專(zhuān)題04用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題與壓軸題七種模型全（原卷版）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題（浙教版）

專(zhuān)題04用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題與壓軸題七種模型全攻略考點(diǎn)一用二次函數(shù)解決增長(zhǎng)率問(wèn)題考點(diǎn)二用二次函數(shù)解決銷(xiāo)售問(wèn)題考點(diǎn)三用二次函數(shù)解決拱橋問(wèn)題考點(diǎn)四用二次函數(shù)解決噴水問(wèn)題考點(diǎn)五用二次函數(shù)解決投球問(wèn)題考點(diǎn)六用二次函數(shù)解決圖形問(wèn)題考點(diǎn)七用二次函數(shù)解決圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題典型例題典型例題考點(diǎn)一用二次函數(shù)解決增長(zhǎng)率問(wèn)題例題：（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某工廠(chǎng)實(shí)行技術(shù)改造，產(chǎn)量年均增長(zhǎng)率為x，已知2020年產(chǎn)量為1萬(wàn)件，那么2022年的產(chǎn)量y（萬(wàn)件）與x間的關(guān)系式為_(kāi)__________．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江西萍鄉(xiāng)·七年級(jí)期末）某廠(chǎng)有一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是2萬(wàn)件，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量，如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y（萬(wàn)件）將隨計(jì)劃所定的x的值而確定，那么y與x之間的關(guān)系式應(yīng)表示為_(kāi)_______．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）為積極響應(yīng)國(guó)家“舊房改造”工程，該市推出《加快推進(jìn)舊房改造工作的實(shí)施方案》推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化建設(shè)，改善民生，優(yōu)化城市建設(shè)．（1）根據(jù)方案該市的舊房改造戶(hù)數(shù)從2020年底的3萬(wàn)戶(hù)增長(zhǎng)到2022年底的4.32萬(wàn)戶(hù)，求該市這兩年舊房改造戶(hù)數(shù)的平均年增長(zhǎng)率；（2）該市計(jì)劃對(duì)某小區(qū)進(jìn)行舊房改造，如果計(jì)劃改造300戶(hù)，計(jì)劃投入改造費(fèi)用平均20000元/戶(hù)，且計(jì)劃改造的戶(hù)數(shù)每增加1戶(hù)，投入改造費(fèi)平均減少50元/戶(hù)，求舊房改造申報(bào)的最高投入費(fèi)用是多少元？考點(diǎn)二用二次函數(shù)解決銷(xiāo)售問(wèn)題例題：（2021·寧夏·吳忠市利通區(qū)扁擔(dān)溝中心學(xué)校九年級(jí)期中）一商店銷(xiāo)售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷(xiāo)售、增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間銷(xiāo)售，發(fā)現(xiàn)銷(xiāo)售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降價(jià)3元，則平均每天銷(xiāo)售數(shù)量為件：(2)當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？【變式訓(xùn)練】1．（2021·廣東·陸豐市甲東鎮(zhèn)鐘山中學(xué)九年級(jí)期中）某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件，試營(yíng)銷(xiāo)階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)是25元/件時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為250件，銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，每天的銷(xiāo)售量就減少10件．求銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大；最大利潤(rùn)為多少元？2．（2022·山東德州·九年級(jí)期末）某商廈燈具部投資銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈，銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y＝﹣10x+500，在銷(xiāo)售過(guò)程中銷(xiāo)售單價(jià)不低于成本價(jià)，而每件的利潤(rùn)不高于成本價(jià)的60%．(1)設(shè)每月獲得利潤(rùn)為w（元），求每月獲得利潤(rùn)w（元）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍．(2)如果想要每月獲得的利潤(rùn)為2000元，那么每月的單價(jià)定為多少元？(3)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？每月的最大利潤(rùn)是多少？考點(diǎn)三用二次函數(shù)解決拱橋問(wèn)題例題：（2022·四川廣安·中考真題）如圖是拋物線(xiàn)形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬6米，水面下降________米，水面寬8米．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東德州·九年級(jí)期末）如圖是拋物線(xiàn)型拱橋，當(dāng)拱頂高距離水面2m時(shí)，水面寬4m，如果水面上升1.5m，則水面寬度為_(kāi)_______．2．（2022·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）有一個(gè)拋物線(xiàn)的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為，跨度為，如圖所示，把它的圖形放在直角坐標(biāo)系中．(1)求這條拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)如圖，在對(duì)稱(chēng)軸右邊處，橋洞離水面的高是多少？考點(diǎn)四用二次函數(shù)解決噴水問(wèn)題例題：（2022·河南·中考真題）小紅看到一處噴水景觀(guān)，噴出的水柱呈拋物線(xiàn)形狀，她對(duì)此展開(kāi)研究：測(cè)得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動(dòng)，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，求她與爸爸的水平距離．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川南充·中考真題）如圖，水池中心點(diǎn)O處豎直安裝一水管，水管?chē)婎^噴出拋物線(xiàn)形水柱，噴頭上下移動(dòng)時(shí)，拋物線(xiàn)形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點(diǎn)與點(diǎn)O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)；噴頭高時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)．