第17講《線段射線直線》專題復習

第17講線段、射線、直線專題復習考點一基本概念及性質(zhì)【知識點睛】圖像名稱端點個數(shù)能否延伸/延長直線直線AB（或直線a）0可兩方向無限延伸，不能延長射線射線AB1可向AB方向無限延伸，可沿AB反向延長線段線段AB2不能延伸，可向兩方向延長性質(zhì)兩點之間線段最短、兩點確定一條直線【類題訓練】1．下列幾何圖形與相應語言描述相符的是（）A．如圖1所示，延長線段BA到點C B．如圖2所示，射線CB不經(jīng)過點A C．如圖3所示，直線a和直線b相交于點A D．如圖4所示，射線CD和線段AB沒有交點【分析】由圖形點和線段，射線的位置關系，直線與直線的位置關系，即可判斷．【解答】解：A、點C在線段BA的延長線上，故A不符合題意；B、射線BC不經(jīng)過點A，故B不符合題意；C、直線a和直線b相交于點A，正確，故C符合題意；D、射線CD和線段AB有交點，故D不符合題意，故選：C．2．如圖各圖中所給的射線、直線能相交的是（）A． B． C． D．【分析】依據(jù)圖形中的直線、射線或線段有無交點，即可得到結(jié)論．【解答】解：A選項中，直線AB與射線EF無交點，不合題意；B選項中，直線AB與射線EF有交點，符合題意；C選項中，直線AB與射線EF無交點，不合題意；D選項中，直線AB與射線EF無交點，不合題意；故選：B．3．在下列現(xiàn)象中，體現(xiàn)了基本事實“兩點確定一條直線”的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】直接利用直線的性質(zhì)以及線段的性質(zhì)分析得出答案．【解答】解：第一、二、三幅圖中的生活、生產(chǎn)現(xiàn)象可以用基本事實“兩點確定一條直線”來解釋，第四幅圖中利用的是“兩點之間，線段最短”的知識．故選：C．4．下列四個有關生活、生產(chǎn)中的現(xiàn)象：①用兩個釘子就可以把一根木條固定在墻上；②把彎曲的公路改直，就能縮短路程；③從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段AB架設；④植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線．其中不可用“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象有（）A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【分析】①④根據(jù)“兩點確定一條直線”解釋，②③根據(jù)兩點之間，線段最短解釋．【解答】解：①屬于兩點確定一條直線的性質(zhì)，不可用“兩點之間，線段最短”來解釋，符合題意；②可用“兩點之間，線段最短”來解釋，兩點之間，線段最短，減少了距離，不符合題意；③從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段架設，是兩點之間，線段最短，不符合題意；④屬于兩點確定一條直線的性質(zhì)，不可用“兩點之間，線段最短”來解釋，符合題意．故選：D．5．如圖棋盤上有黑、白兩色棋子若干，找出所有使三顆顏色相同的棋在同一直線上的直線，滿足這種條件的直線共有（）A．5條 B．4條 C．3條 D．2條【分析】根據(jù)題意可以畫出適合條件的幾種情況，從而可以解答本題．【解答】解：如下圖所示：則所有三顆顏色相同的棋并且在同一直線上的直線共有五條：①豎直的三顆黑色的，②豎直的三顆白色的，③斜著三顆黑色的，④斜著三顆白色的，⑤斜著的三顆白色的．故選：A．6．如圖1，A，B兩個村莊在一條河（不計河的寬度）的兩側(cè)，現(xiàn)要建一座碼頭，使它到A，B兩個村莊的距離之和最小，圖2中所示的C點即為所求碼頭的位置，那么這樣做的理由是兩點之間，線段最短．