24.4解直角三角形（重點練）2021-2022學年九年級數學上冊（華東師大版）

24.4解直角三角形（重點練）一、單選題1．（2020·重慶西南大學銀翔實驗中學九年級月考）在學校操場旁邊的臺階上有一個“翔”的雕塑，雕塑后面是很長的一段臺階CD，意寓擁抱夢想，展翅翱翔，如圖，雕塑的上邊緣點A距地面平臺高度為AB的長，點B距臺階底端C的距離米，臺階底端C與頂端D的連線可視作坡度為1:0.75的斜坡，且米．若A，B，C，D四點在同一平面內，且在點D看石雕上邊緣點A的俯角為，則雕塑“翔”的高度AB約為（）米．（參考數據：，，）A．2.21 B．2.20 C．2.25 D．2.31【答案】C【分析】過作于，則四邊形為矩形，得，，由坡度為的斜坡，設米，則米，由勾股定理求得，得出米，米，米，由，求出米，即可得出結果．【詳解】解：過作于，如圖所示：則四邊形為矩形，，，臺階底端與頂端的連線可視作坡度為的斜坡，設米，則米，由勾股定理得：，即，解得：，則（米，（米，（米，米，在點看石雕上邊緣點的俯角為，，在中，，（米，則（米故選：．．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角、坡度坡角問題以及矩形的判定與性質、勾股定理等知識；掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．2．（2020·安徽九年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，點E是邊BC上一動點，B關于AE的對稱點為B′，過B′作B′F⊥DC于F，連接DB′，若△DB′F為等腰直角三角形，則BE的長是（）A．6 B．3 C．3 D．6﹣6【答案】D【分析】根據B關于AE的對稱點為B′，可得，等腰直角三角形，可得三點共線，可求出BE的長．【詳解】解：,又△DB′F為等腰直角三角形，,又在矩形ABCD，,,又，等腰直角三角形,,,三點共線，在等腰直角△RCE，CE=CD=6,BE=BCCE=,故選D..【點睛】本題考查三角形的性質及解直角三角形，找出三點共線是解題關鍵．3．（2021·廣東九年級專題練習）如圖，一艘輪船在A處測得燈塔P位于其東北方向上，輪船沿正東方向航行30海里到達B處后，此時測得燈塔P位于其北偏東30°方向上，此時輪船與燈塔P的距離是（）海里．A．15+15 B．30+30 C．45+15 D．60【答案】B【分析】由題意得到△APC是等腰直角三角形，則AC=PC；△BPC是含30度角的直角三角形，通過解直角△BPC得到PC==BC，結合BP=2BC求得結論．【詳解】解：作PC⊥AB，垂足為C，根據題意，得∠PAC=45°，∴AC=PC，即30+BC=PC．又∵∠BPC=30°，∴BP=2BC，PC==BC，∴30+BC=BC，即BC==15（+1），∴BP=2BC=30（+1）=30+30．故選B．【點睛】本題考查了解直角三角形，解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．4．（2014·山西九年級專題練習）如圖，直角三角板ABC的斜邊AB=12㎝，∠A=30°，將三角板ABC繞C順時針旋轉90°至三角板的位置后，再沿CB方向向左平移，使點落在原三角板ABC的斜邊AB上，則三角板平移的距離為（）A．6㎝ B．4㎝ C．（6－）㎝ D．（）㎝【答案】C【詳解】如圖，過B′作B′D⊥AC，垂足為B′，∵在Rt△ABC中，AB=12，∠A=30°，∴BC=AB=6，AC=AB?sin30°=．由旋轉的性質可知B′C=BC=6，∴AB′=AC－B′C=．在Rt△AB′D中，∵∠A=30°，∴B′D=AB′?tan30°=（cm）．故選C．5．（2020·重慶南開中學九年級月考）如圖，學校某數學興趣小組想測量操場對面旗桿的高度，他們在C點測得旗桿頂部A的仰角為35°，再沿著坡度為3：4的樓梯向下走了3.5米到達D處，再繼續(xù)向旗桿方向走了15米到達E處，在E處測得旗桿頂部A的仰角為65°，己知旗桿所在平臺的高度為3.5米，則旗桿的高度為（）（結果精確到0.1，參考數據：，）．A．19.8米 B．19.7米 C．18.3米 D．16.2米【答案】C【分析】作于點G，作的延長線于點H，根據勾股定理和坡度比求得CH和DH的長，然后根據兩個正切值分別表示處AF，并求得AF的長，最終根據AFBF即可求解AB的長．【詳解】作于點G，作的延長線于點H，設CH=3x，則DH=4x，在中解得x=0.7∴CH=2.1，DH=2.8根據題意CG=FH=DH+DE+EF=2.8+15+EF=17.8+EF，FG=CH=2.1∵∴AG=0.7CG∴又∵∴AF=2.1EF∴解得EF=10.4∴∴AB=AFBF=21.83.5=18.3（米）故選C．