極限與連續(xù)21極限的概念-數(shù)列的極限教學目的樹立極限

第二章極限與連續(xù)2.1極限的概念——數(shù)列的極限教學目的：樹立極限思想，正確理解數(shù)列極限的定義，并能用不等式語言敘述簡單數(shù)列的極限。理解數(shù)列收斂與性質(zhì)之間的關(guān)系，初步學會建立知識間的橫向聯(lián)系。教學重點：數(shù)列極限定義。教學難點：數(shù)列極限定義教學方法：啟發(fā)講授式＋探究式（滲透合情推理——觀察、實驗、類比、歸納的思想方法）教學過程：數(shù)列的極限上節(jié)已經(jīng)指出，微積分是研究函數(shù)為對象的一門學科。那么，它是用什么方法研究函數(shù)呢？這個方法就是極限。從方法論來說這是微積分區(qū)別于初等數(shù)學的顯著標志。微積分中幾乎所有的概念（如導數(shù)、微分、積分、級數(shù)等）都離不開極限。也可以說，極限概念貫穿于微積分的始與終。因此，極限概念是微積分的重要概念，極限理論是微積分的基礎(chǔ)理論。雖然在中學我們都不同程度地學習過極限，那么從本章開始我們將系統(tǒng)地學習極限的概念（包括定量定義），運算和性質(zhì)。極限概念是由于求某些問題的精確解答而提出的。早在公元263年，我國杰出的數(shù)學家劉徽在計算圓的周長中創(chuàng)立并使用了極限方法——稱之為“割圓術(shù)”。他為了定義和計算圓的周長（曲邊形不會算），設(shè)想用直邊形去逼近（而直邊形是可以計算的）。他用正6邊形、12邊形、24邊形……192邊形（）?！案钪畯浖?，所失彌少”，即，邊數(shù)越大，近似程度愈好。但是無論邊數(shù)怎樣多，只要是有限數(shù)，它永遠是圓的近似值。而我們需要的是圓周長的精確值，因此，當“割之又割，以至于不可割”，即讓邊數(shù)無限增多（記）則“與圓合體無所失矣”。近似值向精確值進行了轉(zhuǎn)化，從而求得圓的周長。劉徽的“割圓術(shù)”給了我們一個重要啟示：在有限的過程中，只是解決了圓周長近似值的計算問題，而在無限的過程中，則近似值向精確值進行了轉(zhuǎn)化。因此，未知與已知，直與曲，近似與精確，既有差別又有聯(lián)系，但在無限的過程中，則可以由此達彼。雖然我們的極限思想建立較早，但形成嚴密的理論，則是在19世紀柯西（法國數(shù)學家）等人完成。與極限概念有著緊密聯(lián)系的是函數(shù)的連續(xù)性。在第一章中，我們從幾何直觀入手，給出了連續(xù)性的定義，作為極限的直接應(yīng)用，在本章的后幾節(jié)中，我們將進一步研究函數(shù)連續(xù)性的有關(guān)性質(zhì)以及初等函數(shù)的連續(xù)性等。（一）、數(shù)列及性質(zhì)：1.數(shù)列的概念：按照一定規(guī)律排成的一列數(shù)：或簡記為稱為數(shù)列。其中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項，第項稱為數(shù)列的通項。數(shù)列也可以看成是定義在全體正整數(shù)集上的函數(shù)，即，或例1：：2：：3：：4：：5：：6：：2.數(shù)列的性質(zhì)、有界性：定義1.設(shè)有數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對一切，都有，則稱數(shù)列有界，稱為的一個界。若這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列無界。（邏輯語言，數(shù)列有界有）特殊：對數(shù)列，若存在數(shù)，使得對一切都有（或），則稱數(shù)列有下界（或有上界），為的一個上界（或下界）（邏輯語言，數(shù)列有上（下）界有（或））從上面的分析得知，一個數(shù)列有界的充要條件是既有上界又有下界。