（圓夢高考數學）專題4.1 導數的概念及幾何意義（含答案及解析）

專題4.1導數的運算及幾何意義題型一平均變化率和瞬時變化率題型二導數的定義運算題型三導數的四則運算和復合函數求導題型四求曲線切線的斜率（傾斜角）題型五曲線上一點處的切線問題題型六過一點的切點問題題型七已知切線（斜率）求參數題型八兩切線的平行、垂直問題題型九公切線問題題型一 平均變化率和瞬時變化率例1．（北京市第十四中學2022-2023學年高二下學期期中測試數學試題）下圖是函數的圖象，函數在區(qū)間，上的平均變化率分別為，，則，的大小關系是（

）A． B． C． D．無法確定例2．（福建省2022-2023學年高三下學期質優(yōu)生“筑夢”聯考數學試題）某鐵球在時，半徑為.當溫度在很小的范圍內變化時，由于熱脹冷縮，鐵球的半徑會發(fā)生變化，且當溫度為時鐵球的半徑為，其中為常數，則在時，鐵球體積對溫度的瞬時變化率為（

）A．0 B． C． D．練習1．（2023春·江西·高二校聯考期中）某汽車在平直的公路上向前行駛，其行駛的路程y與時間t的函數圖象如圖.記該車在時間段，，，上的平均速度的大小分別為，，，，則平均速度最小的是（

）A． B． C． D．練習2．（2023春·貴州·高三校聯考期中）函數在區(qū)間上的平均變化率為（

）A．2 B．6 C．12 D．48練習3．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學校考期中）蜥蜴的體溫與陽光照射的關系近似滿足函數關系式：，其中為蜥蜴的體溫（單位：），為太陽落山后的時間（單位：）．(1)求，并解釋其實際意義；(2)蜥蜴體溫的瞬時變化率為時的時刻是多少（精確到）？練習4．（2023春·內蒙古呼倫貝爾·高一校考開學考試）如圖，從上端口往一高為H的水缸勻速注入水，水注滿所用時間為T.若當水深為h時，水注入所用時間為t，則函數的圖像大致是（

）A． B．C． D．練習5．（2023春·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）若小球自由落體的運動方程為（g為常數），該小球在到的平均速度為，在的瞬時速度為，則和的大小關系為________（填“”，“”或“”）題型二 導數的定義運算例3．（江西省部分學校2022-2023學年高三下學期4月期中聯考數學試題）已知，則（

）A．1 B．3 C．6 D．9例4．若在處可導，則可以等于（

）．A． B．C． D．練習6．（2023春·湖北武漢·高二校聯考階段練習）設函數，則（

）A．3 B． C． D．0練習7．（2023春·四川達州·高三校考期中）已知函數，則________．練習8．（2023·高三課時練習）如圖，函數的圖象在點處的切線方程是，則（

）A． B． C． D．練習9．（2023春·山東菏澤·高三統(tǒng)考期中）已知函數在處可導，且，則（

）A． B． C． D．練習10．（2023春·上海楊浦·高三上海市控江中學?？计谥校┯嬎悖海?/p>

）A．0 B． C． D．題型三 導數的四則運算和復合函數求導例5．（四川省成都市蓉城名校聯盟2022-2023學年高三下學期期中聯考理科數學試題）函數的導函數為（

）A． B．C． D．例6．（黑龍江省哈爾濱市第九中學校2022-2023學年高二下學期期中數學試題）求下列已知函數的導函數(1)(2)(3)(4)練習11．（2023春·江西·高三校聯考期中）求下列函數的導數：(1)；(2).練習12．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯考期中）下列導數運算正確的是（

）A． B．C． D．練習13．（2023春·貴州遵義·高三?？茧A段練習）已知函數，則________.練習14．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈九中校考期中）（多選）下列求導運算錯誤的是（

