專題04平面圖形的面積問題（原卷版）

專題04平面圖形的面積問題在初中幾何中，隨著變量和演繹推理證明等知識的進(jìn)入，初中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何就需要提高相應(yīng)的思維能力，比如抽象思維，推理等等。難度自不必說，思維的層次也大為不同。甚至一些證明，必須用演繹推理來完成，比如“兩直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行”，這個命題就需要演繹推理思維，學(xué)生必須要在自己的心中構(gòu)建直觀圖形，難度加大了。如“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個定理，在小學(xué)教材中是由實驗得出的，學(xué)生較熟悉。因此，在教學(xué)中既讓學(xué)生通過實驗得出結(jié)論，又要強(qiáng)調(diào)說明不能滿足于實驗，而必須從理論上給予嚴(yán)格論證。求幾何圖形面積常見方法及運(yùn)用：1）割補(bǔ)法求面積（平移、對稱、旋轉(zhuǎn)等）；2）和差法求面積；3）等積變換（化線段比為面積比）；4）運(yùn)用整體思想；5）容斥原理（韋恩圖）等。公式法：所求面積的圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊三角形、特殊四邊形等，可直接利用公式計算。割補(bǔ)法：就是從割和補(bǔ)兩種不同角度認(rèn)識同一個面積。還有的是從不同的角度認(rèn)識某個長方形面積的一半。通過對面積問題的訓(xùn)練可以打開思維。特別是結(jié)合算兩次的思想能讓我們的思維理念得到很大提升。最后我寫了算兩次解決面積問題，來詮釋前面的理論。和差法：所求面積的圖形是不規(guī)則圖形，可通過轉(zhuǎn)化變成規(guī)則圖形面積的和或差，這是求陰影部分面積最常用的方法。等積變換法：以線段比為對象運(yùn)用兩個面積比來表示同一個面積比，有的是運(yùn)用整體與局部思想整體由各個局部合成。有的是抓住面積不變，從兩個不同的底和高來表示同一個三角形的面積或者隨便求出直角邊的平方?？键c(diǎn)1、割補(bǔ)法求面積（一）平移與對稱【解題技巧】常見模型圖形轉(zhuǎn)化后的圖形秘籍計算方法例1．（2022春·六年級統(tǒng)考期末）下圖中陰影部分的面積是()平方厘米。例2．（2022春·吉林·六年級統(tǒng)考期末）如圖：求陰影部分的面積。（取3.14，單位：厘米）變式1．（2023秋·北京西城·五年級統(tǒng)考期末）將等腰三角形ABC沿虛線對折，折下來的部分恰好拼成了一個長方形（如圖）。已知三角形ABC的底是6cm，高是4cm，圖中涂色部分的面積是（

）cm2。A．24 B．12 C．6 D．3變式2．（2023春·全國·六年級專題練習(xí)）求陰影部分面積。（單位：厘米）變式3．（2022春·黑龍江齊齊哈爾·六年級統(tǒng)考期末）求下圖中陰影部分的面積（單位：cm）?？键c(diǎn)2、割補(bǔ)法求面積（二）旋轉(zhuǎn)【解題技巧】常見模型圖形轉(zhuǎn)化后的圖形秘籍計算方法例1．（2023秋·四川綿陽·六年級?？计谀┣箨幱安糠值拿娣e。例2．（2022春·浙江溫州·六年級期末）求下圖陰影部分面積。（單位：厘米）變式1．（2023春·山東青島·六年級統(tǒng)考期末）求下面圖形中陰影部分的面積。（單位：cm）（1）（2）變式2．（2023春·江蘇連云港·六年級專題練習(xí)）如圖，有兩個邊長是6厘米的正方形，把其中一個正方形的頂點(diǎn)固定在另一個正方形的中心點(diǎn)上。旋轉(zhuǎn)其中一個正方形，重疊部分的面積是()平方厘米?？键c(diǎn)3、和差法求面積【解題技巧】常見模型圖形轉(zhuǎn)化后的圖形秘籍計算方法例1．（2022秋·新疆阿勒泰·六年級統(tǒng)考期末）如圖所示，陰影部分的面積是______cm2。例2．（2022秋·陜西咸陽·六年級?？计谀┯嬎阆旅鎴D形陰影部分的面積。變式1．（2023秋·四川樂山·六年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，AC＝4厘米，BC是半圓的直徑，A為扇形ADC的圓心，求陰影部分的面積是多少平方厘米。（結(jié)果用π表示）變式2．（2022·遼寧沈陽·六年級?？计谀┲苯侨切蜛BC中，陰影甲比乙的面積大28平方厘米，厘米，AB有多長？變式3．（2023秋·河南南陽·六年級統(tǒng)考期末）如圖，半圓的圓心為O，AB＝4厘米，以A為圓心，AB為半徑畫一個圓心角為45°的扇形，圖中陰影部分的面積是()平方厘米?？键c(diǎn)4、整體代換法【解題技巧】有些參數(shù)（如圓的半徑）直接求很困難，但是可以直接求的半徑的平方，采用設(shè)而不求，整體代換即可。例1．（2022秋·湖北武漢·六年級統(tǒng)考期末）如圖中陰影部分的面積是40平方厘米，圖中大圓的面積比小圓的面積大()平方厘米。例2.（2021·四川成都·六年級期末）如圖，已知陰影三角形的面積是50dm2，則圓的面積是()dm2。例3．（2023·廣東·六年級期中）如圖：（1）若大正方形的面積是20平方厘米，則圓的面積是()平方厘米。（2）若小正方形的面積是20平方厘米，則圓的面積是()平方厘米。變式1．（2022·湖北武漢·六年級?？计谀┫聢D中環(huán)形的面積是314平方厘米，陰影部分的面積是()。變式2．（2023·江蘇常州·?？夹∩跄M）在圖中正方形的面積是5平方厘米，則圖中陰影部分面積為（

