高三一輪數(shù)學(xué)第五章 數(shù)列

第五章數(shù)列

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法

內(nèi)容要求考題舉例考向規(guī)律

1.了解數(shù)列的概念和幾種2020,全國III卷求數(shù)列的通項公考情分析：以考查S”與原的關(guān)系為

簡單的表示方法（列表、圖式）主，簡單的遞推關(guān)系也是考查的熱

象、通項公式）2018?全國I卷IMG與S”的關(guān)系）點。在高考中以選擇、填空的形式

2.了解數(shù)列是自變量為2016?浙江高考?THs,與&的關(guān)系）進行考查，難度為低檔

正整數(shù)的一類函數(shù)2015?全國I卷-Ti7（遞推、通項、求和）核心素養(yǎng)：邏輯推理

教材回扣基礎(chǔ)自測

自主學(xué)習(xí)?知識積淀

\\1上礎(chǔ)e因梳理為識占&?得幄4■

1.數(shù)列的有關(guān)概念

概念含義

數(shù)列

按照二定順序排列的?列數(shù)

數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)

數(shù)列的通項

數(shù)列的第n項a?

通項公式如果數(shù)列｛m｝的第，?項小與序號〃之間的關(guān)系能用公式仁國表示，

這個公式叫做數(shù)列的通項公式

前〃項和

數(shù)列｛4〃｝中，Sn=2H---叫做數(shù)列的前〃項和

?我提度?

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在研究數(shù)列問題時，既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性。

2.數(shù)列的表示方法

列表法列表格表示〃與小的對應(yīng)關(guān)系

圖象法把點（〃，畫在平面直角坐標(biāo)系中

通項

公把數(shù)列的通項用公式表示

公式

式

遞推

法使用初始值S和?！?1=./（斯）或41，42和m+I=_A?！?，飆-1）等表不數(shù)列的方法

公式

3.4”與S”的關(guān)系

若數(shù)列｛m｝的前〃項和為S”,

則如|大S|,二,1,六2。

4.數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

有窮數(shù)列項數(shù)有限

項數(shù)

無窮數(shù)列項數(shù)無限

遞增數(shù)列tZn1

項與項間的

遞減數(shù)列a?\<a其中〃￡N’

大小關(guān)系nn

常數(shù)列anw=an

、小題改演練—

一、常規(guī)題

I.數(shù)列0,1,0,-1,0,1,0,一1,…的一個通項公式小等于（）

（一歲+1mt

A.2B.cos爹

〃+1〃+2

C?CUJ>271D.cos27

解析令〃=1,2,3,…，逐一驗證四個選項。故選D。

答案D

2.在數(shù)列｛a”｝中，41=1,m=1+,：）（〃22）,則。5等于（）

35

A.B.

23

2

D.

3

解析G=I+呼=2,ki+WV，e+q=3,…+嚷鼻

答案D

3.根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式a,,=,

::::，：h，

"?”.J、.

16

解析由0=1=5X|—4,z=6=5X2—4,々3=11=5X3—4,…，歸納小=5〃-4。

答案5〃一4

二、易錯題

〃一2

4.（忽視數(shù)列的函數(shù)特征）在數(shù)列一1,0,今…，中，0.08是它的第項。

=n-225

解析依題意得~^-=行，解得"=10或”=弓（舍）。

答案10

5.（忽視項數(shù)為整數(shù)的情況）數(shù)列｛a,｝中，a?=-n2+lbi（?eN*）,則此數(shù)列最大項的值是。

（?jYio1

解析。”=一〃+11〃=—"一方/+-^-,因為〃￡N*,所以當(dāng)〃=5或〃=6時，a“取得最大值30。

答案30

6.（忽視〃=1的特殊情況）已知數(shù)列｛?。那皀項和S”=/+1,則an=0

解析當(dāng)〃=1時，ai=Si=2,當(dāng)〃22時，a?=5,-S,r-i=w2+1-[（n-1）2+\]=2n~\,0=2不滿足上

|2,n=1,

式。故為=]ua

[2/?—1,“32,o

[2,77=1,

答案

l2n-1,心2,nEN*

考點例析對點微練

互動課堂?考向探究

考點一歸納數(shù)列的通項公式自主練習(xí)

?新利2345一卷，…的一個通項公式為““=（

L數(shù)列一丞8'F24'

.〃+1〃+1

A.(3月B.（一邛后

(一口.%+——1D.

