數(shù)學(xué)學(xué)案：第二章超幾何分布

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精§2超幾何分布學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1.通過(guò)實(shí)例,理解超幾何分布及其特點(diǎn)．2．通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析,掌握超幾何分布的導(dǎo)出過(guò)程．3．能會(huì)用超幾何分布解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.重點(diǎn)：理解超幾何分布的概念．難點(diǎn)：超幾何分布列的應(yīng)用.超幾何分布一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品，從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品．用x表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P（x＝k）＝eq\f(C\o\al(k,M）C\o\al（n－k，N－M），C\o\al(n,M))（其中k為非負(fù)整數(shù)）．如果一個(gè)隨機(jī)變量的分布列由上式確定，則稱(chēng)x服從參數(shù)為N,M，n的超幾何分布．預(yù)習(xí)交流如何正確理解超幾何分布？提示：(1)超幾何分布是不放回的抽樣;（2)超幾何分布中各參數(shù)k，n，M，N的意義分別為：k是取出的次品件數(shù),n是取出的產(chǎn)品數(shù)，M是產(chǎn)品中的次品數(shù),N是產(chǎn)品總數(shù)．1．超幾何分布的實(shí)例某班共50名學(xué)生，其中35名男生，15名女生，隨機(jī)從中抽取5名同學(xué)參加學(xué)生代表大會(huì),所抽取的5名學(xué)生代表中，求女生人數(shù)X的分布列．思路分析：由題意知女生人數(shù)X服從超幾何分布，其中N＝50，M＝15，n＝5.利用超幾何分布的概率公式求解．解:從50名學(xué)生中隨機(jī)抽取5人共有Ceq\o\al(5，50）種方法,沒(méi)有女生的取法是Ceq\o\al(0,15）Ceq\o\al（5，35），恰有1名女生的取法為Ceq\o\al（1,15)Ceq\o\al（4，35）,恰有2名女生的取法為Ceq\o\al(2,15)Ceq\o\al（3，35）,恰有3名女生的取法為Ceq\o\al(3，15)Ceq\o\al（2,35)，恰有4名女生的取法為Ceq\o\al(4，15)Ceq\o\al(1,35)，恰有5名女生的取法為Ceq\o\al（5,15）Ceq\o\al（0，35)。因此，抽取5名學(xué)生代表中，女生人數(shù)X的分布列為：X012345Peq\f(C\o\al（0,15）C\o\al(5，35）,C\o\al(5,50)）eq\f(C\o\al（1,15)C\o\al(4，35），C\o\al（5，50)）eq\f(C\o\al(2，15)C\o\al(3，35），C\o\al（5，50）)eq\f（C\o\al（3，15）C\o\al（2,35）,C\o\al(5,50))eq\f(C\o\al(4,15）C\o\al(1,35)，C\o\al（5，50))eq\f（C\o\al（5,15）C\o\al（0，35)，C\o\al（5，50）)從一批含有13件正品,2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，求取得次品數(shù)X的分布列．解：設(shè)隨機(jī)變量x表示取出次品的個(gè)數(shù),則X服從參數(shù)N＝15，M＝2，n＝3的超幾何分布．它的可能的取值為0,1，2，相應(yīng)的概率依次為：P（x＝0）＝eq\f(C\o\al（0,2）C\o\al(3,13）,C\o\al(3,15)）＝eq\f(22，35）,P(x＝1）＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al（2，13）,C\o\al(3,15）)＝eq\f（12,35），P(x＝2)＝eq\f（C\o\al（2，2)C\o\al（1，13)，C\o\al(3，15)）＝eq\f(1,35）.所以X的分布列為：X012Peq\f（22，35)eq\f（12,35)eq\f(1，35)應(yīng)用超幾何分布的概率公式求解，關(guān)鍵是透徹理解超幾何分布的意義，即明確k，n，N，M的實(shí)際意義及所取的相應(yīng)數(shù)值．2．超幾何分布的實(shí)際應(yīng)用從6名男同學(xué)和4名女同學(xué)中隨機(jī)選出3名同學(xué)參加一項(xiàng)競(jìng)技測(cè)試．試求出選3名同學(xué)中，至少有一名女同學(xué)的概率．