那么噴頭高_(dá)______________m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)．2．（2022·浙江臺(tái)州·中考真題）如圖1，灌溉車(chē)沿著平行于綠化帶底部邊線(xiàn)的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口離地豎直高度為（單位：）．如圖2，可以把灌溉車(chē)噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線(xiàn)的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度為的長(zhǎng)．下邊緣拋物線(xiàn)是由上邊緣拋物線(xiàn)向左平移得到，上邊緣拋物線(xiàn)最高點(diǎn)離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車(chē)到的距離為（單位：）．(1)若，；①求上邊緣拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；②求下邊緣拋物線(xiàn)與軸的正半軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；③要使灌溉車(chē)行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求的取值范圍；(2)若．要使灌溉車(chē)行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值．考點(diǎn)五用二次函數(shù)解決投球問(wèn)題例題：（2022·上海市張江集團(tuán)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的關(guān)系是．則他將鉛球推出的距離是___米．【變式訓(xùn)練】1．（2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期末）小明在期末體育測(cè)試中擲出的實(shí)心球的運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)呈拋物線(xiàn)形．若實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的拋物線(xiàn)的解析式為，其中y是實(shí)心球飛行的高度，x是實(shí)心球飛行的水平距離．已知該同學(xué)出手點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則實(shí)心球飛行的水平距離OB的長(zhǎng)度為（

）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m2．（2022·貴州安順·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖是小明站在點(diǎn)O處長(zhǎng)拋籃球的路線(xiàn)示意圖，球在點(diǎn)A處離手，且．第一次在點(diǎn)D處落地，然后彈起在點(diǎn)E處落地，籃球在距O點(diǎn)的點(diǎn)B處正上方達(dá)到最高點(diǎn)，最高點(diǎn)C距地面的高度，點(diǎn)E到籃球框正下方的距離，籃球框的垂直高度為．據(jù)試驗(yàn)，兩次劃出的拋物線(xiàn)形狀相同，但第二次的最大高度為第一次的，以小明站立處點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；(2)求籃球第二次的落地點(diǎn)E到點(diǎn)O的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）(3)若小明想一次投中籃球框，他應(yīng)該向前走多少米？（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）考點(diǎn)六用二次函數(shù)解決圖形問(wèn)題例題：（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期中）如圖，利用一面墻（墻長(zhǎng)26米），用總長(zhǎng)度49米的柵欄（圖中實(shí)線(xiàn)部分）圍成一個(gè)矩形圍欄ABCD，且中間共留兩個(gè)1米的小門(mén)，設(shè)柵欄BC長(zhǎng)為米．(1)AB＝米（用含的代數(shù)式表示）；(2)若矩形圍欄ABCD面積為210平方米，求柵欄BC的長(zhǎng)；(3)能?chē)杀?10平方米更大的矩形圍欄ABCD嗎？如果能，請(qǐng)求出最大面積；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2021·寧夏·吳忠市利通區(qū)扁擔(dān)溝中心學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，利用一面墻（墻長(zhǎng)10米）用20米的籬笆國(guó)成一個(gè)矩形場(chǎng)地．設(shè)垂直于墻的一邊為x米．矩形場(chǎng)地的面積為s平方米．(1)求s與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；(2)若矩形場(chǎng)地的面枳最大，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)長(zhǎng)與寬．2．（2022·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期中）某城門(mén)的截面由一段拋物線(xiàn)和一個(gè)正方形（OMNE為正方形）的三條邊圍成，已知城門(mén)寬度為4米，最高處距地面6米．如圖1所示，現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在的直線(xiàn)為x軸，OE所在的直線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系．(1)求上半部分拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出其自變量的取值范圍；(2)有一輛寬3米，高4.5米的消防車(chē)需要通過(guò)該城門(mén)，請(qǐng)問(wèn)該消防車(chē)能否正常進(jìn)入？(3)為營(yíng)造節(jié)日氣氛，需要臨時(shí)搭建一個(gè)矩形“裝飾門(mén)”ABCD，該“裝飾門(mén)”關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，如圖2所示，其中AB，AD，CD為三根承重鋼支架，A、D在拋物線(xiàn)上，B，C在地面上，已知鋼支架每米70元，問(wèn)搭建這樣一個(gè)矩形“裝飾門(mén)”，僅鋼支架一項(xiàng)，最多需要花費(fèi)多少元？考點(diǎn)七用二次函數(shù)解決圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題例題：（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，在中，，已知點(diǎn)P在直角邊AB上，以的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在直角邊BC上，以的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q恰好到達(dá)點(diǎn)C處．圖2是的面積與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系圖像（點(diǎn)M為圖像的最高點(diǎn)），根據(jù)相關(guān)信息，計(jì)算線(xiàn)段AC的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學(xué)二模）如圖，在矩形ABCD中，BC＞CD，BC、CD分別是一元二次方程x2－7x＋12＝0的兩個(gè)根，連接BD，并過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BD，垂足為N，點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)到D為止；點(diǎn)M沿線(xiàn)段DA以每秒1個(gè)單位的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A為止，點(diǎn)P與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．