專題03 全等模型-手拉手模型（原卷版）

專題03全等模型-手拉手模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（三角形）【模型解讀】將兩個(gè)三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。對(duì)應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得。【常見(jiàn)模型及證法】（等邊）（等腰直角）（等腰）例1．（2022秋·吉林松原·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，，將△BOC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．(1)當(dāng)時(shí)，°；(2)當(dāng)時(shí)，°；(3)若，，，則OA的長(zhǎng)為．例2．（2022·湖北武漢·八年級(jí)期末）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC為邊向外作等邊ABD和等邊BCE．(1)連接AE、CD，如圖1，求證：AE=CD；(2)若N為CD中點(diǎn)，連接AN，如圖2，求證：CE=2AN(3)若AB⊥BC，延長(zhǎng)AB交DE于M，DB=，如圖3，則BM=_______（直接寫出結(jié)果）例3．（2022·湖北·襄陽(yáng)市九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AOB和MON都是等腰直角三角形(OA<OM=ON)，∠AOB=∠MON=90°．(1)如圖①，連接AM，BN，求證：AOM≌BON；(2)若將MON繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，①如圖②，當(dāng)點(diǎn)N恰好在AB邊上時(shí)，求證：；②當(dāng)點(diǎn)A，M，N在同一條直線上時(shí)，若OB=4，ON=3，請(qǐng)直接寫出線段BN的長(zhǎng)．例4．（2023春·重慶巴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在正方形中，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，連接，．

(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，求的面積；(2)如圖2，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，，連接．點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別連接，，求證：；(3)如圖3，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，，連接．點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直接寫出的面積．例5．（2022·山西大同·九年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐：已知是等腰三角形，．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)∥時(shí)，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）到圖2所示的位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展運(yùn)用：某學(xué)習(xí)小組在解答問(wèn)題：“如圖3，點(diǎn)是等腰直角三角形內(nèi)一點(diǎn)，，且，，，求的度數(shù)”時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)可以利用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，構(gòu)造新圖形解決問(wèn)題．請(qǐng)你根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)直接寫出的度數(shù)．例6．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；(2)解決問(wèn)題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

