專題03角的n等分模型-初中數(shù)學(xué)模型與解題方法專題訓(xùn)練

03角的n等分模型一、單選題1．如圖所示，平分，平分，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠CON＝∠DON，∠BOM＝∠AOM，∵∠CON＋∠BOM＝∠MON?∠BOC＝（m?n）°，∴∠COD＋∠AOB＝2（∠CON＋∠BOM）＝2（m?n）°，則∠AOD＝∠COD＋∠AOB＋∠BOC＝（2m?2n＋n）°＝（2m?n）°．故選C．2．如圖所示，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，則∠MON的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，又∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC∴∴，故答案為：B．3．如圖所示，是的平分線，是的平分線，若，那么（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，∴∠BOC=∠AOB=∠AOC，∠COD=∠DOE=∠COE，又∵∠AOC=70°，∠COE=40°，∴∠BOC=35°，∠COD=20°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=35°+20°=55°，故選B．4．如圖，，平分，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵平分，∴，∴∵，∴∴，∴，∵∴∴，故選：A．5．如圖，分別平分平分，下列結(jié)論:①；②；③；④其中正確的個(gè)數(shù)有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【詳解】∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，OH平分∠AOC∴∠BOM=∠AOM=∠AOB，∠BON=∠CON=∠COB，∠COH=∠AOH=∠AOC∴∠MON=∠AOC，∠HOC=∠AOC∴∠MON=∠HOC，故①正確；2∠MOH=2(∠BOM∠BOH)=2∠BOM2∠BOH=∠AOB∠BOH∠BOH=∠AOH∠BOH，故②正確；2∠MON=2(∠NOB+∠BOH+∠MOH)=∠AOC≠∠AOC+∠BOH，故③正確；2∠NOH=2∠NOB+2∠BOH=∠BOC+2∠BOH=∠COH+∠BOH，故④正確；故答案選擇C.6．如圖，平分，平分，，，（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵平分，平分，，∴，，∴，∵，∴，∴．故選：A．二、填空題7．如圖，是的平分線，是的平分線，已知，那么.

【答案】【詳解】解：因?yàn)槠椒?平分,所以所以，故答案為：．8．如圖，．

（1）是的平分線，是的平分線，是的平分線；（2），=；（3）；，（4）若，則．【答案】和【詳解】解：（1）∵，∴是或的角平分線；是的角平分線；是的角平分線；故答案為：或；；．（2）；；故答案為：；；．（3）∵，，，∴；故答案為：；．（4）∵，∴，∴．故答案為：．9．如圖，已知，且圖中所有角的和等于，則的度數(shù)為．【答案】【詳解】解：如圖，設(shè)，，，，．故答案為：．10．將兩個(gè)形狀、大小完全相同的含有30°、60°的三角板PAB與PCD如圖放置，A、P、C三點(diǎn)在同一直線上，現(xiàn)將三角板PAB繞點(diǎn)P沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖，若PE平分∠APD，PF平分∠BPD，則∠EPF的度數(shù)是°.

【答案】15【詳解】設(shè)∠APE＝∠DPE＝x，∠BPF＝∠DPF=y，∵∠EPF＝∠DPE∠DPF=xy又∠EPF＝∠BPF∠BPE=y(x30°)∴xy＝y(tǒng)(x30°)，∴xy=15°，故∠EPF=15°，故填：15°.11．如圖，OM，ON分別是∠BOC和∠AOC的平分線，∠AOB＝84°.(1)∠MON=；(2)當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，∠MON的值改變．(填“會(huì)”或“不會(huì)”)

【答案】42°不會(huì)【詳解】①∵OM、ON分別是∠BOC和∠AOC的平分線,∠AOB=84°，∴∠MON=(∠AOC+∠BOC)÷2=84°÷2=42°.②當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，∠MON的值不會(huì)改變.故答案為42°、不會(huì).12．如圖，在內(nèi)部，且，是的平分線，，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論有（寫序號(hào)）．