1+12+13+14+15+1

解析數(shù)列轉(zhuǎn)化為一…，所以該數(shù)

(1+1)2-1'(2+1)2-V(3+1產(chǎn)一I，(4+1)—I(5+廳-1'

列的一個通項公式為〃“=（-D"?陽^^彳。

答案D

2.（多選）數(shù)列1,2,1,2,…的通項公式可能為（）

3+(一])"-

A.a尸出二B.Cln-o

3+sin叫

3+cosnit

C.=

(ln22

‘^’=1,當(dāng)〃為偶數(shù)時，斯=41=2,故A中通項公式正確；對

解析對于A,當(dāng)〃為奇數(shù)時，an

于B,當(dāng)〃為奇數(shù)時，斯=一2一=2,當(dāng)〃為偶數(shù)時，③=一2一=1,故B中通項公式不正確；對于C,當(dāng)〃

為奇數(shù)時，所=3，=1，當(dāng)〃為偶數(shù)時，的=%'=2,故C中通項公式正確；對于D,當(dāng)〃為奇數(shù)時，an

=^2~^=1,當(dāng)〃為偶數(shù)時，m=殳尹=2,故D中通項公式正確。故選ACD。

答案ACD

3.已知數(shù)列｛跖｝的前5項為當(dāng)，乎，當(dāng)2當(dāng)則｛斯｝的一個通項公式為斯=e

解析因為2,6,12,2030分別可分解為1X2,2X3,3X44X5,5X6,所以他“｝的第〃項的分子可表示為

因為353,5,3分別減4得一1,1,-1,1,-I,所以數(shù)列｛為｝的第〃項的分母可表示為（-1）〃+4。

5(〃+1)

故數(shù)列｛a”｝的一個通項公式為〃“=

(一1)〃+4°

前(〃+1)

答案

(一1)"+4

4.—一毛1，77s-…的?個通項公式是一

解析這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所

以它的一個通項公式是小=（-］）,

答案""=（T）"XnGN，

5.5,55,555,5555,…的一個通項公式是”

解析將原數(shù)列改寫為^X9,1x99,1x999,…，易知數(shù)列9,99,999,…的一個通項為10"-1,故所

，1

求的數(shù)列的一個通項公式為^,1=1（10—1）0

答案^=1（10"-1）

圖01^4訶

由數(shù)列前幾項歸納數(shù)列通項公式的常用方法及具體策略

1.常用方法：觀察（觀察規(guī)律）、比較（比較已知數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化（轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列）、聯(lián)想（聯(lián)想常見的

數(shù)列）等方法。同時也可以使用添項、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一個常見數(shù)列，通過常見數(shù)列的通項公式

