專題01 相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型（原卷版）

專題01相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內容，常常與其它知識點結合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應用難點在于過分割點(將線段分割的點)作平行線構造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點在模考中無論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等腰三角形，．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結論：①；②；③；④當時，．其中正確結論的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2022·重慶九年級期中）如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED＝∠B，線段AG分別交線段DE，BC于點F，G，且ADAC=DFCG．（1）求證：△ADF∽△ACG；（2）若例3．（2021·江蘇揚州·中考真題）如圖，在中，，矩形的頂點D、E在上，點F、G分別在、上，若，，且，則的長為________．例4.（2023·江蘇九年級期中）如圖，在中，，，，平分，交邊于點，過點作的平行線，交邊于點．（1）求線段的長；（2）取線段的中點，聯(lián)結，交線段于點，延長線段交邊于點，求的值．例5.（2022?安慶一模）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點D是邊BC的中點，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為（

）A．5 B．6 C． D．例2.（2022·廣西·中考模擬）如圖，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，點D在BE延長線上，且BA?BC＝BD?BE．（1）求證：△ABD∽△EBC；（2）求證：AD2＝BD?DE．例3．（2023·上海市九年級期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點F在AE的延長線上，CE和DF交于點M，BC和DF交于點N，聯(lián)結BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．例4．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側，，與相交于點O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當與重合時，連接，若，求的長；②如圖3，當時，連接并延長交直線l于點F，連接．求證：．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結論：AF=AG例1．（2022?惠山區(qū)一模）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，且DE∥BC，BE、CD相交于點O，若S△DOE：S△EOC＝1：3，則當S△ADE＝1時，四邊形DBCE的面積是．例2．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，與交于點O，，E為延長線上一點，過點E作，交的延長線于點F．（1）求證；（2）若，求的長．例3.（2022·成都市九年級期中）如圖：AD∥EG∥BC，EG交DB于點F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．（1）求EB的長；（2）求FG的長．例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點O作EF∥AB分別交BC、AD于點E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點，DE交OC于點M，作MN∥OB交OA于一點N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．課后專項訓練1．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，是邊的中點，于點，則下列結論：①；②；③．其中正確結論的個數(shù)是（

）

A．3個 B．2個 C．1個 D．0個2．（2023秋·廣東惠州·九年級?？茧A段練習）如圖，將平行四邊形繞點A逆時針旋轉到平行四邊形的位置，使點落在上，與交于點E，若，，，則的長為（

）

A． B． C． D．13．（2023春·福建福州·八年級校考期末）如圖，已知四邊形為矩形，點E在的延長線上，．連接，于點G．若交于點F，，則的長度是（

）

A． B． C．6 D．4．（2023春·重慶九龍坡·八年級?？计谀┤鐖D，小明站在兩路燈之間的點處，兩路燈底部的距離，兩路燈的高度均為，小明身高，他在路燈下的影子，在路燈下的影子為，則．

5．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，點E，F(xiàn)，G，H分別是，，，上的點，且，若菱形的面積等于24，，則．

6．（2023春·福建福州·八年級福建省福州第十九中學?？计谀┤鐖D，已知在中，，，是邊上的一點，與交于點，若，則．7．（2022·遼寧·中考真題）如圖，在中，，D，E，F(xiàn)分別為的中點，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，將繞點D順時針旋轉一定角度，得到，當射線交于點G，射線交于點N時，連接并延長交射線于點M，判斷與的數(shù)量關系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，當時，求的長．8．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）己知四邊形中，E，F(xiàn)分別是邊上的點，與交于點G．特例解析：

(1)如圖1，若四邊形是矩形，且，求證：；類比探究：(2)如圖2，若四邊形是平行四邊形，且，求證：．9．（2023春·廣東河源·九年級?？奸_學考試）如圖，已知梯形中，，又，．(1)對角線與相交于點，交于點，試求的長．(2)如圖，動點由點出發(fā)沿向點移動，速度為單位/分，同時動點由點出發(fā)沿向點移動，速度為單位/分，又與交于點，與交于點．猜想：對于動點和在運動過程中的任一時刻（分別不與，和，重合），始終有，請加以證明．(3)設梯形的面積為，試問，在（）題點，的運動過程中，四邊形的面積是否發(fā)生變化？如發(fā)生變化，請加以說明；如不發(fā)生變化，請求出它的面積（用的代數(shù)式表示）．

10．（2022秋·廣東清遠·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形中，，交于點，點是的中點，連接交于點，．(1)求證：；(2)求的長；(3)若的面積為2，直接寫出四邊形的面積．

11．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）問題背景：如圖1，在四邊形中，點F，E，G分別在上，，，求證：嘗試應用：如圖2，是的中線，點E在上，直線交于點G，直線交于點F，若，求的值．遷移拓展：如圖3，在等邊中，點D在上，點E在上，若，，直接寫出的值．（用含m的式子表示）

12．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在邊長為的正方形中，點在邊上（不與點，重合），射線與射線交于點．(1)若，求的長．(2)求證：．(3)以點為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點．若，求的長．13．（2022·上海市九年級期中）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．14．（2022·四川內江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點E為CD的中點，連接BE交MC于點F．(1)當F為BE的中點時，求證：AM＝CE；(2)若＝2，求的值；(3)若MN∥BE，求的值．15．（2022?重慶中考模擬）問題提出：如圖1，D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DE，已知線段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，則S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之間會有怎樣的數(shù)量關系呢？問題解決：探究一：（1）看到這個問題后，我們可以考慮先從特例入手，找出其中的規(guī)律．如圖2，若DE∥BC，則∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：而根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方．可得．根據(jù)上述這兩個式子，可以推出：．（2）如圖3，若∠ADE＝∠C，上述結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；著不成立，請說明理由．探究二：回到最初的問題，若圖1中沒有相似的條件，是否仍存在結論：？方法回顧：兩個三角形面積之比，不僅可以在相似的條件下求得，當兩個三角形的底成高具有一定的關系時，也可以解決．如圖4，D在△ABC的邊上，做AH⊥BC于H，可得：．借用這個結論，請你解決最初的問題．延伸探究：（1）如圖5，D、E分別在△ABC的邊AB、AC反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，則．（2）如圖6，E在△ABC的邊AC上，D在AB反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