在幾何上，有界數(shù)列在數(shù)軸上所對應(yīng)的點列全部落在閉區(qū)間上。、單調(diào)性：定義2.設(shè)有數(shù)列，若對于任意有（或），則稱數(shù)列單增（或單減），單增或單減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。在幾何上，單調(diào)數(shù)列在數(shù)軸上所對應(yīng)的點列都隨著的增加朝一個方向移動，單增數(shù)列向右方移動，單減數(shù)列向左方移動。（二）數(shù)列的極限在初等數(shù)學里，研究的數(shù)列不外乎求通項和前項和，而在高等數(shù)學中是從另一個角度研究數(shù)列的，而當自變量無限增大時，數(shù)列的變化趨勢，并給出其精確的定義1.考察：數(shù)列（1）當無限增大時的變化趨勢？12341觀察：當無限增大時（記），無限趨近于12341（記）如圖2.1實驗：結(jié)論：數(shù)列有一個穩(wěn)定的變化趨勢，而時，數(shù)列。數(shù)就是數(shù)列的極限。這種結(jié)論是觀察實驗得到的，也是在中學里接觸到極限的描述性定義，因為上述的“無限增大”，“無限接近”只是對數(shù)列變化趨勢的一種形象描述，即只是定性說明，這樣在數(shù)學中是不能進行嚴謹論證的，而數(shù)學中需要的定量化定義，即用符號進行說明的數(shù)學語言，下面我們必須把這種定性的描述，上升為量化定義（精確定義）首先必須明確下列問題：，問題1：何謂？中學里比較兩個數(shù)的接近程度是用來刻化。同理也用第項與的距離來說明，即的距離能任意小，并保持任意小問題2：何謂的距離能任意小，并保持任意小例如：1）對欲使，只需第即可，（?。?，即第項以后所有項，都滿滿足這個不等式2）對，欲使只需即可（取），對第項以后的所有項都滿足3）對，欲使只需即可（取），當項以后的所有項都滿足這個不等式問題3：盡管對分別能做到：能否說明能任意小，并保持任意小？當然這是不行的，這是因為盡管是一個比一個小的正數(shù)，甚至可可以認為是非常小的數(shù)，但它們畢竟是確定的數(shù)！而刻劃任意小，并保持任意小，上述確定的數(shù)是不能滿足要求的，因此必須用一個任意的、無論多么小的正數(shù)才行，即事實上，這也是能夠做到的，顯然，只需即可，而從數(shù)列（1）的第項，以后的所有項都滿足這個不等式綜上分析，數(shù)列的極限是的定量定義為：對任意，總存在整數(shù)，對任意的正數(shù)，有。事實上，用刻化了，用刻化了，這里的是任意給定的，是通過解不等式找到的。2．數(shù)列極限的概念上面給出了一個特殊的“數(shù)列的極限是”的定量定義。根據(jù)同樣的思想方法和數(shù)學語言，不難給出一般的“數(shù)列的極限是”的定量定義。.定義1.3設(shè)有數(shù)列，是常數(shù)，若對于任意總存在正整數(shù)，對任意的正整數(shù)有，則稱數(shù)列的極限是（或稱是數(shù)列的極限），或稱數(shù)列收斂于（是收斂數(shù)列），記為或若數(shù)列不存在極限，則稱數(shù)列發(fā)散，數(shù)列的極限是，用邏輯符號簡要表為這就是數(shù)列極限的定義.幾何解釋即對任意就有一個以為圓心以為半徑的領(lǐng)域，或開區(qū)間（），數(shù)列中總存在一項，在此項后面的所有項它們在數(shù)軸上所對應(yīng)的點，都落在或區(qū)間（）之中，而至多能有個點在此領(lǐng)域之外。因此可以任意小，所以數(shù)列各項所對應(yīng)的點都無限聚集在點的附近.