專題01 平行線中的拐點(diǎn)模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型（原卷版）

專題01平行線中的拐點(diǎn)模型之豬蹄模型（M型）與鋸齒模型平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問(wèn)題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（豬蹄模型（M型）與鋸齒模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來(lái)，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見(jiàn)拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：豬蹄模型（M型）與鋸齒模型【模型解讀】圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型證明】（1）∠APB＝∠A+∠B這個(gè)結(jié)論正確，理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案為：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的規(guī)律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案為：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，若，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．例2．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）“綠水青山，就是金山銀山”在兩個(gè)景區(qū)之間建立上的一段觀光索道如圖所示，索道支撐架均為互相平行（），且每?jī)蓚€(gè)支撐架之間的索道均是直的，若，，則（）A． B． C． D．例3．（2023下·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠BCD＝70°，AB∥DE，則∠α與∠β滿足（）A．∠α+∠β＝110° B．∠α+∠β＝70° C．∠β﹣∠α＝70° D．∠α+∠β＝90°例4．（2023下·廣東廣州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，：：：：：：，若，則

例5．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，和分別平分和，若，則．

例6．（2023下·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)，在兩條平行線，之間，與的平分線交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．例7．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？计谥校┮阎喝鐖D，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)M，，，，則．例8．（2023下·上?！て吣昙?jí)?？计谥校┮阎?，直線AB∥CD。（1）如圖（1），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（3）如圖（3），寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．例9．（2023下·四川成都·七年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┮阎?，直線與直線，分別交于點(diǎn)F，E，點(diǎn)H在直線上．(1)如圖1，點(diǎn)P在線段上，求證：；(2)如圖2，平分，點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，且平分．若，求的度數(shù)；(3)如圖3，平分，當(dāng)H在直線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)F重合）時(shí)，平分交于點(diǎn)N，于點(diǎn)Q，探究與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，的直角頂點(diǎn)落在直線上，點(diǎn)落在直線上，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023下·山東淄博·九年級(jí)校考期中）如圖，直線，，為直角，則的度數(shù)（

）

A．65° B．75° C．115° D．135°3．（2022上·重慶沙坪壩·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，已知，點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），連接，若，．則的值為（）

A． B． C． D．4．（2023上·重慶北碚·九年級(jí)西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，判斷與的大小關(guān)系（

）

A． B． C． D．不能確定5．（2023下·河南焦作·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若，則，，的度數(shù)之比可能為（）

A． B． C． D．6．（2023下·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知表示兩幢大樓，現(xiàn)從點(diǎn)分別對(duì)點(diǎn)進(jìn)行觀測(cè)，俯角分別為和，若點(diǎn)在同一條直線上，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．7．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，于C，E是上一點(diǎn)，，，，，則與與之間的數(shù)量關(guān)系為(

)A．B．C．D．8．（2023下·上海徐匯·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知船在觀測(cè)站的北偏東方向上，且在觀測(cè)站的北偏西方向上，那么的度數(shù)是．

9．（2023下·河南周口·七年級(jí)期中）如圖，，，若，則．10．（2023下·山東棗莊·七年級(jí)校考期中）如圖，直線，，則．

11．（2023下·河北廊坊·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，，，則．

12．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，平分，，，則．13．（2023下·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一塊含的直角三角尺按如圖所示的方式放置，其中點(diǎn)，分別在直線，上，若，，則°．

14．（2023下·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，的平分線交直線于點(diǎn)D，若，則的度數(shù)為．

15．（2023上·四川成都·八年級(jí)?？计谀┨?yáng)灶、衛(wèi)星信號(hào)接收鍋、探照燈以及其他很多物品都與如圖所示的曲線有關(guān)、如圖，從點(diǎn)O照射到曲線上的光線，等反射以后沿著與平行的方向射出．圖中如果，，則，．16．（2023下·湖南湘西·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，于點(diǎn)C，E是上一點(diǎn)，，，平分，平分，若，則的度數(shù)為．

17．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）完成下面的證明：如圖所示，，求證：．證明：過(guò)E作，∵，∴_____________（_________），∴_______（_______）．∵（已作），∴_______（_______）．又∵_(dá)_____，∴．18．（2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）在圖中，若，又得到什么結(jié)論？19．（2023下·貴州遵義·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知：如圖，已知，，求證：(1)(2)

20．（2022下·江西九江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）解答(1)如圖1，平分，平分，且．請(qǐng)判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如圖2，且，當(dāng)直角頂點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，，為線段上定點(diǎn)，為射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與有何數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并加以說(shuō)明．

21．（2023下·廣東中山·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：直線，點(diǎn)、分別在直線，上，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)．(1)如圖1，猜想，，的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．(2)利用（）的結(jié)論解決問(wèn)題：如圖2，已知，平分，平分，，求的度數(shù)．

22．（2023下·福建莆田·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，是位于，之間的一點(diǎn)，現(xiàn)作如下操作：第一次操作：分別作和的平分線，交點(diǎn)為．第二次操作：分別作和的平分線，交點(diǎn)為．第三次操作：分別作和的平分線，交點(diǎn)為．第次操作，分別作和的平分線，交點(diǎn)為．

(1)如圖1，若，，求的度數(shù)．(2)如圖2，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)若，直接寫出的度數(shù)（用含a的式子表示）．23．（2023下·四川成都·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，已知直線，線段在直線a上運(yùn)動(dòng)，C為直線b上一定點(diǎn)，D為直線a，b之間一定點(diǎn)，E為直線b上C點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn)．（本題中的角均為小于的角）

(1)當(dāng)線段運(yùn)動(dòng)到圖2位置時(shí)，若與互余，求的度數(shù)；(2)在線段在直線a上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫出，和之間的數(shù)量關(guān)系；(3)當(dāng)線段運(yùn)動(dòng)到如圖3所示的位置時(shí)，的平分線交直線a于點(diǎn)F，G為直線a上點(diǎn)A左側(cè)一點(diǎn)，且，求證：．24．（2023下·安徽滁州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，線段EF分別與AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）請(qǐng)?jiān)跈M線上填上合適的內(nèi)容，完成下面的解答：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度數(shù)；解：過(guò)點(diǎn)P作直線PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依據(jù)是；因?yàn)锳B