蘇科版九年級數(shù)學上冊同步精講精練2.5直線與圓的位置關系(切線的判定與性質十大題型)(原卷版+解析)

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學《第2章對稱圖形---圓》2.5直線與圓的位置關系（1）直線與圓的位置關系&切線的判定與性質知識點一知識點一直線和圓的位置關系直線和圓的位置關系相離相切相交定義直線和圓沒有公共點，這時這條直線和圓相離直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交圖形公共點個數(shù)012圓心O到直線的距離d與圓的半徑r的關系d＞rd＝rd＜r公共點名稱切點交點直線名稱切線割線總結直線與圓相離?d＞r直線與圓相切?d=r直線與圓相交?d＜r知識點二圓的切線的判定定理知識點二圓的切線的判定定理◆1、切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.◆2、幾何語言表示：（如右圖）∵OA為☉O的半徑，BC⊥OA于A，∴直線l是☉O的切線◆3、判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：（1）定義法：（如圖1）直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線；（2）數(shù)量關系法：（如圖2）圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切；（3）判定定理：（如圖3）經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.◆4、常見證切線作輔助線的方法：（1）有交點，連半徑，證垂直；（2）無交點，作垂直，證相等(證明d=r).知識點三知識點三圓的切線的性質定理◆1、切線的性質定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．◆2、幾何語言表示：∵直線l是☉O的切線，A是切點，∴直線l⊥OA.題型一判斷直線和圓的位置關系題型一判斷直線和圓的位置關系【例題1】（2023?南潯區(qū)二模）已知平面內有⊙O與直線AB，⊙O的半徑為3cm，點O到直線AB的距離為3cm，則直線AB與⊙O的位置關系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．不能判斷解題技巧提煉本題主要考查了直線和圓的位置關系，解決此類問題的關鍵是根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關系判斷．①d＜r?直線和圓相交；②d＝r?直線和圓相切；③d＞r?直線和圓相離．【變式1-1】（2023春?寧遠縣期中）已知⊙O的半徑是10，圓心O到直線l的距離是13，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【變式1-2】（2022秋?大名縣校級期末）已知⊙O的半徑是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一個根，圓心O到直線l的距離d＝4，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．平行【變式1-3】（2023?江夏區(qū)校級模擬）已知平面內有⊙O和點M，N，若⊙O半徑為2cm，線段OM＝3cm，ON＝2cm，則直線MN與⊙O的位置關系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【變式1-4】（2022秋?廣陽區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A為圓心作一個半徑為3的圓，下列結論中正確的是（）A．點B在⊙A內 B．直線BC與⊙A相離 C．點C在⊙A上 D．直線BC與⊙A相切【變式1-5】如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C為圓心，r為半徑的圓與直線AB有何位置關系？為什么？（1）r＝4cm．（2）r＝4.8cm．（3）r＝6cm．題型二根據(jù)直線和圓的位置關系確定交點個數(shù)題型二根據(jù)直線和圓的位置關系確定交點個數(shù)【例題2】（2022秋?江夏區(qū)校級期末）已知⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為4，那么直線l與⊙O的公共點的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定解題技巧提煉直線和圓的位置關系與圓的公共點個數(shù)間的關系：1、直線和圓相交?兩個公共點，2、直線和圓相切?一個公共點，3、直線和圓相離?沒有公共點．【變式2-1】已知⊙O的半徑等于8cm，圓心O到直線l的距離為9cm，則直線l與⊙O的公共點的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【變式2-2】（2022秋?武漢期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A為圓心，4.8長度為半徑的圓與直線BC的公共點的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．不能確定【變式2-3】已知⊙O的半徑是3，圓心O到直線l的距離是4，則直線l與⊙O的公共點的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【變式2-4】已知⊙O的直徑等于8cm，圓心O到直線l上一點的距離為4cm，則直線l與⊙O的公共點的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．1或2題型三已知直線和圓的位置關系確定取值范圍題型三已知直線和圓的位置關系確定取值范圍【例題3】（2023?浦東新區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系中，以點A（4，3）為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且原點O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（）A．0＜R＜5 B．3＜R＜4 C．3＜R＜5 D．4＜R＜5解題技巧提煉解決此類問題的關鍵是根據(jù)直線和圓的位置關系，得到圓心到直線的距離與半徑的大小關系，然后求其取值范圍即可．【變式3-1】（2022秋?連云港期中）直線l與⊙O相離，且⊙O的半徑r等于3，圓心O到直線l的距離為d，則d的取值范圍是．【變式3-2】（2022秋?青龍縣月考）如圖，已知∠ACB＝30°，CM＝2，AM＝5，以點M為圓心，r為半徑作⊙M，⊙M與線段AC有交點時，則r的取值范圍是．【變式3-3】（2023?前郭縣二模）如圖，平面直角坐標系中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標為（﹣3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是．【變式3-4】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以點C為圓心，r為半徑，且⊙C與斜邊AB有唯一公共點，求半徑r的取值范圍．題型四利用直線與圓的位置關系求最值題型四利用直線與圓的位置關系求最值【例題4】（2022秋?涼山州期末）點A是半徑為2的⊙O上一動點，點O到直線MN的距離為3．點P是MN上一個動點．在運動過程中若∠POA＝90°，則線段PA的最小值是．解題技巧提煉本題主要考查了根據(jù)直線和圓的位置關系中的相切來解決問題，結合勾股定理，添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．利用“過直線外一點與直線上的所有連線中垂線段最短”求最值.【變式4-1】（2022?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在等腰三角形ABC中，已知BC＝4，AB＝AC＝3，若⊙C的半徑為1，P為AB邊上一動點，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為．【變式4-2】（2023春?市南區(qū)校級月考）在平面直角坐標系內，以原點O為圓心，1為半徑作圓，點P(m，3m+23)，過點P作該圓的一條切線，切點為A．3 B．2 C．3 D．2【變式4-3】（2022秋?常熟市期中）如圖，直線y=34x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點P是以C（1，0）為圓心，1為半徑的圓上任意一點，連接PA，PB，則△A．5 B．10 C．15 D．20題型五切線的判定---連半徑證垂直題型五切線的判定---連半徑證垂直【例題5】（2023春?保德縣校級期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，與BC交于點D，過D作AC的垂線，垂足為E．求證：DE是⊙O切線．?解題技巧提煉【變式5-1】（2022秋?黃埔區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD⊥CD，垂足為D，AC平分∠DAB．求證：DC為⊙O的切線．【變式5-2】（2023?義烏市模擬）如圖，⊙O的直徑AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于點D，D是BC的中點．