）平方厘米。A．5－π B．5－π C．π D．π考點(diǎn)5、等積變換法求面積【解題技巧】合理使用邊、高的比求面積的比例，靈活掌握邊、高、面積之間的關(guān)系。例1．（2023春·廣東廣州·六年級專題練習(xí)）下圖中三角形ABC的面積30平方厘米，高是6厘米，求圖中陰影部分的面積。（單位：厘米）例2．（2022·重慶沙坪壩·統(tǒng)考小升初真題）如圖，在梯形ABCD中，上底長是下底長的一半，點(diǎn)E是CB的的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AE線段的中點(diǎn)，陰影部分是梯形面積的幾分之幾？變式1．（2023春·浙江·六年級專題練習(xí)）三條邊長分別是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，將它的最短邊對折與斜邊相重合（如下圖），那么，圖中陰影部分面積是()平方厘米。變式2．（2023春·湖北黃岡·六年級?？计谥校┤鐖D，的面積為14平方厘米，，，陰影部分的面積是()平方厘米。變式3．（2023·河北·小升初模擬）在長方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四邊形EFGO的面積是9平方厘米，陰影部分的面積是多少平方厘米？考點(diǎn)6、容斥原理（韋恩圖）【解題技巧】容斥原理這個詞可能聽起來比較陌生，它還有另一個名詞，重疊法。如果運(yùn)用得當(dāng)，掌握其精髓，在求解陰影部分面積，以及相關(guān)應(yīng)用題時，能起到事半功倍的作用。本文就來重點(diǎn)講一下，容斥原理在求解陰影部分面積時的妙用。例1.是邊長為4的正方形，分別以、、、為直徑畫半圓，則這四個半圓弧所圍成的陰影部分的面積是____________例2.（2022·河南南陽·六年級期末）如圖，直角三角形三條邊分別為3厘米、4厘米5厘米，分別以三邊為直徑畫半圓，圖中陰影部分的面積是()平方厘米。變式1.如圖，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半徑AE6厘米，扇形CBF的半徑CB4厘米，求陰影部分的面積．(取3)變式2.在桌面上放置個兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是平方厘米，蓋住桌面的總面積是平方厘米，張紙片共同重疊的面積是平方厘米.那么圖中個陰影部分的面積的和多少是平方厘米？A級（基礎(chǔ)過關(guān)）1．（2023秋·四川樂山·六年級統(tǒng)考期末）七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板，把一幅七巧板按如圖①所示進(jìn)行1~7編號，1~7號分別對應(yīng)著七巧板的七塊。圖②所示的“天鵝”是由這幅七巧板拼成的，“天鵝”頭頸由3號和6號塊構(gòu)成，其面積為3，則圖①大正方形的邊長為（

）。A．8 B．6 C．4 D．22．（2023春·江蘇南京·六年級專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，E、F分別為CD、BC的中點(diǎn)，則圖中涂色部分的面積占原正方形面積的（