求得所給數(shù)列的通項公式。

2.具體策略：

（1）分式中分子、分母的特征。

（2）相鄰項的變化特征，如遞增時可考慮關(guān)于〃的一次遞增或以2”，3”等形式遞增。

（3）拆項后的特征。

（4）各項的符號特征和絕對值的特征。

（5）化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系。

（6）對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用（一1）"或（一I）/'〃￡N’來處理。

考點二由數(shù)列的a“與S〃的關(guān)系求通項公式

【例1】（1）已知數(shù)列｛m｝的前〃項和<=/+2〃+1（〃￡1>0，則z=。

|4,〃=1,

解析當(dāng)〃22時，m=5“一S1=2〃+l;當(dāng)〃=1時，ai=Si=4W2X1+1。因此“〃=彳

（2〃I1,2。

14,Hl,

。案［2〃+1,

12

（2）已知數(shù)列｛為｝的前n項和S〃=Q4“+§,則｛”.）的通項公式an=“

解析當(dāng)〃=1時，oi=Si=；ai+］,所以的=1。當(dāng)“22時，〃”=￡—Sr-11,所以廿'=一：，

所以數(shù)列⑷為首項3=1,公比4=一；的等比數(shù)列，故",,=|：一；卜。

答案卜分r

（3）已知數(shù)列｛〃”｝滿足41+2。2+3〃3H---F〃a“=2",則an—。

解析當(dāng)〃=1時，由已知，可得ai=2i=2。因為ai+2a2+343H---卜〃a"=2"①。故ai+2m+343+…

2?-i

+（〃一l）an7=2"r（〃22）②，由①一②得〃?！?2"—2"|=2"一、所以以=一不。顯然當(dāng)n=\時不滿足上式。

所以an—

2,n=1,

答案、

---,〃22

n'

已知S”求小的方法

LVi，n=1，

已知S”求知的常用方法是利用a\cc轉(zhuǎn)化為關(guān)于小的關(guān)系式，再求通項公式。主要分

n$—dn-1?2

三個步驟完成：

1.先利用〃1=S1，求得41。

2.用〃一1替換S”中的〃得到一個新的關(guān)系式，利用a〃=S“一S”i(〃22)便可求出當(dāng)〃22,?時的

通項公式。

3.對〃=1時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合〃22,〃￡N?時小的表達式，如果符合則可以把數(shù)列的通項

公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分〃=1與〃22兩段來寫。

【變式訓(xùn)練】(1)(2021.貴陽適應(yīng)性考試)設(shè)S”為數(shù)列｛?。那啊椇停?S”=3小一3,則久等于()

A.27B.81

C.93D.243

解析根據(jù)2Sn=3a”-3,可得2S”+i=3a〃+i—3,兩式相減得2%+1=3%+1—3為，即為+1=3③，當(dāng)〃=1

時，2$=3卬-3,解得0=3,所以數(shù)列｛小｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以8=44=34=81。

故選Bo

答案B

(2)己知數(shù)列(?。那啊椇蜑镾”且滿足m=1,M2S”-1)=2S打?22,〃￡N"),則如=。

解析因為當(dāng)“22時，知(2S“-1)=2晶，*=Sn-Sf所以(工一S”T>(21-1)=2S機所以&一|一工=

2Sn-\Sn,即上一￡[=2,故121是以上=1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以(=1+2(〃-1)=2〃-1,所以

1,〃=1,

S產(chǎn)壯？因為當(dāng)心2時,4.=SLSI,所以近

(2〃_1)(2〃一3)，°

1,〃=1,

答案--Z一〃22

(2〃-1)(2/?—3)，j

考點三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式

【例2】(1)已知數(shù)列(?。校?。|=1,a“7=a”+2〃+l,則公=。

解析依題意得斯+1-?！?2〃+1,。5=的+(42—4l)+(〃3—42)+(O|—。3)+(。5—44)=I+3+5+7+9=25。

答案25

(2)若0=1,。”+1=2"為，則通項公式。

,+243++<|)

解析由a?+i=2"a?,得-"=21(心2),所以a?=—…一生小=2"，2心…“2-1=2--"'

an-\an-\an-z0

n(n-1)〃(〃+1)

29

=2o又m=l適合上式，故a“=2。

n(w-1)

答案22

(3)若。i=l,即i=則數(shù)列｛〃”)的通項公式小=________C

Clny乙

解析因為用”+1=-22大0=1,所以aHO,所以」—=；+〈，即又41=1,則;=1,所

期十2an+i4”/a〃+ia”,ai

以是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列。所以;=；+(〃-l)X：=g+]。所以z=—^77("WN*)。

[UMJLUnCl\LZ.L〃十I

答案系2

已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的典型方法

1.當(dāng)出現(xiàn)小=w“y為常數(shù))時，構(gòu)造等比數(shù)列。

2.當(dāng)出現(xiàn)小=為_1+/(〃)時，用累加法求解。

3.當(dāng)出現(xiàn)a=A”)時，用累乘法求解。

Cln—l

【變式訓(xùn)練】(I)在數(shù)列｛〃"｝中，"1=100,a"_|=a〃+3"(/?￡N)則通項公式小=。

解析由a”+i=4〃+3"(〃WN*),得辦+La0=3"(〃eN")，分別令〃=1,2,3,4,…，〃一1(〃22),得到(〃一

1)個等式：02—。1=3,03—42=32,￡14—03=33,…,。“一4"-1=3"-1。將這(〃一1)個等式累加得44=。1+3+3?