關(guān)于數(shù)列極限概念的幾點說明１）關(guān)于，（１）一方面是任意給出的，它具有絕對的任意性，只有這樣，才能保證的無限性；另一方面，又具有相對的固定性，一旦給出，便相對固定，而這種相對固定性是通過不等式來體現(xiàn)的，從而，也可估算與的近似程度。顯然，的任意性是通過無限多個相對固定性表現(xiàn)出來的，的這種兩重性使數(shù)列極限的定義，能從近似到精確，又能從精確轉(zhuǎn)化到近似，因此，它是極限定量定義的精髓。（２）是任意給出的正數(shù)，則，（為正常數(shù)）也都是任意給出的正數(shù)。顯然，它們在形式上與不同，但在本質(zhì)是一樣的。２）關(guān)于（１）在數(shù)列極限定義中，第二句“”，在于說明正整數(shù)的存在性，與有關(guān)，一般來說愈小就愈大（２）若當時，就有，從而也有作業(yè)：研究性作業(yè)：表格2：性質(zhì)有界單調(diào)收斂上界下界單增單減找到數(shù)列收斂、有界與單調(diào)性之間的關(guān)系，并得出結(jié)論。根據(jù)所得結(jié)論證明二、課堂作業(yè)：1.用定義描述：（）2.3.（）4.（為常數(shù)）2.2極限的概念——函數(shù)的極限教學目的：正確理解函數(shù)極限的定義，并能用不等式語言敘述函數(shù)的極限。了解函數(shù)值與極限值的區(qū)別，初步學會建立知識間的橫向聯(lián)系。教學重點：函數(shù)極限定義。教學難點：函數(shù)極限定義教學方法：啟發(fā)講授式＋探究式（滲透合情推理——觀察、實驗、類比、歸納的思想方法）教學過程：二、函數(shù)的極限數(shù)列是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)，它的自變量是離散的取值，因而極限只是一種特殊函數(shù)的極限。下面我們來討論定義在實數(shù)集上自變量連續(xù)取值的函數(shù)的極限。根據(jù)自變量的變化過程，我們將分兩種基本情況來討論：第一，當自變量的絕對值無限增大的過程中，函數(shù)的變化趨勢，即時，的極限；第二，當自變量無限接近于的過程中，函數(shù)的變化趨勢，即時，的極限。圖2—3（一）當時，函數(shù)圖2—3一、考察：時，的極限。結(jié)論：從圖2—3知，，下面就上述情況，給出定量定義。量化回顧：量化量量化量化類比：量化量量化對一般函數(shù)，有定義：設(shè)有函數(shù)，A是常數(shù)，若對于任給的，總存在正數(shù)，使得對于一切的，，有，則稱當趨于無窮大時，函數(shù)以常數(shù)Ａ為極限.記作邏輯符號為：幾何意義：作兩條平行線，對于每一個預先給定的，總存在一個正數(shù)，當時，函數(shù)的圖象就全部夾在這兩條平行線之間，如圖２—４：圖２—４從圖２—３可以看到，包含兩種情況。一是，二是，而對函數(shù)，有：但對于函數(shù)與，則有：下面分別就兩種情況依照定義２.１，給出定量定義。（用邏輯符號）請學生寫出：定理２.１（補）（二）當時，函數(shù)的極限O211考察：時，函數(shù)O211分析：在處沒有意義但是當時，從圖２—５可知，無限趨近，而不等于時，對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于2。圖2—5結(jié)論：時，下面給出定量定義?；仡櫍侯惐龋毫苛炕瘜σ话愫瘮?shù)有定義：設(shè)函數(shù)在點的去心鄰域內(nèi)有定義，A是一個確定的常數(shù)，若對于任意的，總存在正數(shù)，使得對滿足不等式的一切，都有，則稱當無限趨近于時，函數(shù)以A為極限（或收斂于A）。記：邏輯符號：（1）（2）（3）（4）幾何意義：OO上面給出了當時，的極限定義，事實上，的方式是任意的，既可以從的左側(cè)趨近于，記作，也可以從的右側(cè)趨近于，記作，當時，的極限存在，這樣的極限我們稱左極限，記。