2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步6.1.1向量的概念課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教B版必修第二冊(cè)

PAGE向量的概念(15分鐘30分)1.(2024·眉山高一檢測(cè))已知a為單位向量,下列說法正確的是 ()A.a的長(zhǎng)度為一個(gè)單位B.a與0不平行C.a的方向?yàn)閤軸正方向D.a的方向?yàn)閥軸正方向【解析】選A.因?yàn)橐阎猘為單位向量,所以a的長(zhǎng)度為一個(gè)單位,故A正確;因?yàn)閍與0平行,故B錯(cuò)誤;由于a的方向是隨意的,故C,D錯(cuò)誤.【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列說法正確的是 ()A.有向線段與表示同一向量B.兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量是平行向量C.零向量與單位向量是平行向量D.對(duì)隨意向量a,QUOTE是一個(gè)單位向量【解析】選C.向量與方向相反,不是同一向量,A說法錯(cuò)誤;有公共終點(diǎn)的向量的方向不肯定相同或相反,B說法錯(cuò)誤;當(dāng)a=0時(shí),QUOTE無意義,D說法錯(cuò)誤;零向量與任何向量都是平行向量,C說法正確.2.(2024·綿陽高一檢測(cè))下列命題中正確的是 ()A.QUOTE=QUOTE?a=bB.QUOTE>QUOTE?a>bC.a=b?a∥bD.單位向量都相等【解析】選C.對(duì)于選項(xiàng)A,模長(zhǎng)相等的向量不肯定是相等的向量,所以錯(cuò)誤.對(duì)于B,由于向量不能比較大小,所以錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C,由于向量相等,則可以知道它們必定共線,成立,對(duì)于D,由于單位向量方向不肯定相同,所以錯(cuò)誤.3.在四邊形ABCD中,若∥,則四邊形ABCD是 ()A.平行四邊形 B.梯形C.菱形 D.平行四邊形或梯形【解析】選D.因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中,∥,且與的大小未知,所以四邊形ABCD是平行四邊形或梯形.4.如圖,四邊形ABCD是菱形,則在向量,,,,和中,相等的有________對(duì).

【解析】=,=.其余不等.答案:2【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,則||=________.

【解析】易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,則AO=QUOTEAB=1.在Rt△ABO中,易得||=QUOTE,則||=2||=2QUOTE.答案:2QUOTE5.如圖,D,E,F分別是正三角形ABC各邊的中點(diǎn).(1)寫出圖中所示向量與向量長(zhǎng)度相等的向量.(2)寫出圖中所示向量與向量相等的向量.(3)分別寫出圖中所示向量與向量,共線的向量.【解析】(1)與長(zhǎng)度相等的向量是,,,,,,,.(2)與相等的向量是,.(3)與共線的向量是,,;與共線的向量是,,.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)W是由一平面內(nèi)的n(n≥3)個(gè)向量組成的集合.若a∈W,且a的模不小于W中除a外的全部向量和的模,則稱a是W的極大向量.有下列命題:①若W中每個(gè)向量的方向都相同,則W中必存在一個(gè)極大向量;②給定平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量a,b,在該平面內(nèi)總存在唯一的平面對(duì)量c=-a-b,使得W={a,b,c}中的每個(gè)元素都是極大向量;③若W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每個(gè)元素都是極大向量,且W1,W2中無公共元素,則W1∪W2中的每一個(gè)元素也都是極大向量.其中真命題的序號(hào)是________.

【解析】①若有幾個(gè)方向相同,模相等的向量,則無極大向量,故不正確;②由題意得a,b,c圍成閉合三角形,則隨意向量的模等于除它本身外全部向量和的模,故正確;③3個(gè)向量都是極大向量,等價(jià)于3個(gè)向量之和為0,故W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每個(gè)元素都是極大向量時(shí),W1∪W2中的每一個(gè)元素也都是極大向量,故正確.答案:②③(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.在同一平面上,把平行于某始終線的一切向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn),那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是 ()A.一條線段 B.一條直線C.圓上一群孤立的點(diǎn) D.一個(gè)半徑為1的圓【解析】選B.由于向量的起點(diǎn)確定,而向量平行于同始終線,所以隨著向量模長(zhǎng)的改變,向量的終點(diǎn)構(gòu)成的是一條直線.2.已知D為平行四邊形ABPC兩條對(duì)角線的交點(diǎn),則的值為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.1D.2【解析】選C.因?yàn)樗倪呅蜛BPC是平行四邊形,D為對(duì)角線BC與AP的交點(diǎn),所以D為PA的中點(diǎn),所以的值為1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】假如在一個(gè)邊長(zhǎng)為5的正△ABC中,一個(gè)向量所對(duì)應(yīng)的有向線段為(其中D在邊BC上運(yùn)動(dòng)),則向量長(zhǎng)度的最小值為________.

