2023-2024學(xué)年安徽省皖南八校高三適應(yīng)性數(shù)學(xué)試題考試試卷1

2022-2023學(xué)年安徽省”皖南八?！案呷m應(yīng)性數(shù)學(xué)試題考試試卷[1]注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且點(diǎn)到該漸近線的距離為，則雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為A． B．C． D．2．已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，則“α∥β是“l(fā)∥β”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．將函數(shù)向左平移個(gè)單位，得到的圖象，則滿足（）A．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在區(qū)間上為增函數(shù)B．函數(shù)最大值為2，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．圖象關(guān)于直線對(duì)稱，在上的最小值為1D．最小正周期為，在有兩個(gè)根4．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．5．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．6．下邊程序框圖的算法源于我國(guó)古代的中國(guó)剩余定理.把運(yùn)算“正整數(shù)除以正整數(shù)所得的余數(shù)是”記為“”，例如.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（）A．16 B．17 C．18 D．197．某校8位學(xué)生的本次月考成績(jī)恰好都比上一次的月考成績(jī)高出50分，則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績(jī)各自組成樣本，則這兩個(gè)樣本不變的數(shù)字特征是（）A．方差 B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．平均數(shù)8．某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為，若低于60分的人數(shù)是18人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）A．45 B．50 C．55 D．609．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P橢圓上，且，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．在中，為上異于，的任一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）A． B． C． D．11．已知甲盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，乙盒子中有個(gè)紅球，個(gè)藍(lán)球，同時(shí)從甲乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換，（a）交換后，從甲盒子中取1個(gè)球是紅球的概率記為.（b）交換后，乙盒子中含有紅球的個(gè)數(shù)記為.則（）A． B．C． D．12．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓交雙曲線于兩點(diǎn)，若直線與圓相切，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的展開式中，所有的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)和為-64，則實(shí)數(shù)的值為__________.14．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，則__________.15．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.16．點(diǎn)是曲線（）圖象上的一個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)的切線方程為，則實(shí)數(shù)k的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓過點(diǎn)，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為，，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)直線與直線的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．18．（12分）如圖，四棱錐的底面中，為等邊三角形，是等腰三角形，且頂角，，平面平面，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值大小.19．（12分）在開展學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)的活動(dòng)中，某校高三數(shù)學(xué)教師成立了黨員和非黨員兩個(gè)學(xué)習(xí)組，其中黨員學(xué)習(xí)組有4名男教師、1名女教師，非黨員學(xué)習(xí)組有2名男教師、2名女教師，高三數(shù)學(xué)組計(jì)劃從兩個(gè)學(xué)習(xí)組中隨機(jī)各選2名教師參加學(xué)校的挑戰(zhàn)答題比賽.（1）求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數(shù)；（2）記X為選出的4名選手中女教師的人數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、，焦距為．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，設(shè)為直線上一點(diǎn)，且直線、的斜率的積為．證明：點(diǎn)在軸上．21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形且∥，側(cè)面為等邊三角形，且平面平面.（1）求平面與平面所成的銳二面角的大?。唬?）若，且直線與平面所成角為，求的值.22．（10分）在邊長(zhǎng)為的正方形，分別為的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，現(xiàn)沿折疊，使三點(diǎn)重合，構(gòu)成一個(gè)三棱錐.（1）判別與平面的位置關(guān)系，并給出證明；（2）求多面體的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

雙曲線的漸近線方程為，由題可知．設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，解得，所以，解得，所以雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為，故選B．2．A【解析】試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．解：根據(jù)題意，由于α，β表示兩個(gè)不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，由于“α∥β，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，則必然α中任何一條直線平行于另一個(gè)平面，條件可以推出結(jié)論，反之不成立，∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件．故選A．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定．3．C【解析】

由輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項(xiàng).【詳解】函數(shù)，則，將向左平移個(gè)單位，可得，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，的對(duì)稱中心滿足，解得，所以A、B選項(xiàng)中的對(duì)稱中心錯(cuò)誤；對(duì)于C，的對(duì)稱軸滿足，解得，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，所以在上的最小值為1，所以C正確；對(duì)于D，最小正周期為，當(dāng)，，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，時(shí)僅有一個(gè)解為，所以D錯(cuò)誤；綜上可知，正確的為C，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.4．D【解析】

結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個(gè)圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.5．D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.6．B【解析】

由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，代入四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】解：由程序框圖可知，輸出的數(shù)應(yīng)為被3除余2，被5除余2的且大于10的最小整數(shù).若輸出，則不符合題意，排除；若輸出，則，符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖.當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用循環(huán)模擬或代入選項(xiàng)驗(yàn)證的方法進(jìn)行解答.7．A【解析】

通過方差公式分析可知方差沒有改變，中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.【詳解】由題可知，中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.本次和上次的月考成績(jī)相比，成績(jī)和平均數(shù)都增加了50，所以沒有改變，根據(jù)方差公式可知方差不變.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本的數(shù)字特征，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.8．D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率＝小矩形的高×組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率，再根據(jù)樣本容量求出班級(jí)人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴樣本容量（即該班的學(xué)生人數(shù)）是60（人）.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了頻率的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題9．C【解析】