【分析】利用兩點之間線段最短進而分析得出答案．【解答】解：圖2中所示的C點即為所求碼頭的位置，那么這樣做的理由是兩點之間，線段最短．故答案為：兩點之間，線段最短．考點二數(shù)線段、射線和直線的條數(shù)問題【知識點睛】若一條線段里面有n個點，則該圖形中線段總條數(shù)是：若一條直線上共有n個點，則該圖形有射線條，有線段條【類題訓練】7．如圖，圖中射線條數(shù)為（）A．8 B．6 C．5 D．4【分析】根據(jù)射線的定義及表示方法進行解答即可．【解答】解：圖中的射線有：射線AE，射線BE，射線CE，射線CG，射線BG，射線AG，射線BF，射線DF，共8條，故選：A．8．如圖，經(jīng)過直線a外一點O的4條直線中，與直線a相交的直線至少有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【分析】根據(jù)經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行得出即可．【解答】解：根據(jù)經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行，得出如果有和直線a平行的，只能是一條，即與直線a相交的直線至少有3條，故選：C．9．往返于甲、乙兩地的火車，中途?？咳?，每兩站間距離各不相等，需要準備20種不同的車票．【分析】利用數(shù)線段知識，歸納相同距離的票價相同來確定車票種類．【解答】解：如圖所示A、E兩點代表甲、乙兩地，中途?？康娜痉謩e是B、C、D，∴不同長度的線段數(shù)就是車票的種類，AB，AC，AD，AE；BC，BD，BE；CD，CE；DE；∴4+3+2+1＝10（種），考慮到往返車票要區(qū)別開，∴需要準備車票種類：10×2＝20（種），故答案為：20．10．如圖有a條直線，b條射線，c條線段，則a+b﹣c＝1．【分析】根據(jù)直線、線段、射線的定義判解答即可．【解答】解：圖中只有AD1條直線，故a＝1；圖中共有6條射線，故b＝6；圖中共有6條線段，故c＝6；∴a+b﹣c＝1+6﹣6＝1，故答案為：1．11．如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線，在直線上有A，B，C，D四點，且AB＝BC＝CD，點P沿直線l從左向右移動，當出現(xiàn)點P與A，B，C，D四點中的至少兩個點距離相等時，就會發(fā)出警報，則直線l上會發(fā)出警報的點P有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】點P與A，B，C，D四點中的至少兩個點距離相等時，也就是點P恰好是其中一條線段中點，而圖中共有六條線段，由此可以得到出現(xiàn)報警的最多次數(shù)．【解答】解：根據(jù)題意可知：當點P經(jīng)過任意一條線段中點時會發(fā)出報警，∵圖中共有線段AB、AC、AD、BC、BD、CD，∵AD和BC的中點是同一個，∴直線l上會發(fā)出警報的點P有5個．故選：C．12．如圖，已知線段AB，點C在AB上，點P在AB外．（1）根據(jù)要求畫出圖形：畫直線PA，畫射線PB，連接PC；（2）寫出圖中的所有線段．【分析】（1）根據(jù)題中的幾何語言畫出對應的幾何圖形即可；（2）利用線段的定義解答即可．【解答】解：（1）如圖，直線PA，射線PB，線段PC為所作；（2）圖中的所有線段為：PA、PC、PB、AC、AB、CB．考點三線段的有關計算【知識點睛】線段的有關計算常結(jié)合方程來解決，列方程的等量關系為線段間的和、差、倍、分關系！【類題訓練】13．點C是線段AB的三等分點，點D是線段AC的中點．若線段AB＝18cm，則線段BD的長為（）A．