).小木塊受到水平向右的合力的大小為

其中tanφ＝2.

當(dāng)小木塊受到水平向右的合力最大時(shí)，加速度最大，此時(shí)【題后反思】用向量方法解決物理問(wèn)題的步驟①把物理問(wèn)題中的相關(guān)量用向量表示；②轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題的模型，通過(guò)向量運(yùn)算使問(wèn)題解決；③結(jié)果還原為物理問(wèn)題.

【變式訓(xùn)練】

(多選題)在日常生活中，我們會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情況.假設(shè)行李包所受的重力為G，所受的兩個(gè)拉力分別為F1，F(xiàn)2，若|F1|＝|F2|且F1

與F2的夾角為θ，則以下結(jié)論正確的是()豎直方向沒(méi)有分力與重力平衡，不成立.所以θ∈[0，π)，B錯(cuò)誤.故選ACD.

答案：ACD⊙三角形的四“心”A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P為△ABC的垂心.答案：D(2)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，一定通過(guò)△ABC的()A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心菱形的基本性質(zhì)可知AP平分∠BAC，所以點(diǎn)P圖5-4-5的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心.答案：B定通過(guò)△ABC的()A.重心B.垂心C.內(nèi)心D.外心答案：B)通過(guò)△ABC的( A.重心 C.內(nèi)心

B.垂心D.外心∴P∈AM，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的重心.答案：A【反思感悟】三角形各心的概念介紹【高分訓(xùn)練】1.點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn).的平行四邊形的對(duì)角線互相垂直.∴點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，∴點(diǎn)P必過(guò)△ABC的外心.答案：垂心