2025屆湖南省長沙瀏陽市數(shù)學高二上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2025屆湖南省長沙瀏陽市數(shù)學高二上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù)，且，，則（）A.2 B.3C.-2 D.-32．已知為原點，點，以為直徑的圓的方程為()A. B.C. D.3．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．4．將函數(shù)圖象上所有點橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.5．在等差數(shù)列中，若，，則公差d=（）A. B.C.3 D.－36．命題“，均有”的否定為（）A.，均有 B.，使得C.，使得 D.，均有7．設雙曲線的虛軸長為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.8．已知拋物線上的點到該拋物線焦點的距離為，則拋物線的方程是（）A. B.C. D.9．已知兩個向量，，且，則的值為（）A.1 B.2C.4 D.810．若圓C：上有到的距離為1的點，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.11．如圖，在三棱錐中，點E在上，滿足，點F為的中點，記分別為，則（）A. B.C. D.12．下列說法錯誤的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要條件，則實數(shù)m的最大值為2021C.“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的必要不充分條件D.已知，且，則的最小值為9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將邊長為2的正方形繞其一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的圓柱體積為________.14．在2021件產(chǎn)品中有10件次品，任意抽取3件，則抽到次品個數(shù)的數(shù)學期望的值是______.15．曲線在處的切線方程為______16．已知點P為橢圓上的任意一點，點，分別為該橢圓的左、右焦點，則的最大值為______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知直線與橢圓交于、兩點，、是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，且直線的斜率為，求四邊形面積的最大值.18．（12分）已知數(shù)列滿足各項均不為0，，且，.（1）證明：為等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）令，，求.19．（12分）如圖，AC是圓O的直徑，B是圓O上異于A，C的一點，平面ABC，點E在棱PB上，且，，.（1）求證：；（2）當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.20．（12分）在①，②是與的等比中項，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題：已知數(shù)列{}的前n項和為，，且滿足___（1）求數(shù)列{}的通項公式；（2）求數(shù)列{}前n項和注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分21．（12分）已知橢圓的焦距為，左、右焦點分別為，為橢圓上一點，且軸，，為垂足，為坐標原點，且（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓的右焦點的直線（斜率不為）與橢圓交于兩點，為軸正半軸上一點，且，求點的坐標22．（10分）已知函數(shù)在處取得極值確定a的值；若，討論的單調(diào)性

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)有，結(jié)合已知求出基本量，再由即可得答案.【詳解】因為，，且q為整數(shù)，所以，，即q=2.所以.故選：A2、A【解析】求圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的標準方程即可求解﹒【詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓方程為﹒故選：A﹒3、D【解析】由題可知：，，，故選；D4、A【解析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換，由逆向變換即可求解.【詳解】由已知的函數(shù)逆向變換，第一步，向左平移個單位長度，得到的圖象；第二步，圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象，即的圖象.故.故選：A5、C【解析】由等差數(shù)列的通項公式計算【詳解】因為，，所以.故選：C【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式，利用等差數(shù)列通項公式可得，6、C【解析】全稱命題的否定是特稱命題【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“，均有”的否定為“，使得”故選：C7、B【解析】求出、的值，即可得出雙曲線的漸近線方程.【詳解】由已知可得，，則，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.8、B【解析】由拋物線知識得出準線方程，再由點到焦點的距離等于其到準線的距離求出，從而得出方程.【詳解】由題意知，則準線為，點到焦點的距離等于其到準線的距離，即，∴，則故選：B.9、C【解析】由，可知，使，利用向量的數(shù)乘運算及向量相等即可得解.【詳解】∵，∴，使，得，解得：，所以故選：C【點睛】思路點睛：在解決有關(guān)平行的問題時，通常需要引入?yún)?shù)，如本題中已知，引入?yún)?shù)，使，轉(zhuǎn)化為方程組求解；本題也可以利用坐標成比例求解，即由，得，求出m，n.10、C【解析】利用圓與圓的位置關(guān)系進行求解即可.【詳解】將圓C的方程化為標準方程得，所以．因為圓C上有到的距離為1的點，所以圓C與圓：有公共點，所以因為，所以，解得，故選：C11、B【解析】利用空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合三棱錐用表示出即可.