【答案】①②④【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，，∴；故①正確；∴，∵是的平分線，∴，∴，∴，故②正確；∵，，∴，∴，∵，∴，故③錯(cuò)誤；∵，，∴；故④正確；故答案為：①②④．三、解答題13．已知：如圖，在的內(nèi)部，平分平分．

(1)當(dāng)時(shí)，___________；(2)當(dāng)時(shí)，___________；(3)當(dāng)時(shí)，___________；(4)猜想：不論和的度數(shù)是多少，的度數(shù)總等于________的度數(shù)的一半．【答案】(1)；(2)40；(3)40；(4)【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：45；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：40；（3）解：∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵平分，∴，∴，故答案為：40；（4）解：由以上（1）（2）（3）得出結(jié)論，即不論和的度數(shù)是多少，的度數(shù)總等于的度數(shù)的一半．故答案為：．14．（1）如圖1所示，已知，平分，、分別平分、，求的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）中把“平分”改為“是內(nèi)任意一條射線”，其他任何條件都不變，試求的度數(shù)；（3）如圖3，在（1）中把“平分”改為“是外的一條射線且點(diǎn)C與點(diǎn)B在直線的同側(cè)”，其他任何條件都不變，請(qǐng)你直接寫出的度數(shù)【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】解：（1）∵，平分，∴，∵、分別平分、，∴，，∴；（2）∵、分別平分、，∴，，∴；（3）∵、分別平分、，∴，，∴．15．劉星對(duì)幾何中角平分線等興趣濃厚，請(qǐng)你和他一起探究下面問題吧，已知，射線，分別是和的角平分線．(1)如圖，若射線在的內(nèi)部，且，求的度數(shù)；(2)如圖，若射線在的內(nèi)部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則的度數(shù)；(3)若射線在的外部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)中，均指小于的角，其余條件不變，請(qǐng)借助圖探究的大小．【答案】(1)；(2)；(3)或【詳解】（1）解：，，，，分別是和的角平分線，，，；（2）解：，分別是和的角平分線，，，；（3）解：①射線，只有個(gè)在外面，如圖3①，∴；；②射線，都在外面，如圖3②，

．16．如圖，過點(diǎn)O在內(nèi)部作射線．，分別平分和，與互補(bǔ)，．(1)如圖1，若，則______°，______°，______°；(2)如圖2，若平分．試探索：是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

【答案】(1)、、；(2)是定值，理由見解析【詳解】（1）解：∵和互補(bǔ)，，∴，∴，∵，分別平分和，∴，，∴，，故答案為：、、；（2）是定值，理由如下：∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴．17．如圖1，線段，，、分別是、的中點(diǎn)．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）若，則___________．【拓展探究】（2）當(dāng)線段在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷的長度是否發(fā)生變化？如果不變，求出的長度；如果變化，請(qǐng)說明理由．【問題解決】（3）我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖2，、分別平分和．若，，求的度數(shù)．

【答案】（1）；（2）的長度不變，；（3）【詳解】解：（1），，，、分別是、的中點(diǎn)，，，，故答案為：；（2）的長度不變，理由如下：，，，、分別是、的中點(diǎn)，，，，;當(dāng)線段在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的長度不變，；（3），，，、分別平分和，，，，．18．問題提出如圖（1），已知線段，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)．（1）若，求的長；（2）若把“點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”改為“點(diǎn)為直線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”，當(dāng)時(shí)，求的長；知識(shí)遷移（3）如圖（2），過的內(nèi)部任一點(diǎn)畫射線，其中分別平分和；試猜想與的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）【詳解】解：（1）∵，，∴，∵點(diǎn)D、E分別是和的中點(diǎn)，∴，，∴；（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)C在線段上，由（1）得；②當(dāng)點(diǎn)C在直線的左邊，如圖所示，∴，∵，且D是的中點(diǎn)，∴，又∵E分別是的中點(diǎn)，∴，∴，∴當(dāng)C在直線上時(shí)，線段的長度是；綜上，的長是．（3），理由如下：∵、分別平分和，∴，，∴．19．已知，是過點(diǎn)的一條射線，，分別平分，．