（1）求BC的長；（2）過點D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．【變式5-3】（2022?昭平縣一模）如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．（1）求AB的長；（2）若C是OP的中點，求證：PB是⊙O的切線．【變式5-4】（2023?嵐山區(qū)開學）如圖，已知△ABC中，AC＝BC，AD是△ABC外接圓⊙O的直徑，過點C作BD的垂線交BD的延長線于點E，連接CD．求證：（1）CD平分∠ADE；（2）CE是⊙O的切線．題型六切線的判定---作半徑證垂直題型六切線的判定---作半徑證垂直【例題6】（2022?椒江區(qū)一模）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切于點D．求證：AC是⊙O的切線．解題技巧提煉直線與圓沒有已知的公共點時，通常“作垂直，證半徑，得切線”.證明垂線段的長等于半徑常用的方法是利用角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.【變式6-1】如圖，O為正方形ABCD對角線AC上O與BC相切于點M．求證：CD與⊙O相切．【變式6-2】（2022?武漢模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，E為AB上的一點，DE＝DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D，AB＝5，EB＝3．（1）求證：AC是⊙D的切線；（2）求線段AC的長．【變式6-3】如圖，OC平分∠AOB，D是OC上任意一點，⊙D和OA相切于點E，連接CE．（1）求證：OB與⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半徑為3，求CE的長．題型七切線判定多結論問題題型七切線判定多結論問題【例題七】（2022秋?青山湖區(qū)期末）如圖所示，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點于D，DE⊥AC于E，連接AD，則下列結論：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解題技巧提煉本題考查的是垂徑定理，有時需要根據(jù)題意作出輔助線，利用垂徑定理求解是解答此題的關鍵．【變式7-1】如圖，在⊙O中，E是半徑OA上一點，射線EF⊥OA，交圓于B，P為EB上任一點，射線AP交圓于C，D為射線BF上一點，且DC＝DP，下列結論：①CD為⊙O的切線；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正確的結論有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【變式7-2】如圖，AB是⊙O的直徑，線段BC與⊙O的交點D是BC的中點，DE⊥AC于點E，連接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙A．1 B．2 C．3 D．4【變式7-3】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝25°，∠C＝90°，∠ADC＝115°，O為AB的中點，以點O為圓心、AO長為半徑作圓，恰好使得點D在⊙O上，連接OD，若∠EAD＝25°，下列說法中不正確的是（）A．D是劣弧BE的中點 B．CD是⊙O的切線 C．AE∥OD D．∠OBC＝120°【變式7-4】（2022秋?臺江區(qū)校級月考）如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB＝8，∠ABC＝30°，點D在線段AB上運動，點E與點D關于BC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點F，下列結論：①CE＝CF；②∠E＝30°；③線段EF的最小值為23；④當AD＝2時，EF與半圓相切．其中正確結論的序號是．題型八利用切線的性質求角度題型八利用切線的性質求角度【例題8】如圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O外一點，PO交⊙O于點C，連接BC，PA．若∠P＝40°，當∠B等于（）時，PA與⊙O相切．A．20° B．25° C．30° D．40°解題技巧提煉已知切線，通常需連接過切點的半徑，利用切線的性質可得到直角，然后結合圓周角定理及其推論，找到要求的角與已知角之間的聯(lián)系，從而求出角度.【變式8-1】（2023?李滄區(qū)三模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O外一點，過點C作⊙O的切線，切點為B，連接AC交⊙O于D，∠C＝38°．點E在AB右側的半圓上運動（不與A、B重合），則∠AED的大小是（）A．62° B．52° C．38° D．28°【變式8-2】（2022秋?棲霞市期末）如圖，OA交⊙O于點B，AC切⊙O于點C，D點在⊙O上．若∠D＝25°，則∠A為（）A．25° B．40° C．50° D．65°【變式8-3】（2023?安岳縣二模）如圖，AB、CD是⊙O的兩條直徑，EA切⊙O于點A，交CD的延長線于點E．若∠ABC＝75°，則∠E的度數(shù)為．【變式8-4】（2023?福鼎市模擬）如圖，△ABC內接于⊙O，點D在BC的延長線上，AD與⊙O相切，AC＝CD，∠B＝40°，則∠BAD等于（）A．95° B．100° C．110° D．120°【變式8-5】（2023?臨汾模擬）如圖，已知點D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點C，BE與⊙O相切，交直線CD于點E．（1）判斷BE與DE的數(shù)量關系，并說明理由；（2）若∠C＝20°，求∠EBD的度數(shù)．題型九利用切線的性質求線段長題型九利用切線的性質求線段長【例題9】（2023?開州區(qū)校級模擬）如圖，BC與⊙O相切于點C，線段BO交⊙O于點A，過點A作⊙O的切線交BC于點D．若CD＝3，AB＝4，則⊙O的半徑等于（）?A．4 B．5 C．6 D．12解題技巧提煉利用切線的性質求線段長度時，通常利用切線的性質構造直角三角形，抓住題目中的已知條件，在直角三角形中利用勾股定理找出等量關系求解.當題目中含有特殊角時，可以含30°或45°的直角三角形的性質求解.【變式9-1】（2023?遵義一模）如圖，AB是半圓O的直徑，點P為BA延長線上一點，PC是⊙O的切線，切點為C，過點B作BD⊥PC交PC的延長線于點D，連接BC．若CD＝2，BD＝4，則⊙O的半徑為（）A．3 B．2 C．2.5 D．25【變式9-2】（2023?西湖區(qū)校級二模）如圖，菱形OABC的頂點A，B，C在⊙O上，過點B作⊙O的切線交OA的延長線于點D．若⊙O的半徑為2，則BD的長為（）?A．2 B．4 C．22 D．【變式9-3】（2023春?銅梁區(qū)校級期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，點O是斜邊AB邊上一點，以O為圓心，OA為半徑作圓，⊙O恰好與邊BC相切于點D，連接AD，若AD＝BD，⊙O的半徑為4，則CD的長度為（）?A．23 B．4 C．3 D．5【變式9-4】（2022?瀘縣一模）如圖，AB是⊙O的切線，A為切點，AC是⊙O的弦，過O作OH⊥AC于點H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半徑和AC的長．【變式9-5】（2023?銀川校級四模）如圖△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于點D，以點D為圓心，BD為半徑作⊙D交AB于點E．（1）求證：⊙D與AC相切；（2）若AC＝5，BC＝3，試求AE的長．題型十切線的判定與性質的綜合應用題型十切線的判定與性質的綜合應用【例題10】（2022秋?嘉陵區(qū)校級期末）如圖，在⊙O中，PA是直徑，PC是弦，PH平分∠APB且與⊙O交于點H，過H作HB⊥PC交PC的延長線于點B．（1）求證：HB是⊙O的切線；（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直徑．解題技巧提煉切線的判定與性質的綜合運用問題主要里結合利用了垂徑定理、全等三角形、等腰三角形、等邊三角形的判定與性質以及勾股定理等知識；熟練掌握它們的性質是解題的關鍵．【變式10-1】（2022?淮安二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AD平分∠CAE交⊙O于點D，且AE⊥CD，垂足為點E．（1）判斷直線CE與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若BC＝3，CD＝33，求ED的長．【變式10-2】（2022?儀征市一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，過點D作DE⊥AC交AC于點E．（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若⊙O的半徑為5，BC＝16，求DE的長．【變式10-3】（2022?盤錦模擬）如圖，△ABC內接于⊙O，∠ABC＝45°，連接AO并延長交⊙O于點D，連接BD，過點C作CE∥AD與BA的延長線交于點E．（1）求證：CE與⊙O相切；（2）若AD＝4，∠D＝60°，求線段AB，BC的長．【變式10-4】（2023?牧野區(qū)校級三模）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，過點A作AE⊥CD，交CD的延長線于點E，DA平分∠BDE．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半徑．

