專題05 相似三角形中的基本模型之對角互補模型（原卷版）

專題05相似三角形中的基本模型之對角互補模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就對角互補模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.對角互補模型（相似模型）【模型解讀】四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補。該題型常用到的輔助線主要是頂定點向兩邊做垂線，從而證明兩個三角形相似.【常見模型及結(jié)論】1）對角互補相似1 條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，點O是AB的中點，輔助線：過點O作OD⊥AC，垂足為D，過點O作OH⊥BC，垂足為H，結(jié)論：①△ODE～△OHF；②（思路提示：）.2）對角互補相似 2條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.輔助線：作法1：如圖1，過點C作CF⊥OA，垂足為F，過點C作CG⊥OB，垂足為G；結(jié)論：①△ECG～△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，）輔助線：作法2：如圖2，過點C作CF⊥OC，交OB于F；結(jié)論：①△CFE～△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，）3）對角互補相似3 條件：已知如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°輔助線：過點D作DE⊥BA，垂足為E，過點D作DF⊥BC，垂足為F；結(jié)論：①△DAE～△DCF；②ABCD四點共圓。例1．（2023·成都市·九年級期中）如圖所示，在中，，，在中，，點P在上，交于點E，交于點F．當(dāng)時，的值為（）．A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023·上海普陀·九年級?？计谥校┤鐖D，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C作射線CP∥AB，D為射線CP上一點，E在邊BC上（不與B、C重合）且∠DAE＝45°，AC與DE交于點O．(1)求證：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求證：CD2＝CO?CA．例3．（2023·廣西河池·校聯(lián)考一模）綜合與實踐【問題情境】在中，，，，在直角三角板中，，將三角板的直角頂點放在斜邊的中點處，并將三角板繞點旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊，分別與邊，交于點，．【猜想證明】如圖，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為邊的中點時，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【問題解決】如圖，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，求線段的長．

例4．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如下圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點與正方形的頂點重合，三角板的一邊交于點．另一邊交的延長線于點．（1）觀察猜想：線段與線段的數(shù)量關(guān)系是；（2）探究證明：如圖2，移動三角板，使頂點始終在正方形的對角線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立．請說明理由：（3）拓展延伸：如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經(jīng)過點，其他條件不變，若、，求的值．例5．（2023·成都市·九年級專題練習(xí)）已知在中，，，點在上，且．

當(dāng)點為線段的中點，點、分別在線段、上時（如圖）．過點作于點，請?zhí)剿髋c之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；當(dāng)，①點、分別在線段、上，如圖時，請寫出線段、之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．②當(dāng)點、分別在線段、的延長線上，如圖時，請判斷①中線段、之間的數(shù)量關(guān)系是否還存在．（直接寫出答案，不用證明）例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如圖1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC邊上中點D，連接AD，點E為AB邊上一點，連接DE，作DF⊥DE交AC于點F，求證：BE＝AF；（2）探索發(fā)現(xiàn)：如圖2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC邊上中點D，連接AD，點E為BA延長線上一點，AE＝1，連接DE，作DF⊥DE交AC延長線于點F，求AF的長；（3）類比遷移：如圖3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC邊上中點D，連接AD，點E為射線BA上一點（不與點A、點B重合），連接DE，將射線DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°交射線CA于點F，當(dāng)AE＝4AF時，求AF的長．課后專項訓(xùn)練1．（2022·黑龍江·雞西九年級期末）如圖，在Rt中，，，，在Rt中，，點在上，交于點，交于點，當(dāng)時，的長為（

）A．4 B．6 C． D．2．（2023廣東九年級期中）如圖，中，，平分，，連接，并延長分別交，于點和點，若，，則的長為（）A．10 B．12 C．15 D．163．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）在菱形中，，對角線交于點，分別是邊上的點，且與交于點，則的值為．

4．（2023·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知△ABC是等邊三角形,D是AC的中點,F為AB邊上一點,且AF=2BF,E為射線BC上一點,∠EDF=120°,則=.5．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）點是內(nèi)一點，平分，延長交于點，延長交于點．(1)如圖，若，證明：；(2)如圖，若，證明：；(3)如圖，若，，，，求的值．

6．（2023秋·山西忻州·九年級?？计谀┚C合與實踐問題情境：在學(xué)習(xí)了三角形的相似后，同學(xué)們開始了對不同三角形中的相似模型的探究．猜想推理：（1）如圖1，在等邊中，D為邊上一點，E為邊上一點，，，，則______．問題解決：（2）如圖2，是等邊三角形，D是的中點，射線，分別交，于點E，F(xiàn)，且，求證：．（3）如圖3，，，，D是的中點，射線，分別交，于點E，F(xiàn)，且，求的值．