【點睛】本題考查了勾股定理，銳角三角函數，關鍵是作出輔助線，用兩種方法表示AF并求解AF．6．（2018·重慶渝中·九年級月考）如圖，已知D是AB上一點，CD⊥AC于C，AD：DB=2：3，sin∠DCB=，AC=10，則BC的長為（）A．15 B．20 C．5 D．25【答案】D【分析】如圖，作DE∥AC交BC于E．由DE∥AC，推出===，∠CDE=∠ACD=90°，由AC=10，可得DE=6，推出sin∠DCB==，推出EC=10，由=，可得BE=15，由此即可解決問題；【詳解】解：如圖，作DE∥AC交BC于E．∵DE∥AC，∴===，∠CDE=∠ACD=90°．∵AC=10，∴DE=6，∴sin∠DCB==，∴EC=10．∵=，∴BE=15，∴BC=EC+BE=10+15=25．故選D．【點睛】本題考查了解直角三角形、平行線分線段成比例定理、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題7．（2019·浙江九年級課時練習）如圖，孔明同學背著一桶水，從山腳A出發(fā)，沿與地面成30°角的山坡向上，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B處)．AB＝80米，則孔明從A到B上升的高度BC是____米．【答案】40【分析】根據坡度為30°,可得BC：AB=1：2,然后根據AB=80米,代入求出BC的值即可．【詳解】解：∵山坡的坡度為30°,∴BC：AB=1：2,∵AB=80米,∴BA=×80=40（米）,故答案為40．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用,解答本題的關鍵是要熟練掌握坡度的概念和解直角三角形的方法．8．（2018·全國九年級單元測試）小強站在外灘黃浦江邊觀測對面的東方明珠電視塔，測得塔頂的仰角為，塔底的俯角為，如果王強離電視塔的距離為米，則電視塔的高度為________米（用所給字母表示）．【答案】m(tanα+tanβ)【分析】把所求線段合理分割為兩個直角三角形的兩條邊,利用相應的三角函數求解即可.【詳解】解:如圖：設東方明珠電視塔為AB,外灘黃浦江邊為CD.根據題意可得:在△EBC中,有BE=mtanα.在△AEC中,有AE=m·tanβ.AB=m(tanα+tanβ).故答案:m(tanα+tanβ).【點睛】本題考查俯角、仰角的定義,要求學生能借助其關系構造直角三角形并解直角三角形.9．（2018·全國九年級單元測試）如圖，某部門計劃在火車站和大學城之間修一條長為公里的公路，經測量在火車站北偏東度方向，西偏北度方向處有一圓形公園，要想計劃修筑的公路不會穿過公園，則公園半徑最大為________．【答案】公里【分析】過點C作CH⊥AB,H是垂足.AH與BH都可以根據三角函數用CH表示出來.根據AB的長,得到一個關于CH的方程,解出CH的長,即為公園半徑的最大值.【詳解】解:如圖,過C作CH⊥AB于H,設CH=x,可得：∠CAB=30,∠CBH=45.在Rt△ACH中,tan∠CAH=,AH==x，在Rt△HBC中,BH=CH=x,AH+HB=AB,x+x=4,解得x=.答:公園半徑最大為公里.故答案為公里.【點睛】本題主要考查解直角三角形的應用,解一般三角形的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題,解決的方法就是作高線.10．（2011·河南九年級期末）上午九時，一條船從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度向正東方向航行，9時30分到達B處，從A、B兩處分別測得小島M在北偏東45°和北偏東15°方向，則B處船與小島M的距離是_______海里【答案】20【解析】AB=40×=20海里，∠ABM=105°．過點B作BC⊥AM與點C．在直角△ABC中，BC=AB?sin45°=10，直角△BCM中，∠MBC=60°，∴BM=2BC=20海里．11．（2021·湖北曾都·）如圖，矩形的頂點分別在軸、軸上，頂點在第二象限，將線段繞點按順時針方向旋轉得到線段連接反比例函數的圖象經過兩點，則的值為____．【答案】【分析】作DE⊥x軸，垂足為E，設OA=m，則點B坐標為，根據旋轉的性質求出OA=OD=m，∠AOD=60°，求出點D坐標為，構造關于m的方程，解方程得出點B坐標，即可求解．