蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步精講精練2.8圓錐的側(cè)面積(七大題型)(原卷版+解析)

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章對(duì)稱圖形---圓》2.8圓錐的側(cè)面積知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一與圓錐相關(guān)的概念◆1、圓錐：圓錐是一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的幾何體.圓錐還可以看成由一個(gè)直角三角形繞它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的圖形.◆2、圓錐的母線：我們把連接圓錐的頂點(diǎn)S和底面圓上任一點(diǎn)的連線SA，SB等叫做圓錐的母線．圓錐有無數(shù)條母線，它們都相等．◆3、圓錐的高：從圓錐的頂點(diǎn)到圓錐底面圓心之間的距離是圓錐的高．◆4、重要的數(shù)量關(guān)系如果用r表示圓錐底面的半徑,h表示圓錐的高線長(zhǎng),l表示圓錐的母線長(zhǎng),那么r、h、l之間數(shù)量關(guān)系是：由勾股定理得：r2+h2=l2,利用這一關(guān)系，已知任意兩個(gè)量，可以求出第三個(gè)量．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二圓錐的側(cè)面積和全面積◆1、圓錐其側(cè)面展開圖扇形的半徑=母線的長(zhǎng)l側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)=底面周長(zhǎng)◆2、圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式：S側(cè)=12?2πr?l＝πr◆3、圓錐的全面積計(jì)算公式：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl題型一求圓錐的側(cè)面積題型一求圓錐的側(cè)面積【例題1】（2023?鹿城區(qū)校級(jí)三模）已知圓錐的底面半徑是4，母線長(zhǎng)是5，則圓錐的側(cè)面積是（）A．10π B．15π C．20π D．25π解題技巧提煉直接代入圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式：S側(cè)=12?2πr?l＝πrl【變式1-1】（2023?天門校級(jí)模擬）如圖，圓錐的軸截面是一個(gè)斜邊為2的等腰直角三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）A．22π B．2π C．2π【變式1-2】（2023?新吳區(qū)二模）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5，將這個(gè)三角形繞著最短的邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)幾何體，那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積為（）A．12π B．15π C．20π D．24π【變式1-3】（2023?香洲區(qū)校級(jí)三模）如圖，冰淇淋蛋筒下部呈圓錐形，則蛋筒圓錐部分包裝紙的面積（接縫忽略不計(jì)）是（）A．27cm2 B．54cm2 C．27πcm2 D．54πcm2【變式1-4】（2023?諸暨市模擬）已知圓錐的底面半徑為5cm，高線長(zhǎng)為12cm，則圓錐的側(cè)面積為（）cm2．A．130π B．120π C．65π D．60π【變式1-5】如圖，已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為9cm，圓心角為120°的扇形．求：（1）圓錐的底面半徑；（2）圓錐的全面積．題型二求圓錐底面圓的半徑題型二求圓錐底面圓的半徑【例題2】（2023?婁星區(qū)一模）已知圓錐的母線長(zhǎng)為20cm，其側(cè)面展開圖是圓心角為216°的扇形，則圓錐的底面半徑長(zhǎng)為（）A．4πcm B．5πcm C．12cm D．15cm解題技巧提煉根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)求得半徑，列出方程求解即可．【變式2-1】已知扇形AOB的半徑為3cm，圓心角的度數(shù)為120°，若將此扇形圍成一個(gè)圓錐，則圍成的圓錐的底面半徑為（）A．1cm B．2cm C．4cm D．8cm【變式2-2】（2023?聊城一模）如圖，已知Rt△ABC的∠A＝90°，AB＝AC＝4，以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑，作AE交BC于點(diǎn)E．若扇形ABE恰好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是（）A．12 B．1 C．22 【變式2-3】如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)部裁得一個(gè)扇形BAC，若將該扇形圍成一個(gè)圓錐，則此圓錐的底面半徑為（）A．1 B．2 C．32 【變式2-4】（2023?耿馬縣一模）小科同學(xué)將一張直徑為16的圓形卡紙平均分成4份，用其中一份作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑是（）A．2 B．4 C．8 D．16【變式2-5】如圖所示，扇形OAB的面積為4πcm2，∠AOB＝90°，用這個(gè)扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面．求這個(gè)圓錐的底面圓的半徑．題型三求圓錐的高題型三求圓錐的高【例題3】（2023?紅塔區(qū)模擬）將一個(gè)直角三角形以一條直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓錐，若這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)為13cm，圓錐的側(cè)面積為65πcm2，則該圓錐的高為（）A．5cm B．12cm C．13cm D．69解題技巧提煉此題主要考查了主要考查了圓錐的性質(zhì)，要知道（1）圓錐的高，底面半徑，母線構(gòu)成直角三角形，（2）此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．解此類題目要根據(jù)所構(gòu)成的直角三角形的勾股定理作為等量關(guān)系求解．【變式3-1】（2023?