第02講特殊二次函數(shù)的圖像

第02講特殊二次函數(shù)的圖像一、二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象1.二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象，如圖，它是一條關(guān)于y軸對稱的曲線，這樣的曲線叫做拋物線.因?yàn)閽佄锞€y=x2關(guān)于y軸對稱，所以y軸是這條拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，從圖上看，拋物線y=x2的頂點(diǎn)是圖象的最低點(diǎn)。因?yàn)閽佄锞€y=x2有最低點(diǎn)，所以函數(shù)y=x2有最小值，它的最小值就是最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).2.二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象的畫法用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象時(shí)，應(yīng)在頂點(diǎn)的左、右兩側(cè)對稱地選取自變量x的值，然后計(jì)算出對應(yīng)的y值，這樣的對應(yīng)值選取越密集，描出的圖象越準(zhǔn)確.要點(diǎn)：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象．用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象，該圖象是軸對稱圖形，對稱軸是y軸．y=ax2(a≠0)是最簡單的二次函數(shù)，把y=ax2(a≠0)的圖象左右、上下平行移動(dòng)可以得到y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象．畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).二、二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象1.二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象（1）（2）3.二次函數(shù)與之間的關(guān)系；（上加下減）.的圖象向上（c＞0）或向下（c＜0）平移│c│個(gè)單位得到的圖象.要點(diǎn)：拋物線的對稱軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，c)，與拋物線的形狀相同．函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向上（或向下）平移個(gè)單位得到的，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)．拋物線y＝ax2(a≠0)的對稱軸、最值與頂點(diǎn)密不可分，其對稱軸即為過頂點(diǎn)且與x軸垂直的一條直線，其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x＝0，拋物線平移不改變拋物線的形狀，即a的值不變，只是位置發(fā)生變化而已．三、函數(shù)與函數(shù)的圖象1.函數(shù)的圖象的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸向上x=h向下x=h2.函數(shù)的圖象的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸向上x=h向下x=h要點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象常與直線、三角形、面積問題結(jié)合在一起，借助它的圖象與性質(zhì)．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想解決問題．四、二次函數(shù)的平移1.平移步驟：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．例1．二次函數(shù)的圖象的對稱軸是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接寫出對稱軸．二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)，對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）．例2．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+2的大致圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，二次項(xiàng)系數(shù)交點(diǎn)判別式小于0，所以排除A、B、D，故選C．解：A選項(xiàng)，由函數(shù)解析式，<0，所以函數(shù)圖像與x軸無交點(diǎn)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由函數(shù)解析式，<0，所以函數(shù)圖像與x軸無交點(diǎn)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由函數(shù)解析式，<0，所以函數(shù)圖像與x軸無交點(diǎn)，C正確；D選項(xiàng)，由函數(shù)解析式，<0，所以函數(shù)圖像與x軸無交點(diǎn)，D錯(cuò)誤．【點(diǎn)睛】本題考考察的是二次函數(shù)圖像的基本性質(zhì)，根據(jù)解析式，判斷開口方向及交點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷圖像的形狀．例3．通過_______法畫出和的圖像：通過圖像可知：的開口方向________，對稱軸_______，頂點(diǎn)坐標(biāo)___________．的開口方向________，對稱軸_______，頂點(diǎn)坐標(biāo)___________．【答案】

描點(diǎn)