3(1—3'門)11Q71107

------F3n-,=1004---匚彳一=5?3”+二廠(〃》2)。顯然。1=100適合上式，故通項公式〃￡N*。

答案/3"+野，"CN，

(2)(2021?西安檢測)在數(shù)列｛〃“｝中，m=2,且°”+|=41+26+3。3+…+〃。"，〃￡N”,則通項公式an—

解析對于。"+1=4|+2〃2+3出+…令〃為〃一I,得到小=。|+2。2+3。3~1---F(〃-l)a”-i(〃22)。

兩式相減后得到如+1—小=/必（〃22）,即％H1=（〃+即二一=〃+1（〃32）。于是7=3,7=4,二=

UnC12。3田

5,???,將這（〃一2）個等式累乘起來，得竽竽竽….2~=345I）?小即?=，，心2。在

an-\。2aycuan-\。2z

|2,〃=1,

已知中令〃=1,得“2=0=2,所以如=〃?。ā?2）,ai=2不適合此式，因此

；〃！，〃22,且〃￡N*。

2,n=I,

答案|〃！，”22,且〃￡N*

考點四數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)微專題

微考向1：數(shù)列的周期性

【例3】已知數(shù)列｛小｝滿足an+\an=an—\tm=2,則U2O2i=。

a1=

解析解法一：由已知得，an+i=\所以詼+2=1一」一=1-~\"=---1，廝+3=1----

a”am+i,1a,-Ia+2

n1---n

an

=1---看-=4”，所以數(shù)列｛〃”｝的周期為3。由41=2,得G=；,G=—1,所以。2021=03x673+2=42=4。

an—\

解法二：由加1°”=〃”一1,得4241=0-1,又41=2,所以。2=；,由。342=42—1,得“3=-1,由44G

=〃3—1,得01=2,所以數(shù)列｛〃〃）的周期為3。于是，42021=03x673+2=42=；。

答案5

解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值。

微考向2：數(shù)列的單調(diào)性

【例4】已知等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S”，且斗一=-2,Sm=0,S,”r=3（機22）,則〃S”的最小值

為（）

A.-3B.—5

C.-6D.-9

解析由&1=一2,Sm=0,Sm“=3(/〃22),可知〃“尸2,0M+1=3,設(shè)等差數(shù)列｛知｝的公差為d,則d

_....〃(〃-5)n2(n-5);r(x-5)

=1,因為S”,=0,所以ai=-而=-2,則a”=〃-3,Sn=-?-,nSn=---3---。設(shè)_/(%)=-------,x>0,

310

則/")=尹一5工，Q0,所以的極小值點為x=不，因為〃￡N'，且｛3)=—9,人4)=一8,所以(〃S”)min

=-9<.

答案D

陶昂;

應(yīng)用數(shù)列單調(diào)性的關(guān)鍵是判斷單調(diào)性，判斷數(shù)列單調(diào)性的常用方法有兩個

I.利用數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性判斷。

2.對數(shù)列的前后項作差（或作商），利用比較法判斷。

【題組對點練】

1.（微考向I）數(shù)列｛?”｝滿足小=-3,‘其前"項積為T”，則乃以=（）

。1+1二十:I

I

A.ZB.1

3

C.2D.-3

,a?+i-1RI?c1+。”_八“，I1

解析由。"=---工7，得?！啊?|+?！?念+1-1,即斯+1=■；----O又41=-3,所以。2=一不，。3=弓，04

an+\-r1I—an23

=2,〃5=—3,所以數(shù)列｛⑥｝是周期數(shù)列，周期為4,且?？??；?=1,所以T202i=/x50s+i=Ti=ai=-3。故

選D。

答案D

2.（微考向2）已知數(shù)列｛小｝的通項公式為小=7—2加（〃6N*）,則“2<1”是“數(shù)列｛?。秊檫f增數(shù)列”的

（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

解析若數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，則a“+L4〃>0,得2〃+1>22,k“g”對任意的〃￡N’都成立，于是衣|。