圖1

圖2模型2.手拉手模型（正多邊形型）【模型解讀】將兩個(gè)多邊形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)多邊形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等?！境Ｒ?jiàn)模型及證法】如圖，在任意△ABC中，分別以AB、AC為邊作正方形ABDE、ACFG，連接EC、BG，則△AEC≌△ABG.例1．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為2的正方形CEFG如圖1擺放，將正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BG，DE．（1）如圖2，求證：△BCG≌△DCE；（2）如圖2，連接DG，BE，判斷DG2+BE2否為定值．若是，求這個(gè)定值若不是，說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在DE上時(shí)，求α的值．例2．（2023·河南鶴壁市八年級(jí)月考）（1）作圖發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知，小涵同學(xué)以、為邊向外作等邊和等邊，連接，．這時(shí)他發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展探究：如圖2，已知，小涵同學(xué)以、為邊向外作正方形和正方形，連接，，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．例3．（2023·福建福州市·九年級(jí)月考）如圖，和均為等邊三角形，連接BE、CD．（1）請(qǐng)判斷：線段BE與CD的大小關(guān)系是；（2）觀察圖，當(dāng)和分別繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，BE、CD之間的大小關(guān)系是否會(huì)改變?（3）觀察如圖和4，若四邊形ABCD、DEFG都是正方形,猜想類似的結(jié)論是________,在如圖中證明你的猜想.（4）這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形（不必證明）,如圖,BB1與EE1的關(guān)系是;它們分別在哪兩個(gè)全等三角形中;請(qǐng)?jiān)谌鐖D中標(biāo)出較小的正六邊形AB1C1D1E1F1的另五個(gè)頂點(diǎn)，連接圖中哪兩個(gè)頂點(diǎn),能構(gòu)造出兩個(gè)全等三角形？例4．（2023·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點(diǎn)．（正多邊形的各邊相等，各個(gè)內(nèi)角也相等）①如圖1，求證：△ABE≌△ADC；②探究：如圖1，∠BOD=；③如圖2，∠BOD=；④如圖3，∠BOD=．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·浙江·溫州一模）如圖，在△ABC中以AC，BC為邊向外作正方形ACFG與正方形BCDE，連結(jié)DF，并過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，則MD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2．（2022·廣東茂名·二模）如圖，在中，，D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，并將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得線段，連接，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的最小值是_________．3．（2022·安徽蕪湖·八年級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)求證：FA平分∠BFE．4．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）中，，，點(diǎn)在邊上，將線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)當(dāng)，時(shí)，求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，若，求的值．5．（2022·福建·長(zhǎng)汀縣第四中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知：在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90o，D為△ABC外一點(diǎn)，且滿足∠ADB=90°．（1）如圖1，若，AD=1，求DB的長(zhǎng)．（2）如圖1，求證：．（3）如圖2所示，過(guò)C作CE⊥AD于E，BD=2，AD=6，求CE的長(zhǎng)．6．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）(1)如圖1，在中，，，，則與的數(shù)量關(guān)系是，與延長(zhǎng)線的夾角；(2)如圖2，四邊形中，，，，連接，猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，四邊形中，，，，，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)為．7．（2023春·廣東汕頭·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，D為內(nèi)一點(diǎn)，，，將繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)能與線段重合．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．8．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點(diǎn)，并將它們的底角頂點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)連接起來(lái)得到兩個(gè)全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，則△ABD≌△ACE．(1)請(qǐng)證明圖1的結(jié)論成立；(2)如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)；(3)如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．9．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)沙市湘郡培粹實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，點(diǎn)D，E分別為邊AB，BC上的中點(diǎn)，且BD＝BE＝．(1)如圖2，將△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度α，連接AD，EC，則線段EC與AD的關(guān)系是；(2)如圖3，DE∥BC，連接AE，判斷△EAC的形狀，并求出EC的長(zhǎng)；(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△BDE，當(dāng)∠AEC＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出EC的長(zhǎng)．10．（2022·河南焦作·二模）（1）如圖1，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊CA，CB上，且，連接AE，BD，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，連接CF交BD于點(diǎn)G，則線段CF所在直線與線段BD所在直線的位置關(guān)系是_______，線段CF和線段BD的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____．（2）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)B，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，CF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．11．（2022·重慶市九年級(jí)階段練習(xí)）【問(wèn)題背景】如圖1，P是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，∠APB＝30°，則PA2+PB2＝PC2．小明為了證明這個(gè)結(jié)論，將△PAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，請(qǐng)根據(jù)此思路完成其證明．【遷移應(yīng)用】如圖2，在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若△APC的面積為5.5，求PC．12．（2023·四川達(dá)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖，在中，，為邊所在直線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)、重合)，連結(jié)，以為邊作，且，根據(jù)，得到，結(jié)合，得出，發(fā)現(xiàn)線段與的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；（1）探究證明：如圖，在和中，，，且點(diǎn)在邊上滑動(dòng)(點(diǎn)不與點(diǎn)、重合)，連接．①則線段，，之間滿足的等量關(guān)系式為_(kāi)___；②求證:；（2）拓展延伸：如圖，在四邊形中，．若，，求的長(zhǎng)．13．（2023秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐：【問(wèn)題情景】綜合與實(shí)踐課上，王老師讓同學(xué)們以“共頂點(diǎn)的等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．【實(shí)踐操作】王老師讓同學(xué)們先畫出兩個(gè)等邊和，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到某一位置，要求同學(xué)們觀察圖形，提出問(wèn)題并加以解決．(1)如圖①，“慎思組”的同學(xué)們連接、，則與有何數(shù)量關(guān)系？與有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你探究后直接寫出結(jié)論．(2)如圖②，得知“慎思組”的結(jié)論后，“博學(xué)組”的同學(xué)們又連接，他們認(rèn)為，如果，且，，就可以求出的長(zhǎng)，請(qǐng)寫出求解過(guò)程．【類比探究】(3)如圖③，“智慧組”的同學(xué)們畫出了兩個(gè)等腰直角三角形和，其中，，；且點(diǎn)恰好落在上，那么、和之間一定存在某種數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你探究后直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系．14．（2023·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，和均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接，容易發(fā)現(xiàn)：①的度數(shù)為；②線段、之間的數(shù)量關(guān)系為；【類比探究】（2）如圖2，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接，試判斷的度數(shù)以及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【問(wèn)題解決】（3）如圖3，，，，，則的值為．15．（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：，，．(1)如圖1當(dāng)點(diǎn)在上，______．(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）16．（2022·山西八年級(jí)月考）綜合與實(shí)踐特例研究：將矩形和按如圖1放置，已知，連接．如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，線段與之間的數(shù)量關(guān)系是__；直線與直線之間的位置關(guān)系是_；拓廣探索：圖2是由圖1中的矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到的，請(qǐng)?zhí)剿骶€段與之間的數(shù)量關(guān)系和直線與直線之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．17．（2022·福建八年級(jí)期中）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問(wèn)題(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？并說(shuō)明理由．18．（2022春·貴州黔東南·八年級(jí)校聯(lián)考期末）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在四邊形中，對(duì)角線，垂足是O，求證：．【拓展遷移】（2）如圖2．以三角形的邊、為邊向外作正方形和正方形，求證：．（3）如圖3，在（2）小題條件不變的情況下，連接，若，，，則的長(zhǎng)_____________．（直接填寫答案）19．（2022·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┱叫蜛BCD和正方形AEFG的邊長(zhǎng)分別為3和1，將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖1位置時(shí)，連接BE，DG，則線段BE和DG的關(guān)系為；（2）在圖