向上

y軸

向上

y軸

【解析】【分析】根據(jù)畫二次函數(shù)的圖像采用描點(diǎn)法，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得出開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．解：通過描點(diǎn)法畫出和的圖像，通過圖像可知：的開口方向向上，對稱軸為軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，的開口方向向上，對稱軸軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，故答案為：描點(diǎn)；向上；y軸；；向上；y軸；．【點(diǎn)睛】本題考查了畫函數(shù)圖像的方法，二次函數(shù)的基本性質(zhì)，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖像是解本題的關(guān)鍵．例4．對于拋物線y＝與拋物線y=＋1，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．開口方向相同 B．對稱軸相同 C．都有最高點(diǎn) D．頂點(diǎn)坐標(biāo)相同【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合兩函數(shù)頂點(diǎn)式形式，即可得出兩二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及對稱軸和圖象位置，分別分析即可．解：∵拋物線y＝，∴此函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，0），對稱軸為：x＝0，a＝＜0，開口向下，有最高點(diǎn)，∵y=＋1，∴此函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，1），對稱軸為：x＝0，a＝＜0，開口向下，有最高點(diǎn)，∴A、開口方向相同，正確，不符合題意；B、對稱軸相同，正確，不符合題意；C、開口向下，都有最高點(diǎn)，正確，不符合題意；D、應(yīng)該為頂點(diǎn)坐標(biāo)不相同，錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)頂點(diǎn)式得出二次函數(shù)性質(zhì)是中考中考查重點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握．例5．拋物線①y＝3x2，②y＝x22，③y＝x2+3x1的開口大小從大到小的順序是（

）A．①②③ B．②③① C．②①③ D．③②①【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的大小進(jìn)行判斷即可；由題可知幾個(gè)函數(shù)a的大小關(guān)系為：，根據(jù)越小，開口越大，可知開口從大到小依次為②③①；故答案選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象開口大小的判斷，準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．例6．若二次函數(shù)y=mx2（m23m）x+1m的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的值為（

）A．0 B．3 C．1 D．0或3【答案】B【解析】【分析】由于函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)的解析式形式應(yīng)該是y=ax2+c型，由此求得問題的答案．解：∵二次函數(shù)y=mx2（m23m）x+1m的圖象關(guān)于y軸對稱，∴函數(shù)的解析式形式應(yīng)該是y=ax2+c型，∴（m23m）=0，解得：m=0或m=3，∵二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)m不能為0，∴m=3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于y軸對稱的拋物線的表達(dá)式是y=ax2+c，（a≠0，a、c為常數(shù)）．熟練掌握此類型二次函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．例7．拋物線y＝（x﹣2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）【答案】A【解析】【分析】由于拋物線y＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），由此即可求解．解：拋物線y＝（x﹣2）2+1是以拋物線的頂點(diǎn)式給出的，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，1）．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可解決問題．例8．如果拋物線開口向下，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由拋物線的開口向下可得不等式，解不等式即可得出結(jié)論．解：∵拋物線開口向下，∴，∴．故選擇：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是牢記“時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)時(shí)，拋物線向下開口．”例9．拋物線的對稱軸是直線x=2，則m的值是（

）A． B． C．2 D．2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸是即可求出m的值．解：拋物線的對稱軸是，所以，所以．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸，熟知二次函數(shù)對稱軸公式是解決此題的關(guān)鍵．例10．拋物線與的形狀完全相同，則a的值為（

）A．2 B． C． D．不能確定【答案】C【解析】【分析】若兩個(gè)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)的絕對值相等，則兩條拋物線的形狀完全相同，據(jù)此可完成解答．拋物線與的形狀完全相同，則a=2或2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)決定拋物線的大小與形狀，即a相同或互為相反數(shù)，則兩條拋物線的形狀完全相同．例11．如果二次函數(shù)圖象的形狀與的形狀相同，且頂點(diǎn)坐標(biāo)是，那么這個(gè)函數(shù)的解析式為（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的形狀與的形狀相同，可得到所求函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)為，再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)是，即可求解．解：∵二次函數(shù)圖象的形狀與的形狀相同，即二次項(xiàng)系數(shù)相同，∴所求函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)為，∵頂點(diǎn)坐標(biāo)是，∴這個(gè)函數(shù)的解析式為或，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意得到二次項(xiàng)系數(shù)相同是解題的關(guān)鍵．例12．在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+c和二次函數(shù)y=ax2+c的圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向，與y軸的交點(diǎn)；一次函數(shù)經(jīng)過的象限，與y軸的交點(diǎn)可得相關(guān)圖象．解：∵一次函數(shù)和二次函數(shù)都經(jīng)過y軸上的（0，c），∴兩個(gè)函數(shù)圖象交于y軸上的同一點(diǎn)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)a＞0，c＜0時(shí)，二次函數(shù)開口向上，一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)a＜0，c＞0時(shí)，二次函數(shù)開口向下，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)；用到的知識點(diǎn)為：二次函數(shù)和一次函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)是圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)；一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)大于0，圖象經(jīng)過一、三象限；小于0，經(jīng)過二、四象限；二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)大于0，圖象開口向上；二次項(xiàng)系數(shù)小于0，圖象開口向下．例13．二次函數(shù)y=2（x－3）2+5的圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（

