數(shù)學(xué)學(xué)案：第二章離散型隨機(jī)變量的均值與方差

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§5離散型隨機(jī)變量的均值與方差學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1.通過實(shí)例，理解取有限值的離散型隨機(jī)變量均值的概念，能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值．2．通過實(shí)例，理解取有限值的離散型隨機(jī)變量方差的概念，能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的方差。重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望）,離散型隨機(jī)變量的方差．難點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望)，離散型隨機(jī)變量的方差的求法。1．離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望)設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為a1,a2，…，ar，取ai的概率為pi（i＝1,2，…，r)，即X的分布列為P（X＝ai）＝pi（i＝1，2，…，r)．X的均值為：a1P（X＝a1)＋a2P（X＝a2）＋…＋arP（X＝ar)＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr，即隨機(jī)變量X的取值ai乘上取值為ai的概率P(X＝ai）再求和．X的均值也稱作X的數(shù)學(xué)期望(簡稱期望),它是一個(gè)數(shù)，記為EX,即EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr.均值EX刻畫的是X取值的“中心位置"．兩點(diǎn)分布的均值為p，二項(xiàng)分布的均值為p（1－p）．預(yù)習(xí)交流1離散型隨機(jī)變量的均值一定是在試驗(yàn)中出現(xiàn)概率最大的值嗎？提示：不一定,如X01P0.50.5，EX＝0.5,在試驗(yàn)中不能出現(xiàn)，均值刻畫的是X取值的“中心位置”．2．離散型隨機(jī)變量的方差一般地,設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,我們用E（X－EX）2來衡量X與EX的平均偏離程度，E（X－EX）2是(X－EX）2的期望,并稱之為隨機(jī)變量X的方差，記為DX.方差越小，則隨機(jī)變量的取值就越集中在均值周圍，反之，方差越大,則隨機(jī)變量的取值就越分散，兩點(diǎn)分布的方差為p（1－p)，二項(xiàng)分布的方差為npq。預(yù)習(xí)交流2隨機(jī)變量的方差與樣本方差有何聯(lián)系和區(qū)別？提示:隨機(jī)變量的方差是常數(shù),樣本方差是隨機(jī)變量，對(duì)于簡單的隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本方差越接近于總體方差．一、離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為0.6。(1)求一次投籃時(shí)命中次數(shù)X的期望;(2）求重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)Y的期望．思路分析:（1)X只能取0,1這兩個(gè)值，列出分布列再求期望；(2)Y～B（5,0.6)利用公式進(jìn)行求解．解：(1)投籃一次，命中次數(shù)X的分布列為X01P0.40。6，則EX＝0.6.（2）由題意，重復(fù)5次投籃，命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布，即Y～B（5，0。6），則EY＝np＝5×0。6＝3。在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的配方方案，需要對(duì)各種不同的搭配方式作比較．在試制某種牙膏新品種時(shí)，需要選用不同的添加劑．現(xiàn)有芳香度分別為0,1,2，3,4,5的六種添加劑可供選用．根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)學(xué)原理，通常首先要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗(yàn)．用X表示所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和．(1）寫出X的分布列；（2)求X的數(shù)學(xué)期望EX.解：(1）X的分布列為：X123456789Peq\f(1,15）eq\f(1，15）eq\f（2,15)eq\f（2,15）eq\f(1,5)eq\f（2，15)eq\f(2,15）eq\f（1，15）eq\f(1，15)（2)由EX的定義得：EX＝(1＋2＋8＋9)×eq\f（1，15)＋(3＋4＋6＋7）×eq\f（2，15)＋5×eq\f(1,5）＝5.求離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）一般分為兩個(gè)步驟：(1）列出離散型隨機(jī)變量的分布列;(2)利用公式求出均值（數(shù)學(xué)期望)．