上杭縣模擬）圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角120°，半徑6cm的扇形，則該圓錐的高是（）A．1cm B．2cm C．42cm D．2【變式3-2】（2022?西雙版納模擬）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為6，以頂點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，則由圖中陰影部分的扇形圍成的圓錐的高為（）A．42 B．26 C．3【變式3-3】如圖，從一塊直徑是4m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，將剪下的扇形圍成一個(gè)圓錐，圓錐的高是（）A．22m B．15m C．302m D．30【變式3-4】如果從半徑為5cm的圓形紙片上剪去15【變式3-5】已知如圖，扇形AOB的圓心角為120°，半徑OA為9cm．（1）求扇形AOB的弧長(zhǎng)和扇形面積；（2）若把扇形紙片AOB卷成一個(gè)圓錐形無底紙帽，求這個(gè)紙帽的高OH．題型四求圓錐的母線長(zhǎng)題型四求圓錐的母線長(zhǎng)【例題4】（2022春?舟山月考）圓錐的底面半徑為4，側(cè)面展開圖扇形的圓心角為120°，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）A．6 B．12 C．18 D．24解題技巧提煉本題考查圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．掌握?qǐng)A錐的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023?如皋市一模）已知圓錐的側(cè)面積為10πcm2，底面圓的半徑為2cm，則該圓錐的母線長(zhǎng)為cm．【變式4-2】（2022秋?句容市期中）某同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，制作了一個(gè)側(cè)面積為40π，底面半徑為4的圓錐模型，則此圓錐的母線長(zhǎng)為．【變式4-3】（2023?吳忠模擬）如圖所示，圓錐形煙囪帽的底面半徑為12cm，側(cè)面展開圖為半圓形，則它的母線長(zhǎng)為．【變式4-4】（2023?溫州模擬）已知圓錐的底面半徑為2cm，表面積為14πcm2，則該圓錐的母線長(zhǎng)為cm．題型五圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角題型五圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角【例題5】若一個(gè)圓錐的底面半徑為3cm，高為62cm，則圓錐的側(cè)面展開圖中圓心角的度數(shù)為（）A．150° B．120° C．100° D．80°解題技巧提煉本題考查了圓錐側(cè)面展開圖，扇形圓心角與母線和底面圓半徑的關(guān)系，明確圓錐的底面圓的周長(zhǎng)＝扇形的弧長(zhǎng)，通過列方程來解答本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022秋?棗陽市期末）某學(xué)校組織開展手工制作實(shí)踐活動(dòng)，一學(xué)生制作的圓錐母線長(zhǎng)為30cm，底面圓的半徑為10cm，這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【變式5-2】（2023?盱眙縣模擬）若要制作一個(gè)母線長(zhǎng)為9cm，底面圓的半徑為4cm的圓錐，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是．【變式5-3】若一個(gè)圓錐的底面圓的半徑是52，母線長(zhǎng)8，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是【變式5-4】（2023?仙桃校級(jí)一模）已知圓錐底面圓的周長(zhǎng)為2π，圓錐的母線為3，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為．題型六圓錐計(jì)算與實(shí)際應(yīng)用問題題型六圓錐計(jì)算與實(shí)際應(yīng)用問題【例題6】（2023?海州區(qū)二模）如圖，一把打開的雨傘可近似的看成一個(gè)圓錐，傘骨（面料下方能夠把面料撐起來的支架）末端各點(diǎn)所在圓的直徑AC長(zhǎng)為12分米，傘骨AB長(zhǎng)為10分米，那么制作這樣的一把雨傘至少需要綢布面料為平方分米．解題技巧提煉把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題來解決，明確求的是圓錐的哪個(gè)量，在套用公式即可.【變式6-1】如圖，糧倉的頂部是圓錐形狀，這個(gè)圓錐底面的半徑長(zhǎng)為3m，母線長(zhǎng)為6m，為防止雨水，需在糧倉頂部鋪上油氈，如果油氈的市場(chǎng)價(jià)是每平方米10元錢，那么購(gòu)買油氈所需要的費(fèi)用是（）A．540π元 B．360π元 C．180π元 D．90π元【變式6-2】（2023?洪雅縣模擬）如圖，蒙古包可以近似地看作是由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個(gè)底面半徑為5米，圓柱高3米，圓錐高2米的蒙古包，則需要毛氈的面積為（）A．(30+529)π米2 B．40π米C．(30+521)π米2 D．55π【變式6-3】如圖，糧倉的頂部是圓錐形狀，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為3米，母線長(zhǎng)為6米，為防雨水，需要在糧倉頂部鋪上油氈，如果油氈的市場(chǎng)價(jià)為10元/米2，那么購(gòu)買油氈所需要的費(fèi)用是元（結(jié)果保留π）．【變式6-4】如圖，有一直徑為4的圓形鐵皮，要從中剪出一個(gè)最大圓心角為60°的扇形ABC．（1）求剪下的扇形ABC（即陰影部分）的半徑；（2）若用此剪下的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐形鐵帽，求此圓錐形鐵帽的底面圓的半徑r．【變式6-5】下圖是一紙杯，它的母線AC和EF延長(zhǎng)后形成的立體圖形是圓錐．該圓錐的側(cè)面展開圖形是扇形OAB．經(jīng)測(cè)量，紙杯上開口圓的直徑為6cm，下底面直徑為4cm，母線長(zhǎng)EF＝8cm．求扇形OAB的圓心角及這個(gè)紙杯的表面積．（面積計(jì)算結(jié)果用π表示）．題型七圓錐與最短距離題型七圓錐與最短距離【例題7】如圖，已知圓錐的底面半徑為r＝20cm，h＝2015cm，現(xiàn)在有一只螞蟻從底邊上一點(diǎn)A出發(fā)．