）A． B．C． D．練習15．（2023春·上海楊浦·高三上海市控江中學?？计谥校┖瘮档膶Ш瘮档亩x域為__________.題型四 求曲線切線的斜率（傾斜角）例7．（山東省菏澤市2022-2023學年高三下學期期中數學試題）正弦曲線在點處的切線斜率是（

）A． B． C． D．例8．（江蘇省無錫市四校2022-2023學年高三下學期期中聯考數學試題）已知函數與的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．練習16．（2023·全國·高三專題練習）函數的圖象如圖所示，是函數的導函數，則下列數值排序正確的是（

）A． B．C． D．練習17．（2023春·山東淄博·高三沂源縣第一中學校考期中）若直線與曲線相切，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習18．（2023春·江西·高三校聯考期中）已知函數的導函數為，的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．練習19．（2023秋·江蘇鹽城·高三江蘇省阜寧中學校聯考期末）已知點P是曲線上一動點，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習20．（2023春·四川德陽·高三德陽五中?？茧A段練習）若曲線在處的切線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．題型五 曲線上一點處的切線問題例9．（遼寧省錦州市遼西育明高級中學2022-2023學年高三下學期期中數學試題）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．例10．（四川省成都市蓉城高中聯盟2022-2023學年高三下期期中考試理科數學試題）已知，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．練習21．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯考期中）已知，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．練習22．（2023春·江蘇無錫·高三江陰市華士高級中學校聯考期中）已知函數，則在處的切線方程為_______．練習23．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預測）已知函數，若的圖象在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為1，則（

）A． B．2 C．±2 D．練習24．（2023·江西上饒·校聯考模擬預測）已知函數在點處的切線方程為______________．練習25．（2023·浙江·校聯考模擬預測）函數的圖象在點處的切線方程為__________．題型六 過一點的切點問題例11．（天津市南開大學附屬中學2022-2023學年高三下學期階段檢測數學試題）曲線過點的切線方程為______________________.例12．已知經過點的兩條直線，均與曲線相切，若直線的方程為，則m的值為______，直線的方程為______．練習26．（2023·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線的切線，則切點的橫坐標為___________.練習27．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學校考期中）已知曲線，過點作曲線的切線，則切線方程________．練習28．（2023·海南?？凇ばＢ摽寄M預測）過軸上一點作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數的一個可能值為_________．練習29．（2023春·江西·高三校聯考期中）（多選）過點且與曲線相切的直線的方程為（

）A． B． C． D．練習30．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預測）已知函數，過點作曲線的切線，則切線的條數為_______________．題型七 已知切線（斜率）求參數例13．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預測）已知曲線在點處的切線與直線平行，則實數的值為________.例14．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實數a＝（

）A．0 B． C． D．練習31．（2023春·四川成都·高三樹德中學?？茧A段練習）已知曲線在點P處的切線與直線垂直，則P點的橫坐標為___________.練習32．（2023春·安徽馬鞍山·高三馬鞍山二中校考階段練習）若曲線在點(0,)處的切線方程為，則（

）A．， B．，C．， D．，練習33．（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）已知直線是曲線的切線，則（

）A． B．1 C． D．2練習34．（2023春·廣東深圳·高三紅嶺中學?？计谥校ǘ噙x）已知點不在函數的圖象上，且過點能作兩條直線與的圖象相切，則的取值可以是（

）A． B． C．0 D．練習35．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預測）已知函數，過點存在3條直線與曲線相切，則實數的取值范圍是___________.題型八 兩切線的平行、垂直問題例15．（2023·河南·洛陽市第三中學校聯考模擬預測）已知曲線，過曲線上A，B兩點分別作曲線的切線交于點P，AP⊥BP．記A，B兩點的橫坐標分別為，則（

）A． B．1 C． D．2例16．（2022秋·河北邢臺·高三校聯考階段練習）已知函數.(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)當時，曲線上存在分別以和為切點的兩條互相平行的切線，求的最大值.練習36．（2022秋·青?！じ呷嗪煷蟾街行？茧A段練習）已知曲線y＝存在兩條互相平行的切線，請寫出一個滿足條件的函數：_______.練習37．（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知函數，則（