（蘇科版）九年級上冊數(shù)學《第2章對稱圖形---圓》2.5直線與圓的位置關系（1）直線與圓的位置關系&切線的判定與性質知識點一知識點一直線和圓的位置關系直線和圓的位置關系相離相切相交定義直線和圓沒有公共點，這時這條直線和圓相離直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交圖形公共點個數(shù)012圓心O到直線的距離d與圓的半徑r的關系d＞rd＝rd＜r公共點名稱切點交點直線名稱切線割線總結直線與圓相離?d＞r直線與圓相切?d=r直線與圓相交?d＜r知識點二圓的切線的判定定理知識點二圓的切線的判定定理◆1、切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.◆2、幾何語言表示：（如右圖）∵OA為☉O的半徑，BC⊥OA于A，∴直線l是☉O的切線◆3、判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：（1）定義法：（如圖1）直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線；（2）數(shù)量關系法：（如圖2）圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切；（3）判定定理：（如圖3）經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.◆4、常見證切線作輔助線的方法：（1）有交點，連半徑，證垂直；（2）無交點，作垂直，證相等(證明d=r).知識點三知識點三圓的切線的性質定理◆1、切線的性質定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．◆2、幾何語言表示：∵直線l是☉O的切線，A是切點，∴直線l⊥OA.題型一判斷直線和圓的位置關系題型一判斷直線和圓的位置關系【例題1】（2023?南潯區(qū)二模）已知平面內有⊙O與直線AB，⊙O的半徑為3cm，點O到直線AB的距離為3cm，則直線AB與⊙O的位置關系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．不能判斷【分析】根據(jù)點O到直線AB的距離與圓的半徑大小作比較即可．【解答】解：∵點O到直線AB的距離為3cm，且⊙O的半徑為3cm，∴3cm＝3cm，即直線AB與⊙O的位置關系是相切，故選：A．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，正確的理解題意是解題的關鍵．解題技巧提煉本題主要考查了直線和圓的位置關系，解決此類問題的關鍵是根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關系判斷．①d＜r?直線和圓相交；②d＝r?直線和圓相切；③d＞r?直線和圓相離．【變式1-1】（2023春?寧遠縣期中）已知⊙O的半徑是10，圓心O到直線l的距離是13，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【分析】運用直線與圓的三種位置關系，結合10＜13，即可解決問題．【解答】解：∵⊙O的半徑為10，圓心O到直線l的距離是13，而10＜13，∴點O到直線l的距離大于半徑，∴直線l與⊙O相離．故選：A．【點評】本題考查的是直線與圓的位置關系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關系完成判定．【變式1-2】（2022秋?大名縣校級期末）已知⊙O的半徑是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一個根，圓心O到直線l的距離d＝4，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．平行【分析】先求方程的根，可得r的值，由直線與圓的位置關系的判斷方法可求解．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∵⊙O的半徑為一元二次方程程x2﹣2x﹣3＝0的根，∴r＝3，∵d＞r，∴直線l與⊙O的位置關系是相離，故選：C．【點評】本題考查的是直線與圓的位置關系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關系完成判定．【變式1-3】（2023?江夏區(qū)校級模擬）已知平面內有⊙O和點M，N，若⊙O半徑為2cm，線段OM＝3cm，ON＝2cm，則直線MN與⊙O的位置關系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【分析】根據(jù)直線上點與圓的位置關系的判定得出直線與圓的位置關系．【解答】解：∵⊙O的半徑為2cm，線段OM＝3cm，ON＝2cm，即點M到圓心O的距離大于圓的半徑，點N到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點M在⊙O外，點N在⊙O上，∴直線MN與⊙O的位置關系為相交或相切，故選：D．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，正確的理解題意是解題的關鍵．【變式1-4】（2022秋?廣陽區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A為圓心作一個半徑為3的圓，下列結論中正確的是（）A．點B在⊙A內 B．直線BC與⊙A相離 C．點C在⊙A上 D．直線BC與⊙A相切【分析】過A點作AH⊥BC于H，如圖，利用等腰三角形的性質得到BH＝CH=12BC＝4，則利用勾股定理可計算出AH＝3，然后根據(jù)點與圓的位置關系的判定方法對A選項和B選項進行判斷；根據(jù)直線與圓的位置關系對C選項和【解答】解：過A點作AH⊥BC于H，如圖，∵AB＝AC，∴BH＝CH=12在Rt△ABH中，AH=A∵AB＝5＞3，∴B點在⊙A外，所以A選項不符合題意；∵AC＝5＞3，∴C點在⊙A外，所以C選項不符合題意；∴AH＝3，AH⊥BC，∴直線BC與⊙A相切，所以D選項符合題意，B選項不符合題意．故選：D．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，若直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了點與圓的位置關系和等腰三角形的性質．【變式1-5】如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以C為圓心，r為半徑的圓與直線AB有何位置關系？為什么？（1）r＝4cm．（2）r＝4.8cm．（3）r＝6cm．【分析】此題重點是求得圓心到直線的距離，即是求直角三角形斜邊上的高．該高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊，然后根據(jù)數(shù)量關系判斷直線和圓的位置關系．若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．【解答】解：AB=AC2+設AB邊高為h，則h?AB＝AC×BC，h=6×810=（1）當r＝4cm，d＞r，則AB與⊙C相離；（2）當r＝4.8cm，d＝r，則AB與⊙C相切；（3）當r＝6cm，r＞d，則AB與⊙C相交．【點評】注意直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊；能夠熟練根據(jù)數(shù)量關系判斷直線和圓的位置關系是解題的關鍵．題型二根據(jù)直線和圓的位置關系確定交點個數(shù)題型二根據(jù)直線和圓的位置關系確定交點個數(shù)【例題2】（2022秋?江夏區(qū)校級期末）已知⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為4，那么直線l與⊙O的公共點的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【分析】利用直線與圓的位置關系的判斷方法得到直線l和⊙O相交，然后根據(jù)相離的定義對各選項進行判斷．【解答】解：∵⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為4，即圓心O到直線l的距離小于圓的半徑，∴直線l和⊙O相交，∴直線l與⊙O有2個公共點．故選：C．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則當直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．解題技巧提煉直線和圓的位置關系與圓的公共點個數(shù)間的關系：1、直線和圓相交?兩個公共點，2、直線和圓相切?一個公共點，3、直線和圓相離?沒有公共點．【變式2-1】已知⊙O的半徑等于8cm，圓心O到直線l的距離為9cm，則直線l與⊙O的公共點的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．無法確定【分析】利用直線與圓的位置關系的判斷方法得到直線l和⊙O相離，然后根據(jù)相離的定義對各選項進行判斷．【解答】解：∵⊙O的半徑等于8cm，圓心O到直線l的距離為9cm，即圓心O到直線l的距離大于圓的半徑，∴直線l和⊙O相離，∴直線l與⊙O沒有公共點．故選：A．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則當直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．