【詳解】由題設，，，，.故選：B12、C【解析】對于A：用存在量詞否定全稱命題，直接判斷；對于B：根據(jù)充分不必要條件直接判斷；對于C：判斷出“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的充分不必要條件，即可判斷；對于D：利用基本不等式求最值.【詳解】對于A：用存在量詞否定全稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故A正確；對于B：若“”是“或”的充分不必要條件，所以，即實數(shù)m的最大值為2021.故B正確；對于C：“函數(shù)在內(nèi)有零點”，則，解得：或，所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的充分不必要條件.故C錯誤；對于D：已知，且，所以（當且僅當，即時取等號）故D正確.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】依題意可得圓柱的底面半徑、高，再根據(jù)圓柱的體積公式計算可得；【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑，高，所以；故答案為：14、【解析】設抽到的次品的個數(shù)為，則，求出對應的概率即得解.【詳解】解：設抽到的次品的個數(shù)為，則，所以所以抽到次品個數(shù)的數(shù)學期望的值是故答案為：15、【解析】求得的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由斜截式方程可得切線方程【詳解】解：的導數(shù)為，可得曲線在處的切線斜率為，切點為，即有切線方程為故答案為【點睛】本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，考查導數(shù)的幾何意義，直線方程的運用，考查方程思想，屬于基礎題16、【解析】利用正弦定理表示出，再求t，再利用求的最大值即可.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，，即求的最大值，也就是求t的最小值，而，即最大時，由橢圓的性質(zhì)知當P為橢圓上頂點時最大，此時，，所以，所以的最大值是1，，所以，故答案為：.【點睛】本題考查橢圓焦點三角形的問題，考查正弦定理的應用.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率的定義以及橢圓與拋物線焦點的關(guān)系，可以求出橢圓方程；（2）根據(jù)題意，可以利用鉛錘底水平高的方法求四邊形APBQ的面積，即是要利用韋達定理算出.【小問1詳解】由題意，即；拋物線，焦點為，故，所以橢圓C的標準方程為：.【小問2詳解】由題意作圖如下：設AB直線的方程為：，并設點，，聯(lián)立方程：得：，∴……①，……②，；由于A，B兩點在直線PQ的兩邊（如上圖），所以，即，將①②帶入得：，解得；即由題意直線PQ的方程為，聯(lián)立方程解得，，∴；將線段PQ看做鉛錘底，A，B兩點的橫坐標之差看做水平高，得四邊形APBQ的面積為：，當且僅當m=0時取最大值，而，所以的最大值為.18、（1）證明見解析，，（2）【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合遞推公式，易知，即可求證；（2）根據(jù)題意，結(jié)合錯位相減法，即可求解.【小問1詳解】∵，∴，，∴等差數(shù)列，首項為，公差為3.∴，即，.【小問2詳解】根據(jù)題意，得，，①，②①-②得，故.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由圓的性質(zhì)可得，再由線面垂直的性質(zhì)可得，從而由線面垂直的判定定理可得平面PAB，所以得，再結(jié)合已知條件可得平面PBC，由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由已知條件結(jié)合基本不等式可得當三棱錐的體積最大時，是等腰直角三角形，，從而以OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，以過點O且垂直于圓O平面的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求解.【小問1詳解】證明：因為AC是圓O的直徑，點B是圓O上不與A，C重合的一個動點，所以.因為平面ABC，平面ABC，所以.因為，且AB，平面PAB，所以平面PAB.因為平面PAB，所以.因為，，且BC，平面PBC，所以平面PBC.因為平面PBC，所以.【小問2詳解】解：因為，，所以，所以三棱錐的體積，（當且僅當“”時等號成立）.所以當三棱錐的體積最大時，是等腰直角三角形，.所以以OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，以過點O且垂直于圓O平面的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，.因為∽，所以，因為，，所以，所以，.設向量為平面的一個法向量，則即令得，.向量為平面ABC的一個法向量，.因為二面角是銳角，所以二面角的余弦值為.20、（1）；（2）.【解析】(1)選①，可得數(shù)列為等差數(shù)列，求出，由，可得數(shù)列的通項公式為選②是與的等比中項，可得，由，可得，從而利用累乘法求得數(shù)列的通項公式為選③，由，可得，則數(shù)列為等差數(shù)列，從而求出通項公式(2)由(1)知，求出，利用錯位相減求和法求出小問1詳解】選①.因為，，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列則，從而當時，，經(jīng)檢驗，當時，也符合上式．所以選②.因為是與的等比中項所以，當時，，兩式相減得，整理得，所以，經(jīng)檢驗，也符合上式，所以選③.由題設，得，兩式相減，得，整理，得，因為．所以，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以【小問2詳解】由(1)知，，所以，所以，則兩式相減，得，所以21、（1）（2）【解析】（1）利用△∽△構(gòu)造齊次方程，求出離心率，再利用焦距即可求出橢圓方程；（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用韋達定理求出和，利用幾何關(guān)系可知，即可得，將韋達定理代入化簡即可求得點坐標.【小問1詳解】∵橢圓