由Zvi可推得反過來，由2<|不能得到2<1,因此。<1"是''數(shù)列(如｝為遞增數(shù)列”的充分不必要條

件。故選A。

答案A

3.(微考向2)已知數(shù)列｛劣｝的通項公式為小=寫^若數(shù)列｛?。秊檫f減數(shù)列，則實數(shù)k的取值范圍為

解析因為an+\—an=------而—=一強有—，由數(shù)列｛?”｝為遞減數(shù)列知，對任意〃￡N*,an+\—

33fi~~k

—<°，所以4>3—3〃對任意〃￡N'恒成立，所以A￡(0,4-oo)o

答案(()，4-oo)

4.(加強練)(多選)已知函數(shù)段)=21nx+；,數(shù)列｛小)的前〃項和為￡,且滿足0=2,%+1=&,)(〃仁N)

則下列有關(guān)數(shù)列｛?。臄⑹稣_的是()

A.ai<a\B.an>\

C.Sl(X)<100D.6t/r-￡7n?1+l<2flw

解析G=2ln2+g=ln4+gvlne|+￡=2,A正確；因為/(#=：-2=等'，所以當(dāng)x>l時J(x)X),

所以/W單調(diào)遞增，所以次用次1)=1,因為s=2>l,所以小+1=大小)>1,所以%>1,B正確；因為小>1,

所以Si()o>lOO,C錯誤：令人(x)=lnx+；—1(心>1),h'(x)=^—A=^2^->0,所以/?(x)在(1,+8)單調(diào)遞增，

所以“(工)>/?(1)=0,所以lna“+J■—1>0,則21n〃“+取一2>0,所以121n”〃+月+/>2,即a”+i+J~>2,所以

4小卜1+1>2?！?，所以D錯誤。故選AB。

答案AB

『彳教師備用題

【例1】(配合例1使用)若數(shù)列｛?。钦棓?shù)列，且礪+誨+…+的=〃2+〃，則：+竽+…+等=

解析當(dāng)n=1時，M^i=12+1=2,ai=4。當(dāng)時，如i+g^+…+或3=(〃-1)2+(〃-1),gi+

^U2~\卜4％-1+樂尸兩式相減可得｛￡=2〃，即?！?4〃\乂0=4也符合該式，所以小=4〃，則

~=4/?,則,----F-=4X1+4X24---F4〃=2〃2+2〃(〃￡N,)。

答案2〃2+2〃(〃￡N)

【例2】(配合例3使用)若4i=1,對任意的〃￡N",都有“>0,且〃屆-]一(2〃-1)?！笆?〃”一2足=0。設(shè)

“⑶表示整數(shù)X的個位數(shù)字，則“(42021)=o

解析由已知得(叩”+]+〃〃)(4〃+[—2?！?=0,因為?！?gt;0,所以小+i—2?！?0,則竽^=2,因為。|=1,所

Un

以數(shù)列｛%｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以m=lX2門=2"r(〃￡N")。所以刃=2,公=4,小=8,

的=16,俏=32,m=64,爆=128,…，所以當(dāng)〃22時，M(〃“)依次構(gòu)成以4為周期的數(shù)列。所以M(so2i)

=M(45)=6,故答案為6。

答案6

【例3](配合例4使用)已知數(shù)列｛〃“｝滿足〃為一2—(〃+2)斯=，/+2〃)，其中卬=1,G=2,若an<an

”對任意的〃￡N’恒成立，則實數(shù)2的取值范圍是。

解析由孫+2—(〃+2)z="/+2〃)=筋(〃+2)得幺三;一包=九所以數(shù)列制的奇數(shù)項與偶數(shù)項均是以z

為公差的等差數(shù)列，因為ai=1,s=2,所以當(dāng)〃為奇數(shù)時，牛=1+產(chǎn)>一1|=J~：+1,所以a"』’」'

z+z?o當(dāng)〃為偶數(shù)時，￡=l+/g—lj=￥"2z+l,所以斯="工2或+〃,當(dāng)〃為奇數(shù)時，由得〃2一

2++1,即7(〃-1)>—2,若〃=1,則％￡R,若則久>一〃士]，所以丸20。當(dāng)