12cm B．15cm C．8cm或10cm D．12cm或15cm【分析】根據(jù)線段中點的定義和線段三等分點的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：∵C是線段AB的中點，AB＝18cm，∴AC＝BC＝AB＝×18＝9（cm），點D是線段AC的三等分點，①當AD＝AC時，如圖，BD＝BC+CD＝BC+AC＝9+6＝15（cm）；②當AD＝AC時，如圖，BD＝BC+CD＝BC+AC＝9+3＝12（cm）．所以線段BD的長為15cm或12cm．故選：D．14．如圖，AB＝12cm，C為AB的中點，點D在線段AC上且AD：CB＝1：3，則DB的長是（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【分析】根據(jù)中點的定義求出AC、BC的長，根據(jù)題意求出AD，則BD＝AB﹣AD，代入數(shù)據(jù)計算即可．【解答】解：∵AB＝12cm，C為AB的中點，∴AC＝BC＝AB＝6cm，∵AD：CB＝1：3，∴AD＝2cm，∴DB＝AB﹣AD＝12﹣2＝10（cm），即DB的長為10cm．故選：B．15．如圖，點M是AB的中點，點N是BD的中點，AB＝12cm，BC＝20cm，CD＝16cm，則MN的長為（）A．24cm B．22cm C．26cm D．20cm【分析】根據(jù)線段中點的性質(zhì)直接可得出BM的長，計算出BD，根據(jù)線段中點的性質(zhì)推出BN＝DN＝BD，進而結(jié)合圖形根據(jù)線段之間的和差關系進行求解即可．【解答】解：∵點M是AB的中點，∴BM＝AM＝AB＝×12＝6（cm），∵BC＝20cm，CD＝16cm，∴BD＝BC+CD＝20+16＝36（cm），∵點N是BD的中點，∴BN＝DN＝BD＝×36＝18（cm），∴MN＝MB+BN＝6+18＝24（cm）．故選：A．16．如圖，直線上的四個點A，B，C，D分別代表四個小區(qū)，其中A小區(qū)和B小區(qū)相距50m，B小區(qū)和C小區(qū)相距200m，C小區(qū)和D小區(qū)相距50m，某公司的員工在A小區(qū)有30人，B小區(qū)有5人，C小區(qū)有20人，D小區(qū)有6人，現(xiàn)公司計劃在A，B，C，D四個小區(qū)中選一個作為班車?？奎c，為使所有員工步行到停靠點的路程總和最小，那么停靠點的位置應設在（）A．A小區(qū) B．B小區(qū) C．C小區(qū) D．D小區(qū)【分析】根據(jù)題意分別計算?？奎c分別在A、B、D、C各點時員工步行的路程和，選擇最小的即可求解．【解答】解：因為當?？奎c在A區(qū)時，所有員工步行到停靠點路程和是：5×50+20×250+6×300＝7050（m），因為當停靠點在B區(qū)時，所有員工步行到停靠點路程和是：30×50+20×200+6×250＝7000（m），當停靠點在C區(qū)時，所有員工步行到?？奎c路程和是：30×250+5×200+6×50＝8800（m），當?？奎c在D區(qū)時，所有員工步行到停靠點路程和是：30×300+5×250+20×50＝11250（m），因為7000＜7050＜8800＜11250，所以當?？奎c在B小區(qū)時，所有員工步行到?？奎c路程和最小，那么停靠點的位置應該在B區(qū)．故選：B．17．如圖，延長線段AB到C，使BC＝4AB，點D是線段BC的中點，如果CD＝4cm．（1）求AC的長度；（2）若點E是線段AC的中點，求ED的長度．【分析】（1）先根據(jù)點D是線段BC的中點，如果CD＝4cm，求出BC的長，再根據(jù)BC＝4AB求出AB的長，由AC＝AB+BC即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)線段的中點可得EC的長，再根據(jù)線段的差可得結(jié)論．