）A．開口向下，對稱軸直線x=3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）B．開口向上，對稱軸直線x＝3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）C．開口向上，對稱軸直線x=－3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，5)D．開口向上，對稱軸直線x=－3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，－5）【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，a＞0，開口向上，對稱軸為直線x=h，可求得對稱軸為直線x=3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），可以求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可解決．解：∵a＞0∴開口向上∵y=2（x－3）2+5∴對稱軸為直線x=3，頂點(diǎn)坐標(biāo)（3，5）故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，熟練二次函數(shù)頂點(diǎn)式的意義是解決本題的關(guān)鍵．例14．拋物線可以由拋物線平移得到，下列平移正確的是（

）A．先向左平移3個(gè)單位長度，然后向上平移1個(gè)單位B．先向左平移3個(gè)單位長度，然后向下平移1個(gè)單位C．先向右平移3個(gè)單位長度，然后向上平移1個(gè)單位D．先向右平移3個(gè)單位長度，然后向下平移1個(gè)單位【答案】B【解析】【分析】拋物線平移問題可以以平移前后兩個(gè)解析式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為基準(zhǔn)研究．解：拋物線的頂點(diǎn)為(0,0)，拋物線的頂點(diǎn)為(3,1)，拋物線向左平移3個(gè)單位長度，然后向下平移1個(gè)單位得到拋物線．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)圖象平移問題，解答是最簡單的方法是確定平移前后拋物線頂點(diǎn)，從而確定平移方向．例15．已知拋物線，頂點(diǎn)為D，將C沿水平方向向右（或向左）平移m個(gè)單位，得到拋物線，頂點(diǎn)為，C與相交于點(diǎn)Q，若，則m等于（

）A． B． C．﹣2或 D．﹣4或【答案】A【解析】【分析】先表示出平移后的函數(shù)為，得到，，求出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，代入求得，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，解出m即可求解.拋物線沿水平方向向右（或向左）平移m個(gè)單位得到∴，，∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，代入求得，若，則是等邊三角形，∴，由勾股定理得，，解得，故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)與幾何，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì).一、單選題1．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用形如形式的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)確定正確的選項(xiàng)即可．【解析】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，牢記形如形式的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．2．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（，?2） B．（，2） C．（0，?2） D．（0，2）【答案】C【分析】由二次函數(shù)解析式求解．【解析】解：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握頂點(diǎn)式求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．3．拋物線與拋物線的相同點(diǎn)是（）A．頂點(diǎn)相同 B．對稱軸相同C．開口方向相同 D．頂點(diǎn)都在x軸上【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)分別判斷兩個(gè)函數(shù)圖象的開口向上、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案．【解析】解：拋物線的開口向上，對稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），拋物線的開口向下，對稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），∴兩條拋物線對稱軸相同，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)．4．拋物線的對稱軸是直線（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)，直接得到拋物線的對稱軸是直線．【解析】解：拋物線的對稱軸是直線，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)，熟記頂點(diǎn)式求拋物線對稱軸的方法是解決問題的關(guān)鍵．5．對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（