【詳解】解：如圖，作DE⊥x軸，垂足為E，設OA=m，則點B坐標為，∵線段繞點按順時針方向旋轉得到線段∴OA=OD=m，∠AOD=60°，∴，，∴點D坐標為，∵點B、D都在反比例函數的圖象上，∴，解得（不合題意，舍去），∴點B坐標為，∴．故答案為：【點睛】本題為反比例函數與幾何綜合題，考查了反比例函數的性質，旋轉的性質，三角函數等知識，理解反比例函數性質，構造方程，求出點B坐標是解題關鍵．12．（2020·河北九年級）半徑為的是銳角三角形的外接圓，，連接，延長交弦于點．若是直角三角形，則弦的長為_____．【答案】或【分析】分∠ODB=90°與∠DOB=90°兩種情況分別進行求解即可.【詳解】如圖1，當時，即，，，，是等邊三角形，，，，；如圖2，當，，是等腰直角三角形，∠OBC=45°，，綜上所述，若是直角三角形，則弦的長為或，故答案為或.【點睛】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的性質與判定，等邊三角形的判定與性質，解直角三角形等，正確把握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.注意分類討論思想的運用.13．（2020·哈爾濱市第四十七中學九年級）已知△ABC，O為AC中點，點P在AC上，若OP=，tan∠A=，∠B=120°，BC=2，則AP=________．【答案】2或【分析】作CD⊥AB的延長線于D，求得∠CBD＝60°，解直角三角形求得DC＝3，進而求得AD＝6，根據勾股定理求得AC＝3，即可求得AO，然后求得AP＝2或．【詳解】作CD⊥AB的延長線于D．∵∠ABC＝120°，∴∠CBD＝60°．∵BC＝2，∴DC＝BC?sin60°＝2?3．∵tan∠A，∴AD＝6，∴AC，∴AO．∵OP，∴AP＝2或．故答案為2或．【點睛】本題考查了解直角三角形以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．14．（2019·全國九年級單元測試）如圖，為了測量某建筑物的高度，在平地上

處測得建筑物頂端的仰角為，沿方向前進到達

處，在處測得建筑物項端的仰角為，則建筑物的高度等于________．【答案】【分析】根據題意可以得到，∠ACB=30°，∠ADB=45°，然后根據圖形可以得到AB與CB、BD之間的關系，從而可以求得AB的長度．【詳解】解：由題意可得：∠ACB=30°，∠ADB=45°．∵tan30°=，tan45°=，CB=CD+DB，CD=30m，∴，解得：AB=BD=15（）．故答案為15（）．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解題的關鍵是利用數形結合的思想找出各邊之間的關系，然后找出所求問題需要的條件．15．（2018·全國九年級單元測試）市政府決定今年將長的大堤的迎水坡面鋪石加固．如圖，堤高，堤面加寬，坡度由原來的改成，則完成這一工程需要的石方數為________．【答案】【分析】由題意可知，要求的石方數其實就是橫截面為ABCD的直棱柱的體積．那么求出四邊形ABCD的面積即可解決問題．【詳解】解：∵Rt△BFD中，∠DBF的坡度為1：2，∴BF=2DF=8，S△BDF=BF×FD÷2=16．∵Rt△ACE中，∠A的坡度為1：2.5，∴CE：AE=1：2.5，CE=DF=4，AE=10．S梯形AFDC=（AE+EF+CD）×DF÷2=28，∴S四邊形ABCD=S梯形AFDC﹣S△BFD=12．那么所需的石方數應該是12×12000=144000（）．故答案為144000．【點睛】本題是將實際問題轉化為直角三角形中的數學問題，通過作輔助線構造直角三角形求解．16．（2018·全國九年級單元測試）如圖，某數學興趣小組想測量一棵樹的高度，他們先在點處測得樹頂的仰角為，然后沿方向前行，到達點，在處測得樹頂的仰角為（、、三點在同一直線上）．請你根據他們測量數據計算這棵樹的高度是________米．（結果保留根號）【答案】【分析】首先利用三角形的外角的性質求得∠ACB的度數，得到BC的長度，然后在直角△BDC中，利用三角函數即可求解．【詳解】∵∠CBD=60°，∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°．∵∠A=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10，在R△BCD中，CD=BC?sin∠CBD=10×=5．故答案為5．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，用到的知識點是三角形的外角、特殊角的三角函數值、等腰三角形的性質，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形．