【變式2-2】（2022秋?武漢期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A為圓心，4.8長度為半徑的圓與直線BC的公共點的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．不能確定【分析】根據(jù)直線和圓的位置關系與數(shù)量之間的聯(lián)系進行判斷．若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝10，∴斜邊上的高為：AB?ACBC∴d＝4.8cm＝rcm＝4.8cm，∴圓與該直線BC的位置關系是相切，交點個數(shù)為1，故選：B．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則當直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．【變式2-3】已知⊙O的半徑是3，圓心O到直線l的距離是4，則直線l與⊙O的公共點的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【分析】欲求直線l與圓O的位置關系，關鍵是比較圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小關系．若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線與圓相切；若d＞r，則直線與圓相離．【解答】解：∵圓半徑r＝3，圓心到直線的距離d＝4．故r＝3＜d＝4，∴直線與圓的位置關系是相離．∴直線l與⊙O的公共點的個數(shù)是0，故選：A．【點評】本題考查的是直線與圓的位置關系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關系完成判定．【變式2-4】已知⊙O的直徑等于8cm，圓心O到直線l上一點的距離為4cm，則直線l與⊙O的公共點的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【分析】利用直線與圓的位置關系的判斷方法得到直線l和⊙O相離，然后根據(jù)相離的定義對各選項進行判斷．【解答】解：∵⊙O的直徑等于8cm，圓心O到直線l上一點的距離為4cm，∴⊙O的半徑等于4cm，圓心O到直線l的距離≤4cm即圓心O到直線l的距離≤圓的半徑，∴直線l和⊙O相切或相交，∴直線l與⊙O有1個或2個有公共點．故選：D．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則當直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．題型三已知直線和圓的位置關系確定取值范圍題型三已知直線和圓的位置關系確定取值范圍【例題3】（2023?浦東新區(qū)校級模擬）在平面直角坐標系中，以點A（4，3）為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且原點O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（）A．0＜R＜5 B．3＜R＜4 C．3＜R＜5 D．4＜R＜5【分析】分別根據(jù)原點O在圓A的外部，圓A與x軸相交，可得半徑R的取值范圍．【解答】解：∵A（4，3），∴OA=3∵原點O在圓A的外部，∴R＜OA，即R＜5，∵圓A與x軸相交，∴R＞3，∴3＜R＜5，故選：C．【點評】本題考查了坐標與圖形性質，勾股定理，直線、點與圓的位置關系等知識點，能熟記直線、點與圓的位置關系是解此題的關鍵．解題技巧提煉解決此類問題的關鍵是根據(jù)直線和圓的位置關系，得到圓心到直線的距離與半徑的大小關系，然后求其取值范圍即可．【變式3-1】（2022秋?連云港期中）直線l與⊙O相離，且⊙O的半徑r等于3，圓心O到直線l的距離為d，則d的取值范圍是．【分析】根據(jù)“若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線于圓相切；若d＞r，則直線與圓相離”即可得到結論．【解答】解：∵直線l與⊙O相離，⊙O的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為d，∴d＞3．故答案為：d＞3．【點評】本題考查的是直線與圓的位置關系，熟知設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，當d＞r時，直線l和⊙O相離是解答此題的關鍵．【變式3-2】（2022秋?青龍縣月考）如圖，已知∠ACB＝30°，CM＝2，AM＝5，以點M為圓心，r為半徑作⊙M，⊙M與線段AC有交點時，則r的取值范圍是．【分析】過M作MH⊥AC于H，根據(jù)直角三角形的性質得到HM=12【解答】解：過M作MH⊥AC于H，∵CM＝2，∠ACB＝30°，∴HM=12∵AM＝5，⊙M與線段AC有交點，∴r的取值范圍是1≤r≤5，故答案為：1≤r≤5．【點評】本題考查了直線和圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．若直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．【變式3-3】（2023?前郭縣二模）如圖，平面直角坐標系中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標為（﹣3，0），將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是．【分析】平移分在y軸的左側和y軸的右側兩種情況寫出答案即可．【解答】解：當⊙P位于y軸的左側且與y軸相切時，平移的距離為1；當⊙P位于y軸的右側且與y軸相切時，平移的距離為5．故平移的距離d的取值范圍是1＜d＜5．故答案為：1＜d＜5．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，解題的關鍵是了解當圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓的半徑．【變式3-4】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以點C為圓心，r為半徑，且⊙C與斜邊AB有唯一公共點，求半徑r的取值范圍．【分析】此題注意兩種情況：（1）圓與AB相切時；（2）點A在圓內部，點B在圓上或圓外時．根據(jù)勾股定理以及直角三角形的面積計算出其斜邊上的高，再根據(jù)位置關系與數(shù)量之間的聯(lián)系進行求解．【解答】解：如圖，根據(jù)勾股定理求得AB＝5．∵BC＞AC，∴以C為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個公共點分兩種情況：（1）圓與AB相切時，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4；（2）點A在圓內部，點B在圓上或圓外時，此時AC＜r≤BC，即3＜r≤4．∴3＜r≤4或r＝2.4．【點評】此題考查了直線與圓的位置關系，此題注意考慮兩種情況，只需保證圓和斜邊只有一個公共點即可．題型四利用直線與圓的位置關系求最值題型四利用直線與圓的位置關系求最值【例題4】（2022秋?涼山州期末）點A是半徑為2的⊙O上一動點，點O到直線MN的距離為3．點P是MN上一個動點．在運動過程中若∠POA＝90°，則線段PA的最小值是．【分析】根據(jù)勾股定理用OP表示出PA，根據(jù)垂線段最短解答即可．【解答】解：∵∠POA＝90°，∴PA=O當OP最小時，PA取最小值，由題意得：當OP⊥MN時，OP最小，最小值為3，∴PA的最小值為：4+3故答案為：13．【點評】本題考查的是直線與圓的位置關系、垂線段最短、勾股定理的應用，根據(jù)勾股定理表示出PA的長是解題的關鍵．解題技巧提煉本題主要考查了根據(jù)直線和圓的位置關系中的相切來解決問題，結合勾股定理，添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．利用“過直線外一點與直線上的所有連線中垂線段最短”求最值.【變式4-1】（2022?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在等腰三角形ABC中，已知BC＝4，AB＝AC＝3，若⊙C的半徑為1，P為AB邊上一動點，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為．【分析】作AE⊥BC于點E，CD⊥AB于點D，連接CP、CQ，先由BC＝4，AB＝AC＝3得BE＝CE=12BC＝2，再根據(jù)勾股定理求得AE=5，由12×3CD=12×4×5=S△ABC求得CD=453，由PQ=【解答】解：如圖，作AE⊥BC于點E，CD⊥AB于點D，連接CP、CQ，∵BC＝4，AB＝AC＝3，∴BE＝CE=12BC∵∠AEB＝90°，∴AE=A∵12AB?CD=12BC?AE＝S∴12×3CD=1∴CD=4∵PQ切⊙O于點Q，CQ＝1，∴PQ⊥CQ，∴∠CQP＝90°，∴PQ=C∴當CP的值最小時，PQ的值最小，∴當點P與點D重合時，CP的值最小，此時CP＝CD=4∴PQ最小=(故答案為：713【點評】此題重點考查等腰三角形的性質、圓的切線的性質、根據(jù)面積等式列方程求線段的長度、勾股定理、垂線段最短等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．【變式4-2】（2023春?市南區(qū)校級月考）在平面直角坐標系內，以原點O為圓心，1為半徑作圓，點P(m，3m+23)，過點P作該圓的一條切線，切點為A．