）A．有兩個零點 B．過坐標原點可作曲線的切線C．有唯一極值點 D．曲線上存在三條互相平行的切線練習38．（2023春·安徽·高三安徽省太和中學校聯考階段練習）（多選）若函數的圖象上不存在互相垂直的切線，則實數的值可以是（

）A． B．1 C．2 D．3練習39．（2022春·江蘇蘇州·高三蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學?？茧A段練習）已知函數，若f（x）的圖象存在兩條相互垂直的切線，則a的值可以是（

）A．－4 B．－3 C．－2 D．－1練習40．（2023·高三校考課時練習）（多選）已知函數，則下列說法正確的有（

）A．時， B．在定義域內單調遞增時，C．時，有極值 D．時，的圖象存在兩條相互垂直的切線題型九 公切線問題例17．（2023春·四川綿陽·高三校考期中）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則（

）A．2 B．3 C．1 D．1.5例18．（2022秋·四川綿陽·高三四川省綿陽江油中學?？茧A段練習）若存在斜率為3a（a>0）的直線l與曲線與都相切，則實數b的取值范圍為（

）A． B． C． D．練習41．（2023春·陜西咸陽·高二?？计谥校┮阎獌汕€和都經過點，且在點處有公切線，試求、、的值．練習42．（2023春·江蘇南京·高三江蘇省溧水高級中學校考期中）已知直線是曲線與的公切線，則________.練習43．（2023春·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校懗銮€與曲線的公切線的一個方向向量______.練習44．（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知曲線與有公共切線，則實數的取值范圍為__________.練習45．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預測）（多選）若存在直線與曲線都相切，則的值可以是（

）A．0 B． C． D．

專題4.1導數的運算及幾何意義題型一平均變化率和瞬時變化率題型二導數的定義運算題型三導數的四則運算和復合函數求導題型四求曲線切線的斜率（傾斜角）題型五曲線上一點處的切線問題題型六過一點的切點問題題型七已知切線（斜率）求參數題型八兩切線的平行、垂直問題題型九公切線問題題型一 平均變化率和瞬時變化率例1．（北京市第十四中學2022-2023學年高二下學期期中測試數學試題）下圖是函數的圖象，函數在區(qū)間，上的平均變化率分別為，，則，的大小關系是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】根據平均變化率定義直接計算即可.【詳解】由題可知，，，所以.故選：B例2．（福建省2022-2023學年高三下學期質優(yōu)生“筑夢”聯考數學試題）某鐵球在時，半徑為.當溫度在很小的范圍內變化時，由于熱脹冷縮，鐵球的半徑會發(fā)生變化，且當溫度為時鐵球的半徑為，其中為常數，則在時，鐵球體積對溫度的瞬時變化率為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根據題意，由球的體積公式可得，求導即可得到結果.【詳解】由題意可得，當溫度為時，鐵球的半徑為，其體積，求導可得，當時，，所以在時，鐵球體積對溫度的瞬時變化率為.故選:D練習1．（2023春·江西·高二校聯考期中）某汽車在平直的公路上向前行駛，其行駛的路程y與時間t的函數圖象如圖.記該車在時間段，，，上的平均速度的大小分別為，，，，則平均速度最小的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平均速度的定義和兩點求斜率公式，可得平均速度為經過兩點所對應直線的斜率，結合圖形即可求解.【詳解】由題意知，汽車在時間的平均速度大小分別為，設路程y與時間t的函數關系為，則，即為經過點的直線的斜率，同理為經過點的直線的斜率，為經過點的直線的斜率，為經過點的直線的斜率，如圖，由圖可知，最小，即最小.故選：C.練習2．（2023春·貴州·高三校聯考期中）函數在區(qū)間上的平均變化率為（

