專題9.6菱形的性質(zhì)與判定（知識解讀）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊《考點解讀專題訓(xùn)練》（蘇科版）

專題9.6菱形的性質(zhì)與判定（知識解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解菱形的概念；2.探索并證明菱形的性質(zhì)定理和判定定理，并能運用它們進(jìn)行證明和計算；3.通過經(jīng)歷菱形的性質(zhì)定理和判定定理的探索過程，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和體驗，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的合情推理能力；4.通過菱形的性質(zhì)定理和判定定理以及相關(guān)問題的證明和計算，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力?！局R點梳理】知識點1：菱形的概念與性質(zhì)概念：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形2.性質(zhì)：邊：菱形的四條邊都相等．對角線：菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．菱形的面積：菱形的面積等于對角線乘積的一半．知識點2：菱形的判定1.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（定義）．2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（對角線）．3.四條邊相等的四邊形是菱形（邊）【典例分析】【考點1：菱形的概念和性質(zhì)】【典例1】（2022秋?南岸區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，若AC＝6，BD＝8，則菱形ABCD的周長為（）A．12 B．16 C．20 D．40【答案】C【解答】解：四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝OD＝4，AO＝OC＝3，AC⊥BD，∴AB＝＝5，故菱形的周長為4×5＝20．故選：C．【變式11】（2021春?龍馬潭區(qū)期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E是AB的中點，連結(jié)EO．若EO＝2，則CD的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝CD，∵E是AB的中點，∴AB＝2EO，∵EO＝2，∴AB＝4，∴CD＝4．故選：C．【變式12】（2022秋?豐城市校級期末）如圖，菱形ABCD中對角線相交于點O，AB＝AC，則∠ADB的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ADC＝∠ABC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝30°，故選：A．【變式13】（2022秋?三明期中）如圖，在菱形ABCD中，AC交BD于點O，DE⊥BC于點E，連接OE，若∠BCD＝50°，則∠OED的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．20°【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD＝50°，∴O為BD中點，∠DBE＝∠ABC＝65°．∵DE⊥BC，∴在Rt△BDE中，OE＝OB＝OD，∴∠OEB＝∠OBE＝65°．∴∠OED＝90°﹣65°＝25°．故選：A【典例2】（2022秋?綏化期末）下列不屬于菱形性質(zhì)的是（）A．四條邊都相等 B．兩條對角線相等 C．兩條對角線互相垂直 D．每一條對角線平分一組對角【答案】B【解答】解：A．菱形的四條邊都相等，故A選項不符合題意；B．菱形的兩條對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角，不一定相等，故B選項符合題意；C．菱形的兩條對角線互相垂直，故C選項不符合題意；D．菱形的每一條對角線平分一組對角，故D選項不符合題意．故選：B．【變式21】（2022秋?舞鋼市期中）下列說法不正確的是（）A．菱形的四條邊都相等 B．菱形的對角線相等 C．菱形是軸對稱圖形 D．菱形的對角線互相垂直【答案】B【解答】解：由菱形的性質(zhì)定理可知，菱形的四條邊都相等，故A正確；菱形的兩條對角線不一定相等，故B錯誤；∵菱形的兩條對角線互相垂直平分，∴菱形是以它的任意一條對角線所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，故C正確；由菱形的性質(zhì)定理可知，菱形的對角線互相垂直，故D正確，故選：B．【變式22】（2022?赫章縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為菱形，A，B兩點的坐標(biāo)分別是（4，0），（0，3），點C，D在坐標(biāo)軸上，則菱形ABCD的周長等于（）A．16 B．20 C．24 D．26【答案】B【解答】解：∵點A，B的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，∴菱形ABCD的周長等于4AB＝20．故選：B．【典例31】（2021秋?榆林期末）如圖，在菱形ABCD中，若AB＝5，AC＝8，則菱形ABCD的面積為（）A．24 B．20 C．16 D．12【答案】A【解答】解：設(shè)AC與BD交于點O，作出BC邊的高h(yuǎn)，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO⊥BO，且AC＝2AO，BD＝2BO．