17．（2019·北京市第三十九中學九年級期中）如圖．將一塊斜邊長為12cm．∠B＝60°的直角三角尺ABC繞點C按逆時針方向旋轉90°至△A’B’C’的位置，再沿CB向右平移，使點B’剛好落在斜邊AB上，那么此三角尺向右平移的距離是______cm．【答案】(6－2)【解析】綜合利用直角三角形的性質和銳角三角函數的概念及旋轉，平移的性質解題．解：如圖，BC=AB?cos60°=6．由平移的性質知：∠WQS=∠ACB=90°，WQ=BC=6，∴BQ=WQ?cot60°=2．∴QC=BCBQ=62．本題考查了學生綜合運用數學知識的能力，注意旋轉和平移后的圖形與原圖形全等．三、解答題18．（2021·吉林臨江·九年級期末）如圖，在三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，將三角板ABC繞點C逆時針旋轉，當起始位置時的點B恰好落在邊A1B1上時，求A1B的長【答案】2【分析】先依據特殊銳角三角函數值可求得、的長，然后由旋轉的性質和等邊三角形的判定定理可得到是等邊三角形，從而得到的長度，最后依據求解即可．【詳解】解：，，，，，．由旋轉的性質可知：，，，是等邊三角形．．．故答案為：．【點睛】本題主要考查的是旋轉的性質的應用，得到是等邊三角形是解題的關鍵．19．（2020·石家莊外國語教育集團九年級月考）若商場為方便消費者購物，準備將原來的階梯式自動扶梯改造成斜坡式動扶梯，如圖所示，已知原階梯式自動扶梯長為10m，扶梯的坡度為．改造后的斜坡式動扶梯的坡角為（1）請你求出的長度；（2）請你計算改造后的斜坡式自動扶梯的長度．（結果精確到0.1m．參考數據：）【答案】（1）AD=5；（2）19.2m【分析】（1）根據勾股定理解直角三角形即可；（2）根據三角函數解直角三角形即可；【詳解】（1）解∵扶梯的坡度為，即．在中，，解得．因為不合題意，所以．（2）在中，，答：改造后的自動扶梯AC的長約為．【點睛】本題考查三角函數和勾股定理，掌握解直角三角形的方法是解題關鍵．20．（2020·張掖市第一中學九年級月考）如圖所示，A，B兩城市相距200km．現計劃在這兩座城市間修筑一條高速公路（即線段AB），經測量，森林保護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保護區(qū)的范圍在以P點為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域內．（參考數據：≈1.732，≈1.414）（1）求PA的長（結果保留根號）；（2）請問：計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護區(qū)，為什么？【答案】（1）200（﹣1）km；（2）這條高速公路不會穿越保護區(qū)，理由見解析．【分析】（1）過P作PC⊥AB于點C，設AC=x，由∠BPC=45°和∠APC=30°即可求得PA=2x，PC=BC=x，即可求得；（2）比較PC的長度和100km大小，即可判斷．【詳解】解：（1）如圖，過P作PC⊥AB于點C，根據題意可知：∠BPC=45°，∠APC=30°設AC=x，則PA=2x∴PC=BC=x∴AC+BC=AB=200，即x+x=200解得：x=100（﹣1）∴2x=200（﹣1）．答：PA的長為200（﹣1）km．（2）由（1）知，PC=x=100（3﹣）．∵100（3﹣）＞100∴這條高速公路不會穿越保護區(qū)．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，準確構造直角三角形是解題的關鍵．21．（2020·山西九年級期中）如圖，在斜坡的坡頂平臺處有一座信號塔，在坡頂處測得該塔的塔頂的仰角為，在坡底的點處測得塔頂的仰角為，已知斜坡長，坡度為，點與點在同一水平面上，且，．請解答以下問題：（1）求坡頂到地面的距離；（2）求信號塔的高度．（結果精確到，參考數據：，，）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）過點作，垂足為，根據斜坡的坡度為，設，則，根據勾股定理構造方程，求出k的值，即可求解；（2）延長交于點，求出PH=24，設，表示出AC=,在中，根據得到關于x的方程，即可求解．【詳解】解：（1）如圖，過點作，垂足為，斜坡的坡度為，．設，則，在中，由勾股定理，得．，解，得．．答：坡頂到地面的距離為．（2）如圖，延長交于點，由題意可知四邊形是矩形，，．，，．m，設，則．m．在中，，即．解，得．答：信號塔的高度約為．