）A．對稱軸是直線 B．開口向下C．與軸有兩個(gè)交點(diǎn) D．頂點(diǎn)坐標(biāo)【答案】D【分析】由拋物線解析式可求得其開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)及與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，則可得出答案．【解析】解：∵，∴拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為直線，∴A、B不正確，D正確，∵拋物線開口向上，最小值為1，∴拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，∴C不正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．下列對二次函數(shù)的圖像的描述中，不正確的是（

）A．拋物線開口向下 B．拋物線的對稱軸是直線C．拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 D．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解．【解析】解：∵a=2<0，∴拋物線的開口向下，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；∴對稱軸為直線x=1，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；當(dāng)x=0時(shí)，，即拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），故選項(xiàng)D正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了拋物線的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．7．如圖，在同一坐標(biāo)系內(nèi)的兩條拋物線有相同對稱軸，則下列關(guān)系中，不正確的是（

）A．h=m B．k＞nC．m＞0，n＜0 D．a(chǎn)2＞－a1【答案】D【分析】利用函數(shù)的解析式可以得到函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及開口方向，據(jù)此即可作出判斷．【解析】解：y＝a1（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)是（h，k）；y＝a2（x﹣m）2+n的頂點(diǎn)是（m，n）．兩個(gè)函數(shù)的對稱軸是同一條直線，故h＝m，k＞n，m＞0，n＜0成立，故A，B，C都是正確的；y＝a2（x﹣m）2+n的開口向上，則a2＞0，y＝a1（x﹣h）2+k的開口向下，則a1＜0，則a1＜a2，故D不正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，通過函數(shù)解析式能判斷開口方向以及頂點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．8．若拋物線的頂點(diǎn)在第二象限，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)在第二象限得到的取值范圍．【解析】解：由得，，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)在第二象限，，解得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的特征，將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式，熟練掌握第二象限的點(diǎn)的特征是解題的關(guān)鍵．9．關(guān)于拋物線：與：，下列說法不正確的是（