）A．2 B．6 C．12 D．48【答案】C【分析】根據平均變化率的計算公式，結合函數的解析式，準確計算，即可求解.【詳解】根據平均變化率的計算公式，可得函數在區(qū)間的平均變化率為：.故選：C.練習3．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學?？计谥校狎娴捏w溫與陽光照射的關系近似滿足函數關系式：，其中為蜥蜴的體溫（單位：），為太陽落山后的時間（單位：）．(1)求，并解釋其實際意義；(2)蜥蜴體溫的瞬時變化率為時的時刻是多少（精確到）？【答案】(1)，實際意義見解析；(2).【分析】（1）求出的導數，代入可求，根據導數的幾何意義解釋其實際意義；（2）求解即可.【詳解】（1），則，表示太陽落山后，蜥蜴的體溫下降的速度為.（2）令，解得,故蜥蜴體溫的瞬時變化率為時的時刻是.練習4．（2023春·內蒙古呼倫貝爾·高一?？奸_學考試）如圖，從上端口往一高為H的水缸勻速注入水，水注滿所用時間為T.若當水深為h時，水注入所用時間為t，則函數的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將容器看做一個球體，根據的實際意義求解.【詳解】將容器看做一個球體，在剛開始注水時，由于球體的截面積較小，對于相同的時間，高度的變化較大，即較大，即函數的導數值較大，到水注入球體的一半時，由于球體的截面積較大，的變化率較小，接近于球體的頂端時，的變化率又較大；故選：D.練習5．（2023春·浙江杭州·高三杭州四中?？计谥校┤粜∏蜃杂陕潴w的運動方程為（g為常數），該小球在到的平均速度為，在的瞬時速度為，則和的大小關系為________（填“”，“”或“”）【答案】【分析】根據給定條件，利用平均速度和瞬時速度的意義，求出和即可作答.【詳解】小球自由落體的運動方程為，求導得，則小球在到的平均速度，在的瞬時速度，所以.故答案為：題型二 導數的定義運算例3．（江西省部分學校2022-2023學年高三下學期4月期中聯考數學試題）已知，則（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】D【分析】利用導數的定義式以及極限的性質可求答案.【詳解】.故選：D.例4．若在處可導，則可以等于（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用導數的定義對各選項逐一分析計算并判斷得出結果.【詳解】由導數定義，對于A，，A滿足；對于B，，，B不滿足；對于C，，，C不滿足；對于D，，，D不滿足.故選：A.練習6．（2023春·湖北武漢·高二校聯考階段練習）設函數，則（

）A．3 B． C． D．0【答案】A【分析】根據導數的定義以及導數運算公式求解.【詳解】因為，因為，所以，所以，故選:A.練習7．（2023春·四川達州·高三?？计谥校┮阎瘮?，則________．【答案】/0.5【分析】根據導函數的定義及求導公式求出答案.【詳解】由題意知，.故答案為：練習8．（2023·高三課時練習）如圖，函數的圖象在點處的切線方程是，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可知切點坐標，由切線方程得到，利用導數的概念解出即可.【詳解】依題意可知切點，函數的圖象在點處的切線方程是，，即又即故選：D.練習9．（2023春·山東菏澤·高三統(tǒng)考期中）已知函數在處可導，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據導數的定義可得，再根據極限的性質計算可得.【詳解】因為函數在處可導，且，所以，所以.故選：C練習10．（2023春·上海楊浦·高三上海市控江中學?？计谥校┯嬎悖海?/p>

