專題10 極值點偏移問題2023-2024學年新教材高中數(shù)學選擇性必修第三冊同步教學設計 (人教B版2019)

專題10極值點偏移問題2023-2024學年新教材高中數(shù)學選擇性必修第三冊同步教學設計(人教B版2019)課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、設計意圖本章節(jié)旨在幫助學生深入理解并掌握極值點偏移問題的解題方法，結合高中數(shù)學選擇性必修第三冊（人教B版2019）的教學內容，通過講解與實際例題分析，使學生能夠熟練運用相關知識點解決實際問題。在教學過程中，注重培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和解決實際問題的能力，為后續(xù)學習打下堅實基礎。二、核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課核心素養(yǎng)目標在于培養(yǎng)學生邏輯思維與數(shù)學建模能力，通過極值點偏移問題的探究，發(fā)展學生的數(shù)學抽象和數(shù)學推理素養(yǎng)。在教學過程中，強調問題解決的實際應用，提升學生的數(shù)學應用意識，同時注重數(shù)學交流，培養(yǎng)學生清晰表達數(shù)學思想和解決問題的能力。三、教學難點與重點1.教學重點

本節(jié)課的教學重點是理解和應用極值點偏移的概念及其解決方法。具體包括：

-極值點偏移的定義和性質，例如：當函數(shù)的導數(shù)在極值點兩側符號發(fā)生變化時，極值點會發(fā)生偏移。

-利用導數(shù)和函數(shù)圖像分析極值點偏移的具體情況。例如，通過分析函數(shù)f(x)=x^3-3x在x=0附近的導數(shù)符號變化，來確定極值點的偏移方向。

2.教學難點

本節(jié)課的教學難點在于學生對極值點偏移條件的理解和應用，以及如何靈活運用相關知識點解決具體問題。具體包括：

-確定極值點偏移的條件：學生可能難以理解何時極值點會發(fā)生偏移，以及如何通過導數(shù)判斷極值點的偏移。例如，對于函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+1，學生需要通過求導和分析導數(shù)的符號變化來確定極值點是否偏移，以及偏移的方向。

-應用中值定理和單調性定理來解決問題：學生可能不熟悉如何將中值定理和單調性定理應用于極值點偏移問題中。例如，在解決函數(shù)f(x)=x^2-4x+3在區(qū)間[0,3]上的極值點偏移問題時，學生需要運用中值定理來確定函數(shù)在區(qū)間內的單調性，從而推斷極值點的位置和偏移情況。四、教學資源準備1.教材：確保每位學生配備《高中數(shù)學選擇性必修第三冊》人教B版教材。

2.輔助材料：準備極值點偏移問題相關的PPT演示文稿，包含關鍵概念解釋和例題演示。

3.實驗器材：無需特殊實驗器材。

4.教室布置：安排多媒體設備用于展示PPT，設置黑板用于板書和解答學生問題。五、教學過程設計1.導入新課（5分鐘）

目標：引起學生對極值點偏移問題的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

-開場提問：“你們在生活中是否遇到過尋找最大值或最小值的問題？這些問題與數(shù)學中的極值點有什么關系？”