【解答】解：（1）因為點D為線段BC的中點，CD＝4cm，所以BC＝2CD＝8cm，因為BC＝4AB＝8cm，所以AB＝2cm，所以AC＝AB+BC＝10cm，即AC的長度為10cm．（2）因為E是AC中點，所以EC＝AC＝5cm，所以ED＝EC﹣DC＝5﹣4＝1cm，即ED的長度是1cm．18．如圖，已知點C在線段AB上，且AM＝AC，BN＝BC．（1）若AC＝12，CB＝6，求線段MN的長．（2）若C為線段AB上任意一點，且滿足AC+BC＝a，其他條件不變，求線段MN的長．【分析】（1）由AC＝12及AM＝AC可求解CM的長，由BN＝BC及BC＝6可求得CN的長，再利用MN＝CM+CN可求解；（2）AM＝AC，BN＝BC，可得AM+BN＝AC+BC＝（AC+BC），所以MN＝MC+NC＝（AC+BC），根據(jù)AC+BC＝a即可求出線段MN的長．【解答】解：（1）∵AM＝AC，∴CM＝AC，∵AC＝12，∴CM＝8，∵BN＝BC，∴CN＝BC，∵BC＝6，∴CN＝×6＝4，∴MN＝CM+CN＝8+4＝12；（2）∵AM＝AC，BN＝BC，∴AM+BN＝AC+BC＝（AC+BC），∴MN＝MC+NC＝（AC+BC），∵AC+BC＝a，∴MN＝a，即線段MN的長為a．19．（1）如圖，點C在線段AB上，點M在線段AC上，點N在線段BC上．①已知AC＝13，CB＝8，若點M，N分別是AC，BC的中點，求線段MN的長；②已知AC＝13，CB＝8，若點M是AC的中點，BN＝BC，求線段MN的長；③已知AC＝a，CB＝b，若AM＝AC，BN＝BC，請直接寫出線段MN的長（用含a，b的式子表示）；（2）若點C在直線AB上，（1）中其他條件不變，已知AC＝a，CB＝a，5AM＝3CM，3BN＝2CN，請直接寫出線段MN的長．【分析】（1）①根據(jù)線段中點的性質(zhì)可得，CM＝AC，CN＝，由MN＝CM+CN，代入計算即可得出答案；②由點M是AC的中點，BN＝BC，可得CM＝AC，CN＝BC，由MN＝CM+CN，代入計算即可得出答案；③由已知AM＝AC，BN＝BC，可得CM＝，CN＝BC，由MN＝CM+CN，代入計算即可得出答案；（2）由已知5AM＝3CM，3BN＝2CN，可得CM＝AC，CN＝BC，由MN＝CM+CN，代入計算即可得出答案．【解答】解：（1）①∵點M，N分別是AC，BC的中點，∴CM＝AC＝＝6.5，CN＝＝＝4，∴MN＝CM+CN＝6.5+4＝10.5；②∵點M是AC的中點，BN＝BC，∴CM＝AC＝＝6.5，CN＝BC＝＝2，∴MN＝CM+CN＝6.5+2＝8.5；③MN＝a+b；∵AM＝AC，BN＝BC，∴CM＝＝a，CN＝BC＝b，∴MN＝CM+CN＝a+b；（2）MN＝a或MN＝a．∵5AM＝3CM，3BN＝2CN，∴CM＝AC＝a，CN＝BC＝×a＝a，若點C在線段AB上時，∴MN＝CM+CN＝（+）a＝a．若點B在線段AC上時，MN＝AC﹣AM﹣CN＝a﹣a﹣a＝（﹣）＝a．20．如圖，已知線段AB＝15cm，CD＝3cm，點E是AC的中點，點F是BD的中點．（1）若AC＝4cm，求線段EF的長；（2）當線段CD在線段AB上從左向右或從右向左運動時，試判斷線段EF的長度是否發(fā)生變化？若不變，請求出線段EF的長度；若變化，請說明理由．【分析】（1）由BD＝AB﹣AC﹣CD可求解BD的長，結(jié)合中點的定義可求解EF的長；（2）由中點的定義可得，根據(jù)EF＝AB﹣AE﹣BF可求解EF的長為定值，即可求解．【解答】解：（1）∵AC＝4cm，CD＝3cm，AB＝15cm，∴BD＝AB﹣AC﹣CD＝15﹣4﹣3＝8（cm），∵點E是AC的中點，點F是BD的中點，∴，∴EF＝EC+CD+DF＝2+3+4＝9（cm）；（2）線段EF的長度不發(fā)生變化．