〃2—2〃(n+])2—(fi+1)7

〃為偶數(shù)時，由a”<a”+[,得/+,?<5^.+〃+1,即3加>-2,所以拉一盆，即220。綜上，

實數(shù)2的取值范圍為[0,+8）。

答案[0,+~）

深度探究素養(yǎng)達成

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三類遞推公式求通項公式

一、形如4〃+1=一冬。,，P，y為常數(shù)，，>0,p,q,%W0）的數(shù)列的通項公式的探求

pcin\q

【例1】在數(shù)列（仇｝中，01=-1,瓦+1=§；3,則通項公式乩=。

【思路分析】將遞推公式兩邊同時取倒數(shù)，轉(zhuǎn)化為廝=4al+8（〃22,A,B為常數(shù)）的形式，即可

輕松解題。

【解析】對遞推公式歷H1=/：的兩邊同時取倒數(shù)，得",即，一=2.；+3,因此J一F

5Dn~rl。"+1OnDn+l%On+\

3=2?優(yōu)+3）,*+3=2,喘+3）是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,于是2+3=22門,可得"=亍七，

【答案】僅二,

【名師微點】一般地，形如小，】=啟力八P，q是常數(shù)，/>0,p,q,小KO）結(jié)構(gòu)的遞推公式往往可

以通過等式兩邊同時取倒數(shù)變形構(gòu)造出線性遞推公式bn=Ab?,+^>2,A,B是常數(shù)），進而求出原數(shù)列

的通項。

【變式訓(xùn)練I】已知數(shù)列｛?。凉M足0=1,4田=V7〃￡N*）。若瓦=log2p+l|,則數(shù)列｛6｝的通項

ClnIZW"/

公式是瓦=（）

A.B.n—1

C.nD.2/7

解析由念+1=—%,得'—=1+?，所以一1一+|=必+],又2+1=2#0,故?+”是首項為2,

Cln?2Cln+1OnCtn-i-1*Ta”/41I。"J

公比為2的等比數(shù)列，所以;+1=2X2"-1=2",兒=log』；+1：=log22"=〃。

Cln\C*n）

答案c

二、形如z+i=pa“+4（〃W0,且聲勺）的數(shù)列的通項公式的探求

【例2】記數(shù)列｛“〃｝的前〃項和為S”已知5”=3%+2〃-3,則數(shù)列｛〃”｝的通項公式為an=。

【思路分析】首先根據(jù)數(shù)列通項z與前n項和S”之間的關(guān)系得到數(shù)列｛〃”｝的遞推關(guān)系式，然后利用

待定系數(shù)法將其轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列，進而可得出數(shù)列伍“｝的通項公式。

【解析】當(dāng)〃=1時，$=0=3幼-1,解得3=5當(dāng)“22時，S0=3a“+2〃-3,S〃_i=3a,一+2〃-5,

33

3--

兩式相減可得，m=3小一3。”-1+2,故小=呼“-1—1,22

2）,故1:二2=5。所以數(shù)列｛小一2｝是以一，為首項，|為公比的等比數(shù)列，所以小-2=—*1|卜，故m=2

-即

【答案】2-（1｝

【名師微點】根據(jù)形如如+i=pa“+qS#O,且〃W1）的遞推關(guān)系式求通項公式時，一般先構(gòu)造公比為

p的等比數(shù)列｛。；+燈，即將原遞推關(guān)系式化為&7+1=雙小+幻的形式，再求出數(shù)列｛〃”+%｝的通項公式，最

后求｛為｝的通項公式。

【變式訓(xùn)練2】已知數(shù)列｛小｝滿足0=1,fln+|=3fln+4,則斯=（）

A.3nB.3門

C.3”一2D.3n~1-2

解析由?！?1=3。,+4,得。”+|+2=3（如+2）,且ai+2=3W0,所以a”+2W0,所以包￡[=3,因此

?！笔畓

數(shù)列｛為+2｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，故期+2=3X3"==3"，因此如=3"—2。故選C。