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】變換得到，計算得到答案.【詳解】設則.故選：D.題型三 導數的四則運算和復合函數求導例5．（四川省成都市蓉城名校聯盟2022-2023學年高三下學期期中聯考理科數學試題）函數的導函數為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據給定條件，利用求導公式及導數運算法則求解作答.【詳解】函數，求導得.故選：D例6．（黑龍江省哈爾濱市第九中學校2022-2023學年高二下學期期中數學試題）求下列已知函數的導函數(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據導數的四則運算以及復合函數的導數，即可逐一求解.【詳解】（1）（2）（3）（4）練習11．（2023春·江西·高三校聯考期中）求下列函數的導數：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用商的求導法則可得答案；（2）利用積的求導法則以及復合函數求導法則可得答案.【詳解】（1）；（2）.練習12．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯考期中）下列導數運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據導數公式判斷各項正誤即可.【詳解】由，，，，所以A、B、D錯，C對.故選：C練習13．（2023春·貴州遵義·高三校考階段練習）已知函數，則________.【答案】1【分析】求解導函數，即可得，于是可得函數解析式，從而可求解的值.【詳解】已知函數，則，所以則，故.故答案為：.練習14．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈九中校考期中）（多選）下列求導運算錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據基本函數的求導公式以及求導法則即可結合選項逐一求解.【詳解】對于A，，故A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，，故C錯誤，對于D，，故D錯誤，故選：ACD練習15．（2023春·上海楊浦·高三上海市控江中學?？计谥校┖瘮档膶Ш瘮档亩x域為__________.【答案】【分析】確定函數定義域，再求導確定導函數定義域得到答案.【詳解】，函數定義域為，，導函數需滿足，綜上所述：導函數定義域為.故答案為：.題型四 求曲線切線的斜率（傾斜角）例7．（山東省菏澤市2022-2023學年高三下學期期中數學試題）正弦曲線在點處的切線斜率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導數的幾何意義可求得切線的斜率.【詳解】對函數求導得，所以，正弦曲線在點處的切線斜率是.故選：B.例8．（江蘇省無錫市四校2022-2023學年高三下學期期中聯考數學試題）已知函數與的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數的幾何意義直接判斷.【詳解】由圖可知，與在區(qū)間上單調遞增，所以，.在區(qū)間上，的圖象比的圖象更陡峭，所以，.故選：B.練習16．（2023·全國·高三專題練習）函數的圖象如圖所示，是函數的導函數，則下列數值排序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圖象的變化趨勢，結合導數的幾何意義有，即可得結果.【詳解】由圖知：，即.故選：A.練習17．（2023春·山東淄博·高三沂源縣第一中學?？计谥校┤糁本€與曲線相切，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據導數的幾何意義，求導數的取值范圍，即可求解.【詳解】，由導數的幾何意義可知，.故選：A練習18．（2023春·江西·高三校聯考期中）已知函數的導函數為，的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據已知條件作出切線，利用導數的幾何意義及斜率的定義即可求解.【詳解】依次作出函數在處的切線，如圖所示根據導數的幾何意義及圖形中切線的斜率可知，．故選：B.練習19．（2023秋·江蘇鹽城·高三江蘇省阜寧中學校聯考期末）已知點P是曲線上一動點，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數的導數，利用均值不等式求出切線斜率的取值范圍即可計算作答.【詳解】函數的定義域是R，求導得：函數，而，則曲線在點處的切線的斜率，當且僅當，即，時取“=”，而，于是得，又，因此，，所以的取值范圍是.故選：A練習20．（2023春·四川德陽·高三德陽五中?？茧A段練習）若曲線在處的切線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導數的幾何意義求出，然后利用二倍角公式及弦切互化計算即可.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：D題型五 曲線上一點處的切線問題例9．（遼寧省錦州市遼西育明高級中學2022-2023學年高三下學期期中數學試題）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導數的幾何意義求出切線的斜率，然后由點斜式求出切線方程即可.【詳解】，，，曲線在點處的切線方程為，即.故選：B.例10．（四川省成都市蓉城高中聯盟2022-2023學年高三下期期中考試理科數學試題）已知，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求導，得到即切線的斜率，然后根據點斜式寫出直線方程.【詳解】，，即切線的斜率為，又，切線方程為，即.故選：A練習21．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯考期中）已知，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據導數的幾何含義求出切線的斜率及切點，寫出切線方程.【詳解】已知，∵，∴，又，∴切線過，∴所求切線為，即，故選：A.練習22．（2023春·江蘇無錫·高三江陰市華士高級中學校聯考期中）已知函數，則在處的切線方程為_______．【答案】【分析】直接求導得，代入則可解出，則得到函數方程，則求出切點坐標，即可得到直線方程.【詳解】，令，，解得，則，則，則在處的切線方程為，即.故答案為：.練習23．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預測）已知函數，若的圖象在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為1，則（