(1)如圖①，如果射線在的內(nèi)部，且，求的度數(shù)；(2)如圖②，如果射線在的內(nèi)部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，的度數(shù)是多少？為什么？【答案】(1)；(2)，理由見解析【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所以．因?yàn)椋謩e平分，，所以，，所以；（2）解：因?yàn)椋謩e平分，，所以，，所以，因?yàn)?，所以?0．如圖①，已知線段AB＝14cm，點(diǎn)C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)．（1）若點(diǎn)C恰好是AB的中點(diǎn)，則DE＝______cm；若AC＝6cm，則DE＝_______cm；（2）隨著C點(diǎn)位置的改變，DE的長是否會(huì)改變？如果改變，請(qǐng)說明原因；如果不變，請(qǐng)求出DE的長；（3）知識(shí)遷移：如圖②，已知∠AOB＝130°，過角的內(nèi)部任意一點(diǎn)C畫射線OC，若OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，試說明∠DOE的度數(shù)與射線OC的位置無關(guān)．【答案】（1）7，7；（2）DE的長不會(huì)改變，DE的長為7cm；（3）證明見解析．【詳解】解：（1）∵AB=14cm，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，∴AC=BC=AB=7cm，∵點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)，∴DC=AC=3.5cm，CE=BC=3.5cm，∴DE=DC+CE=3.5+3.5=7，∵AC=6cm，∴BC=AB﹣AC=14﹣6=8cm，∴DC=AC=3cm，CE=BC=4cm，∴DE=DC+CE=3+4=7cm，故答案為：7，7；（2）DE的長不會(huì)改變．理由如下：∵點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，∴DC＝AC．∵點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，∴CE＝BC．∴DE＝DC+CE＝AC+BC＝AB＝×14＝7cm．∴DE的長為7cm．DE的長不會(huì)改變（3）∵OD平分∠AOC，∴∠DOC＝AOC．∵OE平分∠BOC，∴∠EOC＝∠BOC．∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB．∵∠AOB＝130°，∴∠DOE＝∠AOB＝∠130°＝65°．∴∠DOE的度數(shù)與射線OC的位置無關(guān)．21．（1）如圖1，已知點(diǎn)C、D為線段上兩點(diǎn)，且，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是線段和的中點(diǎn)．若線段，則線段______cm，______cm，______cm．（2）已知為從頂點(diǎn)出發(fā)的兩條射線，且，射線和射線分別平分、．①如圖2，若均為內(nèi)的兩條射線，且，求的度數(shù)．②如圖3，若為外的一條射線，且，則______°．【答案】（1）5；4；4.5（2）①；②64或16【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，，∵點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是線段和的中點(diǎn)，∴，，∴，故答案為：5；4；4.5；（2）解：①∵，∴，∴．∵平分，∴，∵，∴，∴，，∵平分，∴，∴．②當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，∵，OM平分，∴，∴．∵，∴．∵平分，∴，∴，∴．當(dāng)在外部時(shí)，．∵，∴，∴．22．【情境探究】如圖1，已知線段，，線段在線段上運(yùn)動(dòng)，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，探究線段的特征．

