陜西省渭南市富平縣2025屆數(shù)學高二上期末預測試題含解析

陜西省渭南市富平縣2025屆數(shù)學高二上期末預測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知某班有學生48人，為了解該班學生視力情況，現(xiàn)將所有學生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本已知3號，15號，39號學生在樣本中，則樣本中另外一個學生的編號是（）A.26 B.27C.28 D.292．過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為（）A. B.2C. D.43．拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.4．是等差數(shù)列，，，的第（）項A.98 B.99C.100 D.1015．已知直線與拋物線C：相交于A，B兩點，O為坐標原點，，的斜率分別為，，則（）A. B.C. D.6．已知，數(shù)列，，，與，，，，都是等差數(shù)列，則的值是（）A. B.C. D.7．已知拋物線內(nèi)一點，過點的直線交拋物線于，兩點，且點為弦的中點，則直線的方程為（）A. B.C D.8．已知直線、的方向向量分別為、，若，則等于（）A.1 B.2C.0 D.39．若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍（）A. B.C. D.10．在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并證明此定理的為公元前世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和.若一個直角三角形的斜邊長等于則這個直角三角形周長的最大值為（）A. B.C. D.11．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（）A.24 B.18C.12 D.612．直線在y軸上的截距為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從10名大學畢業(yè)生中選3個人擔任村主任助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選不同選法的種數(shù)為___________.14．過雙曲線的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交于點.若點的橫坐標為,則的離心率為-.15．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為____________.16．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，公差，為其前n項和，滿足，則當取得最大值時，______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求.18．（12分）甲、乙等6個班級參加學校組織廣播操比賽，若采用抽簽的方式隨機確定各班級的出場順序（序號為1，2，…，6），求：（1）甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數(shù)的概率；（2）甲、乙兩班級之間的演出班級（不含甲乙）個數(shù)X的分布列與期望19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）已知，曲線與曲線相交于A，B兩點，求.20．（12分）在平面直角坐標系中，動點，滿足，記點的軌跡為（1）請說明是什么曲線，并寫出它的方程；（2）設不過原點且斜率為的直線與交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與交于兩點，，請判斷與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論21．（12分）如圖，已知雙曲線，過向雙曲線作兩條切線，切點分別為，，且.（1）證明：直線的方程為.（2）設為雙曲線的左焦點，證明：.22．（10分）如圖，在正方體中，是棱的中點.（1）試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求證：直線面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由系統(tǒng)抽樣可知抽取一個容量為4的樣本時,將48人按順序平均分為4組,由已知編號可得所求的學生來自第三組,設其編號為,則,進而求解即可【詳解】由系統(tǒng)抽樣可知,抽取一個容量為4的樣本時,將48人分為4組,第一組編號為1號至12號；第二組編號為13號至24號；第三組編號為25號至36號；第四組編號為37號至48號,故所求的學生來自第三組,設其編號為,則,所以,故選:B【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的編號,屬于基礎(chǔ)題2、A【解析】求出橢圓的通徑，即可得到結(jié)果【詳解】過橢圓的左焦點作弦，則最短弦的長為橢圓的通徑：故選：A3、A【解析】將拋物線的方程化成標準形式，即可得到答案；【詳解】拋物線的方程化成標準形式，準線方程為，故選：A.4、C【解析】等差數(shù)列，，中，，，由此求出，令，得到是這個數(shù)列的第100項【詳解】解：等差數(shù)列，，中，，令，得是這個數(shù)列的第100項故選：C5、C【解析】設，，由消得：，又，由韋達定理代入計算即可得答案.【詳解】設，，由消得：，所以，故.故選：C【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率公式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學生的運算求解能力.6、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，分別表示出，，整理即可得答案.【詳解】數(shù)列，，，和，，，，各自都成等差數(shù)列，，，，故選:A7、B【解析】利用點差法求出直線斜率，即可得出直線方程.【詳解】設，則，兩式相減得，即，則直線方程為，即.故選：B.8、C【解析】由可得出，利用空間向量數(shù)量積的坐標運算可得出關(guān)于實數(shù)的等式，由此可解得實數(shù)的值.【詳解】若，則，所以，所以，解得.故選：C9、B【解析】用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)，使用參數(shù)分離法即可.【詳解】，在上是增函數(shù)，即恒成立，；設，；∴時，是增函數(shù)；時，是減函數(shù)；故時，，∴；故選：B.10、C【解析】設直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則，根據(jù)基本不等式求出的最大值后，可得三角形周長的最大值.【詳解】設直角三角形的兩條直角邊邊長分別為，則.因為，所以，所以，當且僅當時，等號成立.