當時，的極限存在，則這樣的極限我們稱右極限，記。左極限和右極限通稱為單側(cè)極限，其定量定義如下：定義2.5定義2.6定理2.2例2、試求函數(shù)在和處的極限。解：（1）因為，函數(shù)在處左、右極限存在但不相等，所以，當時，的極限不存在。（2）因為，函數(shù)在處左、右極限存在而且相等，所以，當時，的極限存在且。例3、求解：例4、例5、設(shè)函數(shù)求解：補例1）求證2）證在處極限不存在。小結(jié)：綜上，我們可以看到，函數(shù)值和極限值不是一個概念，那么比較它們之間的關(guān)系，則有下列情況：對后一種特殊情形，將在以后討論。作業(yè)：一、研究性作業(yè)續(xù)表一.觀察寫出基本初等函數(shù)的極限，并歸納出結(jié)論。二、課堂作業(yè)36——43三、用和定義敘述2.3極限的運算教學目的：理解掌握極限的四則運算定理；會熟練求出多項式函數(shù)、有理函數(shù)的極限；初步掌握從特殊到一般的歸納方法.教學方法：師生談話式（學生主體，教師主導—引導學生從高中有關(guān)知識對應(yīng)到大學中來），體現(xiàn)高初結(jié)合的原則.教學過程：前面所求得函數(shù)的極限，主要是靠觀察而得，但對于比較復雜的函數(shù)，如：時，函數(shù)的極限，總不能靠觀察得到.分析這個函數(shù)的結(jié)構(gòu)，為此，引入：定理5.設(shè)，，（1）（2）（3）（）注：①四則運算可以推廣到有限次②每個函數(shù)極限都存在，才能運用定理5.例2、求分析：的結(jié)構(gòu)：由“＋”與“－”構(gòu)成，所以運用定理5.教師對例2進行多種變形后，引導學生歸納：例3、求分析：<1>函數(shù)結(jié)構(gòu)是商（分子、分母都是多項式）<2>分子、分母極限不為零，且分母不為0解：例4：求分析：結(jié)構(gòu)同例3，但分母極限為零，不能用定理5解：因為所以例5、求分析：結(jié)構(gòu)同例3、例4，但分子、分母極限為零，此類極限為“”型不定式.因為，先約去為0的公因式“”解：歸納：設(shè).（有理函數(shù)）對例5變形：（讓學生口算）變形1：變形2：變形3：=例7.求分析：“”型不定式引導學生發(fā)現(xiàn)解決問題的方法解：原式=（即通分）=（先通分再計算）==例8、計算例9、計算（口算）補例:求分析：因為是無限項相加，所以不能進入加法運算解：小結(jié)：略布置作業(yè)：2.4兩個重要極限教學目的：會用兩個重要極限求出簡單三角函數(shù)、反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪指函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等不定式的極限問題；了解基本的證明，讓學生了解合情推理與演繹證明的解法教學方法：啟發(fā)講授式，體現(xiàn)高初結(jié)合原則教學過程：圖2－7圖2－7如圖2-7是中學里常見的單位圓，易得：,則==列表給出時取值的變化情況10.50.10.050.010.005…0.84150.47940.09980.049980.00999980.0049999…我們看到，當時，0，并且當時，與的值越來越接近，即與越來越相等，=1，即①這個極限通常稱為第一個重要極限，或稱為弦弧之比的極限。附：兩邊夾法則證明：(設(shè)0)若對于或證：⑴從圖2-7可以看到（只證情況）（）時有且由練習二⑵結(jié)論知：，而則由性質(zhì)3.4⑵，令,再根據(jù)定理2.2關(guān)于①的幾點說明：1.為型不定式.2.“”位置的表達式相同3.推廣：4.凡是三角函數(shù)和反三角函數(shù)的不定式求極限時均可考慮用①.