【整合課件】5.3.2-函數(shù)的極值2

5.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)極值點(diǎn)與極值的情況求參數(shù)范圍.2.會(huì)利用極值解決方程的根與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)1.極小值點(diǎn)與極小值(1)特征：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都

，并且f′(a)＝0.(2)符號(hào)：在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0.(3)結(jié)論：點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.小2.極大值點(diǎn)與極大值(1)特征：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都

，并且f′(b)＝0.(2)符號(hào)：在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0.(3)結(jié)論：點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.大3.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)求出方程f′(x)＝0在定義域內(nèi)的所有實(shí)根，并將定義域分成若干個(gè)子區(qū)間；(4)以表格形式檢查f′(x)＝0的所有實(shí)根兩側(cè)的f′(x)是否異號(hào)，若異號(hào)則是極值點(diǎn)，否則不是極值點(diǎn).題型探究類型一由極值的存在性求參數(shù)的范圍解析

f′(x)＝x2－2x＋a，由題意，得方程x2－2x＋a＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.(－∞，1)(2)已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，0) B.C.(0,1) D.(0，＋∞)√解析

∵f(x)＝x(lnx－ax)，∴f′(x)＝lnx－2ax＋1，且f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，∴f′(x)在(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，又∵當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→－∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，解

f′(x)＝x2－2x＋a，由題意得f′(－1)＝1＋2＋a＝0，解得a＝－3，則f′(x)＝x2－2x－3，經(jīng)驗(yàn)證可知，f(x)在x＝－1處取得極大值.引申探究1.若本例(1)中函數(shù)的極大值點(diǎn)是－1，求a的值.解

由題意，得方程x2－2x＋a＝0有兩個(gè)不等正根，設(shè)為x1，x2，2.若本例(1)中函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，均為正值，求a的取值范圍.故a的取值范圍是(0,1).反思與感悟函數(shù)的極值與極值點(diǎn)的情況應(yīng)轉(zhuǎn)化為方程f′(x)＝0根的問(wèn)題.當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0.∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值.類型二利用函數(shù)極值解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗且f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值情況，它的圖象大致如圖所示，解

由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，可得f′(x)＝3x2－12x＋9，則由題意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三個(gè)不相等的實(shí)根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的圖象與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn).∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，當(dāng)x變化時(shí)，g(x)，g′(x)的變化情況如下表：x4(4，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)↗極大值↘極小值↗反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基礎(chǔ)上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而為研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題提供了方便.跟蹤訓(xùn)練2若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在區(qū)間[－1,1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解

令g(x)＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)，g(x)的變化情況如下表：x(－2,0)0(0，＋∞)g′(x)＋0－g(x)↗極大值↘由上表可知，函數(shù)在x＝0處取得極大值，極大值為g(0)＝2ln2＋b.故實(shí)數(shù)b的取值范圍是(－2ln2,2－2ln3].達(dá)標(biāo)檢測(cè)123451.下列四個(gè)函數(shù)中，能在x＝0處取得極值的函數(shù)是①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.A.①② B.②③C.③④ D.①③√解析

①④為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值.2.函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝1處有極值－2，則a，b的值分別為A.1，－3 B.1,3C.－1,3 D.－1，－3√解析

∵f′(x)＝3ax2＋b，由題意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，123453.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為A.(－1,2) B.(－3,6)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)解析

f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)既有極大值又有極小值，所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.12345√4.若函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋1在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極小值，則a的取值范圍為_____.(0,1)解析

f′(x)＝3x2－3a.當(dāng)a≤0時(shí)，在區(qū)間(0,1)上無(wú)極值.12345123455.已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋4，討論方程f(x)＝m的解的個(gè)數(shù).解

由題意知，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2).當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：所以f(x)極小值＝f(2)＝－12，f(x)極大值＝f(－2)＝20.又因?yàn)閒(x)的定義域是R，畫出函數(shù)圖象(圖略)，所以當(dāng)m>20或m<－12時(shí)，方程f(x)＝m有一個(gè)解；當(dāng)m＝20或m＝－12時(shí)，方程f(x)＝m有兩個(gè)解；當(dāng)－12<m<20時(shí)，方程f(x)＝m有三個(gè)解.x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗123451.研究方程根的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為研究相應(yīng)函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般地，方程f