∵點E是AC的中點，點F是BD的中點，∴，∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝＝＝＝9（cm）．21．如圖，數(shù)軸上點A，B分別表示數(shù)﹣6，12，C為AB中點．（1）求點C表示的數(shù)．（2）若點P為線段AB上一點，PC＝2，求點P表示的數(shù)．（3）若點D為線段AB上一點，在線段AB上有兩個動點M，N，分別同時從點A，D出發(fā)，沿數(shù)軸正方向運動，點M的速度為4個單位每秒，點N的速度為3個單位每秒，當MN＝1，NC＝2時，求點D表示的數(shù)．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點所表示的數(shù)與它們的中點所表示的數(shù)之間的關系進行計算即可；（2）分兩種情況進行解答，即點P在點C的左側(cè)或右側(cè)，根據(jù)兩點距離的計算方法進行計算即可；（3）設出各個點所表示的數(shù)，根據(jù)運動后線段長度的計算方法，列方程組解答即可．【解答】解：（1）點C表示的數(shù)為：＝3；（2）點C所表示的數(shù)為3，設點P所表示的數(shù)為p，則|p﹣3|＝2，解得p＝5或p＝1，答：點P所表示的數(shù)為1或5；（3）設點D在數(shù)軸上所表示的數(shù)為d，運動的時間為ts，則點M所表示的數(shù)為﹣6+4t，點N所表示的數(shù)為d+3t，①當點M在點N的左側(cè)，點N在點C的左側(cè)，MN＝d+3t﹣（﹣6+4t）＝d﹣t+6＝1，即d﹣t＝﹣5，NC＝3﹣d﹣3t＝2，即d+3t＝1，由可解得d＝﹣；②當點M在點N的左側(cè)，點N在點C的右側(cè)，MN＝d+3t﹣（﹣6+4t）＝d﹣t+6＝1，即d﹣t＝﹣5，NC＝d+3t﹣3＝2，即d+3t＝5，由可解得d＝﹣；③當點M在點N的右側(cè)，點N在點C的左側(cè)，MN＝﹣6+4t﹣（d+3t）＝﹣6+t﹣d＝1，即d﹣t＝﹣7，NC＝3﹣d﹣3t＝2，即d+3t＝1，由可解得d＝﹣5；④當點M在點N的右側(cè)，點N在點C的右側(cè)，MN＝﹣6+4t﹣（d+3t）＝﹣6+t﹣d＝1，即d﹣t＝﹣7，NC＝d+3t﹣3＝2，即d+3t＝5，由可解得d＝﹣4；綜上所述，點D所表示的數(shù)為﹣或﹣或﹣5或﹣4．考點四線段的的分類討論【知識點睛】不確定是分類討論的起點，當線段中點的位置沒有直接給明時，一般需要分類討論！【類題訓練】22．已知點C在直線AB上，AB＝4，BC＝6，點D是線段AC的中點，則AD等于（）A．5 B．2 C．5或1 D．5或2【分析】分類討論點C在線段AB延長線時，點C在線段AB反向延長線時，根據(jù)線段的和差，可得AC的長，根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得AD的長．【解答】解：當點C在線段AB延長線時，如圖，∵AB＝4，BC＝6，∴AC＝AB+BC＝4+6＝10，∵點D是線段AC的中點，∴AD＝AC＝＝5；當點C在線段AB反向延長線時，如圖，∵AB＝4，BC＝6，∴AC＝BC﹣AB＝6﹣4＝2，∵點D是線段AC的中點，∴AD＝AC＝＝1；綜上，AD＝5或1．故選：C．23．在直線上任取一點A，截取AB＝6cm，再截取AC＝14cm，則AB的中點D與AC的中點E之間的距離為（）A．4cm B．8cm C．4cm或10cm D．3cm或8cm【分析】畫出圖形，得出兩種情況，分別求出AE和AD長，即可求出答案．【解答】解：①B，C在點A同側(cè)時如圖，∵D是AB的中點，E是AC的中點，∴AD＝AB＝3cm，AE＝AC＝7cm，∴DE＝AE﹣AD＝7﹣3＝4（cm）．