）。A． B． C． D．3．（2022·北京豐臺·六年級統(tǒng)考期末）如圖，計算陰影部分面積，下面列式正確的是（

）。（圖中每個小正方形格的邊長是1）A． B． C． D．4．（2023·重慶·六年級期末）如圖所示，將半徑為4cm和5cm的兩個半圓形疊放在一起，，為圓心。陰影部分的總周長為（

）cm。A．19.42 B．34.26 C．37.26 D．38.265．（2023·江蘇蘇州·六年級小升初模擬）如圖，在一個上底和下底分別是10、20的梯形中，陰影部分面積為40平方厘米，則空白部分的面積是（）平方厘米。A．20 B．40 C．606．（2022秋·山東濱州·六年級統(tǒng)考期末）我們在探究圓的面積公式時，經(jīng)歷了怎樣的研究過程？（

）A．尋找關(guān)系→轉(zhuǎn)化圖形→推導(dǎo)公式 B．轉(zhuǎn)化圖形→推導(dǎo)公式→尋找關(guān)系C．轉(zhuǎn)化圖形→尋找關(guān)系→推導(dǎo)公式 D．尋找關(guān)系→推導(dǎo)公式→轉(zhuǎn)化圖形7．（2022秋·遼寧沈陽·六年級?？计谥校┌岩粡垐A形紙片剪拼成一個近似的長方形，這個長方形的長是12.56厘米，圓的面積是（

）平方厘米。A．25.12B．50.24C．100.48D．200.968．（2022秋·山東棗莊·六年級統(tǒng)考期末）下圖陰影部分的面積是()平方厘米。（單位：厘米）9．（2023·浙江寧波·五年級統(tǒng)考期末）計算下面陰影部分的面積。（單位：厘米）（1）（2）10．（2022春·湖南永州·六年級統(tǒng)考期末）求陰影部分的面積。（單位：厘米）11．（2023春·全國·六年級小升初模擬）求下圖中陰影部分的面積。（π取3.14）12．（2023秋·河北邢臺·六年級校聯(lián)考期末）求圖中涂色部分周長和面積。（單位：cm）13．（2023秋·湖北十堰·六年級統(tǒng)考期末）計算下面陰影部分面積。（單位：cm）14．（2022·廣西玉林·統(tǒng)考小升初真題）為了增加百姓的休閑活動空間，某社區(qū)準(zhǔn)備新建一個口袋公園。右圖左側(cè)的正方形是口袋公園的平面設(shè)計圖，空白部分為活動區(qū)域（是4個完全相同的扇形），陰影部分為綠植區(qū)域。（1）以正方形中心O點(diǎn)為觀測點(diǎn)，A點(diǎn)在正（

）方向上，距離是（

）米；B點(diǎn)在（

）°方向上。（2）綠植區(qū)域的圖形共有（

）條對稱軸。綠植區(qū)域的面積是（

）平方米。（3）在保證活動區(qū)域和綠植區(qū)域面積不變的情況下，還可以有不同的設(shè)計方案。請在上面右側(cè)正方形中用圓規(guī)畫出你的新設(shè)計圖（如沒有新設(shè)計，也可以畫出原設(shè)計圖），并將綠植區(qū)域涂上陰影。15．（2022秋·河南南陽·六年級統(tǒng)考期末）圖中平行四邊形的面積是18平方厘米，高是3厘米，求圖中陰影部分的面積是多少？16．（2023秋·重慶渝中·六年級統(tǒng)考期末）如下圖，分別以長方形、平行四邊形、梯形的四個頂點(diǎn)為圓心，畫半徑為2厘米的圓。琳琳說：這三個圖形陰影部分的面積相等。你同意琳琳的說法嗎？請說出你的理由。17．（2022秋·陜西安康·六年級統(tǒng)考期末）計算下面圖形陰影部分的周長和面積。B級（能力提升）1．（2023秋·福建龍巖·六年級統(tǒng)考期末）圖中ABCD為正方形，E為AB的中點(diǎn)，陰影部分的面積是21cm2，正方形ABCD的面積是()cm2。2．（2023秋·山東濰坊·六年級?？计谀┫旅媸且环N有意思的推導(dǎo)圓的面積的方法，讀一讀，填一填。如圖所示，將圓形平分16等份，并拼成一個近似的三角形，用π表示圓周率，用r表示圓的半徑，那么：三角形的底是圓的周長的（