）A．兩條拋物線的形狀相同 B．拋物線通過平移可以與重合C．拋物線與的對稱軸相同 D．兩條拋物線均與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得出答案．【解析】解：與的形狀相同，故A正確，不符合題意；將拋物線向右平移2個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，得到，所以拋物線通過平移可以與重合，故B正確，不符合題意；拋物線關(guān)于y軸對稱，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸是直線，拋物線與的對稱軸不相同，故C不正確，符合題意；當(dāng)時(shí)，，故拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，故拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中熟練的掌握給定函數(shù)解析式求頂點(diǎn)坐標(biāo)，對稱軸方程，是解答的關(guān)鍵．10．如圖，已知，拋物線過點(diǎn)C，頂點(diǎn)M位于第一象限且在線段的垂直平分線上，若拋物線與線段無公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】由點(diǎn)、的坐標(biāo)結(jié)合拋物線的頂點(diǎn)位于第一象限且在線段的垂直平分線上，即可得出值以及，分點(diǎn)在線段下方及點(diǎn)在線段上方兩種情況考慮拋物線與線段無公共點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段下方時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出；當(dāng)點(diǎn)在線段上方時(shí)，由拋物線過點(diǎn)及當(dāng)時(shí)值大于2，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出．綜上即可得出結(jié)論．【解析】解：拋物線的頂點(diǎn)位于第一象限且在線段的垂直平分線上，且點(diǎn)，，，．拋物線與線段無公共點(diǎn)分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在線段下方時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，；當(dāng)點(diǎn)在線段上方時(shí)，有，解得：．綜上所述：的取值范圍為或．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及線段垂直平分線的性質(zhì)，依照題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合、分類討論解決問題是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．拋物線對稱軸是________．【答案】直線或軸【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解析】拋物線的對稱軸是y軸（或直線），故答案為：直線或軸．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．12．拋物線y＝3（x＋2）2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為________．【答案】（－2，0）【解析】略13．請任意寫出一個(gè)圖象開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為的二次函數(shù)解析式_______．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解析】解：由題意得，滿足題意的二次函數(shù)解析式可以為，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)開口向上，當(dāng)時(shí)開口向下是解題的關(guān)鍵．14．拋物線和的圖象形狀相同，對稱軸平行于y軸，頂點(diǎn)為，則該拋物線的解析式為_________．【答案】【分析】根據(jù)拋物線和的圖象形狀相同，得出，根據(jù)頂點(diǎn)為，寫出拋物線的解析式即可．【解析】解：∵拋物線和的圖象形狀相同，∴，∵頂點(diǎn)為，∴拋物線的解析式為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求拋物線的解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的性質(zhì)，拋物線的頂點(diǎn)式．15．若拋物線的頂點(diǎn)在y軸上，則_______．【答案】2【分析】根據(jù)題意可知拋物線對稱軸為，然后可求得的值．【解析】解：∵拋物線的頂點(diǎn)在y軸上，∴對稱軸，解得：．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷對稱軸為是解題的關(guān)鍵．16．把二次函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱后得到的圖象的函數(shù)關(guān)系式為_________．【答案】【分析】函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出解析式．【解析】解：的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，2)，由于(1，2)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(1，2)，所以得到的圖象的函數(shù)解析式是；故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．17．如圖所示，已知拋物線，拋物線關(guān)于原點(diǎn)中心對稱．如果拋物線的解析式為，那么拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是___________，解析式為_______________．【答案】【分析】根據(jù)的解析式確定拋物線的開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后確定的開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解．【解析】解：拋物線的解析式為∴拋物線的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：∵拋物線，拋物線關(guān)于原點(diǎn)中心對稱．∴拋物線的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：拋物線的解析式為故答案為：①；②．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)的特點(diǎn)，熟練掌握運(yùn)用二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．當(dāng)k取實(shí)數(shù)時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)所在的函數(shù)圖象的表達(dá)式為_____________．【答案】【分析】先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，令，，得出，即可求出結(jié)果．【解析】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，令，，則，∴，∴頂點(diǎn)所在的函數(shù)圖象的表達(dá)式為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)確計(jì)算．三、解答題19．說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．(1)(2)(3)【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】二次函數(shù)通過配方可以化為頂點(diǎn)式，即y=a(x－h(huán))2+k，其中a決定了拋物線的開口方向，對稱軸是x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)；根據(jù)所給出的三個(gè)函數(shù)解析式，對照以上規(guī)律確定答案．【解析】（1）開口向下，對稱軸為直線x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)．（2）開口向上，對稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，7)．（3）開口向上，對稱軸為直線x=3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，6)【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的“頂點(diǎn)式”以及各個(gè)系數(shù)與拋物線的關(guān)系．20．請寫出兩個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，要求這兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱軸為y軸，開口方向相同．【答案】如與，與（答案不唯一，符合題意即可）【分析】根據(jù)二次函數(shù)對稱軸和開口方向的決定因素寫出即可．【解析】解：∵拋物線的對稱軸為y軸，∴符合的形式，∵開口方向相同，∴的符號相同，∴如與，與（答案不唯一，符合題意即可）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)系數(shù)與圖象之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．21．已知二次函數(shù)（1）完成下表；（2）在如圖的坐標(biāo)系中描點(diǎn)，畫出該二次函數(shù)的圖象．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）選取合適的的值，求出對應(yīng)的的值即可完成表格；（2）利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象．【解析】解：（1）完成表格如下：012340（2）描點(diǎn)，畫出該二次函數(shù)圖象如下：【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是選取合適的的值，求出對應(yīng)的的值．22．填表．解析式開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸y＝(x－2)2－3y＝－(x＋3)2＋2y＝3(x－2)2y＝－3x2＋2【答案】解析式開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸y＝(x－2)2－3向上(2，－3)直線x＝2y＝－(x＋3)2＋2向下(－3，2)直線x＝－3向下(－5，－5)直線x＝－5向上(，1)直線x＝y(tǒng)＝3(x－2)2向上(2，0)直線x＝2y＝－3x2＋2向下(0，2)直線x＝0【分析】各個(gè)函數(shù)都是頂點(diǎn)坐標(biāo)式，根據(jù)頂點(diǎn)式可求拋物線的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸．【解析】解析式開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸y＝(x－2)2－3向上(2，－3)直線x＝2y＝－(x＋3)2＋2向下(－3，2)直線x＝－3向下(－5，－5)直線x＝－5向上(，1)直線x＝y(tǒng)＝3(x－2)2向上(2，0)直線x＝2y＝－3x2＋2向下(0，2)直線x＝0【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．在拋物線的頂點(diǎn)式方程y=a（xh）2+k中，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），對稱軸是x=h．23．已知函數(shù)是二次函數(shù)．（1）求m的值；（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并指出開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）3；（2），開口方向向下，對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，5）【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的概念，二次項(xiàng)次數(shù)為2，可以求出m的值，再結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)不等于0，即可最終確定m的值；（2）將m代入解析式中，即可得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，根據(jù)a的正負(fù)，對稱軸為直線x=h以及頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），即可解決本題．【解析】解：（1）∵∴∵∴m≠3∴（2）將m=3代入解析式中，得二次函數(shù)的解析式為∵a=6＜0∴開口方向向下∴對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，5）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的概念以及二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，熟練其概念以及頂點(diǎn)式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．24．已知拋物線C：y＝（x﹣m）2+m+1．（1）若拋物線C的頂點(diǎn)在第二象限，求m的取值范圍；（2）若m＝﹣2，求拋物線C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)圍成的三角形的面積．【答案】（1）m的取值范圍是；（2）拋物線C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)圍成的三角形的面積是3．【分析】（1）先根據(jù)拋物線解析式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），再根據(jù)第二象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行求解即可；（2）先求出拋物線的解析式，然后求出拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，由此求解面積即可．【解析】解：（1）∵拋物線的解析式為，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)在第二象限，∴，∴；（2）當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，令，即，解得或，令，，∴如圖所示，A（3，0），B（1，0），D（0，3），∴OD=3，AB=2，∴，∴拋物線C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)圍成的三角形的面積是3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，第二象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識．25．如圖，已知經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線與軸交于另一點(diǎn)A(2，0)．（1）求的值和拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的解析式．【答案】（1），M(1，2)；（2）【分析】（1）將A(2，0)代入拋物線的解析式，可求得m的值，再配成頂點(diǎn)式即可求解；（2）利用待定系數(shù)法即可求得直線AM的解析式．【解析】解