故這個直角三角形周長的最大值為故選：C11、C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合計數(shù)原理中的分步計算，以及排列組合公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，要使組成無重復數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)，則從0，2中選一個數(shù)字為個位數(shù)，有種可能，從1，3，5中選兩個數(shù)字為十位數(shù)和百位數(shù)，有種可能，故這個無重復數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)的個數(shù)為.故選：C.12、D【解析】將代入直線方程求y值即可.【詳解】令，則，得.所以直線在y軸上的截距為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、49【解析】丙沒有入選，相當于從9個人中選3人，分為兩種情況：甲乙兩人只有一人入選；甲乙兩人都入選，分別求出每種情況的選法數(shù)，再利用分類加法計數(shù)原理即可得解.【詳解】丙沒有入選，把丙去掉，相當于從9個人中選3人，甲、乙至少有1人入選，分為兩種情況：甲乙兩人只有一人入選；甲乙兩人都入選.甲乙兩人只有一人入選，選法有種；甲乙兩人都入選，選法有種.所以，滿足題意的選法共有種.故答案為：49.【點睛】本題考查組合的應用，其中涉及到分類加法計數(shù)原理，屬于中檔題.一些常見類型的排列組合問題的解法：（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；（2）分類分步法：對于較復雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏；（3）間接法（排除法），從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法；（4）捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列；（5）插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空；（6）去序法或倍縮法；（7）插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題.把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有；（8）分組、分配法：有等分、不等分、部分等分之別.14、【解析】雙曲線的右焦點為.不妨設所作直線與雙曲線的漸近線平行，其方程為，代入求得點的橫坐標為，由，得，解之得，（舍去，因為離心率），故雙曲線的離心率為.考點：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.直線方程.15、【解析】先求出，然后當時，由，得，兩式相減可求出，再驗證，從而可得數(shù)列為等比數(shù)列，進而可求出，再將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，所以，從而可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】當時，，得，當時，由，得，兩式相減得，得，滿足此式，所以，因為，所以數(shù)列是以為公比，為首項的等比數(shù)列，所以，所以對于任意的，不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為對于任意的，恒成立，即在上恒成立，所以，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查數(shù)列通項公的求法，等比數(shù)列求和公式的應用，考查不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項公式后求得，再將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立求解即可，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題16、9或10【解析】等差數(shù)列通項公式的使用.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，且，得，得，則有，又因為，公差，所以或10時，取得最大值故答案為：9或10三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）1280【解析】（1）直接利用等差數(shù)列通項公式即可求解；（2）先判斷出數(shù)列單調(diào)性，由，則時，，時，；然后去掉絕對值，利用等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【小問1詳解】設數(shù)列的公差為，由，可知，∴;【小問2詳解】由（1）知，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，由，則時，，時，；.18、（1）（2）X01234p期望為.【解析】（1）求出甲、乙兩班級的出場序號中均為偶數(shù)的概率，進而求出答案；（2）求出X的可能取值及相應的概率，寫出分布列，求出期望值.【小問1詳解】由題意得：甲、乙兩班級的出場序號中均為偶數(shù)的概率為，故甲、乙兩班級的出場序號中至少有一個為奇數(shù)的概率；【小問2詳解】X的可能取值為0,1,2,3,4，，，，故分布列為：X01234p數(shù)學期望為19、（1），（2）2【解析】（1）消參數(shù)即可得曲線的普通方程，利用極坐標方程與直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系式，從而曲線的直角坐標方程；（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標方程，得關(guān)于的一元二次方程，由韋達定理得，即可得的值.【小問1詳解】由，消去參數(shù)，得，即，所以曲線的普通方程為.由，得，即，所以曲線的直角坐標方程為【小問2詳解】將代入，整理得，則，令方程的兩個根為由韋達定理得，所以.20、（1）橢圓，（2），證明見解析【解析】（1）結(jié)合橢圓第一定義直接判斷即可求出的軌跡為；（2）設直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，寫出韋達定理；由中點公式求出點，進而得出直線方程，聯(lián)立橢圓方程求出，結(jié)合弦長公式可求，可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達定理可化簡，進而得證.【小問1詳解】設，，則因為，滿足，即動點表示以點，為左、右焦點，長軸長為4，焦距為的橢圓，其軌跡的方程為；【小問2詳解】可以判斷出，下面進行證明：設直線的方程為，，，由方程組，得①，方程①判別式為，由，即，解得且由①得，，所以點坐標為，直線方程為，由方程組，得，，所以又所以.21、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設出切線方程，聯(lián)立后用韋達定理及根的判別式進行表達出A的橫坐標與縱坐標，進而表達出直線的方程，化簡即為結(jié)果；（2）再第一問的基礎(chǔ)上，利用向量的夾角公式表達出夾角的余弦值，進而證明出結(jié)論.【小問1詳解】顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立得，則，化簡得.因為方程有兩個相等實根，故切點A的橫坐標，得，則，故，則，即.【小問2詳解】同理可得，又與均過，所以.故，，，又因為，所以，則，