思路分析:由題目可知選出的女同學(xué)人數(shù)服從參數(shù)N＝10，M＝4，n＝3的超幾何分布,根據(jù)超幾何分布概率公式直接求,也可用間接法求解．解：設(shè)選出的女同學(xué)人數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2,3，且X服從參數(shù)為N＝10，M＝4，n＝3的超幾何分布，于是選出的3名同學(xué)中，至少有一名女同學(xué)的概率為：P(X≥1）＝P(X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝eq\f（C\o\al（1,4)C\o\al(2，6）,C\o\al（3,10）)＋eq\f（C\o\al(2，4）C\o\al（1，6）,C\o\al（3，10）)＋eq\f(C\o\al（3，4)C\o\al（0，6),C\o\al（3，10))＝eq\f(5，6）或P（X≥1)＝1－P(X＝0）＝1－eq\f(C\o\al(0，4)C\o\al（3,6），C\o\al（3,10))＝eq\f（5，6）.生產(chǎn)方提供50箱的一批產(chǎn)品，其中有2箱不合格產(chǎn)品，采購(gòu)方接收該批產(chǎn)品的原則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若至多有1箱不合格產(chǎn)品,便接收該批產(chǎn)品,問(wèn)該批產(chǎn)品被接收的概率是多少？解：以50箱為一批產(chǎn)品，從中隨機(jī)抽取5箱,用X表示“5箱中的不合格產(chǎn)品的箱數(shù)”，則X服從參數(shù)N＝50，M＝2，n＝5的超幾何分布，這批產(chǎn)品被接收的條件是任取的5箱中沒(méi)有不合格或只有1箱不合格，所以被接收的概率為：P（X≤1)＝P（X＝0）＋P(X＝1）＝eq\f（C\o\al(0,2)C\o\al(5,48），C\o\al（5,50）)＋eq\f(C\o\al(1，2）C\o\al(4，48），C\o\al（5,50））＝eq\f(243,245）≈99。2%。所以該批產(chǎn)品被接收的概率是99.2％。超幾何分布是離散型隨機(jī)變量的分布列中較常見(jiàn)的一種模型，要理解P(X＝k)＝eq\f（C\o\al(k,M)C\o\al(n－k，N－M）,C\o\al（n，N)）(其中k為非負(fù)整數(shù)），先求出概率值，列出分布列,再求符合題意的概率．1．有10件產(chǎn)品,其中3件是次品，從中任取2件，若X表示取得次品的個(gè)數(shù)，則P（X＜2)＝(）．A．eq\f（7,15) B．eq\f（8，15) C．eq\f(14,15) D．1答案：C解析:由題意知X取0，1，2且服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝2.即P（X＜2)＝P(X＝0）＋P（X＝1)＝eq\f（C\o\al（0，3）C\o\al（2,7)，C\o\al（2,10））＋eq\f(C\o\al(1，3）C\o\al(1,7）,C\o\al（2，10)）＝eq\f(7,15）＋eq\f（7,15)＝eq\f(14，15）.2．100張獎(jiǎng)券中有4張有獎(jiǎng),從這100張獎(jiǎng)券中任取2張，則2張都中獎(jiǎng)的概率是（）．A．eq\f(1，50) B．eq\f（1，25） C．eq\f（1，825) D．eq\f（1,4950)答案：C解析:由題意知中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券數(shù)X可取0,1，2，服從超幾何分布，N＝100，M＝4，n＝2，∴2張都中獎(jiǎng)的概率為P（X＝2）＝eq\f(C\o\al(2，4)C\o\al（0，96），C\o\al(2，100))＝eq\f(1,825).3．把X，Y兩種遺傳基因冷凍保存,若X有30個(gè)單位，Y有20個(gè)單位，且保存過(guò)程中有2個(gè)單位的基因失效,則X，Y兩種基因各失效1個(gè)單位的概率是()．A．eq\f（24，49) B．eq\f（1,25) C．eq\f(1,30) D．eq\f（1，600)答案:A解析:由題意知服從超幾何分布，則X，Y兩種基因各失效1個(gè)單位的概率為eq\f(C\o\al（1,30)C\o\al（1，20），C\o\al(2,50））＝eq\f(24，49).4．從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任選2臺(tái)，其中兩種型號(hào)都齊全的概率是__________．答案:eq\f(3,5)解析：由題意知服從超幾何分布，其中兩種型號(hào)都齊全的概率為eq\f(C\o\al（1，3)C\o\al（1，2）,C\o\al（2，5））＝eq\f（3,5).5．50張彩票中只有2張中獎(jiǎng)票，今從中任取n張,為了使這n張彩票里至少有一張中獎(jiǎng)的概率大于0.5，n至少為多少？解:設(shè)隨機(jī)變量X表示“抽出中獎(jiǎng)票的張數(shù)”,