在側(cè)面上爬行一周又回到A點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離是（）cm．A．40 B．40π C．160 D．802解題技巧提煉本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．【變式7-1】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖1，一只螞蟻從圓錐底端點(diǎn)A出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)A，將圓錐沿母線OA剪開，其側(cè)面展開圖如圖2所示，若∠AOA′＝120°，OA=3，則螞蟻爬行的最短距離是【變式7-2】如圖是一個(gè)用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑EF長(zhǎng)為5cm，母線OE（OF）長(zhǎng)為5cm．在母線OF上的點(diǎn)A處有一塊爆米花殘?jiān)?，且FA＝2cm，一只螞蟻從杯口的點(diǎn)E處沿圓錐表面爬行到A點(diǎn)，則此螞蟻爬行的最短距離為cm．【變式7-3】如圖是一個(gè)用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑EF長(zhǎng)為10cm，母線OE（OF）長(zhǎng)為10cm．（1）求圓錐形紙杯的側(cè)面積．（2）若在母線OF上的點(diǎn)A處有一塊爆米花殘?jiān)?，且FA＝2cm，一只螞蟻從杯口的點(diǎn)E處沿圓錐表面爬行到A點(diǎn)，求此螞蟻爬行的最短距離．

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章對(duì)稱圖形---圓》2.8圓錐的側(cè)面積知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一與圓錐相關(guān)的概念◆1、圓錐：圓錐是一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的幾何體.圓錐還可以看成由一個(gè)直角三角形繞它的一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的圖形.◆2、圓錐的母線：我們把連接圓錐的頂點(diǎn)S和底面圓上任一點(diǎn)的連線SA，SB等叫做圓錐的母線．圓錐有無數(shù)條母線，它們都相等．◆3、圓錐的高：從圓錐的頂點(diǎn)到圓錐底面圓心之間的距離是圓錐的高．◆4、重要的數(shù)量關(guān)系如果用r表示圓錐底面的半徑,h表示圓錐的高線長(zhǎng),l表示圓錐的母線長(zhǎng),那么r、h、l之間數(shù)量關(guān)系是：由勾股定理得：r2+h2=l2,利用這一關(guān)系，已知任意兩個(gè)量，可以求出第三個(gè)量．知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二圓錐的側(cè)面積和全面積◆1、圓錐其側(cè)面展開圖扇形的半徑=母線的長(zhǎng)l側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)=底面周長(zhǎng)◆2、圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式：S側(cè)=12?2πr?l＝πr◆3、圓錐的全面積計(jì)算公式：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl題型一求圓錐的側(cè)面積題型一求圓錐的側(cè)面積【例題1】（2023?鹿城區(qū)校級(jí)三模）已知圓錐的底面半徑是4，母線長(zhǎng)是5，則圓錐的側(cè)面積是（）A．10π B．15π C．20π D．25π【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形、扇形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：圓錐的側(cè)面積=12×2π故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓錐的計(jì)算，理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉直接代入圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式：S側(cè)=12?2πr?l＝πrl【變式1-1】（2023?天門校級(jí)模擬）如圖，圓錐的軸截面是一個(gè)斜邊為2的等腰直角三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）A．22π B．2π C．2π【分析】首先可求得圓錐的底面半徑及母線長(zhǎng)，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式，即可求得．【解答】解：∵圓錐的軸截面是一個(gè)斜邊為2的等腰直角三角形，∴底面半徑＝1，母線長(zhǎng)AB=AC=2，底面周長(zhǎng)＝2π∴圓錐的側(cè)面積=1故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的側(cè)面積計(jì)算，利用了圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解，解題的關(guān)鍵是牢記有關(guān)公式．【變式1-2】（2023?新吳區(qū)二模）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5，將這個(gè)三角形繞著最短的邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)幾何體，那么這個(gè)幾何體的側(cè)面積為（）A．12π B．15π C．20π D．24π【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理可知為直角三角形，以直角邊為3所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，底面半徑是4，母線是5，然后利用扇形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：∵32+42＝52，∴這個(gè)三角形為直角三角形，兩直角邊為3，4，斜邊為5，∴以直角邊為3所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，底面半徑是4，母線是5，∴12×2π×4×5＝20故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了點(diǎn)、線、面、體中的面動(dòng)成體，勾股定理的逆定理和圓錐的計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用公式．