3 B．2 C．3 D．2【分析】連接PA，OA，由切線的性質得到OA⊥PA，求出PO2＝m2+(3m+23)2=4m2+12m+12，由勾股定理得到PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m【解答】解：連接PO，OA，∵PA切圓于A，∴OA⊥PA，∵點P(m，3∴PO2＝m2+(3m+23)2∵圓的半徑是1，∴OA＝1，∴PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝4(m+3∴PA2的最小值是2，∵PA＞0，∴PA的最小值是2．故選：D．【點評】本題考查切線的性質，勾股定理，二次函數(shù)的性質，關鍵是由切線的性質，勾股定理得到PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝4(m+32)【變式4-3】（2022秋?常熟市期中）如圖，直線y=34x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，點P是以C（1，0）為圓心，1為半徑的圓上任意一點，連接PA，PB，則△A．5 B．10 C．15 D．20【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．當點P與E重合時，△PAB的面積最小，求出EH、AB的長即可解決問題【解答】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．∵C（1，0），直線AB的解析式為y=34∴直線CH的解析式為y=?43x由y=?43x+∴H（?45，∴CH=(1+∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，∴EH＝3﹣1＝2，當點P與E重合時，△PAB的面積最小，最小值=1故選：A．【點評】本題考查一次函數(shù)圖象上的點的坐標特征、一次函數(shù)的性質、直線與圓的位置關系等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，利用直線與圓的位置關系解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．題型五切線的判定---連半徑證垂直題型五切線的判定---連半徑證垂直【例題5】（2023春?保德縣校級期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，與BC交于點D，過D作AC的垂線，垂足為E．求證：DE是⊙O切線．?【分析】連接OD，由于∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，那么∠BAC＝∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易證∠ODB＝90°，從而可證DE是⊙O切線．【解答】證明：連接OD，∵∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，∴∠BAC＝∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝∠AED＝90°，∴半徑OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線．【點評】本題考查了等腰三角形三線合一定理、平行線的判定和性質、圓周角定理、切線的判定．解題的關鍵是連接OD、AD，并證明OD∥AC．解題技巧提煉【變式5-1】（2022秋?黃埔區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD⊥CD，垂足為D，AC平分∠DAB．求證：DC為⊙O的切線．【分析】由于C是⊙O上一點，連接OC，證OC⊥CD即可；利用角平分線的性質和等邊對等角，可證得∠OCA＝∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得證．【解答】證明：如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∵C在⊙O上，∴CD是⊙O的切線．【點評】本題主要考查的是切線的判定方法．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．【變式5-2】（2023?義烏市模擬）如圖，⊙O的直徑AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于點D，D是BC的中點．（1）求BC的長；（2）過點D作DE⊥AC，垂足為E，求證：直線DE是⊙O的切線．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求得∠ADB＝90°，然后解直角三角形即可求得BD，進而求得BC即可；（2）要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO＝90°即可．【解答】解：（1）連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，又∵∠ABC＝30°，AB＝4，∴BD＝23，∵D是BC的中點，∴BC＝2BD＝43；（2）連接OD．∵D是BC的中點，O是AB的中點，∴DO是△ABC的中位線，∴OD∥AC，則∠EDO＝∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∠EDO＝∠CED＝90°∴DE是⊙O的切線．【點評】此題主要考查了切線的判定以及含30°角的直角三角形的性質．解題時要注意連接過切點的半徑是圓中的常見輔助線．【變式5-3】（2022?昭平縣一模）如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°．（1）求AB的長；（2）若C是OP的中點，求證：PB是⊙O的切線．【分析】（1）連接OA、OB，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝60°，則∠OAD＝30°，所以OD=12OA＝1，AD=3OD=3，再根據(jù)垂徑定理得AD＝BD，所以（2）由（1）∠BOC＝60°，則△OCB為等邊三角形，所以BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，而CP＝CO＝CB，則∠CBP＝∠P，可計算出∠CBP＝30°，所以∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，于是根據(jù)切線的判定定理得PB是⊙O的切線．【解答】（1）解：連接OA、OB，如圖，∵∠ABC＝30°，OP⊥AB，∴∠AOC＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD=12OA∴AD=3OD=又∵OP⊥AB，∴AD＝BD，∴AB＝23；（2）證明：由（1）∠BOC＝60°，而OC＝OB，∴△OCB為等邊三角形，∴BC＝OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝60°，∴C是OP的中點，∴CP＝CO＝CB，∴∠CBP＝∠P，而∠OCB＝∠CBP+∠P，∴∠CBP＝30°∴∠OBP＝∠OBC+∠CBP＝90°，∴OB⊥BP，∴PB是⊙O的切線．【點評】本題考次了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關系．【變式5-4】（2023?嵐山區(qū)開學）如圖，已知△ABC中，AC＝BC，AD是△ABC外接圓⊙O的直徑，過點C作BD的垂線交BD的延長線于點E，連接CD．求證：（1）CD平分∠ADE；（2）CE是⊙O的切線．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質得到∠CAB＝∠ABC，等量代換得到∠ADC＝∠CDE，根據(jù)角平分線的定義即可得到結論；（2）連接OC，根據(jù)三角形的內角和定理得到∠DCE+∠CDE＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠OCD＝∠ODC，求得∠OCE＝90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結論．【解答】證明：（1）∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC，∵∠CDE＝∠CAB，∠ADC＝∠ABC，∴∠ADC＝∠CDE，∴CD平分∠ADE；（2）連接OC，∵CE⊥BE，∴∠E＝90°，∴∠DCE+∠CDE＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠ODC＝∠CDE，∴∠OCD＝∠CDE，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∴∠OCE＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線．【點評】本題考查了切線的判定，圓周角定理，圓內接四邊形的性質，等腰三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．題型六切線的判定---作半徑證垂直題型六切線的判定---作半徑證垂直【例題6】（2022?椒江區(qū)一模）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AB與⊙O相切于點D．求證：AC是⊙O的切線．