初高中數(shù)學(xué)銜接講義（修改）

-PAGE3-第一講：勾股定理的再認(rèn)識(shí)勾股定理：在中,設(shè)的對(duì)邊分別為.若,則.1.勾股定理的內(nèi)涵:①勾股定理的使用前提是三角形內(nèi)有一直角.②勾股定理確定了三角形邊與角的定量關(guān)系.③勾股定理揭示了定理成立的根本原因.例1.在中,若有兩邊的長(zhǎng)分別為,則第三邊的長(zhǎng)度的取值范圍為________.例2.若是一個(gè)直角三角形,且有兩邊的長(zhǎng)分別為,則第三邊的長(zhǎng)為________.例3.在中,,,,點(diǎn)在邊上,且,則________.例4.在中,設(shè)的對(duì)邊分別為.若,,,則________.2.勾股定理的結(jié)構(gòu)①在直角三角形中,兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.②在直角三角形中,三條邊長(zhǎng)之間的關(guān)系是平方后的關(guān)系.例5.在中,,且,點(diǎn)在邊上,求證:.例6.在中,設(shè)的對(duì)邊分別為,,求證:.3.勾股定理的延拓①勾股定理與三角形形狀間的關(guān)系.②勾股定理與余弦定理之間的關(guān)系.例7.在中,若為鈍角,,,則邊長(zhǎng)度的取值范圍為________.例8.在中,設(shè)的對(duì)邊分別為.若,,,則________.4.勾股定理逆定理：在中,設(shè)的對(duì)邊分別為.若,則.例9.若三邊長(zhǎng)滿足,則這個(gè)三角形的形狀為_______.例10.在正方形中,為的中點(diǎn),為上一點(diǎn),且,求證:.第二講：分解因式的再認(rèn)識(shí)1.分解因式的概念把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.例如下列從左到右的變形中就是分解因式的過(guò)程：,.注意：①分解因式的結(jié)果要以乘積的形式出現(xiàn)；②每個(gè)因式必須是整式且每個(gè)因式的次數(shù)都必須不高于原多項(xiàng)式的次數(shù)；③分解因式必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止；④分解因式是一個(gè)恒等變形的過(guò)程,等式左邊必須是多項(xiàng)式；⑤因式與整式乘法之間的關(guān)系:分解因式與整式乘法是互逆的關(guān)系.例1.請(qǐng)指出下列各式中從左到右的變形哪個(gè)是分解因式？(1)；(2)；(3)；(4)；2.分解因式的方法①提公因式；②利用公式；③分組分解；④添項(xiàng)拆項(xiàng)；⑤十字相乘；⑥方程的解.例2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列各個(gè)多項(xiàng)式(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).(9)；(10).例3.若分解因式,求的值.例4.已知都是自然數(shù),且,求的值.例5.當(dāng)為何值時(shí),可以分解為兩個(gè)一次因式的乘積？例6.已知,求的值.3.因式乘積的符號(hào)：若干個(gè)非零因式之積的符號(hào)取決于負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù).例7.求解不等式:(1)；(2)；(3).例8.若關(guān)于的不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)均成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.第三講：判別式意義再認(rèn)識(shí)1.判別式的意義(1)判別式的概念對(duì)于關(guān)于的一元二次方程,記,則:①當(dāng)時(shí),該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí),該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí),該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.稱為關(guān)于的一元二次方程有無(wú)實(shí)數(shù)根的判別式.(2)判別式的實(shí)質(zhì)對(duì)于關(guān)于的一元二次方程可以通過(guò)配方法得到,由此可以看出是一個(gè)完全平方式,從而必有.2.判別式的應(yīng)用例1.判斷以下方程的解的情況:(1)；(2)；(3)例2.若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.例3.已知實(shí)數(shù)滿足,試求實(shí)數(shù)的值.例4.求證:關(guān)于的方程必有實(shí)數(shù)根.例5.若二次函數(shù)的圖像均在軸上方,求實(shí)數(shù)的取值范圍.3.判別式的拓展例6.已知實(shí)數(shù)滿足,求證:.例7.已知關(guān)于的方程有有理數(shù)根,求整數(shù)的值.例8.求所有的整數(shù),使關(guān)于的方程至少有一個(gè)整數(shù)根.第四講：韋達(dá)定理的再認(rèn)識(shí)1.韋達(dá)定理的應(yīng)用若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為,則,.例1.若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求,,的值.例2.若不相等的實(shí)數(shù)滿足:,,求代數(shù)式的值.例3.若均為有理數(shù),且是方程的一個(gè)實(shí)根,則________.例4.若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.2.韋達(dá)定理的前提應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,即必須.例5.若關(guān)于的方程只有正實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.例6.若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且,求實(shí)數(shù)的值.例7.是否存在實(shí)數(shù),使得關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和為1？若存在,請(qǐng)求出所有實(shí)數(shù)的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.3.