【變式1-3】（2023?香洲區(qū)校級(jí)三模）如圖，冰淇淋蛋筒下部呈圓錐形，則蛋筒圓錐部分包裝紙的面積（接縫忽略不計(jì)）是（）A．27cm2 B．54cm2 C．27πcm2 D．54πcm2【分析】由于錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，所以根據(jù)扇形的面積公式可計(jì)算出蛋筒圓錐部分包裝紙的面積【解答】解：根據(jù)題意，圓錐的側(cè)面積=12×2π×3×9＝27（即蛋筒圓錐部分包裝紙的面積為27cm2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．【變式1-4】（2023?諸暨市模擬）已知圓錐的底面半徑為5cm，高線長(zhǎng)為12cm，則圓錐的側(cè)面積為（）cm2．A．130π B．120π C．65π D．60π【分析】先利用勾股定理求得圓錐的母線長(zhǎng)，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2列式計(jì)算即可．【解答】解：∵圓錐的底面半徑為5cm，高線長(zhǎng)為12cm，∴圓錐的底面周長(zhǎng)＝2π×5＝10π（cm），母線長(zhǎng)=52+1∴圓錐的側(cè)面積=12×10π×13＝65π（故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，利用了勾股定理，圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解．【變式1-5】如圖，已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為9cm，圓心角為120°的扇形．求：（1）圓錐的底面半徑；（2）圓錐的全面積．【分析】（1）設(shè)該圓錐底面圓的半徑為rcm，則可根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到2πr=120π×9（2）計(jì)算圓錐的側(cè)面積和底面面積，則可得出答案．【解答】解：（1）設(shè)該圓錐底面圓的半徑為rcm，根據(jù)題意得2πr=120π×9解得r＝3，即該圓錐底面圓的半徑為3cm．（2）∵該圓錐的側(cè)面面積=120?π?92360=27圓錐的底面面積＝π?32＝9π（cm2），∴圓錐的全面積為27π+9π＝36π（cm2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．也考查了扇形面積公式．題型二求圓錐底面圓的半徑題型二求圓錐底面圓的半徑【例題2】（2023?婁星區(qū)一模）已知圓錐的母線長(zhǎng)為20cm，其側(cè)面展開圖是圓心角為216°的扇形，則圓錐的底面半徑長(zhǎng)為（）A．4πcm B．5πcm C．12cm D．15cm【分析】根據(jù)展開圖的扇形弧長(zhǎng)是圓錐底面圓的周長(zhǎng)進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑長(zhǎng)為rcm，∵圓錐的母線長(zhǎng)為20cm，其側(cè)面展開圖是圓心角為216°的扇形，∴2πr=216×π×20解得：r＝12，∴圓錐的底面半徑長(zhǎng)為12cm，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求圓錐底面圓半徑，熟知展開圖的扇形弧長(zhǎng)是圓錐底面圓的周長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)求得半徑，列出方程求解即可．【變式2-1】已知扇形AOB的半徑為3cm，圓心角的度數(shù)為120°，若將此扇形圍成一個(gè)圓錐，則圍成的圓錐的底面半徑為（）A．1cm B．2cm C．4cm D．8cm【分析】首先利用扇形的弧長(zhǎng)公式即可求得扇形，然后根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式即可求解．【解答】解：扇形的弧長(zhǎng)是120×3π180=2π（設(shè)底面半徑是rcm，則2πr＝2π，解得：r＝1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的計(jì)算，理解圓錐的展開圖中扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)是關(guān)鍵．【變式2-2】（2023?聊城一模）如圖，已知Rt△ABC的∠A＝90°，AB＝AC＝4，以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑，作AE交BC于點(diǎn)E．若扇形ABE恰好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是（）A．12 B．1 C．22 【分析】根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)與展開后所得扇形的弧長(zhǎng)相等列式計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意可知：AB＝BE＝4，∠ABE＝45°，底面圓的周長(zhǎng)等于弧長(zhǎng)，∴2πr=45×π×4解得r=1該圓錐的底面圓的半徑是12故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐的底面周長(zhǎng)與展開后所得扇形的弧長(zhǎng)相等．【變式2-3】如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)部裁得一個(gè)扇形BAC，若將該扇形圍成一個(gè)圓錐，則此圓錐的底面半徑為（）A．1 B．2 C．32 【分析】根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)求得半徑即可．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，根據(jù)題意得：2πr=2×4π解得：r＝1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查了圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是了解圓錐的底面周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，難度不大．【變式2-4】（2023?