【分析】過點O作OE⊥AC于點E，連接OD，OA，根據(jù)切線的性質得出AB⊥OD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質得出AO是∠BAC的平分線，根據(jù)角平分線的性質得出OE＝OD，從而證得結論．【解答】證明：過點O作OE⊥AC于點E，連接OD，OA，∵AB與⊙O相切于點D，∴AB⊥OD，∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，∴AO是∠BAC的平分線，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半徑，∵圓心到直線的距離等于半徑，∴AC是⊙O的切線．【點評】本題考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，角平分線的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．解題技巧提煉直線與圓沒有已知的公共點時，通?！白鞔怪?，證半徑，得切線”.證明垂線段的長等于半徑常用的方法是利用角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.【變式6-1】如圖，O為正方形ABCD對角線AC上O與BC相切于點M．求證：CD與⊙O相切．【分析】利用正方形的性質得出AC平分角∠BCD，再利用角平分線的性質得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】證明：如圖所示，連接OM，過點O作ON⊥CD于點N，∵⊙O與BC相切于點M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O為正方形ABCD對角線AC上一點，∴OM＝ON，∴ON為⊙O的半徑，∴CD與⊙O相切．【點評】此題主要考查了正方形的性質以及角平分線的性質，得出OM＝ON是解題關鍵．【變式6-2】（2022?武漢模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，E為AB上的一點，DE＝DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D，AB＝5，EB＝3．（1）求證：AC是⊙D的切線；（2）求線段AC的長．【分析】（1）過點D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半徑，得出AC是⊙D的切線．（2）先證明△BDE≌△DCF（HL），根據(jù)全等三角形對應邊相等及切線的性質的AB＝AF，得出AB+EB＝AC．【解答】證明：（1）過點D作DF⊥AC于F；∵AB為⊙D的切線，∴∠B＝90°∴AB⊥BC∵AD平分∠BAC，DF⊥AC∴BD＝DF∴AC與⊙D相切；（2）在△BDE和△DCF中；∵BD＝DF，DE＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴EB＝FC．∵AB＝AF，∴AB+EB＝AF+FC，即AB+EB＝AC，∴AC＝5+3＝8．【點評】本題考查的是切線的判定、角平分線的性質定理、全等三角形的判定與性質；熟練掌握切線的判定方法，證明三角形全等得出EB=FC是解決問題（2）的關鍵．【變式6-3】如圖，OC平分∠AOB，D是OC上任意一點，⊙D和OA相切于點E，連接CE．（1）求證：OB與⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半徑為3，求CE的長．【分析】（1）過點D作DF⊥OB于點F，先由切線的性質得DE⊥OA，則由角平分線的性質得DF＝DE，即可證得結論；（2）過E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面積法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=9【解答】（1）證明：連接DE，過點D作DF⊥OB于點F，如圖所示：∵⊙D與OA相切于點E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB與⊙D相切；（2）解：過E作EG⊥OD于G，如圖所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=3∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE∴EG=OE×DE∴DG=D∴CG＝CD+DG＝3+9∴CE=E【點評】此題考查了切線的判定與性質、勾股定理以及角平分線的性質等知識，解題的關鍵是準確作出輔助線．題型七切線判定多結論問題題型七切線判定多結論問題【例題七】（2022秋?青山湖區(qū)期末）如圖所示，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點于D，DE⊥AC于E，連接AD，則下列結論：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由直徑所對的圓周角是直角，即可判斷出選項①正確；由O為AB中點，得到AO為AB的一半，故AO為AC的一半，選項③正確；由OD為三角形ABC的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理得到OD與AC平行，由AC與DE垂直得到OD與DE垂直，即∠ODE為90°，故DE為圓O的切線，選項④正確．【解答】解：∵AB是⊙O直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，選項①正確；連接OD，如圖，∵D為BC中點，O為AB中點，∴DO為△ABC的中位線，∴OD∥AC，又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE為圓O的切線，選項④正確；又OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠BDO，∴∠EDA＝∠B，選項②正確；由D為BC中點，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB，又OA=12∴OA=12AC，選項則正確結論的個數(shù)為4個．故選：D．【點評】此題考查了切線的判定，及三角形的中位線定理．證明切線時連接OD是解這類題經(jīng)常連接的輔助線．解題技巧提煉本題考查的是垂徑定理，有時需要根據(jù)題意作出輔助線，利用垂徑定理求解是解答此題的關鍵．【變式7-1】如圖，在⊙O中，E是半徑OA上一點，射線EF⊥OA，交圓于B，P為EB上任一點，射線AP交圓于C，D為射線BF上一點，且DC＝DP，下列結論：①CD為⊙O的切線；②PA＞PC；③∠CDP＝2∠A，其中正確的結論有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【分析】根據(jù)已知及切線的判定等對各個結論進行分析，從而得到答案．【解答】解：∵DC＝DP，∴∠DPC＝∠DCP，∵∠DPC＝∠APE，∴∠DCP＝∠APE，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA；∵∠OAC+∠APE＝90°，∴∠OCA+∠DCP＝90°，∴CD為⊙O的切線（①正確）；②不一定；連接CO，∵CD是⊙O的切線，∴∠DCP=12∠∵∠DCP=12∠AOC=又∵∠DCP=12（180°﹣∠∴180°﹣2∠A＝180°﹣∠CDP，∴∠CDP＝2∠A，③正確．故選：B．【點評】本題主要考查了切線的判定的理解及運用．【變式7-2】如圖，AB是⊙O的直徑，線段BC與⊙O的交點D是BC的中點，DE⊥AC于點E，連接AD，①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA=12AC；④DE是⊙A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)圓周角定理和切線的判定，采用排除法，逐條分析判斷．【解答】解：∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，故①正確；連接DO，∵點D是BC的中點，∴CD＝BD，又∵∠ADC＝∠ADB＝90°，AD＝AD，∴△ACD≌△ABD（SAS），∴AC＝AB，∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是圓O的切線，故④正確；∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠EDA＝∠ODB，∵∠ODB＝∠B，∴∠EDA＝∠B，選項②正確；由D為BC中點，且AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB，又OA=12∴OA=12AC，選項故選：D．【點評】此題考查了切線的判定，證明切線時連接OD是解這類題經(jīng)常連接的輔助線．【變式7-3】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝25°，∠C＝90°，∠ADC＝115°，O為AB的中點，以點O為圓心、AO長為半徑作圓，恰好使得點D在⊙O上，連接OD，若∠EAD＝25°，下列說法中不正確的是（）A．D是劣弧BE的中點 B．CD是⊙O的切線 C．AE∥OD D．