-展示一些生活中的極值點問題實例，如最短路徑、最大利潤等，讓學生初步感受極值點問題的實際應用。

-簡短介紹極值點的概念及其在數(shù)學分析中的重要性，為接下來的學習打下基礎。

2.極值點基礎知識講解（10分鐘）

目標：讓學生了解極值點的基本概念、判定方法和應用。

過程：

-講解極值點的定義，包括極大值點和極小值點。

-詳細介紹極值點的判定方法，如導數(shù)為零的點是極值點的必要條件。

-通過具體的函數(shù)圖像示例，讓學生直觀理解極值點的位置和性質。

3.極值點偏移案例分析（20分鐘）

目標：通過具體案例，讓學生深入了解極值點偏移的特性和解決方法。

過程：

-選擇幾個典型的極值點偏移案例進行分析，如多項式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等。

-詳細介紹每個案例的背景、極值點偏移的條件和解決方法。

-引導學生思考這些案例在解決實際數(shù)學問題中的應用，如何利用導數(shù)和函數(shù)性質分析極值點偏移。

4.學生小組討論（10分鐘）

目標：培養(yǎng)學生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

-將學生分成若干小組，每組選擇一個極值點偏移問題進行深入討論。

-小組內討論該問題的解決策略，如何利用導數(shù)和函數(shù)性質判斷極值點偏移。

-每組選出一名代表，準備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標：鍛煉學生的表達能力，同時加深全班對極值點偏移問題的認識和理解。

過程：

-各組代表依次上臺展示討論成果，包括問題的解決策略和具體步驟。

-其他學生和教師對展示內容進行提問和點評，促進互動交流。

-教師總結各組的亮點和不足，并提出進一步的建議和改進方向。

6.課堂小結（5分鐘）

目標：回顧本節(jié)課的主要內容，強調極值點偏移問題的重要性和意義。

過程：

-簡要回顧本節(jié)課的學習內容，包括極值點的概念、判定方法、極值點偏移的案例分析等。

-強調極值點偏移問題在數(shù)學分析和實際問題解決中的價值和作用，鼓勵學生進一步探索和應用。

-布置課后作業(yè)：讓學生選擇一個極值點偏移問題，運用所學知識寫出解題過程，并分析其應用場景。六、教學資源拓展1.拓展資源

-極值點偏移問題在物理學中的應用：介紹極值點偏移在物理學中的實際應用，如力學中的平衡問題、光學中的最小路程問題等。

-數(shù)學競賽中的極值點偏移題目：提供一些數(shù)學競賽中涉及極值點偏移的題目，幫助學生提高解題能力。

-極值點偏移問題的歷史背景：介紹極值點偏移問題的發(fā)展歷史，以及它在數(shù)學分析中的地位和作用。

-數(shù)學軟件應用：介紹如何使用數(shù)學軟件（如MATLAB、Mathematica等）來分析極值點偏移問題，包括圖形繪制和數(shù)值計算。

2.拓展建議

-閱讀拓展：建議學生閱讀《高等數(shù)學》中關于極值點分析的相關章節(jié)，以加深對極值點偏移理論的理解。

-實踐拓展：鼓勵學生嘗試解決一些實際問題，如優(yōu)化問題、物理學中的平衡問題，將理論應用于實踐。

-研究拓展：指導學生進行極值點偏移問題的研究性學習，選擇一個特定的函數(shù)類型，探討其極值點偏移的特點和規(guī)律。

-交流拓展：鼓勵學生參加數(shù)學論壇或小組討論，與同學交流極值點偏移問題的不同解法和思路。

-軟件應用拓展：指導學生使用數(shù)學軟件進行極值點偏移問題的圖形分析和數(shù)值計算，提高解決復雜問題的能力。

-數(shù)學競賽拓展：推薦學生參加數(shù)學競賽，通過解決競賽中的極值點偏移題目來挑戰(zhàn)自己的極限，提高解題技巧。七、課后作業(yè)1.設函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求f(x)的極值點，并分析極值點是否發(fā)生偏移。

答案：求導得f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1和x=3。計算二階導數(shù)f''(x)=6x-12，得f''(1)=-6<0，f''(3)=6>0。因此，f(x)在x=1處有極大值，f(x)在x=3處有極小值。極值點沒有發(fā)生偏移。

2.設函數(shù)g(x)=x^2-4x+3，在區(qū)間[0,3]上求g(x)的最大值和最小值，并討論極值點是否偏移。

答案：求導得g'(x)=2x-4，令g'(x)=0，解得x=2。計算二階導數(shù)g''(x)=2>0，因此g(x)在x=2處有極小值。在區(qū)間[0,3]上，g(0)=3，g(2)=-1，g(3)=0。最大值為g(0)=3，最小值為g(2)=-1。極值點沒有偏移。