答案C

三、形如跖,+I=M”+/（〃）S為常數(shù)，且〃#0）的數(shù)列的通項公式的探求

n

【例3】在數(shù)列｛〃”｝中，?1=-1,an+i=2an+4X3求通項公式a”。

【解】解法一：原遞推公式可化為

④+1+33"=2（%+九3廣?）①。

比較系數(shù)得2=-4,①式即是

為+1一4X3“=2（即-4X3'門）。

則數(shù)列｛③-4X3”「｝是一個等比數(shù)列，其首項是0-4X3C=-5,公比是2。

所以?！币?X3"r=-5X2〃r。

即為=4X3"-i-5X2”Z

解法二：將為+]=2%+4X3門的兩邊同除以3""。

得瑞=|竽+*,令兒=竽。

24

則力”+i=?〃”+§,

24

設(shè)d+i+Z=W（b“+A）,比較系數(shù)得k=~~y

,4

Dn+\一彳A

則:不巧.

瓦一3

b'~3=~3=~3^0,

所以是以一|為首項，|為公比的等比數(shù)列。

所以瓦，-找一柒住卜，

則上尸瀉x修卜。

所以小=3"X瓦=4X3"r-5X2Li。

【名師微點】（1）形如〃“-1=加“+￡的遞推公式可用構(gòu)造法求通項，構(gòu)造法的基本原理是在遞推關(guān)系

的兩邊加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項都加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成為等差或

等比數(shù)列。

（2）本題的遞推公式是網(wǎng)討=如“+￡的推廣an+i=aan+pxf,兩邊同時除以/*乜后得到資=%，+§

轉(zhuǎn)化為兒+i=：乩+§的形式，通過構(gòu)造公比是;的等比數(shù)列｛5+￡｝求解。

【變式訓(xùn)練3】已知正項數(shù)列｛〃”｝中，￡71=2,a,”I=2a”+3X5",則數(shù)列｛?。耐?。”=（）

A.一3X2“rB.3X2M-'

C.5n+3X2n1D.5n-3X2n1

解析解法一：在遞推公式an+i=2a”+3X5"的兩邊同時除以5"+'得制'=|乂號+|①，令兒=工

則①式變?yōu)槲?i=|b〃+|,即包+L1=|（d一1）,所以數(shù)列｛5一1｝是等比數(shù)列，其首項為力L1=?-1=一

|,公比為|,所以5一1=（一|卜仔卜，即九=1一3修卜，所以第=1修卜=1一，故如=5"

一3X2"）。故選D。

解法二：設(shè)為+]+欠X5"|=2（小+4X5"）,則如+i=2.一32X5”,與題中遞推公式比較得攵=一1,即④

+1—5"+|=2（〃"一5"）,所以數(shù)列他”一5"｝是首項為。力一5=—3,公比為2的等比數(shù)列，則小一5"=-3X2”「，

故4“=5"-3X2LL故選D。

答案D

第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和

內(nèi)容要求考題舉例考向規(guī)律

1.理解等差數(shù)列的概念2020?全國II卷1,（等差數(shù)列的考情分析：等差數(shù)列的基本運算、基本性質(zhì)，等

2.掌握等差數(shù)列的通項公式與實際應(yīng)用）差數(shù)列的證明是考查的熱點。本節(jié)內(nèi)容在高考中

前〃項和公式2020?北京高考?￡（等差數(shù)列的既可以以選擇、填空的形式進行考查，也可以以

3.能在具體的問題情境中識別最大、最小項）解答題的形式進行考查。解答題往往與數(shù)列的計

數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)2019?全國1卷?4（等差數(shù)列基算、證明、等比數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等問題

知識解決相應(yīng)的問題本量計算）綜合考查，難度中低檔

4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、2019?全國III卷(等差數(shù)列基核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)運算

二次函數(shù)的關(guān)系本量計算)

教材回扣基礎(chǔ)自測

自主學(xué)習(xí)?知識積淀

\\礎(chǔ)細梳理.?⑼楂*.