耿馬縣一模）小科同學(xué)將一張直徑為16的圓形卡紙平均分成4份，用其中一份作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑是（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】先求出圓形卡紙的周長(zhǎng)，再求出圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，最后根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出半徑即可．【解答】解：圓形卡紙的周長(zhǎng)為16π，∵16π4=4∴圓錐的底面圓的周長(zhǎng)為4π，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr＝4π，解得：r＝2，即這個(gè)圓錐的底面半徑為2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，能求出圓錐的底面圓的周長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵．【變式2-5】如圖所示，扇形OAB的面積為4πcm2，∠AOB＝90°，用這個(gè)扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面．求這個(gè)圓錐的底面圓的半徑．【分析】設(shè)扇形的半徑為Rcm，利用扇形的面積公式得到90×π×R2360=4π，解得R＝4，再設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，利用扇形面積公式得到12×2π【解答】解：設(shè)扇形的半徑為Rcm，根據(jù)題意得90×π×R2360解得R＝4（負(fù)值舍去），設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，則12×2πr×4＝4解得r＝1，所以這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為1cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．題型三求圓錐的高題型三求圓錐的高【例題3】（2023?紅塔區(qū)模擬）將一個(gè)直角三角形以一條直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓錐，若這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)為13cm，圓錐的側(cè)面積為65πcm2，則該圓錐的高為（）A．5cm B．12cm C．13cm D．69【分析】根據(jù)扇形面積公式求出圓錐的底面半徑，再根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為rcm，由題意得：12×2πr×13＝65解得：r＝5，則圓錐的高為：132?故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓錐的計(jì)算，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉此題主要考查了主要考查了圓錐的性質(zhì)，要知道（1）圓錐的高，底面半徑，母線構(gòu)成直角三角形，（2）此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．解此類題目要根據(jù)所構(gòu)成的直角三角形的勾股定理作為等量關(guān)系求解．【變式3-1】（2023?上杭縣模擬）圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角120°，半徑6cm的扇形，則該圓錐的高是（）A．1cm B．2cm C．42cm D．2【分析】利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算得出圓錐的底面周長(zhǎng)，繼而求得底面圓半徑，再利用勾股定理求得高即可．【解答】解：∵一圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120°、半徑為6cm的扇形，∴扇形弧長(zhǎng)=120π×6180=4π∴2πr＝4π，∴r＝2（cm），∴圓錐的高=62?22故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查了圓錐的計(jì)算，用到的知識(shí)點(diǎn)為：扇形的弧長(zhǎng)公式公式和勾股定理．【變式3-2】（2022?西雙版納模擬）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為6，以頂點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，則由圖中陰影部分的扇形圍成的圓錐的高為（）A．42 B．26 C．3【分析】首先確定扇形的圓心角的度數(shù)，然后利用圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算即可．【解答】解：∵正六邊形的外角和為360°，∴每一個(gè)外角的度數(shù)為360°÷6＝60°，∴正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為180°﹣60°＝120°．設(shè)這個(gè)圓錐底面圓的半徑是r，根據(jù)題意得，2πr=120π×6解得，r＝2．∴圓錐的高為62?2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓及圓錐的計(jì)算的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求得正六邊形的內(nèi)角的度數(shù)并理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．此題難度不大．【變式3-3】如圖，從一塊直徑是4m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，將剪下的扇形圍成一個(gè)圓錐，圓錐的高是（）A．22m B．15m C．302m D．30【分析】連接AO，求出AB的長(zhǎng)度，然后求出BC的弧長(zhǎng)，進(jìn)而求出扇形圍成的圓錐的底面半徑，應(yīng)用勾股定理，求出圓錐的高．【解答】解：連接AO，∵AB＝AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∴AO⊥BC，又∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＝∠AC0＝45°，∴AB=2OB＝22（m∴BC的長(zhǎng)為：90π×22180=2∴剪下的扇形圍成的圓錐的半徑是：2π÷2π=22（∴圓錐的高為：(22)2故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．