韋達(dá)定理的拓展例8.求所有的實(shí)數(shù),使關(guān)于的方程有且只有正整數(shù)根.例9.求所有的實(shí)數(shù),使關(guān)于的方程有且只有正整數(shù)根.例10.設(shè)是方程的三個(gè)實(shí)數(shù)根,求的值.第五講：函數(shù)圖像的再認(rèn)識(shí)1.點(diǎn)的坐標(biāo)的認(rèn)識(shí)例1.若點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),則當(dāng)?shù)闹祻闹饾u增大到的過(guò)程中,點(diǎn)將______.A.先向右上移動(dòng),再向右下移動(dòng)B.先向右下移動(dòng),再向右上移動(dòng)C.先向左上移動(dòng),再向左下移動(dòng)D.先向左下移動(dòng),再向左上移動(dòng)例2.已知點(diǎn)在直線上,并且點(diǎn)P到軸的距離為,求點(diǎn)的坐標(biāo).例3.如果為坐標(biāo)原點(diǎn),以為圓心,長(zhǎng)為半徑作,那么在上到軸的距離為的點(diǎn)有_____個(gè),到軸距離為的點(diǎn)有_____個(gè).2.函數(shù)圖像的畫法①直接描點(diǎn)作圖；②利用性質(zhì)作圖；③分段函數(shù)作圖.3.數(shù)形結(jié)合法初探例4.將拋物線先向上平移個(gè)單位,再向右平移個(gè)單位可以得到拋物線_______.例5.若右圖是函數(shù)圖像的一部分,則當(dāng)滿足_______時(shí),該函數(shù)的函數(shù)值.例6.若拋物線與軸交于兩點(diǎn),線段,當(dāng)時(shí),函數(shù)值取得最大值,求該拋物線的解析式.例7.若要使反比例函數(shù)的函數(shù)值,則自變量的值應(yīng)該滿足的條件為_______.例8.求不等式的解集.例9.討論方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).例10.若當(dāng)時(shí),一次函數(shù)的函數(shù)值滿足,則_______.例11.已知當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.第六講：分類討論思想初探1.分類討論的意義例1.解關(guān)于的不等式.2.分類討論的依據(jù)例2.解關(guān)于的不等式.例3.解關(guān)于的不等式.例4.解關(guān)于的不等式.例5.解關(guān)于的不等式.例6.解關(guān)于的不等式.例7.已知關(guān)于的不等式有且只有三個(gè)正整數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.例8.已知不等式組的整數(shù)解有且只有,求滿足條件的所有整數(shù)對(duì)？3.分類討論的誤區(qū)例9.解關(guān)于的不等式.例10.求的范圍,使得當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖像全在軸上方.例11.已知關(guān)于的方程至少有一個(gè)整數(shù)根,求整數(shù)的值.第七講：全等與相似的再認(rèn)識(shí)1.如圖,圖中所有小正方形的邊長(zhǎng)均為,則下列圖中的三角形(陰影部分)與相似的是______.2.已知在右下圖的圖和圖中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是個(gè)單位.①在圖中畫出一個(gè)與格點(diǎn)相似且面積為個(gè)平方單位的格點(diǎn)三角形.②在圖中畫出一個(gè)與格點(diǎn)相似且面積為個(gè)平方單位的格點(diǎn)三角形.3.在中,,,,求的面積.4.(1)在和中,如果有,,且,那么和一定全等嗎？(2)在和中,如果有,,且,那么和一定全等嗎？(3)在和中,如果有,,且,那么和一定全等嗎？(4)在和中,如果有,,且,那么和一定全等嗎？(5)在和中,如果已知,,且,那么當(dāng),,之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí),我們就可以斷定和全等?5.如圖,已知點(diǎn)分別在等邊的邊的延長(zhǎng)線上,且滿足,求證:.第八講：基本不等式及其應(yīng)用一、基本不等式：1.基本不等式2.使用基本不等式的注意事項(xiàng)二、典型例題：例1.求下列函數(shù)的最值.(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),例2.(1)已知正實(shí)數(shù)滿足,求的最小值.(2)已知正實(shí)數(shù)滿足,求的最小值.(3)已知正實(shí)數(shù)滿足,求的最小值.(4)已知正實(shí)數(shù)滿足,求的最小值.(5)已知正實(shí)數(shù)滿足,求的最小值.(6)已知正實(shí)數(shù)滿足,求的最小值.(7)已知正實(shí)數(shù)滿足,求的最小值.(8)已知正實(shí)數(shù)滿足,求的最小值.第九講：二次函數(shù)的再認(rèn)識(shí)(1)1.已知二次函數(shù)的圖象過(guò),和三點(diǎn),求二次函數(shù)的解析式.2.已知二次函數(shù)的圖象過(guò)和兩點(diǎn),且其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求它的解析式.3.當(dāng)為何值時(shí),函數(shù)取得最小值.4.已知方程有一個(gè)根大于,有一個(gè)根小于,求實(shí)數(shù)的取值集合.5.當(dāng)為何值時(shí),關(guān)于的二次方程的兩個(gè)實(shí)根和分別滿足和？6.已知,是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求的最大值.7.求函數(shù)在上的最小值.8.若開口向下的拋物線過(guò)軸上方的點(diǎn).求證:拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn),,且在與之間.9.已知函數(shù),方程的兩根,滿足,若,證明:.第十講：二次函數(shù)的再認(rèn)識(shí)(2)1.求證:函數(shù)的圖像一定經(jīng)過(guò)第一象限.2.設(shè)二次函數(shù),求證:存在實(shí)數(shù),使得與同號(hào).3.設(shè)開口向上的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)軸下方的點(diǎn),求證:方程有兩個(gè)實(shí)根,且.4