1.等差數(shù)列的有關(guān)概念

(1)等差數(shù)列的定義

一般地，如果?個數(shù)列從第2項起，每?項與它的前一項的差等于同?個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等

差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母4表示，定義表達式為小一，“產(chǎn)小常數(shù)心2)

或a“+|—q〃=d(常數(shù)

(2)等差中項

若三個數(shù)”，A,b成等差數(shù)列，則A叫做。與力的等差中項，且有A=皇。

2.等差數(shù)列的有關(guān)公式

(1)等差數(shù)列的通項公式

如果等差數(shù)列｛為｝的首項為0，公差為"，那么它的通項公式是-=0+(〃-1)4

(2)等差數(shù)列的前〃項和公式

設(shè)等差數(shù)列｛?。墓顬閐,其前〃項和，=皿土地產(chǎn)之或$產(chǎn)迤?產(chǎn)支

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)

(1)通項公式的推廣：an=am+(n-fh]d(n,

(2)若｛m｝為等差數(shù)列，且&+/=〃?+〃(&,/,w,〃￡N*),則-+a/=a,”+a”。

(3)若他〃｝是等差數(shù)列，公差為d,則｛3｝也是等差數(shù)列，公差為2d。

(4)若｛%｝,｛瓦｝是等差數(shù)列，則｛/%”+被“｝也是等差數(shù)列。

(5)若｛〃〃｝是等差數(shù)列，公差為d,則G，Ok+m?伙+2m，…(匕〃?￡N*)是公差為遮_的等差數(shù)列。

(6)數(shù)列S”，S2m—Sm,S3,”一Slrn,…也是等差數(shù)列。

(7)S2n-l=(2〃-1)服。

(8)若項數(shù)n為偶數(shù),則S憫―S令=竽;

若項數(shù)〃為奇數(shù)，則S*-S『a中(中間項)。

?微提醒?

1.用等差數(shù)列的定義判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，要注意定義中的三個關(guān)鍵詞：“從第2項起”“每一

項與它的前一項的差”“同一個常數(shù)

2.等差數(shù)列的前〃項和公式有兩種表達形式，要根據(jù)題目給出的條件判斷使用哪一種表達形式。

3.等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

(1)通項公式；當(dāng)公差d#O時，等差數(shù)列的通項公式a”=s+(〃-l)d=d〃+m—d是關(guān)于〃的一次函數(shù)，

且一次項系數(shù)為公差乩若公差d>0,則為遞增數(shù)列，若公差d<0,則為遞減數(shù)列。

(2)前〃項和公式：當(dāng)公差dWO時，骸是關(guān)于〃的二次函數(shù)且常數(shù)項為

Oo

\\小二改演練小一幅—匕

一、常規(guī)題

1.在等差數(shù)列｛?！ǎ校?2=2,43=4,則00=o

解析等差數(shù)列｛?。墓頳=〃3-G=4-2=2,所以so=G+8d=2+8X2=18。

答案18

2.已知等差數(shù)列｛m｝的前“項和為S”，若由=-5,59=27,則公差d=o

解析由等差數(shù)列的前〃項和公式S0=MI+四宗"乩得27=9X(-5)+2筍/,解得d=2。

答案2

3.在等差數(shù)列｛〃”｝中，若。3+0|+。5+。6+。7=450,則。2+。8=O

解析由等差數(shù)列的性質(zhì)得。3+。4+45+。6+〃7=5〃5=450,所以45=90,所以。2+。8=〃5=180。

答案180

4.已知等差數(shù)列｛m｝的前〃項和為S〃，SG=4,$8=24,則$2=o

解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S6,S12—S6,$8一$2成等差數(shù)列，所以2乂($2-4)=4+24—$2,解得

Si2=12。

答案12

二、易錯題

5.（忽視等差數(shù)列為0的項）在等差數(shù)列｛%｝中,M=M，公差*0,則使數(shù)列｛小｝的前〃項和，取得

最大值的正整數(shù)〃的值是。

解析由網(wǎng)=|窈|,得⑶+2切=依+84解得0=-54或d=0（舍去），則ai+5d=46=O,又d＜0,所

以的＞0,故使前〃項和S”取得最大值的正整數(shù)〃的值是5