數(shù)學學案：等差數(shù)列

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習題點撥1．解：通項公式為an＝an－b(a，b是常數(shù)）的數(shù)列都是等差數(shù)列．當a＝0時，是公差為0，首項為－b的常數(shù)列;當a≠0時,是公差為a，首項為a－b的等差數(shù)列．2．解：根據(jù)等差中項的定義，x，A，y組成等差數(shù)列，則有A－x＝y(tǒng)－A＝d（d為公差)，∴有x＋y＝2A,即A＝eq\f（x＋y,2）.3．解：要確定一個等差數(shù)列的通項公式，需要知道兩個獨立的條件．練習A1．解：（1）通項公式an＝3n－1，∴a4＝11,a10＝29.(2)通項公式an＝－5n＋17，∴a15＝－58。（3）通項公式an＝4n－1。由100＝4n－1，得n＝eq\f(101，4）?N＋，故100不是等差數(shù)列中的項．由79＝4n－1,得n＝20∈N＋，故79是等差數(shù)列中的項，是第20項．評注:由前n項求通項公式，再由通項公式求指定項或判定某數(shù)是否為數(shù)列中的項．2．解：(1)由an＝am＋（n－m)d，知a7－a5＝（7－5）d,∴d＝5，∴a5＝a1＋（5－1）d，解得a1＝－14。（2）a10＝a3＋（10－3）d，∴d＝－3.∴a15＝a10＋(15－10)d＝－1＋5×（－3）＝－16。3．解:（1)24；（2)－2。4．解：（1)a1＝8，d＝3；(2)a1＝10，d＝－2。練習B1．解：由等差數(shù)列定義，an＋1－an＝d（d為常數(shù),n∈N＋），d或正、或負、或零，為一常數(shù)．當公差d＞0時，數(shù)列｛an}為遞增數(shù)列；d＝0時，數(shù)列{an｝為常數(shù)列；d＜0時,數(shù)列｛an}為遞減數(shù)列．2．解：（1）是等差數(shù)列,首項為am＋1，公差為d。(2）是等差數(shù)列，首項為a1，公差為2d.(3)是等差數(shù)列，首項為a7，公差為7d.(4）是等差數(shù)列,首項為a1＋a2＋a3,公差為3d。3．解:除第5項外,沒有序號與數(shù)值都相等的項．設等差數(shù)列{an}，首項a1，公差d；等差數(shù)列{bn}，首項b1，公差d1（d≠d1）,由題意有a5＝b5，即a1＋4d＝b1＋4d1,∴eq\f（a1－b1，d1－d）＝4。①假若除第5項外還有序號和數(shù)值都相等的項am＝bm（m≠5），則a1＋(m－1)d＝b1＋（m－1）d1,∴eq\f（a1－b1，d1－d)＝m－1，由①得m－1＝4，∴m＝5。與假設矛盾，因此除第5項外沒有序號與數(shù)值都相等的項．1．解：僅利用通項公式，能求出使得Sn最小的序號n的值．令an＝4n－32＝0，解得n＝8，這說明數(shù)列｛an}中含有零項,且a8＝0,可知a7＜0，a9＞0，因此當n＝7或8時,Sn最?。?．思考與討論(1）解：確定了．可以利用an＝求數(shù)列的通項公式，但是求解完以后，要注意檢驗a1是否適合通過Sn－Sn－1計算出的通項公式，如果適合,最后要合起來寫，否則一定要用“大括號”分開寫．（2)解：不一定．只有當常數(shù)c＝0時，該數(shù)列才是等差數(shù)列，如果c≠0，則該數(shù)列為除去第1項，從第2項開始的等差數(shù)列．練習A1．解:(1）195；(2）72；(3)60.2．解：(1）n2(2）n(n＋1)（3)（n＋2）2(4）eq\f（1,2)（n＋1)（3n＋2）．3．解：(1）702；（2)663；（3）18，945;（4)30,1605.練習B1．解:設前n項和為－18，∵d＝－1,a1＝4，則－18＝n×4＋eq\f(n(n－1)，2）×（－1），求得n＝12，即前12項的和為－18。2．解：m＝7n,n∈N＋，且m＜100時，元素構成等差數(shù)列7,14，…,98，易得項數(shù)n＝14.∴S14＝eq\f（14（7＋98）,2）＝735，即這些元素的和為735.3．解：設等差數(shù)列{an}，則a1＝14，d＝－3＜0,設其前n項和最大，則有，解得＜n≤，∴n＝5,S5＝＝40。故前5項的和最大．評注：等差數(shù)列前n項和的最值，當a1＞0,d＜0時，Sn有最大值；當a1＜0，d＞0時，Sn有最小值．4．解：∵n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f（n＋1，n)－eq\f(n，n－1)＝eq\f（－1,n（n－1)），當n＝1時，a1＝S1＝2，不滿足上式，an＝評注：an與Sn的關系：an＝習題2-2A1．解：（1）a1＝9，d＝2;（2）a1＝eq\r(2）－2，d＝－2。2．(1）已知a1＝6,d＝3,求a8；(2）已知a4＝10，a10＝4，求a7及d；（3）已知a2＝12，an＝－20,d＝－2，求n;(4)已知a7＝eq\f（1，2)，d＝－2，求a1。