不妨設(shè)在第一象限，故，根據(jù)得到，解得答案.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，故，，即，即，解得，（舍去）.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10．A【解析】

根據(jù)題意，用表示出與，求出的值即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，又，，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎(chǔ)題.11．A【解析】分析：首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)的事件有哪些結(jié)果，從而得到對(duì)應(yīng)的概率的大小，再者就是對(duì)隨機(jī)變量的值要分清，對(duì)應(yīng)的概率要算對(duì)，利用公式求得其期望.詳解：根據(jù)題意有，如果交換一個(gè)球，有交換的都是紅球、交換的都是藍(lán)球、甲盒的紅球換的乙盒的藍(lán)球、甲盒的藍(lán)球交換的乙盒的紅球，紅球的個(gè)數(shù)就會(huì)出現(xiàn)三種情況；如果交換的是兩個(gè)球，有紅球換紅球、藍(lán)球換藍(lán)球、一藍(lán)一紅換一藍(lán)一紅、紅換藍(lán)、藍(lán)換紅、一藍(lán)一紅換兩紅、一藍(lán)一紅換亮藍(lán)，對(duì)應(yīng)的紅球的個(gè)數(shù)就是五種情況，所以分析可以求得，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)隨機(jī)事件的概率以及對(duì)應(yīng)的期望的問題，在解題的過程中，需要對(duì)其對(duì)應(yīng)的事件弄明白，對(duì)應(yīng)的概率會(huì)算，以及變量的可取值會(huì)分析是多少，利用期望公式求得結(jié)果.12．D【解析】

連接，可得，在中，由余弦定理得，結(jié)合雙曲線的定義，即得解.【詳解】連接，則，，所以，在中，，，故在中，由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．3或-1【解析】

設(shè)，分別令、，兩式相減即可得，即可得解.【詳解】設(shè)，令，則①，令，則②，則①-②得，則，解得或.故答案為：3或-1.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.14．【解析】

根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，首先求得，然后求得.【詳解】設(shè)的公比為，由，得，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.15．160【解析】

先求的展開式中通項(xiàng)，令的指數(shù)為3即可求解結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為：；令，可得；的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：.故答案為：160.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．16．1【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由切線斜率為4即導(dǎo)數(shù)為4求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，再由切線方程得縱坐標(biāo)后可求得．【詳解】設(shè)，由題意，∴，，，即，∴，．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)圖象某點(diǎn)處的切線的斜率就是該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值．本題屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）直線過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為．【解析】

（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以①，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以②，將①②?lián)立解得（負(fù)值舍去），所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可知，設(shè)，．將代入，消去可得，則，，，所以，所以，此時(shí)，所以，此時(shí)直線的方程為，即，令，可得，所以直線過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為．18．（1）見解析；（2）【解析】

（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接、，首先通過條件得出，加，可得，進(jìn)而可得平面，再加上平面，可得平面平面，則平面；（2）設(shè)中點(diǎn)為，連接、，可得平面，加上平面，則可如圖建立直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：設(shè)中點(diǎn)為，連接、，為等邊三角形，，，，，，即，，，平面，平面，平面，為的中位線，，平面，平面，平面，、為平面內(nèi)二相交直線，平面平面，平面DMN，平面；（2）設(shè)中點(diǎn)為，連接、為等邊三角形，是等腰三角形，且頂角，，、、共線，，，，，平面平面.平面平面平面，交線為，平面平面.設(shè)，則在中，由余弦定理，得：又，，，，，為中點(diǎn)，，建立直角坐標(biāo)系（如圖），則，，，.，，設(shè)平面的法向量為，則，，取，則，，平面的法向量為，，二面角為銳角，二面角的余弦值大小為.【點(diǎn)睛】本題考查面面平行證明線面平行，考查向量法求二面角的大小，考查學(xué)生計(jì)算能力和空間想象能力，是中檔題.19．（1）28種；（2）分布見解析，.【解析】

（1）分這名女教師分別來自黨員學(xué)習(xí)組與非黨員學(xué)習(xí)組，可得恰好有一名女教師的選派方法數(shù)；（2）X的可能取值為，再求出X的每個(gè)取值的概率，可得X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）選出的4名選手中恰好有一名女生的選派方法數(shù)為種.（2）X的可能取值為0，1，2，3.，，，.故X的概率分布為：X0123P所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查組合數(shù)與組合公式及離散型隨機(jī)變量的期望和方差，相對(duì)不難，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.20．（1）；（2）見解析.【解析】

（1）由已知條件得出、的值，進(jìn)而可得出的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，可得，且，，求出直線的斜率，進(jìn)而可求得直線與的方程，將直線直線與的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)，得，所以，即．故橢圓的方程為；（2）設(shè)，則，，．所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€、的斜率的積為，所以直線的斜率為．直線的方程為，直線的方程為．聯(lián)立，解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，則，所以點(diǎn)在軸上．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了點(diǎn)在定直線的證明，考查計(jì)算能力與推理