7．（2023廣東深圳三模試題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形的對角線相交于點，在正方形繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點，邊與邊交于點．證明：；

（2）【類比遷移】如圖2，矩形的對角線相交于點，且，．在矩形繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點，邊與邊交于點．若，求的長；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，四邊形和四邊形都是平行四邊形，且，，，是直角三角形．在繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點，邊與邊交于點．當(dāng)與重疊部分的面積是的面積的時，請直接寫出的長．

8．（2023遼寧九年級月考）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC的中點，把一個三角板的直角頂點放在點D處，將三角板繞點D旋轉(zhuǎn)且使兩條直角邊分別交AB、AC于E、F.（1）如圖1，觀察旋轉(zhuǎn)過程，猜想線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若連接EF，試探索線段BE、EF、FC之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論（不需證明）；（3）如圖3，若將“AB=AC，點D是BC的中點”改為：“∠B=30°，AD⊥BC于點D”，其余條件不變，探索（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，請?zhí)剿麝P(guān)于AF、BE的比值.9．（2023浙江九年級月考）如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,點D為邊BC的中點,點P為射線AB上的一動點,點Q為邊AC上的一動點,且∠PDQ=90°.(1)當(dāng)DP⊥AB時，求CQ的長；(2)當(dāng)BP=2，求CQ的長；(3)連結(jié)AD，若AD平分∠PDQ，求DP：DQ.10．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是對角線BD的中點，直角∠GEF的兩直角邊EF、EG分別交CD、BC于點F、G．（1）若點F是邊CD的中點，求EG的長．（2）當(dāng)直角∠GEF繞直角頂點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中與邊CD、BC交于點F、G．∠EFG的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出tan∠EFG的值．（3）當(dāng)直角∠GEF繞頂點E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中與邊CD、BC所在的直線交于點F、G．在圖2中畫出圖形，并判斷∠EFG的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請直接寫出tan∠EFG的值．（4）如圖3，連接CE交FG于點H，若，請求出CF的長．11．（2023秋·河南商丘·九年級校聯(lián)考期末）綜合與實踐問題情境：在中，．直角三角板中，將三角板的直角頂點D放在斜邊的中點處，并將三角板繞點D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊分別與邊交于點M，N，猜想證明：(1)如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點M為邊的中點時，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；問題解決：(2)如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，求線段的長；12．（2023·廣西欽州·?？寄M預(yù)測）綜合與探究問題提出：某興趣小組在綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：在等腰直角三角板ABC中，，，D為的中點，用兩根小木棒構(gòu)建直角，將項點放置于點D上，得到，將繞點D旋轉(zhuǎn)，射線分別與邊交于E，F(xiàn)兩點，如圖1所示．

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)E、F分別是的中點時，試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系是_____．(2)類比探究：由圖1抽象出圖2，當(dāng)E、F不是的中點，但滿足時，求證：是等腰直角三角形．(3)拓展應(yīng)用：如圖3，將兩根小木棒構(gòu)建的直角，放置于邊長為2的正方形紙板上，頂點和正方形對角線的中點O重合，射線分別與交于E，F(xiàn)兩點，請求出四邊形的面積．13．（2023·北京延慶·九年級期中）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC的中點，點E為邊AB上一點，連結(jié)DE，過點D作DE的垂線與直線AC交于點F，連結(jié)EF．求證：AF=BE．探究過程：經(jīng)過分析小明發(fā)現(xiàn)，△ADF≌△BED，然后根據(jù)全三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，可以得到AF=BE．請你根據(jù)小明的探究過程解決以下問題：(1)探索發(fā)現(xiàn)：如圖2，若點E為邊AB延長線上一點，其他條件不變，AF與BE還相等嗎？請說明理由．(2)類比遷移：如圖3，在等邊△ABC中，點D是BC的中點，點E為邊AB上一點，連結(jié)DE，以DE為一邊作∠EDF=60°，交直線AC于點F，且AE=2AF．請你依據(jù)題意補全圖形，若AB=4，求AF的長．14．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動點，過點D作的垂線交直線于點F．

【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)時，興趣小組探究得出結(jié)論：，請寫出證明過程．【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)，且點F在線段上時，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點為M．若，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長（用含n的代數(shù)式表示）．15．（2023·廣東九年級期中）在△ABC中，，AC=4，BC=3，點D是斜