二、離散型隨機(jī)變量的方差甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為X,Y,X和Y的分布列如下:X012Peq\f(6,10)eq\f（1，10)eq\f(3,10)Y012Peq\f(5，10）eq\f（3,10)eq\f(2，10）試對(duì)這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較．思路分析:對(duì)這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較:一是比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下生產(chǎn)出次品數(shù)的平均值，即期望；二是看次品數(shù)的波動(dòng)情況，即方差的大?。猓汗と思咨a(chǎn)出次品數(shù)X的期望和方差分別為:EX＝0×eq\f(6,10)＋1×eq\f（1，10）＋2×eq\f(3，10)＝0。7，DX＝（0－0。7）2×eq\f(6,10）＋(1－0.7）2×eq\f（1,10）＋（2－0.7）2×eq\f（3，10)＝0。81;工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的期望和方差分別為：EY＝0×eq\f(5，10)＋1×eq\f（3，10)＋2×eq\f（2,10)＝0.7，DY＝(0－0.7)2×eq\f(5,10）＋（1－0。7）2×eq\f（3,10）＋(2－0。7）2×eq\f(2，10)＝0.61。易得，EX＝EY，所以兩人生產(chǎn)出次品數(shù)的均值相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但DX＞DY,可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定．已知X的分布列為：X010205060Peq\f（1，3）eq\f（2，5)eq\f(1,15)eq\f（2,15）eq\f（1，15)(1)求DX；（2）設(shè)Y＝2X－EX，求DY.解：（1）∵EX＝0×eq\f(1,3)＋10×eq\f（2,5）＋20×eq\f（1,15)＋50×eq\f(2,15）＋60×eq\f（1,15）＝16，∴DX＝(0－16)2×eq\f（1,3)＋（10－16）2×eq\f(2，5)＋（20－16)2×eq\f(1，15)＋（50－16)2×eq\f(2,15）＋（60－16）2×eq\f（1,15)＝384。（2）∵Y＝2X－EX,∴Y的分布列為：Y－1642484104Peq\f（1,3）eq\f（2，5)eq\f（1，15）eq\f(2，15)eq\f（1,15)∴EY＝－16×eq\f(1，3)＋4×eq\f(2,5）＋24×eq\f(1,15)＋84×eq\f(2,15）＋104×eq\f（1，15）＝16,∴DY＝(－16－16)2×eq\f(1,3)＋（4－16）2×eq\f（2,5）＋(24－16）2×eq\f(1,15)＋（84－16)2×eq\f(2，15）＋（104－16）2×eq\f(1，15)＝1536。已知分布列求離散型隨機(jī)變量的方差時(shí)，首先計(jì)算數(shù)學(xué)期望,然后代入方差公式DX＝E（X－EX)2求方差,在實(shí)際問題中方差反映了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定與波動(dòng)情況，在均值相等或相差不大的情況下，方差越小，說明數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，波動(dòng)情況越?。?．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P（X＝k）＝eq\f(1，4)(k＝1，2，3,4），則EX＝()．A．eq\f（5,2) B．3.5 C．0。25 D．2答案：A解析：EX＝1×eq\f(1,4）＋2×eq\f（1，4)＋3×eq\f(1，4)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f（5,2).2．一批產(chǎn)品中次品率為eq\f（1，3)，現(xiàn)在連續(xù)抽查4次，用X表示次品數(shù)，則DX＝（）．A．eq\f（4，3） B．eq\f（8,3） C．eq\f（8，9） D．eq\f（1，9)答案：C解析：∵X~B(4，eq\f（1,3）），∴DX＝np(1－p）＝4×eq\f（1,3)×eq\f(2，3）＝eq\f(8，9）。3．設(shè)隨機(jī)變量X~B(n，p)，且EX＝1。6，DX＝1.28,則(）．A．n＝4，p＝0.4 B．n＝8，p＝0。2 C．n＝5，p＝0。32 D．n＝7，p＝答案:B解析:∵X～B（n，p),∴EX＝np，DX＝np(1－p)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝1.6,，np（1－p)＝1。28,））解得n＝8，p＝0。2.4．若隨機(jī)變量X的分布列如表:X01xPeq\f(1,5)peq\f(3,10）若EX＝1.1，則DX＝______。答案：0。49解析:由eq\f（1，5）＋p＋eq\f（3，10）＝1，得p＝eq\f(1，2）.∴EX＝0×eq\f(1,5）＋1×eq\f(1，2)＋x×eq\f（3,10)＝1.1，解得x＝2?！郉X＝(0－1.1）2×eq\f（1，5）＋（1－1。1)2×eq\f（1，2）＋(2－1。1）2×eq\f（3，10）＝0。49。5．海關(guān)大樓頂端鑲有A，B兩面大鐘，它們的日走時(shí)誤差分別為X1，X2(單位：s),其分布列為：X1－2－1012P0.050。050。80。050。05X2－2－1012P0.10。20。40。20。1根據(jù)這兩面大鐘日走時(shí)誤