（1）∵拋物線過點(diǎn)A(2，0)，，解得，，,∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是(1，2)；（2）設(shè)直線AM的解析式為，∵圖象過A(2，0)，M(1，2)，，解得，∴直線AM的解析式為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．26．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，．連接AB，BC．令．(1)若，，求的值；(2)若，，求a的值；(3)若，請直接寫出h的取值范圍．【答案】(1)1(2)(3)【分析】（1）把點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)橫坐標(biāo)代入可求出，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可求出，從而可求出的值；（2）方法同（1）得，即，求出a的值即可；（3）方法同（1）得出，從而可判斷出h的取值范圍．（1）當(dāng)，時(shí)，，∴拋物線的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴∴，∴，∴的值為1；（2）當(dāng)時(shí)，，∴拋物線的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴，∴，，∵，∴，∴，∴，解得，，∴的值為；（3）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，有，∵，∴，∴，∴點(diǎn)離拋物線的對稱軸最遠(yuǎn)，∴h的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．一、單選題1．（2018·浙江杭州·中考真題）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根據(jù)頂點(diǎn)式的特點(diǎn)寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】解：∵為拋物線的頂點(diǎn)式，∴根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，掌握拋物線頂點(diǎn)式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2019·山東·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=x2+1，下列結(jié)論：①拋物線開口向上；②拋物線與x軸交于點(diǎn)（1