），表示為（

），三角形的高是圓的半徑的（

）倍，表示為（

），圓形和三角形的（

）相等。請你根據(jù)三角形的面積公式推理出圓的面積公式，并寫出推導(dǎo)過程。3．（2023春·江蘇無錫·六年級專題練習(xí)）芳芳用一張長10厘米的長方形紙如右圖進(jìn)行翻折，折出的平行四邊形面積比原來少了15平方厘米。這張長方形紙的寬是()厘米，折成的平行四邊形的面積是()平方厘米。4．（2023春·重慶六年級月考）如圖所示的紙帶，()是莫比烏斯帶，圖①中的螞蟻如果不爬過紙帶的邊緣，()（填“能”或“不能”）吃到紙帶內(nèi)的面包屑。5．（2023春·湖南邵陽·六年級統(tǒng)考期末）一個長30厘米、寬2分米的長方形，沿對角線對折后，得到下圖所示幾何圖形，陰影部分的周長是()厘米。6．（2023春·江蘇南通·六年級專題練習(xí)）折疊一張長方形紙ABCD，如圖，折疊時，C點(diǎn)和A點(diǎn)重合，產(chǎn)生折痕為EF。量得AE長22厘米，如果長方形的寬是20厘米，折疊后圖形的面積比原來長方形面積少了()平方厘米。7．（2022·四川成都·成都嘉祥外國語學(xué)校?？夹∩跽骖}）如圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（單位：厘米）8．（2023秋·河南南陽·六年級統(tǒng)考期末）如圖，大半圓的直徑為8厘米，求圖中陰影部分的面積。9．（2023春·六年級單元測試）求陰影部分的面積。（單位：厘米）10．（2023秋·浙江杭州·六年級統(tǒng)考期末）如圖，一枚半徑是1厘米的游戲幣沿著邊長是4厘米的等邊三角形的邊繞一圈，它掃過的面積是多少平方厘米？11．（2022春·全國·六年級統(tǒng)考期末）如果將直角三角形ABC繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°，可以形成下圖。請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算陰影部分的面積。12．（2023秋·湖北襄陽·六年級統(tǒng)考期末）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了“外方內(nèi)圓”（如下圖1）的問題，現(xiàn)在讓你繼續(xù)研究，你會有新的發(fā)現(xiàn)。（1）圖1的陰影部分面積是多少？（列式計算）（2）圖2的陰影部分面積是多少？（列式計算）（3）通過上面兩個圖形的計算，你是否有所發(fā)現(xiàn)？按你的發(fā)現(xiàn)，那么如圖3這樣正方形中有16個小圓，陰影部分的面積是（

）。13．（2023春·江蘇·六年級小升初模擬）如圖，半圓的面積是39.25平方厘米，圓的面積是28.26平方厘米。那么長方形（陰影部分）的面積是多少平方厘米？14．（2023春·廣東廣州·六年級專題練習(xí)）求陰影部分的面積。15．（2022秋·山東濟(jì)南·六年級統(tǒng)考期末）如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，以AD為弧的扇形的面積是它所在圓面積的，求陰影部分的面積？16．（2023秋·河北邢臺·六年級校聯(lián)考期末）已知涂色部分的面積是12cm2，求圓環(huán)的面積。C級（培優(yōu)拓展）1.（2022·成都外國語學(xué)校附屬小學(xué)小升初模擬）如圖，正方形ABCD的邊AB＝1，弧BD和弧AC都是以1為半徑的圓弧，則無陰影的兩部分的面積之差為()。2．（2022·山東·六年級期中）如圖，在長方形ABCD中，M是CD邊中點(diǎn)，DN是以點(diǎn)A為圓心的一段弧，KN是以點(diǎn)B為圓心的一段弧，AN=3厘米，BN=2厘米．則圖中陰影部分的面積是平方厘米．（π取3.14）3．（2023·福建莆田·六年級期末）兩個小朋友用圓做剪紙游戲，一個小朋友將圓拼成一個近似長方形，另一個小朋友將圓剪成兩個半圓貼在長方形上，如下圖，如果長方形周長為16.56cm，那么S②比S①大()平方厘米．4．（2023·陜西西安·小升初模擬）在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，四邊形AOCD的面積占正方形ABCD面積的()。5．（2023·山西·小升初模擬）如圖所示為某商品的商標(biāo)，由兩顆愛心組成，每顆愛心都是由一個正方形和兩個半圓拼成，兩個正方形的邊長分別為40毫米和20毫米，則陰影部分的面積是多少平方毫米？（圓周率取3.14