(1)求線(xiàn)段CN的長(zhǎng)；(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)△PMN的面積取得最大值，最大值是多少？2．（2022·吉林吉林·一模）如圖，，，，．，兩點(diǎn)分別從，同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)沿折線(xiàn)向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，在上的速度為每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，在上的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度；點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線(xiàn)段向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，以，為鄰邊作矩形．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，矩形和重疊部分的圖形面積為．(1)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，______；(2)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出的取值范圍；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，連接，取中點(diǎn)，連接，直接寫(xiě)出的最小值．課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某商場(chǎng)降價(jià)銷(xiāo)售一批名牌襯衫，已知所獲利潤(rùn)y（元）與降價(jià)x（元）之間的關(guān)系是y＝－2x2＋60x＋800，則利潤(rùn)獲得最多為（

）A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一拋物線(xiàn)型拱橋，當(dāng)拱頂?shù)剿娴木嚯x為2m時(shí)，水面寬度為4m．那么水位下降1m時(shí)，水面的寬度為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，要修建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，使噴出的拋物線(xiàn)形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江·諸暨市大唐鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖1，等邊△ABC中，點(diǎn)P為BC邊上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），且∠APD＝60°，PD交AB于點(diǎn)D．設(shè)BP＝x，BD＝y(tǒng)，如圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，則等邊△ABC的邊長(zhǎng)為（

）A．2 B．2 C．4 D．3二、填空題5．（2022·新疆·中考真題）如圖，用一段長(zhǎng)為的籬芭圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形圍欄（墻足夠長(zhǎng)），則這個(gè)圍欄的最大面積為_(kāi)______．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一小球以15m/s的速度豎直向上拋出，它在空中的高度h（m）與時(shí)間t（s）滿(mǎn)足關(guān)系式：h＝15t－5t2，當(dāng)t＝_________時(shí)，小球高度為10m．小球所能達(dá)到的最大高度為_(kāi)_______m．7．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，一位籃球運(yùn)動(dòng)員投籃，球沿拋物線(xiàn)運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心離地面的高度為，則他距籃筐中心的水平距離是_________．8．（2022·甘肅武威·中考真題）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線(xiàn)是一條拋物線(xiàn)．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：m）與飛行時(shí)間（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系：，則當(dāng)小球飛行高度達(dá)到最高時(shí)，飛行時(shí)間_________s．三、解答題9．（2022·廣東茂名·二模）如圖，某養(yǎng)豬戶(hù)想用29米長(zhǎng)的圍欄設(shè)計(jì)一個(gè)矩形的養(yǎng)豬圈，其中豬圈一邊靠墻MN，另外三邊用圍欄圍住，在BC邊開(kāi)個(gè)門(mén)（寬度為1米），MN的長(zhǎng)度為15m，(1)為了讓圍成的豬圈（矩形ABCD）面積達(dá)到112m2，請(qǐng)你幫忙計(jì)算一下豬圈的長(zhǎng)與寬分別是多少？(2)當(dāng)豬圈的長(zhǎng)與寬分別是多少時(shí)，豬圈的面積達(dá)到最大？10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）為了打造“清潔能源示范城市”，東營(yíng)市2016年投入資金2560萬(wàn)元用于充電樁的安裝，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2018年在2016年的基礎(chǔ)上增加投入資金3200萬(wàn)元.（1）從2016年到2018年，東營(yíng)市用于充電樁安裝的資金年平均增長(zhǎng)率為多少？（2）2019年?yáng)|營(yíng)市計(jì)劃再安裝A、B兩種型號(hào)的充電樁共200個(gè).已知安裝一個(gè)A型充電樁需3.5萬(wàn)元，安裝一個(gè)B型充電樁需4萬(wàn)元，且A型充電樁的數(shù)量不多于B型充電樁的一半.求A、B兩種型號(hào)充電樁各安裝多少個(gè)時(shí)，所需資金最少，最少為多少？11．（2022·遼寧錦州·中考真題）某商場(chǎng)新進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價(jià)為每個(gè)10元，在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)．，日銷(xiāo)售量y（個(gè)）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間滿(mǎn)足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量x的取值范圍）；(2)若該玩具某天的銷(xiāo)售利潤(rùn)是600元，則當(dāng)天玩具的銷(xiāo)售單價(jià)是多少元？(3)設(shè)該玩具日銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元，當(dāng)玩具的銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？12．（2022·浙江·衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，隧道的截面由拋物線(xiàn)和矩形構(gòu)成，矩形的長(zhǎng)為，寬為，以所在的直線(xiàn)為軸，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)為軸