【變式3-4】如果從半徑為5cm的圓形紙片上剪去15【分析】因?yàn)閳A錐的高，底面半徑，母線構(gòu)成直角三角形，則留下的扇形的弧長(zhǎng)=4×2π×55=8π，所以圓錐的底面半徑r【解答】解：∵從半徑為5cm的圓形紙片上剪去15∴留下的扇形的弧長(zhǎng)=4×2π×55=根據(jù)底面圓的周長(zhǎng)等于扇形弧長(zhǎng)，∴圓錐的底面半徑r=8π2π=∴圓錐的高為52?4【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了主要考查了圓錐的性質(zhì)，要知道（1）圓錐的高，底面半徑，母線構(gòu)成直角三角形，（2）此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．解此類題目要根據(jù)所構(gòu)成的直角三角形的勾股定理作為等量關(guān)系求解．【變式3-5】已知如圖，扇形AOB的圓心角為120°，半徑OA為9cm．（1）求扇形AOB的弧長(zhǎng)和扇形面積；（2）若把扇形紙片AOB卷成一個(gè)圓錐形無底紙帽，求這個(gè)紙帽的高OH．【分析】（1）根據(jù)弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)扇形AOB的弧長(zhǎng)求出圓錐的底面半徑，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解答】解：（1）扇形AOB的弧長(zhǎng)=120π×9180=6πS扇形AOB=120π×92360=27（2）∵扇形AOB的弧長(zhǎng)為6πcm，∴圓錐的底面周長(zhǎng)為6πcm，∴圓錐的底面半徑為3cm，∴OH=92?32【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓錐的計(jì)算、弧長(zhǎng)和扇形面積計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．題型四求圓錐的母線長(zhǎng)題型四求圓錐的母線長(zhǎng)【例題4】（2022春?舟山月考）圓錐的底面半徑為4，側(cè)面展開圖扇形的圓心角為120°，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）A．6 B．12 C．18 D．24【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，∵圓錐的底面半徑為4，∴圓錐的底面周長(zhǎng)為8π，∴圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)為8π，則120πl(wèi)180=8解得：l＝12，∴圓錐的母線長(zhǎng)為12，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓錐的計(jì)算，熟記弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題考查圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．掌握?qǐng)A錐的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023?如皋市一模）已知圓錐的側(cè)面積為10πcm2，底面圓的半徑為2cm，則該圓錐的母線長(zhǎng)為cm．【分析】圓錐的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．【解答】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為Rcm，圓錐的底面周長(zhǎng)＝2π×2＝4πcm，則12×4π×R＝10解得，R＝5（cm）故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓錐的計(jì)算，理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．【變式4-2】（2022秋?句容市期中）某同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，制作了一個(gè)側(cè)面積為40π，底面半徑為4的圓錐模型，則此圓錐的母線長(zhǎng)為．【分析】設(shè)此圓錐的母線長(zhǎng)為l，利用扇形的面積公式得到12【解答】解：如圖，設(shè)此圓錐的母線長(zhǎng)為l，根據(jù)題意得：12解得：l＝10，∴此圓錐的母線長(zhǎng)為10．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．掌握?qǐng)A錐的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023?吳忠模擬）如圖所示，圓錐形煙囪帽的底面半徑為12cm，側(cè)面展開圖為半圓形，則它的母線長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式列方程求解即可．【解答】解：設(shè)母線的長(zhǎng)為R，由題意得，πR＝2π×12，解得R＝24，∴母線的長(zhǎng)為24cm，故答案為：24cm．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查弧長(zhǎng)的計(jì)算，根據(jù)展開后的半圓弧長(zhǎng)等于圓錐形煙囪帽的底面周長(zhǎng)列方程求解是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】（2023?溫州模擬）已知圓錐的底面半徑為2cm，表面積為14πcm2，則該圓錐的母線長(zhǎng)為cm．【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出圓錐的底面周長(zhǎng)，根據(jù)圓錐的表面積的計(jì)算公式構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為Rcm，圓錐的底面周長(zhǎng)＝2π×2＝4π（cm），則12×4π×R+π×22＝14解得，R＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓錐的計(jì)算，理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．