3.考慮函數(shù)h(x)=e^x-x，求h(x)的極值點，并判斷極值點是否偏移。

答案：求導得h'(x)=e^x-1，令h'(x)=0，解得x=0。計算二階導數(shù)h''(x)=e^x>0，因此h(x)在x=0處有極小值。極值點沒有偏移。

4.設函數(shù)p(x)=sin(x)-x，求p(x)的極值點，并分析極值點的偏移情況。

答案：求導得p'(x)=cos(x)-1，令p'(x)=0，解得x=0和x=2π。計算二階導數(shù)p''(x)=-sin(x)，因此p''(0)=0，p''(2π)=0。在x=0和x=2π處，p(x)的極值點不明確，需要進一步分析。通過觀察p(x)的圖像或計算更多的導數(shù)值，可以確定極值點的偏移情況。

5.設函數(shù)q(x)=ln(x)-x+1，求q(x)的極值點，并討論極值點的偏移。

答案：求導得q'(x)=1/x-1，令q'(x)=0，解得x=1。計算二階導數(shù)q''(x)=-1/x^2<0，因此q(x)在x=1處有極大值。極值點沒有偏移。八、課堂小結，當堂檢測課堂小結：

本節(jié)課我們學習了極值點偏移問題，這是數(shù)學分析中的一個重要內容。我們首先回顧了極值點的定義和判定方法，然后探討了極值點偏移的概念及其在函數(shù)中的應用。通過具體的案例分析和例題演示，我們了解了如何利用導數(shù)和函數(shù)性質來判斷和解決極值點偏移問題。課堂討論和小組活動也幫助我們更好地理解了極值點偏移的實際意義和解決策略。

當堂檢測：

為了鞏固本節(jié)課的學習內容，下面進行當堂檢測。請同學們獨立完成以下題目，檢測自己對極值點偏移問題的理解和掌握程度。

1.設函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+3x^2+2x+1，求f(x)的極值點，并判斷極值點是否有偏移。

答案：求導得f'(x)=4x^3-12x^2+6x+2，令f'(x)=0，解得x=1/2。計算二階導數(shù)f''(x)=12x^2-24x+6，f''(1/2)=3>0。因此，f(x)在x=1/2處有極小值，極值點沒有偏移。

2.考慮函數(shù)g(x)=x^3-3x^2+4，在區(qū)間[-1,2]上求g(x)的最大值和最小值，并討論極值點偏移情況。

答案：求導得g'(x)=3x^2-6x，令g'(x)=0，解得x=0和x=2。計算二階導數(shù)g''(x)=6x-6，g''(0)=-6<0，g''(2)=6>0。因此，g(x)在x=0處有極大值，在x=2處有極小值。極值點沒有偏移。

3.設函數(shù)h(x)=2x^3-9x^2+12x+1，求h(x)的極值點，并分析極值點偏移。

答案：求導得h'(x)=6x^2-18x+12，令h'(x)=0，解得x=1和x=2。計算二階導數(shù)h''(x)=12x-18，h''(1)=-6<0，h''(2)=6>0。因此，h(x)在x=1處有極大值，在x=2處有極小值。極值點沒有偏移。

4.考慮函數(shù)p(x)=x^2e^x-2x，求p(x)的極值點，并討論極值點的偏移。

答案：求導得p'(x)=2xe^x+x^2e^x-2，令p'(x)=0，解得x=0和x=ln(2)。計算二階導數(shù)p''(x)=2e^x+2xe^x+x^2e^x，p''(0)=2>0，p''(ln(2))=4ln(2)+2>0。因此，p(x)在x=0和x=ln(2)處都有極小值，極值點沒有偏移。

5.設函數(shù)q(x)=x^5-5x^4+5x^3-x^2+1，求q(x)的極值點