說明：以下例1——例12，均由教師啟發(fā)引導學生自己尋求解法，教師只需板書即可。例1、.求解：即：公式例2、求解：一般例3、求解：即：公式例4、求解：令即：公式例5、求解：令，則當時例6、解：法一：原式法二：原式（II）第二個重要極限在§1.2研究性作業(yè)中曾得到：類比猜想：（證略）令幾點說明：1.型不定式2.互為倒數(shù)3.4.冪指函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的不定式求極限時可以考慮重要極限二例7、求解：因為，且所以有例8、求解：法一：令，因為時所以法二：熟練后可不設(shè)新變量例9、求解：，令，則當時，所以原式＝1，即：公式例10、求解：令，則，當時，所以即公式例11、求解：因為所以，令，當時，因此：例12、求解：布置作業(yè)：2.5無窮小量與無窮大量教學目的：理解無窮小量及無窮大量的概念，并會舉例說明；理解無窮小量的運算性質(zhì)及普通極限運算的關(guān)系；了解無窮小量與函數(shù)值之間的關(guān)系定理，了解無窮小量與無窮大量的關(guān)系，掌握無窮小量階的比較教學難點：運用無窮小量階的比較求極限教學方法：啟發(fā)講授式教學過程：一、無窮小量的概念引入：（為常數(shù)）特殊的有：定義1：極限為零的變量稱為無窮小量即則稱為這一極限過程的無窮小量，簡稱無窮小。注：包括（，）當時，都是無窮小當時，都是無窮小當時，都是無窮小無窮小量是極限為的變量，是表達變化狀態(tài)的，不要與很小很小的數(shù)混為一談。例如：不是無窮小量，是無窮小量，但無窮小量不都是如果：時的無窮小量，記為定理1若，其中（時，定理1仍成立）二、無窮小量的性質(zhì)既然無窮小量是有著特殊極限值的變量，那么根據(jù)極限定義和四則運算定理，不難證明，無窮小量有以下幾個性質(zhì)：性質(zhì)1有限個無窮小量的代數(shù)和為無窮小量性質(zhì)2有限個無窮小量的乘積為無窮小量推論1任一常數(shù)與無窮小量的乘積為無窮小量推論2有界變量與無窮小量的乘積為無窮小量例1：求時無窮小量解：是有界變量因為，所以三、無窮小量階的比較從前面例子可以看到，當時，雖然都是無窮小量，但它們趨近于的速度是不一樣的，列表如下：0.10.010.50.050.0010.000001從表中可以看出，與趨近于的速度差不多，而比趨近于的速度快得多。因此為了比較兩個無窮小量趨近于的速度快慢，我們引入無窮小量階的比較定義2.設(shè)是同一極限過程中的兩個無窮小量（均不為）（1）若則稱是比的高階無窮小，記特殊（2）若則稱是比的低階無窮小特殊（3）若(為常數(shù))則是與的同階無窮小 ，則稱與等價，記為（4）若)則稱是的階無窮小例2：1）則是的高階無窮小2）則是的低階無窮小3）則是的同階無窮小4）則稱與等價5）則稱是與同階無窮小，而是的階無窮小☆利用等價無窮小在計算極限時，有一個有用的性質(zhì)。定理2若在同一極限的過程中，且存在，則例3：1）2）注：要整體代換四、無窮大量定義極限為無窮大的變量為無窮大量，即則為這一極限過程的無窮大量，簡稱無窮大。同定義1包括兩種情形：如是無窮大量都是無窮大量同無窮小量的理解一樣，通俗點說無窮大量是極限為無窮（）的變量，它不能與很大很大的數(shù)混為一談，而“”是一記號，也不是無窮大量無窮大量與無窮小量之間的關(guān)系定理31）若則2）若則（證略）無窮大量與無窮小量指的都是因變量，再者，判斷一個變量是否為無窮大（?。┝?，不僅與本身有關(guān)，而且與自變量趨近過程有關(guān)如當時為無窮小量當時為無窮大量當時既不是無窮大量，也不是無窮小量小結(jié)：略布置作業(yè)：2.6函數(shù)的連續(xù)性教學目的：理解連續(xù)函數(shù)的概念及幾種表述方式，理解間斷點的概念及分類，理解初等函數(shù)的連續(xù)性及結(jié)構(gòu)和處理方法，并學會這種處理問題的方法。