題型五圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角題型五圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角【例題5】若一個(gè)圓錐的底面半徑為3cm，高為62cm，則圓錐的側(cè)面展開圖中圓心角的度數(shù)為（）A．150° B．120° C．100° D．80°【分析】設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖中圓心角的度數(shù)為n°，先利用勾股定理計(jì)算出圓錐的母線長(zhǎng)為9，再利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到2π×3=nπ×9180，然后解關(guān)于【解答】解：設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖中圓心角的度數(shù)為n°，圓錐的母線長(zhǎng)為32所以2π×3=nπ×9解得n＝120，即圓錐的側(cè)面展開圖中圓心角的度數(shù)為120°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．解題技巧提煉本題考查了圓錐側(cè)面展開圖，扇形圓心角與母線和底面圓半徑的關(guān)系，明確圓錐的底面圓的周長(zhǎng)＝扇形的弧長(zhǎng)，通過列方程來解答本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022秋?棗陽市期末）某學(xué)校組織開展手工制作實(shí)踐活動(dòng)，一學(xué)生制作的圓錐母線長(zhǎng)為30cm，底面圓的半徑為10cm，這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【分析】根據(jù)題意可知，圓錐的底面圓的周長(zhǎng)＝扇形的弧長(zhǎng)，即可列出相應(yīng)的方程，然后求解即可．【解答】解：設(shè)這種圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是n°，根據(jù)題意得，2π×10=nπ×30解得n＝120，即這種圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是120°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確圓錐的底面圓的周長(zhǎng)＝扇形的弧長(zhǎng)．【變式5-2】（2023?盱眙縣模擬）若要制作一個(gè)母線長(zhǎng)為9cm，底面圓的半徑為4cm的圓錐，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是．【分析】利用圓錐側(cè)面展開圖，扇形圓心角與母線和底面圓半徑的關(guān)系計(jì)算，即可求解．【解答】解：設(shè)這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是n，根據(jù)題意得：2π×4=nπ×9解得n＝160，即這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是160°，故答案為：160°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖，扇形圓心角與母線和底面圓半徑的關(guān)系，明確圓錐的底面圓的周長(zhǎng)＝扇形的弧長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-3】若一個(gè)圓錐的底面圓的半徑是52，母線長(zhǎng)8，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是【分析】由題意可以得到圓錐側(cè)面展開圖的半徑和弧長(zhǎng)，然后可以求得圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)．【解答】解：由題意可得：圓錐側(cè)面展開圖的半徑為8，圓錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為2π×5∵nπ?8180∴圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是n=5π故答案為：112.5°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面展開圖的知識(shí)和圓心角的求法是解題關(guān)鍵．【變式5-4】（2023?仙桃校級(jí)一模）已知圓錐底面圓的周長(zhǎng)為2π，圓錐的母線為3，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為．【分析】根據(jù)圓錐底面圓周長(zhǎng)是其展開圖的扇形弧長(zhǎng)進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為n°，由題意得，n?π?3180∴n＝120，∴該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為120°，故答案為：120°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)，熟知圓錐底面圓周長(zhǎng)是其展開圖的扇形弧長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．題型六圓錐計(jì)算與實(shí)際應(yīng)用問題題型六圓錐計(jì)算與實(shí)際應(yīng)用問題【例題6】（2023?海州區(qū)二模）如圖，一把打開的雨傘可近似的看成一個(gè)圓錐，傘骨（面料下方能夠把面料撐起來的支架）末端各點(diǎn)所在圓的直徑AC長(zhǎng)為12分米，傘骨AB長(zhǎng)為10分米，那么制作這樣的一把雨傘至少需要綢布面料為平方分米．【分析】圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，根據(jù)題意可得該圓錐的母線長(zhǎng)為AB，則扇形的直徑為AC，根據(jù)AC的長(zhǎng)度可求出圓錐地面周長(zhǎng)，即可得出扇形的弧長(zhǎng)，最后根據(jù)扇形面積公式S=1【解答】解：∵AC＝12分米，∴該圓錐底面周長(zhǎng)為12π分米，∴該圓錐側(cè)面積=1故答案為：60π．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求圓錐側(cè)面積，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐的側(cè)面展開圖為扇形，以及扇形面積公式S=1解題技巧提煉把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題來解決，明確求的是圓錐的哪個(gè)量，在套用公式即可.