在Rt△AOB中利用勾股定理可得BO＝＝3．∴BD＝2BO＝8．∴菱形的面積為BD×AC＝×6×8＝24．故選：A．【典例32】（2022?州模擬）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC＝6，DB＝8，則點A到BC的距離為（）A． B．6 C．8 D．【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC＝6，DB＝8，∴AD∥BC，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝5，設(shè)點A到BC的距離是h，則菱形ABCD的高是h，∵BC?h＝AC?BD＝S菱形ABCD，∴5h＝×6×8，∴h＝，∴點A到BC的距離是，故選：A．【變式31】（2021秋?深圳期末）已知菱形的兩條對角線的長分別為6cm和8cm，則這個菱形的面積是（）A．20cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．100cm2【答案】B【解答】解：∵菱形的兩條對角線的長分別為6cm和8cm，∴這個菱形的面積＝×6×8＝24（cm2），故選：B．【變式32】（2021秋?畢節(jié)市期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于點E，則AE＝（）A．6 B．8 C． D．【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，OC＝OA，OB＝OD，∵AC＝6，DB＝8，∴OC＝3，OB＝4，∴BC＝，∵AC＝6，DB＝8，∴菱形ABCD的面積＝，∵BC＝5，∴AE＝＝，故選：C．【考點2：菱形的判定】【典例4】（2021秋?萊西市期末）如圖，△ABC中，D為BC上一點，DE∥AB，DF∥AC．增加下列條件能判定四邊形AFDE為菱形的是（）A．點D在∠BAC的平分線上 B．AB＝AC C．∠A＝90° D．點D為BC的中點【答案】A【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四邊形AFDE是平行四邊形，如圖，連接AD，∴三角形ADE和三角形ADF的面積相等，∴當(dāng)點D在∠BAC的平分線上，點D到AE，AF的距離相等，∴AF＝AE，∴平行四邊形AFDE是菱形；B，D不能得平行四邊形AFDE是菱形；C能得平行四邊形AFDE是矩形；故選：A．【變式41】（2022春?南昌期中）下列選項中能使平行四邊形ABCD成為菱形的是（）A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD【答案】B【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，故選項A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，∴?ABCD為菱形，故選項B符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD＝90°，∴?ABCD為矩形，故選項C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴?ABCD為矩形，故選項D不符合題意；故選：B．【變式42】（2022秋?膠州市校級月考）如圖所示，已知△ABC，AB＝AC，將△ABC沿邊BC翻轉(zhuǎn)，得到的△DBC與原△ABC拼成四邊形ABDC，則能直接判定四邊形ABDC是菱形的依據(jù)是（）A．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 B．四邊相等的四邊形是菱形 C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形【答案】B【解答】解：由AB＝AC，將△ABC沿BC邊翻折可得AB＝BD＝CD＝AC，所以根據(jù)“四邊相等的四邊形是菱形”可得四邊形ABDC是菱形．故選：B．【變式43】（2022秋?二七區(qū)校級月考）如圖?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，下列說法正確的是（）A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形 C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形【答案】D【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，故選項A不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故選項B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故選項C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，故選項D符合題意；故選：D【典例5】（2022春?長樂區(qū)期中）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且AB＝13，AO＝12，BO＝5．求證：?ABCD是菱形．【解答】證明：∵AB＝13，AO＝12，OB＝5，∴AB2＝132＝169，AO2+OB2＝122+52＝169，∴AB2＝AO2+OB2，∴△AOB為直角三角形，即∠AOB＝90°．∴AC、BD互相垂直，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形．【變式51】（2022春?蒼溪縣期末）如圖，在△AFC中，∠FAC＝90°，B、E分別是FC、AB的中點，過點A作AD∥FC交FE的延長線于點D．