【解析】依據(jù)題意,在正△ABC中,有向線段AD長(zhǎng)度最小時(shí),AD應(yīng)與邊BC垂直,有向線段AD長(zhǎng)度的最小值為正△ABC的高,為QUOTE.答案:QUOTE3.如圖在等腰梯形ABCD中.①與是共線向量.②=.③>.以上結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是 ()A.0B.1C.2D.3【解析】選A.①因?yàn)榕c的方向不相同,也不相反,所以與不共線,即①不正確;②由①可知不正確;③因?yàn)閮蓚€(gè)向量不能比較大小,所以③不正確.【誤區(qū)警示】本題易錯(cuò)之處在于③的推斷,忽視向量是不能夠進(jìn)行大小比較的.4.(多選題)下列說法不正確的是 ()A.數(shù)量可以比較大小,向量也可以比較大小B.方向不同的向量不能比較大小,但同向的可以比較大小C.向量的大小與方向有關(guān)D.向量的?？梢员容^大小【解析】選ABC.向量之間不能比較大小,但向量的?？梢员容^大小,向量的大小與方向無關(guān).故只有選項(xiàng)D說法正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(多選題)如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,則以下說法正確的是 ()A.與相等的向量只有一個(gè)(不含)B.與的模相等的向量有4個(gè)(不含)C.的模為模的QUOTE倍D.與不共線【解析】選AC.A項(xiàng),由相等向量的定義知,與相等的向量只有,故A正確;B項(xiàng),因?yàn)锳B=BC=CD=DA=AC,所以與的模相等的向量除外有9個(gè),故B錯(cuò)誤;C項(xiàng),在Rt△ADO中,∠DAO=60°,則DO=QUOTEDA,所以BD=QUOTEDA,故C項(xiàng)正確;D項(xiàng),因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以與共線,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.【光速解題】選AC.從簡(jiǎn)單推斷的選項(xiàng)入手,如D選項(xiàng)明顯錯(cuò)誤,其次A選項(xiàng)正確,再次B選項(xiàng)中的向量始點(diǎn)和終點(diǎn)互換后為不同的向量,故錯(cuò)誤,依據(jù)多選題的特點(diǎn)易得AC正確.二、填空題(每小題5分,共10分)5.若向量a與隨意向量b都平行,則a=________;若|a|=1,則向量a是________.

【解析】由于只有零向量與隨意向量平行,故a=0;由于QUOTE=1,即向量a的長(zhǎng)度為1,所以向量a是單位向量.答案:0單位向量【補(bǔ)償訓(xùn)練】給出下列四個(gè)條件:①a=b;②|a|=|b|;③a與b方向相反;④|a|=0或|b|=0.其中能使a∥b成立的條件是________(填序號(hào)).

【解析】若a=b,則a與b大小相等且方向相同,所以a∥b;若|a|=|b|,則a與b的大小相等,而方向不確定,因此不肯定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a與b方向相反,則有a∥b;零向量與隨意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,則a∥b.答案:①③④6.(2024·福州高一檢測(cè))有下列說法:①若a≠b,則a肯定不與b共線;②若=,則A,B,C,D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn);③在?ABCD中,肯定有=;④共線向量是在一條直線上的向量.其中,正確的說法是________.

【解析】①,兩個(gè)向量不相等,可能是長(zhǎng)度不相等,方向相同或相反,所以a與b有共線的可能,故①不正確;②,A,B,C,D四點(diǎn)可能在同一條直線上,故②不正確;③,在平行四邊形ABCD中,||=||,與平行且方向相同,所以=,故③正確;④,共線向量可以是在一條直線上的向量,也可以是所在直線相互平行的向量,故④不正確.答案:③三、解答題7.(10分)設(shè)在平面內(nèi)給定一個(gè)四邊形ABCD,E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),求證:=.【證明】如圖所示,連接AC.在△ABC中,由三角形中位線定理知,EF=QUOTEAC,EF∥AC,同理HG=QUOTEAC,HG