）A． B．2 C．±2 D．【答案】D【分析】利用導數的幾何意義求出切線方程，再求出切線與坐標軸的交點坐標，再根據面積列式可求出結果.【詳解】因為，所以.因為，所以的圖象在處的切線方程為.因為切線與坐標軸能圍成三角形，所以，令，得，令，得，所以，所以.故選：D練習24．（2023·江西上饒·校聯考模擬預測）已知函數在點處的切線方程為______________．【答案】【分析】根據求出切點的坐標，由得出在該點處切線的斜率，根據點斜式即可寫出切線方程．【詳解】由得，即切點坐標為，，則，所以在點處的切線的斜率為，所以在點處的切線方程為，即，故答案為：．練習25．（2023·浙江·校聯考模擬預測）函數的圖象在點處的切線方程為__________．【答案】【分析】求出、的值，利用導數的幾何意義可得出所求切線的方程.【詳解】因為，則，所以，，，所以，函數的圖象在點處的切線方程為，即.故答案為：.題型六 過一點的切點問題例11．（天津市南開大學附屬中學2022-2023學年高三下學期階段檢測數學試題）曲線過點的切線方程為______________________.【答案】【分析】求出導函數，設切點為，表示出切線方程，由切線過點，代入求出，再代入即可.【詳解】因為，所以，設切點為，則，所以切線方程為，又切線過點，所以，解得，所以切線方程為即.故答案為：例12．已知經過點的兩條直線，均與曲線相切，若直線的方程為，則m的值為______，直線的方程為______．【答案】2【分析】本題是求過一點的切線方程問題，先設出切點坐標，然后根據導數的幾何意義知函數在切點處的導數值是切線的斜率，從而列出方程，進而可求解.【詳解】設直線與曲線相切于點．因為，又由題意得切線的斜率，即．由直線的斜率為0，得的一個解為0，所以m的值為2，故，解得另一個解為，則此時，故直線的方程為，即．故答案為：2；.練習26．（2023·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線的切線，則切點的橫坐標為___________.【答案】或【分析】設切點為，利用導數的幾何意義表示出切線方程，將代入，即可求得本題答案.【詳解】由可得，設切點坐標為，所以切線斜率，又因為，則切線方程為，把代入并整理可得，解得或.故答案為：或練習27．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定區(qū)第一中學?？计谥校┮阎€，過點作曲線的切線，則切線方程________．【答案】【分析】設切點坐標為，求出切線方程，代入點求出，從而可得切線方程.【詳解】設切點坐標為，由，得，所以曲線在點處的切線方程為.因為切線過點，所以，解得.所以切線方程為.故答案為:.練習28．（2023·海南?？凇ばＢ摽寄M預測）過軸上一點作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數的一個可能值為_________．【答案】，，，只需寫出一個答案即可【分析】設切點為，利用導數求切線方程，代入一點，關于的方程沒有實數解，由判別式解不等式求整數的值.【詳解】設切點為，因為，所以切線方程為．因為切線經過點，所以，由題意關于的方程沒有實數解，則，解得．因為為整數，所以的取值可能是，，.故答案為：，，，只需寫出一個答案即可練習29．（2023春·江西·高三校聯考期中）（多選）過點且與曲線相切的直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】設過點的切線與曲線相切于點，根據導數的幾何意義求出切線方程，再根據切線過點求出，即可得解.【詳解】設過點的切線與曲線相切于點，因為，則曲線在點處的切線斜率為，所以切線方程為，因為切線過點，所以，解得或，故切線方程為或.故選：BC.練習30．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預測）已知函數，過點作曲線的切線，則切線的條數為_______________．【答案】1【分析】分與兩種情況，設出切點，寫出切線方程，將代入，求出相應答案.【詳解】當時，，設切點為，，其中，故過的切線方程為，將代入，可得，解得，滿足要求，當時，，設切點為，，其中，故過的切線方程為，將代入，可得，解得，不合要求，舍去；故答案為：1題型七 已知切線（斜率）求參數例13．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預測）已知曲線在點處的切線與直線平行，則實數的值為________.【答案】【分析】根據導數的幾何意義求導列式得，即可實數的值.【詳解】因為，所以，則，則，解得.故答案為：.例14．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實數a＝（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】根據導數的幾何意義可得，求解即可.【詳解】由且x不為0，得設切點為，則，即，所以，可得.故選：C練習31．（2023春·四川成都·高三樹德中學?？茧A段練習）已知曲線在點P處的切線與直線垂直，則P點的橫坐標為___________.【答案】【分析】由題設知P處的切線斜率為，應用導數幾何意義列方程求P點的橫坐標.【詳解】由題設在P處的切線斜率為，而，所以，則，即.故答案為：練習32．（2023春·安徽馬鞍山·高三馬鞍山二中?？茧A段練習）若曲線在點(0,)處的切線方程為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由可知切線的斜率為，所以切線方程為，又切線方程為，比較系數可得a，b的值．【詳解】因為，切點為(0,)，所以切線的斜率為，則切線方程為，即，又切線方程為，即，所以，.故選：D練習33．（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）已知直線是曲線的切線，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據給定條件，求出函數的導數，再利用導數的幾何意義求解作答.【詳解】函數，求導得，令直線與曲線相切的切點為，于是且，所以.故選：B練習34．（2023春·廣東深圳·高三紅嶺中學?？计谥校ǘ噙x）已知點不在函數的圖象上，且過點能作兩條直線與的圖象相切，則的取值可以是（