【點睛】本題為解直角三角形實際應用，根據題意作出直角三角形，解直角三角形是解題關鍵．22．（2018·河南省洛陽市東升第二中學九年級月考）如圖1，圖2分別是某款籃球架的實物圖與示意圖，已知底座BC=1.5米，底座BC與支架AC所成的角∠ACB=60°，支架AF的長為2.50米，籃板頂端F點到籃筐D的距離FD=1.3米，籃板底部支架HE與支架AF所成的角∠FHE=45°，求籃筐D到地面的距離．（精確到0.01米參考數據：≈1.73，≈1.41）【答案】3.05米【分析】延長FE交CB的延長線于M,過A作AG⊥FM于G,解直角三角形即可得到正確結論．【詳解】解：如圖：延長FE交CB的延長線于M，過A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan∠ACB=，∴AB=BC?tan60°=1.5×1.73=2.595，∴GM=AB=2.595，在Rt△AGF中，∵∠FAG=∠FHE=45°，sin∠FAG=，∴sin45°=，∴FG=1.76，∴DM=FG+GM﹣DF≈3.05米．答：籃框D到地面的距離是3.05米．【點睛】本題主要考查直角三角形和三角函數，構造合適的輔助線是本題解題的關鍵．23．（2020·廣西）博鰲亞洲論壇2018年年會于4月8日在海南博鰲拉開帷幕，組委會在會議中心的墻壁上懸掛會旗，已知矩形DCFE的兩邊DE，DC長分別為1.6m，1.2m．旗桿DB的長度為2m，DB與墻面AB的夾角∠DBG為35°．當會旗展開時，如圖所示，（1）求DF的長；（2）求點E到墻壁AB所在直線的距離．（結果精確到0.1m．參考數據：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）【答案】（1）2m．（2）2.5m．【分析】(1)由題意知ED=1.6m,BD=2m,利用勾股定理得出DF=求出即可;(2)分別做DM⊥AB，EN⊥AB，DH⊥EN，垂足分別為點M、N、H，利用sin∠DBM=及cos∠DEH=，可求出EH,HN即可得出答案.【詳解】解：（1）在Rt△DEF中，由題意知ED=1.6m，BD=2m，DF==2．答：DF長為2m．（2）分別做DM⊥AB，EN⊥AB，DH⊥EN，垂足分別為點M、N、H，在Rt△DBM中，sin∠DBM=，∴DM=2?sin35°≈1.14．∵∠EDC=∠CNB，∠DCE=∠NCB，∴∠EDC=∠CBN=35°，在Rt△DEH中，cos∠DEH=，∴EH=1.6?cos35°≈1.31．∴EN=EH+HN=1.31+1.14=2.45≈2.5m．答：E點離墻面AB的最遠距離為2.5m．【點睛】本題主要考查三角函數的知識，牢記公式并靈活運用是解題的關鍵．24．（2018·當陽市王店初級中學）如圖，在梯形中，，，且，，．（1）求證：；（2）是梯形內一點，是梯形外一點，且，，當，時，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）過A作DC的垂線AM交DC于M，則AM＝BC＝2，再利用tan∠ADC＝2求出DM=1，即可求出DC=2，問題得證；（2）先證明△DEC≌△BFC，得到CE＝CF，∠ECD＝∠FCB，進而△ECF是等腰直角三角形，設BE＝k，則CE＝CF＝2k，求得EF＝2k，由∠BEC＝135°得∠BEF＝90°，求得BF=3k，即可求解．【詳解】解：（1）證明：作AM⊥DC于M，∴∠AMD=∠AMC=90°，∵，，∴∠ABC=90°，∴四邊形ABCM是矩形，∴AM＝BC＝2，AB=CM=1，又tan∠ADC＝2，∴DM1，∴DC=DM+MC=2，∴DC＝BC；（2）∵DE＝BF，∠EDC＝∠FBC，DC＝BC，∴△DEC≌△BFC，∴CE＝CF，∠ECD＝∠FCB，∴∠ECF＝∠FCB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE＝∠BCD＝90°，即△ECF是等腰直角三角形；設BE＝k，則CE＝CF＝2k，∴EF＝2k，∵∠BEC＝135°，∠CEF＝45°，∴∠BEF＝90°，所以BF3k，所以sin∠BFE．【點睛】本題考查三角函數、全等三角形的應用、勾股定理等知識，（1）能合理添加輔助線，根據三角函數定義求得線段長是解題關鍵，（2）能根據△DEC≌△BFC，證明△ECF是等腰直角三角形，進而得出∠BEF＝90°是解題關鍵．25．（2020·鄭州一中國際航空港實驗學校）在一次課外活動中，小明和小華測量小山AF的高度，如圖，已知山底有一斜坡CE，通過測量，斜坡CE的坡角為30°，小明沿斜坡坡腳E處行走至斜坡的中點D處，在D處測得山頂A的仰角為53°，斜坡CE的長度