∠OBC＝120°【分析】證出∠BAD＝∠EAD，由圓周角定理得出BD=ED，得出選項A正確；由等腰三角形的性質得出∠ADO＝∠BAD＝25°，求出∠ODC＝∠ADC﹣∠ADO＝90°，得出CD⊥OD，證出CD是⊙O的切線，選項B正確；由圓周角定理得出∠BOD＝2∠BAD＝50°，證出∠BOD＝∠BAE，得出AE∥OD，選項C正確；由已知條件得出∠OBC＝130°，得出選項【解答】解：∵∠BAD＝25°，∠EAD＝25°，∴∠BAD＝∠EAD，∴BD=∴D是BE的中點，選項A正確；∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠BAD＝25°，∴∠ODC＝∠ADC﹣∠ADO＝115°﹣25°＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切線，選項B正確；∵∠BOD＝2∠BAD＝50°，∠BAE＝25°+25°＝50°，∴∠BOD＝∠BAE，∴AE∥OD，選項C正確；∵∠C＝90°，∴∠OBC＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°≠120°，選項D不正確；故選：D．【點評】本題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質、平行線的判定；熟練掌握圓周角定理和等腰三角形的性質是解決問題的關鍵．【變式7-4】（2022秋?臺江區(qū)校級月考）如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB＝8，∠ABC＝30°，點D在線段AB上運動，點E與點D關于BC對稱，DF⊥DE于點D，并交EC的延長線于點F，下列結論：①CE＝CF；②∠E＝30°；③線段EF的最小值為23；④當AD＝2時，EF與半圓相切．其中正確結論的序號是．【分析】①由點E與點D關于AC對稱可得CE＝CD，再根據(jù)DF⊥DE即可證到CE＝CF，從而判斷正誤；②由對稱性質得BC⊥DE，∠BCD＝∠BCE，當∠BCD≠60°時，∠E≠30°，從而判斷正誤；③根據(jù)“點到直線之間，垂線段最短”可得CD⊥AB時CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值，從而判斷正誤；④連接OC，易證△AOC是等邊三角形，AD＝OD，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可求出∠ACD，進而可求出∠ECO＝90°，從而得到EF與半圓相切，從而判斷正誤．【解答】解：①連接CD，∵點E與點D關于AC對稱，∴CE＝CD．∴∠E＝∠CDE．∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°．∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．∴∠F＝∠CDF．∴CD＝CF．∴CE＝CD＝CF．故①的結論正確；②∵點E與點D關于AC對稱，∴DE⊥BC，∠BCD＝∠BCE，當∠BCD≠60°時，∠E≠30°，故②的結論錯誤；③當CD⊥AB時，∵AB是半圓的直徑，∴∠ACB＝90°．∵AB＝8，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝4，BC＝43．∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，∴CD=12BC＝2根據(jù)“點到直線之間，垂線段最短”可得點D在線段AB上運動時，CD的最小值為23．∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD．∴線段EF的最小值為43．故③的結論錯誤；③當AD＝2時，連接OC，∵OA＝OC，∠CAB＝60°，∴△OAC是等邊三角形．∴CA＝CO，∠ACO＝60°．∵AO＝4，AD＝2，∴DO＝2．∴AD＝DO．∴∠ACD＝∠OCD＝30°，∴∠BCO＝30°，∵點E與點D關于AC對稱，∴∠ECB＝∠DCB＝60°．∴∠ECO＝90°．∴OC⊥EF．∵EF經(jīng)過半徑OC的外端，且OC⊥EF，∴EF與半圓相切．故④的結論正確；故答案為：①④．【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質、切線的判定、軸對稱的性質、垂線段最短等知識，關鍵是根據(jù)軸對稱的性質和等邊三角形的判定與性質進行分析．題型八利用切線的性質求角度題型八利用切線的性質求角度【例題8】如圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O外一點，PO交⊙O于點C，連接BC，PA．若∠P＝40°，當∠B等于（）時，PA與⊙O相切．A．20° B．25° C．30° D．40°【分析】先利用切線的性質求出∠AOP＝50°，再利用等腰三角形的性質即可得出結論．【解答】解：∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO＝90°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝50°，∵OB＝OC，∴∠AOP＝2∠B，∴∠B=12∠故選：B．【點評】此題主要考查了切線的性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形的外角的性質，求出∠AOP是解本題的關鍵．解題技巧提煉已知切線，通常需連接過切點的半徑，利用切線的性質可得到直角，然后結合圓周角定理及其推論，找到要求的角與已知角之間的聯(lián)系，從而求出角度.【變式8-1】（2023?李滄區(qū)三模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O外一點，過點C作⊙O的切線，切點為B，連接AC交⊙O于D，∠C＝38°．點E在AB右側的半圓上運動（不與A、B重合），則∠AED的大小是（）A．62° B．52° C．38° D．28°【分析】首先連接BD，由AB為⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，根據(jù)圓周角定理與切線的性質，可得∠ADB＝90°，AB⊥BC，又由同角的余角相等，易證得∠AED＝∠ABD＝∠C．【解答】解：如圖，連接BD，∵AB為⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，∴∠ADB＝90°，AB⊥BC，∴∠C+∠BAC＝∠BAC+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C，∵∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠C＝38°，故選：C．【點評】此題考查了切線的性質以及圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．【變式8-2】（2022秋?棲霞市期末）如圖，OA交⊙O于點B，AC切⊙O于點C，D點在⊙O上．若∠D＝25°，則∠A為（）A．25° B．40° C．50° D．65°【分析】根據(jù)切線的性質得到∠OCA＝90°，根據(jù)直角三角形的性質求出∠A．【解答】解：∵∠D＝25°，∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°，∵AC切⊙O于點C，∴OC⊥AC∴∠OCA＝90°∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正確．故選：B．【點評】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，直角三角形性質，解題的關鍵是熟練掌握圓心與切點的連線垂直切線．【變式8-3】（2023?安岳縣二模）如圖，AB、CD是⊙O的兩條直徑，EA切⊙O于點A，交CD的延長線于點E．若∠ABC＝75°，則∠E的度數(shù)為．【分析】連接BC、AD，則∠ADC＝∠ABC＝75°，由OA＝OD，得∠OAD＝∠ADC＝75°，則∠AOE＝30°，由切線的性質得∠OAE＝90°，則∠E＝90°﹣∠AOE＝60°，于是得到問題的答案．【解答】解：連接BC、AD，則∠ADC＝∠ABC＝75°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADC＝75°，∴∠AOE＝180°﹣∠OAD﹣∠ADC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵EA切⊙O于點A，∴EA⊥OA，∴∠OAE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠AOE＝90°﹣30°＝60°，故答案為：60°．【點評】此題重點考查圓周角定理、等腰三角形的性質、三角形內角和定理、切線的性質定量、直角三角形的兩個內角互余等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．【變式8-4】（2023?福鼎市模擬）如圖，△ABC內接于⊙O，點D在BC的延長線上，AD與⊙O相切，AC＝CD，∠B＝40°，則∠BAD等于（）A．95° B．100° C．110° D．120°【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠AOC＝80°，再由等腰三角形的性質以及切線的性質可求出∠CAD＝40°＝∠D，由三角形內角和定理可得答案．【解答】解：如圖，連接OA、OC，∵∠ABC＝40°，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA=180°?80°∵AD是⊙O的切線，∴∠OAD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA＝40°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故選：B．【點評】本題考查切線的性質，等腰三角形的性質以及三角形內角和定理，掌握切線的性質，等腰三角形的性質以及三角形內角和是180°是正確解答的前提．