【變式6-1】如圖，糧倉的頂部是圓錐形狀，這個(gè)圓錐底面的半徑長(zhǎng)為3m，母線長(zhǎng)為6m，為防止雨水，需在糧倉頂部鋪上油氈，如果油氈的市場(chǎng)價(jià)是每平方米10元錢，那么購(gòu)買油氈所需要的費(fèi)用是（）A．540π元 B．360π元 C．180π元 D．90π元【分析】圓錐的側(cè)面積＝底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2．算出側(cè)面積后乘以單價(jià)即可．【解答】解：底面半徑為3m，則底面周長(zhǎng)＝6π，側(cè)面面積=12×6π×6＝18π（所需要的費(fèi)用＝18π×10＝180π（元），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握公式并正確的運(yùn)用，難度不大．【變式6-2】（2023?洪雅縣模擬）如圖，蒙古包可以近似地看作是由圓錐和圓柱組成，若用毛氈搭建一個(gè)底面半徑為5米，圓柱高3米，圓錐高2米的蒙古包，則需要毛氈的面積為（）A．(30+529)π米2 B．40π米C．(30+521)π米2 D．55π【分析】利用圓的面積得到底面圓的半徑為5，再利用勾股定理計(jì)算出母線長(zhǎng)，接著根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形和圓柱的側(cè)面展開圖為矩形計(jì)算它們的側(cè)面積，最后求它們的和即可．【解答】解：∵底面圓的半徑為5米，高為3米，∴圓錐的母線長(zhǎng)=2所以圓錐的側(cè)面積=12?2π?5?29=5圓柱的側(cè)面積＝2π?5?3＝30π米2，所以需要毛氈的面積＝（30π+529π）米2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．【變式6-3】如圖，糧倉的頂部是圓錐形狀，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為3米，母線長(zhǎng)為6米，為防雨水，需要在糧倉頂部鋪上油氈，如果油氈的市場(chǎng)價(jià)為10元/米2，那么購(gòu)買油氈所需要的費(fèi)用是元（結(jié)果保留π）．【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式S＝πrl，算出油氈的面積，乘以10即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意得：圓錐側(cè)面積＝π×3×6＝18π（平方米），則購(gòu)買油氈所需要的費(fèi)用＝10×18π＝180π（元）．故答案為：180π．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓錐的計(jì)算，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面積公式是解本題的關(guān)鍵．【變式6-4】如圖，有一直徑為4的圓形鐵皮，要從中剪出一個(gè)最大圓心角為60°的扇形ABC．（1）求剪下的扇形ABC（即陰影部分）的半徑；（2）若用此剪下的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐形鐵帽，求此圓錐形鐵帽的底面圓的半徑r．【分析】（1）連接OA，過點(diǎn)O作OD⊥AC于D，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出OD，根據(jù)勾股定理求出AD，進(jìn)而求出AC；（2）根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）連接OA，過點(diǎn)O作OD⊥AC于D，則AD＝DC，∵∠BAC＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD=12∴AD=O∴AC＝2AD＝23，即剪下的扇形ABC（即陰影部分）的半徑為23；（2）扇形BAC的弧長(zhǎng)為：60π×23∴圓錐形鐵帽的底面周長(zhǎng)為23∴2πr=2解得：r=3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，要熟記弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式．【變式6-5】下圖是一紙杯，它的母線AC和EF延長(zhǎng)后形成的立體圖形是圓錐．該圓錐的側(cè)面展開圖形是扇形OAB．經(jīng)測(cè)量，紙杯上開口圓的直徑為6cm，下底面直徑為4cm，母線長(zhǎng)EF＝8cm．求扇形OAB的圓心角及這個(gè)紙杯的表面積．（面積計(jì)算結(jié)果用π表示）．【分析】（1）設(shè)∠AOB＝n°，AO＝R，則CO＝R﹣8，利用圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)作為相等關(guān)系列方程，并聯(lián)立成方程組求解即可；（2）求紙杯的側(cè)面積即為扇環(huán)的面積，需要用大扇形的面積減去小扇形的面積．紙杯表面積＝S紙杯側(cè)面積+S紙杯底面積．【解答】解：由題意可知：BA=6π，CD=4π，設(shè)∠AOB＝n，AO＝R，則CO＝由弧長(zhǎng)公式得：nπR180=6π，nπ(R?8)∴6×180=nR4×180=nR?8n解得：n＝45，R＝24，故扇形OAB的圓心角是45度．∵R＝24，R﹣8＝16，∴S扇形OCD=12×4π×16＝32π（S扇形OAB=12×6π×24＝72π（紙杯側(cè)面積＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝72π﹣32π＝40π（cm2），紙杯底面積＝π?22＝4π（cm2）紙杯表面積＝40π+4π＝44π（cm2）．【點(diǎn)評(píng)】主要考查圓錐的側(cè)面展開圖與底面周長(zhǎng)之間的關(guān)系和扇環(huán)的面積的求法．本題中（1）就是把的扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)作為相等關(guān)系，列方程求解；（2）扇環(huán)的面積等于大扇形的面積減去小扇形的面積．題型七圓錐與最短距離題型七圓錐與最短距離【例題7】如圖，已知圓錐的底面半徑為r＝20cm，h＝2015cm，現(xiàn)在有一只螞蟻從底邊上一點(diǎn)A出發(fā)．在側(cè)面上爬行一周又回到A點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離是（）cm．A．40 B．40π C．160 D．802【分析】螞蟻爬行的最短距離是圓錐的展開圖的扇形中AA′的長(zhǎng)度．