解：(1)a8＝27；（2）a7＝7，d＝－1；（3)n＝18；（4)a1＝eq\f(25,2）.3．解：24，36，48。4．解：（1)eq\f（3，2）;(2)a2＋b2.5．解：192mm,168mm，144mm.6．解：依題意，各高度氣溫構成等差數(shù)列，記為｛an｝，則高度為1km時的氣溫為a1＝8。5，高度為5km時的氣溫為a5＝－17.5.∴a5＝a1＋(5－1）d，∴d＝－6.5，易得a2＝2,a4＝－11，a8＝－37.故氣溫分別是2℃,－11℃，－37℃.7．解:啁啾聲次數(shù)4202840溫度/℃28323437評注:建立等差數(shù)列模型，解之．8．解：（1)S10＝245；（2)S12＝24；（3)S8＝204.9．解：由題意得Sn＝40n＋eq\f（n(n－1）,2)·20＝(n－2）·180,∴n2－15n＋36＝0，解得n＝3或n＝12(舍去)，即凸n邊形的邊數(shù)為3。10．解：觀察得第n行為:1,2,3，…，n－1,n，n－1，…,2，1，則各數(shù)的和為eq\f(n（n＋1），2)＋eq\f(n（n－1），2）＝n2.11．解:由題意得每層的瓦數(shù)構成一個首項為21,公差為1的等差數(shù)列，則S19＝19×21＋eq\f（19（19－1），2)×1＝570（塊)．12．解:依題意，李強每天所跑路程依次排列構成等差數(shù)列，記為｛an}．已知a1＝5000，d＝400，n＝10，所以S10＝5000×10＋eq\f(10×(10－1),2）×400＝68000。答：李強10天一共要跑68000m.習題22B1．解:設三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)分別為a－d,a,a＋d，則有（a－d）＋a＋(a＋d)＝180。∴a＝60.故三角形的三個內(nèi)角的大小只有一個角能確定為60°,另外兩個角大小不定．2．解：設構成等差數(shù)列｛an｝,則a1＝1，a27＝15，n＝27,則有a1＋a27＝a2＋a26＝…＝2a14＝16，則a2＋a3＋…＋a26＝eq\f（25（a2＋a26），2)＝200，即插入的25個數(shù)的和為200.3．解:Sn＝eq\f(n（a1＋an），2），知S9＝eq\f（9(a1＋a9),2）＝eq\f（9×2a5，2）＝9a5＜0，所以a5＜0。又S10＝eq\f(10(a1＋a10),2)＝5(a5＋a6)＞0,所以a6＞0。因此，此等差數(shù)列的前n項和中,n＝5時取得最小值．4．解:(1）由f（x)＝|x－1｜＋|x－2|＋…＋|x－20|,得f(1)＝0＋1＋2＋…＋19＝eq\f（19（1＋19)，2)＝190；f（5）＝4＋3＋2＋1＋0＋1＋…＋15＝10＋eq\f（(1＋15)×15，2)＝10＋120＝130；f(20)＝19＋18＋…＋2＋1＋0＝eq\f（19×(19＋1)，2）＝190。（2）設x是1～20中的某一整數(shù)，則f（x)＝(x－1)＋（x－2）＋…＋3＋2＋1＋0＋1＋2＋…＋(20－x)＝eq\f（(x－1）[1＋(x－1)],2）＋eq\f((20－x）［1＋（20－x）］,2)＝eq\f(1，2）（2x2－42x＋420）＝x2－21x＋210＝（x－eq\f(21，2）)2＋eq\f(399，4)。因為x∈N＋，所以當x＝10或11時，f(x)取最小值，f（10）＝f（11）＝100，即最小值是100.5．解：S13＝eq\f（13（a1＋a13),2）＝eq\f(13(a3＋a11），2）＝eq\f（13×6,2）＝39。6．解：(1）f(0.1)＋f（0.9)＝eq\f（4\f（1，10),4\f(1，10）＋2)＋eq\f（4\f(9,10),4\f(9,10）＋2）＝eq\f（4\f(1,10),4\f(1，10)＋2）＋eq\f(41－\f(1,10)，41－\f(1,10）＋2）＝eq\f（4\f(1,10）,4\f(1,10）＋2)＋eq\f（\f(4,4\f(1，10）),\f（4,4\f(1,10）)＋\f(2×4\f（1,10),4\f(1,10))）＝eq\f(4\f(1，10），4\f(1,10)＋2)＋eq\f(4,4＋2×4\f(1,10)）＝1.(2)∵f(α）＋f（1－α)＝eq\f（4α，4α＋2)＋eq\f(41－α，41－α＋2）＝eq\f(4α，4α＋2）＋eq\f(4,4＋2×4α)＝eq\f（4α,4α＋2）＋eq\f（2,4α＋2)＝1，∴a1＋a2＋…＋a1000＝eq\b\lc\[\rc\（\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,1001)))＋）)eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1000，1001）)))）＋eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（f\b\l