）A． B． C．0 D．【答案】AB【分析】由題意切點為，利用導數的幾何意義可得求出切線方程，代入點，可得，構造函數，將原問題轉化為函數圖象的交點個數問題，利用導數求得函數最值，作出函數圖象，數形結合，即可求解.【詳解】由題意知，過點作直線與的圖象相切，設切點為，則切線斜率為，則切線方程為，將點代入，即，即，令，則，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，故，當時；當時；，作出的大致圖象如圖：由點不在函數的圖象上，且過點能作兩條直線與的圖象相切，可知，且有兩個解，即的圖象和有2個交點，故，則a的取值可以為.故選：AB.練習35．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預測）已知函數，過點存在3條直線與曲線相切，則實數的取值范圍是___________.【答案】【分析】設切點為，利用導數幾何意義寫出過的切線方程，進而有有三個不同值，即與有三個不同交點，導數研究的極值，即可求參數范圍.【詳解】由，設切點為，則切線斜率為，所以，過的切線方程為，綜上，，即，所以有三個不同值使方程成立，即與有三個不同交點，而，故、上，遞減，上，遞增；所以極小值為，極大值為，故時兩函數有三個交點，綜上，的取值范圍是.故答案為：題型八 兩切線的平行、垂直問題例15．（2023·河南·洛陽市第三中學校聯考模擬預測）已知曲線，過曲線上A，B兩點分別作曲線的切線交于點P，AP⊥BP．記A，B兩點的橫坐標分別為，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】分段求出函數的導數，利用導數的幾何意義結合垂直關系求解作答.【詳解】當時，，當時，，依題意，曲線在點A，B處的切線互相垂直，則在1的兩側，不妨令，因此，解得.故選：B例16．（2022秋·河北邢臺·高三校聯考階段練習）已知函數.(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)當時，曲線上存在分別以和為切點的兩條互相平行的切線，求的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）根據導數的幾何意義求解即可；（2）由題意知，化簡得，則，令，利用導數求出其最小值，從而可求出的最大值.（1）當時，，，因為，所以，即，所以曲線在處的切線方程為，即；（2）由題意知，，即，整理得，因為，所以，所以，令，則，因為，所以，所以在上單調遞增，即，所以，即所以的最大值為.練習36．（2022秋·青海·高三青海師大附中?？茧A段練習）已知曲線y＝存在兩條互相平行的切線，請寫出一個滿足條件的函數：_______.【答案】（答案不唯一）【分析】直接根據導數的幾何意義即可得結果.【詳解】兩條切線互相平行應先滿足在切點處的導數值相等，練習如，，，，此時，，函數在處的切線方程為：；函數在處的切線方程為：；合乎題意，故答案為：（答案不唯一）練習37．（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知函數，則（