②B，C在點A兩側(cè)時如圖，∵D是AB的中點，E是AC的中點，∴AD＝AB＝3cm，AE＝AC＝7cm，∴DE＝AE+AD＝7+3＝10（cm）．綜上：D與E之間距離為4cm或10cm，故選：C．24．已知A、B、C三點在同一條直線上，則下列：①AC+BC＝AB；②AC＝AB；③AC＝BC；④AB＝2BC．可以判斷點C是線段AB中點的有（）A．③ B．②④ C．②③④ D．①②③④【分析】根據(jù)線段中點的定義逐項分析可得答案．【解答】解：①當AC+BC＝AB時，點C不一定是AB中點，故①錯誤；②當AC＝AB時，點C不一定在線段AB上，故②錯誤；③當AC＝BC時，點C一點是AB的中點，故③正確；④當AB＝2BC時，點C不一定在線段AB上，故④錯誤．故選：A．25．點C是線段AB上的三等分點，E是線段BC的中點，若CE＝6，則AB的長為（）A．18或36 B．18或24 C．24或36 D．24或48【分析】根據(jù)點C是線段AB上的三等分點，分兩種情況畫圖進行計算即可．【解答】解：如圖1，∵點C是線段AB上的三等分點，∴AB＝3BC，∵E是線段BC的中點，CE＝6，∴BC＝2CE＝12，∴AB＝3×12＝36；如圖2，∵E是線段BC的中點，CE＝6，∴BC＝2CE＝12，∴AC＝6，∵點C是線段AB上的三等分點，∴AB＝3AC＝18，則AB的長為18或36．故選：A．26．已知線段AB＝6cm，若M是AB的三等分點，N是AM的中點，則線段MN的長度為1cm或2cm．【分析】根據(jù)M是AB的三等分點，可得AM的長，再根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：由線段AB＝6cm，若M是AB的三等分點，得AM＝2cm，或AM＝4cm．當AM＝2cm時，由N是AM的中點，得MN＝AM＝×2＝1（cm）；當AM＝4cm時，由N是AM的中點，得MN＝AM＝×4＝2（cm）；故答案為：1cm或2cm．27．如圖，線段AB表示一條已經(jīng)對折的繩子，現(xiàn)從P點處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最長的一段為30cm．（1）若點P為AB的中點，則對折前的繩長為60cm；（2）若，則對折前的繩長為50或75cm．【分析】（1）當點P為AB的中點，可知對折前的繩長是剪斷后的各段繩子中最長的一段的2倍；（2）分類討論：①2AP是最長的一段，根據(jù)AP＝BP，可得PB的長，再根據(jù)線段的和差，可得答案；②2PB是最長的一段，根據(jù)AP＝BP，可得AP的長再根據(jù)線段的和差，可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，對折前的繩長為2×30＝60（cm），故答案為：60．（2）①2AP是最長的一段，AP＝15＝PB，得PB＝15×＝，由線段的和差，得AB＝AP+PB＝15+＝cm，∴原來繩長為2AB＝75cm，②2PB是最長的一段，由題意PB＝15，∴AP＝×15＝10cm，由線段的和差，得AB＝AP+PB＝10+15＝25cm，∴原來繩長為50cm，綜上所述：原來繩長為50或75．故答案為：50或75．28．已知，線段AB＝16，M是線段AB的中點，P是線段AB上任意一點，N是線段PB的中點．（1）當P是線段AM的中點時，求線段NB的長；（2）當線段MP＝2時，求線段NB的長．（3）若點P在線段BA的延長線上，求線段PA與線段MN的數(shù)量關系．【分析】根據(jù)題中所給條件，畫出相應的圖形，根據(jù)線段的和差分別計算即可．【解答】解：（1）如圖：∵M是線段AB的中點，AB＝16，∴AM＝AB＝8，∵P是線段AM中點，∴AP＝AM＝4，∴PB＝A