【變式8-5】（2023?臨汾模擬）如圖，已知點D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點C，BE與⊙O相切，交直線CD于點E．（1）判斷BE與DE的數(shù)量關系，并說明理由；（2）若∠C＝20°，求∠EBD的度數(shù)．【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質可得∠OBE＝∠ODE＝90°，從而可得∠OBD+∠EBD＝90°，∠ODB+∠EDB＝90°，再根據(jù)等腰三角形的性質可得∠OBD＝∠ODB，然后利用等角的余角相等可得∠EBD＝∠EDB，再根據(jù)等角對等邊可得EB＝ED；（2）先根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得∠E＝70°，然后利用等腰三角形的性質以及三角形內角和定理進行計算，即可解答．【解答】解：（1）BE＝DE，理由：連接OD，∵BE與⊙O相切于點B，CD與⊙O相切于點D，∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∴∠OBD+∠EBD＝90°，∠ODB+∠EDB＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED；（2）∵∠EBC＝90°，∠C＝20°，∴∠E＝90°﹣∠C＝70°，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB=180°?∠E∴∠EBD的度數(shù)為55°．【點評】本題考查了切線的性質，等腰三角形的判定與性質，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．題型九利用切線的性質求線段長題型九利用切線的性質求線段長【例題9】（2023?開州區(qū)校級模擬）如圖，BC與⊙O相切于點C，線段BO交⊙O于點A，過點A作⊙O的切線交BC于點D．若CD＝3，AB＝4，則⊙O的半徑等于（）?A．4 B．5 C．6 D．12【分析】根據(jù)切線的性質得到AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°，根據(jù)勾股定理得到BD=AB2【解答】解：∵DA，CD是⊙O的切線，∴AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°，∵AB＝4，∴BD=A∴BC＝8，∵OC2+BC2＝OB2，∴OA2+82＝（OA+4）2，解得OA＝6，∴⊙O的半徑等于6，故選：C．【點評】本題考查的是切線的性質、切線長定理、勾股定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關鍵．解題技巧提煉利用切線的性質求線段長度時，通常利用切線的性質構造直角三角形，抓住題目中的已知條件，在直角三角形中利用勾股定理找出等量關系求解.當題目中含有特殊角時，可以含30°或45°的直角三角形的性質求解.【變式9-1】（2023?遵義一模）如圖，AB是半圓O的直徑，點P為BA延長線上一點，PC是⊙O的切線，切點為C，過點B作BD⊥PC交PC的延長線于點D，連接BC．若CD＝2，BD＝4，則⊙O的半徑為（）A．3 B．2 C．2.5 D．25【分析】連接OC，作OI⊥BD于點I，由PC與⊙O相切于點C，得PC⊥OC，而BD⊥PC交PC的延長線于點D，則∠OCD＝∠CDI＝∠OID＝90°，所以四邊形OCDI是矩形，則OE＝CD＝2，ID＝OC＝OB，由BI2+OI2＝OB2，BI＝4﹣ID＝4﹣OB，得（4﹣OB）2+22＝OB2，求得OB＝2.5，于是得到問題的答案．【解答】解：∵連接OC，作OI⊥BD于點I，∵PC與⊙O相切于點C，∴PC⊥OC，∵BD⊥PC交PC的延長線于點D，∴∠OCD＝∠CDI＝∠OID＝90°，∴四邊形OCDI是矩形，∴OE＝CD＝2，ID＝OC＝OB，∵∠OIB＝90°，BD＝4，∴BI2+OI2＝OB2，BI＝4﹣ID＝4﹣OB，∴（4﹣OB）2+22＝OB2，解得OB＝2.5，∴⊙O的半徑為2.5，故選：C．【點評】此題重點考查切線的性質、矩形的性質、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線并且根據(jù)勾股定理列方程是解題的關鍵．【變式9-2】（2023?西湖區(qū)校級二模）如圖，菱形OABC的頂點A，B，C在⊙O上，過點B作⊙O的切線交OA的延長線于點D．若⊙O的半徑為2，則BD的長為（）?A．2 B．4 C．22 D．【分析】連接OB，根據(jù)切線的性質定理得到∠OBD＝90°，根據(jù)菱形的性質、等邊三角形的判定定理得到△OAB為等邊三角形，得到∠AOB＝60°，根據(jù)直角三角形的性質、勾股定理計算，得到答案．【解答】解：連接OB，∵BD是⊙O的切線，∴∠OBD＝90°，∵四邊形OABC為菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD=OD2故選：D．【點評】本題考查的是切線的性質、菱形的性質、等邊三角形的判定和性質，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關鍵．【變式9-3】（2023春?銅梁區(qū)校級期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，點O是斜邊AB邊上一點，以O為圓心，OA為半徑作圓，⊙O恰好與邊BC相切于點D，連接AD，若AD＝BD，⊙O的半徑為4，則CD的長度為（）?A．23 B．4 C．3 D．5【分析】由切線的性質得BC⊥OD，則∠ODB＝∠C＝90°，所以OD∥AC，則∠ODA＝∠CAD，由OA＝OD，得∠ODA＝∠BAD，所以∠CAD＝∠BAD，因為AD＝BD，所以∠BAD＝∠B，則∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，所以OB＝2OD＝8，則AD＝BD=OB2?OD2=43【解答】解：∵⊙O與邊BC相切于點D，∠C＝90°，∴BC⊥OD，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠CAD＝∠BAD，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，∵∠CAD+∠BAD+∠B＝∠CAB+∠B＝90°，∴∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，∴OB＝2OD＝2×4＝8，∴AD＝BD=OB2∴CD=12AD=12×故選：A．【點評】此題重點考查切線的性質定理、等腰三角形的性質、直角三角形的兩個銳角互余、勾股定理等知識，求得∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°是解題的關鍵．【變式9-4】（2022?瀘縣一模）如圖，AB是⊙O的切線，A為切點，AC是⊙O的弦，過O作OH⊥AC于點H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半徑和AC的長．【分析】利用切線的性質得∠OAB＝90°，則根據(jù)勾股定理可計算出OA＝5，再根據(jù)垂徑定理得到AH＝CH，接著利用勾股定理計算出AH，從而得到AC的長．【解答】解：∵AB為切線，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，在Rt△OAB中，OA=O∵OH⊥AC，∴AH＝CH，在Rt△OAH中，AH=O∴AC＝2AH＝8，答：⊙O的半徑為5，AC的長為8．【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了垂徑定理．【變式9-5】（2023?銀川校級四模）如圖△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于點D，以點D為圓心，BD為半徑作⊙D交AB于點E．（1）求證：⊙D與AC相切；（2）若AC＝5，BC＝3，試求AE的長．【分析】（1）過D作DF⊥AC于F，利用角平分線的性質定理可得BD＝FD即可證明：⊙D與AC相切；（2）在直角三角形ABC中由勾股定理可求出AB的長，設圓的半徑為x，利用切線長定理可求出CF＝BC＝3，所以AF＝2，AD＝AB﹣x，利用勾股定理建立方程求出x，進而求出AE的長．【解答】（1）證明：過D作DF⊥AC于F，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∵CD平分∠ACB交AB于點D，∴BD＝DF，∴⊙D與AC相切；（2）解：設圓的半徑為x，∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，∴AB=A∵AC，BC，是圓的切線，∴BC＝CF＝3，∴AF＝AB﹣CF＝2，∵AB＝4，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣x，在Rt△AFD中，（4﹣x）2＝x2+22，解得：x=3∴AE＝4﹣3＝1．【點評】本題考查了圓的切線的判定、角平分線的性質、切線長定理以及勾股定理的運用，解題的關鍵是構造直角三角形，利用勾股定理列方程．題型十切線的判定與性質的綜合應用題型十切線的判定與性質的綜合應用【例題10】（2022秋?嘉陵區(qū)校級期末）如圖，在⊙O中，PA是直徑，PC是弦，PH平分∠APB且與⊙O交于點H，過H作HB⊥PC交PC的延長線于點B．（1）求證：HB是⊙O的切線；（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的直徑．【分析】（1）連接OH，由題意可得∠