(1)若，則________；(2)當(dāng)線段在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷的長度是否發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出的長度，如果變化，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，已知，，在內(nèi)部轉(zhuǎn)動(dòng)，分別是和的角平分線，求的度數(shù)；(4)請(qǐng)直接寫出，和之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)18；(2)的長度不變，18cm；(3)；(4)【詳解】（1）解：∵，，，，∴cm，∵E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，∴，∴；故答案為：；（2）的長度不變．理由如下：∵，分別是AC，BD的中點(diǎn)，∴，，∴∵，，∴．（3）解：∵，分別平分和，∴，，∴，∵，，∴．（4）∵，分別平分和，∴，，∴．23．如圖，已知，，，分別平分與．(1)求的度數(shù)；(2)若，，且，求的度數(shù)【答案】(1)；(2)【詳解】（1）∵平分，平分，，，∴，，∴；（2）∵平分，，∴，∵，∴．24．如圖，已知，，平分，平分，求和的度數(shù)．【答案】，【詳解】解：，平分，，，，平分，，．25．如圖，已知∠AOB=120°，射線OP從OA位置出發(fā)，以每秒2°的速度順時(shí)針向射線OB旋轉(zhuǎn)；與此同時(shí)，射線OQ以每秒6°的速度，從OB位置出發(fā)逆時(shí)針向射線OA旋轉(zhuǎn)，到達(dá)射線OA后又以同樣的速度順時(shí)針返回，當(dāng)射線OQ返回并與射線OP重合時(shí)，兩條射線同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，求∠POQ的度數(shù)；（2）當(dāng)∠POQ=40°時(shí)，求t的值；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在t的值，使得∠POQ=∠AOQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）∠POQ=104°；（2）當(dāng)∠POQ=40°時(shí)，t的值為10或20；（3）存在，t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ．【詳解】解：當(dāng)OQ，OP第一次相遇時(shí)，2t+6t=120，t=15；當(dāng)OQ剛到達(dá)OA時(shí)，6t=120，t=20；當(dāng)OQ，OP第二次相遇時(shí)，2t6t=120+2t，t=30；（1）當(dāng)t=2時(shí)，∠AOP=2t=4°，∠BOQ=6t=12°，∴∠POQ=∠AOB∠AOP∠BOQ=120°4°12°=104°.（2）當(dāng)0≤t≤15時(shí)，2t+40+6t=120，t=10；當(dāng)15＜t≤20時(shí)，2t+6t=120+40，t=20；當(dāng)20＜t≤30時(shí)，2t=6t120+40，t=20（舍去）；答：當(dāng)∠POQ=40°時(shí)，t的值為10或20.（3）當(dāng)0≤t≤15時(shí)，1208t=(1206t），1208t=603t，t=12；當(dāng)15＜t≤20時(shí)，2t–(1206t）=(1206t），t=.當(dāng)20＜t≤30時(shí)，2t–(6t120）=(6t120），t=.答：存在t=12或或，使得∠POQ=∠AOQ.26．已知，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，，是的平分線．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，是的平分線，求的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，是的一條三等分線，，若，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．（不用寫過程）【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）∵∠COD=90°，∠COE=63°，∴∠DOE=∠COD∠COE=27°，∵OE是∠AOD的平分線，∴∠AOD=2∠DOE=54°，∴∠BOD=180°∠AOD=180°54°=126°；答：∠BOD的度數(shù)為126°；（2）∵OE是∠AOD的平分線，∴∵是的平分線，∴，∴，∵，∴，答：的度數(shù)為；（3）由（2）得∠EOF=45°，∵∠AOC+∠DOF=∠EOF=45°，∴∠DOF=45°∠AOC，又∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴．27．已知、共頂點(diǎn)O，平分，平分．

(1)如圖1，當(dāng)與重合時(shí)，若，，求的度數(shù)；(2)將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α至圖2所示位置，設(shè)，求的度數(shù)（用、表示）；(3)在（1）條件下，將從圖1所示位置逆時(shí)針以每秒2°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（），當(dāng)時(shí)，的值為．（直接寫出答案）【答案】(1)10度；(2)；(3)5或75【詳解】（1）解：如圖1，

∵平分，平分，與重合，∴，，∴；（2）如圖2，

∵平分，平分，∴，，∴＝＝＝＝＝，∵繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角，∴，∵，∴；（3）①當(dāng)時(shí)，如圖3，

由題可知，，則，，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，解得：；②當(dāng)時(shí)，如圖4，

由題可知，，則，，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，解得：（不符合題意，舍去）；③當(dāng)時(shí)，如圖5，

由題可知，，則，，∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，解得：（不符合題意，舍去）；④當(dāng)時(shí)，如圖6，

由題可知，，則，，∵平分，平分，∴∴，，∴，∵，∴，解得：；綜上，t的值為或，故答案為：或．28．探索新知：如圖1，射