）A．有兩個零點 B．過坐標原點可作曲線的切線C．有唯一極值點 D．曲線上存在三條互相平行的切線【答案】ACD【分析】利用導數研究函數的極值，結合零點的定義即可判斷A；利用反證法，根據直線的點斜式方程求出切線方程，即可判斷B；利用二次求導研究函數的極值，結合零點的定義即可判斷C；利用函數的零點個數與方程的根個數、函數圖象交點個數的關系，結合選項C即可判斷D.【詳解】A：，對于函數，令，令或，所以函數在上單調遞減，在和上單調遞增，則函數在，處分別取極大值和極小值，由，知只有一個零點，所以有兩個零點，故A正確；B：假設B成立，設切點坐標為，切線方程為，即，∴，但顯然，故B錯誤；C：，令，令或，所以函數在上單調遞減，在和上單調遞增，∴函數在處分別取到極大值和極小值，由知只有一個零點，有一個極值點，故C正確；D：若D正確，則存在實數m使得有三個不同的根，即函數與圖象有3個交點，由選項C可知，，故D正確.故選：ACD.練習38．（2023春·安徽·高三安徽省太和中學校聯考階段練習）（多選）若函數的圖象上不存在互相垂直的切線，則實數的值可以是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】AB【分析】將切線垂直，轉化為斜率乘積為，然后利用導數的幾何意義即可求出的范圍.【詳解】因為函數，所以，當且僅當，即時，等號成立，因為函數的圖象上，不存在互相垂直的切線，所以，即，解得.故選：AB練習39．（2022春·江蘇蘇州·高三蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學?？茧A段練習）已知函數，若f（x）的圖象存在兩條相互垂直的切線，則a的值可以是（

）A．－4 B．－3 C．－2 D．－1【答案】AB【分析】由題可得：，利用基本不等式可得：，由條件知，即可得出答案.【詳解】∵函數，定義域為（0，＋∞），∴，∴，當且僅當時，取等號，要使f（x）的圖象存在兩條相互垂直的切線，則，所以的值必有一正一負，當時，，易知符合題意，當時，，易知符合題意，當時，，不符題意，當時，，不符題意，所以a的值可以是－4或－3.故選：AB.練習40．（2023·高三?？颊n時練習）（多選）已知函數，則下列說法正確的有（

）A．時， B．在定義域內單調遞增時，C．時，有極值 D．時，的圖象存在兩條相互垂直的切線【答案】ABD【分析】對函數求導得，A代入自變量求參數值即可；B由在上恒成立，求范圍即可；C判斷時的符號即可；D利用導數研究的單調性及值域，判斷定義域內是否存在即可.【詳解】由題設，函數定義域為，且，A：，則，正確；B：在定義域上遞增，即在上恒成立，只需，而在上的最大值為，故，正確；C：由B分析知：當時恒成立，此時無極值，錯誤；D：令，則，當時，遞減；當時，遞增；又，故，趨向于0或正無窮時都趨向于正無窮，所以上各有一個零點，故上，上，