教學重點：判斷函數(shù)的連續(xù)性，求出間斷點及判別類型，會用極限與連續(xù)的關(guān)系求極限，會用零點定理解決簡單方程根的范圍問題。教學難點：零點定理的應(yīng)用。教學方法：著重講授+自學指導教學過程：一、連續(xù)函數(shù)的概念引入：（連續(xù)）連續(xù)函數(shù)是高等數(shù)學中主要研究對象，也是許多自然過程中數(shù)學變化的抽象，如自然界中氣溫的變化、河水流動、植物生長等都是連續(xù)變化著的，連續(xù)函數(shù)在幾何上則是一條不間斷的曲線。函數(shù)在一點連續(xù)的概念預備知識：增量△x0定義1.設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)△x0有定義，若（1） △y則稱在處連續(xù)，是△y的連續(xù)點.從定義可以看到，在點處連續(xù)須滿足三個條件：函數(shù)在點處有定義圖2—8存在設(shè)變量從動值變到終值終極限值等于函數(shù)值值與初值之差就叫做變量的增由（1）式量記為，即=，增量改寫為-=0可正可負，在為正時，從變到是增大的，在為負時，是減小的，對于增量，我們也稱改變量。定義2.設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)對于函數(shù)，如圖2—8，當有定義，若（2）自變量從變到時，函數(shù)相應(yīng)地則稱在點處連續(xù)。從變到，即當自變量有一改變量時，函數(shù)相應(yīng)地也有一改變量:把（1）用語言敘述.定義3.設(shè)在的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，,時，，則稱在處連續(xù).單調(diào)連續(xù)定義4.設(shè)函數(shù)在處左（右）鄰域內(nèi)有定義，若，則稱在處左（右）連續(xù)，左連續(xù)和右連續(xù)，我們稱為單側(cè)連續(xù)。（學生可自創(chuàng)寫出定量定義）顯然，函數(shù)在點連續(xù)的充要條件是：在處既左連續(xù)又右連續(xù).函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)定義5.如果函數(shù)在區(qū)間上每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).若，則在上連續(xù)，指（1）在內(nèi)任一點連續(xù)，（2）在處右連續(xù)，在處左連補例1：討論函數(shù)在點處的連續(xù)性解：在處連續(xù)，如圖2—9圖2—9補例2：討論在處的連續(xù)性解：0在處不連續(xù)，如圖2—10.圖2—10例1.討論函數(shù)在上的連續(xù)性解：，有于是因為，而是有界變量所以即在內(nèi)任意點處是連續(xù)的同理可以證明在任意點處連續(xù)例2：討論在處的連續(xù)性解：，在處不連續(xù).二、函數(shù)的間斷點及分類定義1.如果函數(shù)在點處不滿足定義1中三個條件：1、存在，2.存在，3.之一，則稱在點間斷，點稱為的間斷點.間斷點可按下述情況分類：（一）第Ⅰ類間斷點定義2.若是函數(shù)的間斷點，且在處的左、右極限都存在，即與都存在，則點是函數(shù)的第類間斷點.特殊：若=，則點是函數(shù)的可去間斷點.可去間斷點，我們可以補充在點處的函數(shù)值，或改變在處的定義（一般補充或修改在處的函數(shù)值等于極限值），可使在點連續(xù)，這正是“可去”的本意.例如：補例2是類間斷點，例2是可去間斷點，修改為，則在處連續(xù).（二）第Ⅱ類間斷點定義6