（1）求證：BF＝AD；（2）求證：四邊形ABCD是菱形．【解答】（1）證明：∵AD∥FC，∴∠ADE＝∠BFE，∵E為AB的中點，∴AE＝BE，又∵∠AED＝∠BEF，∴△AED≌△BEF（AAS），∴AD＝BF；（2）證明：∵∠FAC＝90°，B為CF的中點，∴AB＝BF＝BC，∵AD＝BF，∴AD＝BC，又∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形．【變式52】（2022春?鐵西區(qū)期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC的垂直平分線分別交BC和AB于點D和點E，點F在DE的延長線上，且AF＝CE．（1）∠BCE的度數(shù)為°．（2）求證：四邊形ACEF是菱形．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，DE是BC的中垂線，∴DE⊥BC，又∵AC⊥BC，∴DE∥AC，又∵D為BC中點，DF∥AC，∴DE是△ABC的中位線，∴E為AB邊的中點，∴CE＝AE＝BE，∵∠BAC＝60°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴∠BCE＝∠B＝30°；故答案為：30；（2）證明：由（1）得CE＝AE＝BE，∵∠BAC＝60°，∴△ACE為正三角形，∴∠AEF＝∠DEB＝∠CAB＝60°，而AF＝CE，又CE＝AE，∴AE＝AF，∴△AEF也為正三角形，∴∠CAE＝∠AEF＝60°，∴AC平行且等于EF，∴四邊形ACEF為平行四邊形，又∵CE＝AC，∴平行四邊形ACEF為菱形．【變式53】（2022?聊城）如圖，△ABC中，點D是AB上一點，點E是AC的中點，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F．（1）求證：AD＝CF；（2）連接AF，CD．如果點D是AB的中點，那么當(dāng)AC與BC滿足什么條件時，四邊形ADCF是菱形，證明你的結(jié)論．【解答】（1）證明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，∵點E是AC的中點，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF；（2）解：當(dāng)AC⊥BC時，四邊形ADCF是菱形，證明如下：由（1）知，AD＝CF，∵AD∥CF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵點D是AB的中點，∴CD＝AB＝AD，∴四邊形ADCF是菱形【考點3：菱形的性質(zhì)和判定】【典例6】（2022秋?龍崗區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，連接BD交AC于點O，過點C作CE⊥AB交AB延長線于點E．（1）求證：四邊形ABCD為菱形；（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的長．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC＝∠DCA，四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∴?ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，OA＝4，OB＝3，∴AC⊥BD，AC＝2OA＝8，BD＝2OB＝6，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝5，∵CE⊥AB，∴S菱形ABCD＝AB?CE＝AC?BD，即5CE＝×8×6，解得：CE＝，即CE的長為．【變式61】（2022?冷水灘區(qū)校級開學(xué)）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，線段AC的垂直平分線交AC于點D，交BC于點E，過點A作BC的平行線交ED于點F，連接AE，AF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若AB＝10，∠ACB＝30°，求菱形AECF的面積．【解答】（1）證明：∵EF垂直平分AC，∴FA＝FC，EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∵AF∥BC，∴∠FAC＝∠ECA，∴∠FAC＝∠EAC，∵EF⊥AC，∴∠ADF＝∠ADE＝90°．∴∠FAC+∠AFE＝90°，∠EAC+∠AEF＝90°．∴∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE，∴AF＝FC＝CE＝EA，∴四邊形AECF是菱形；（2）解：∵四邊形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∴∠ADF＝90°，∵∠BAC＝∠ADF＝90°，∴AB∥FE，∵AF∥BE，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∵AB＝10，∴EF＝AB＝10，∵∠ACB＝30°，∴BC＝2AB＝20，∴AC＝＝＝10，∴S菱形AECF＝AC?EF＝×10×10＝50．【變式62】（2022秋?羅湖區(qū)校級月考）如圖，BD是△ABC的角平分線，過點D作DE∥BC交AB于點E，DF∥AB交BC于點F．（1）求證：四邊形BEDF為菱形；（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的邊長．【解答】（1）證明：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠D