第16講相似基本模型專題探究之一線三等角（難度較大）（原卷版）

第16講相似基本模型專題探究之一線三等角【知識點睛】常見基本類型：同側型（通常以等腰三角形或者等邊三角形為背景）異側型模型性質應用：一般地：當動點E一般地：當動點E運動到底邊的中點時，CF有最大值模型構造：圖中已存在“一線三等角”，則直接應用模型結論解題.圖中存在“一線兩等角”，補上“一等角”，構造模型解題.圖中某直線上只存在1個角，補上“兩等角”，構造模型解題.如果直線上只有1個角，要補成“一線三等角”時，該角通常是特殊角（30°、45°、60°）特征：構造特殊角的等角時，一般是在“定線”上做含特殊角的直角三角形?！耙痪€三等角”得到的相似，通常用外邊的兩等角的兩邊對應成比例求解長度.構造步驟：找角——通常找“特殊角”。如：30°、45°、60°等；特別地：當tanα=1/2、1/3等特定值時，α也可以是特殊角；定線——通常以“水平線”或者“豎直線”為“一線三等角”中的“一線”；特殊角度時也可以是45°等傾斜直線；構相似——通常以“特殊角”為“中間角”，過“中間角”的兩邊與“一線”的交點構造兩個含特殊角的Rt△；例：如右圖，當∠ABP=45°時，∵∠ABP在y軸上，∴在y軸上分別構造兩個等腰直角三角形△AOE，△PHG，則在y軸上存在∠AEB=∠ABP=∠PBG=45°，∴△AEB∽△BGP∴模型特例——K型圖（三垂定理）性質：性質：普通”K型圖”可得左右兩個△相似，即△1∽△2【當AB=BC時，△1≌△2】中點型”K型圖”亦可得三個△兩兩相似，即當BD=BE時，△1∽△2∽△3以上性質反之亦成立，即也可用于證明中點或角相等或線垂直。應用：當一個直角放在一條直線上時，通常要構造“K型圖”解題當一個直角放在平面直角坐標系中時，亦常構造“K型圖”解題由“K型圖”得到的相似比，基本都可以轉化成“特定角”的正切值來計算“K型圖”常和“A字圖”或“8字圖”類的平行相似結合在一起求長度“K型圖”常見構造方法：過直角訂單分別作水平或豎直的直線，再過直角兩邊頂點分別作直線的垂線。如圖：【類題講練】類型一圖形中已經存在一線三等角，直接應用模型1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分別是BC，AB上的動點（點D與B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，則CD的長為．2．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC上一點，過點E作EF⊥AE，交BC于點F，連接AF，則AF的最小值是（）A．5 B． C． D．33．如圖，點E是矩形ABCD邊BC上一點，沿AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點F處．設＝x（x＞1），（1）若點F恰為CD邊的中點，則x＝．（2）設＝y(tǒng)，則y關于x的函數(shù)表達式是．4．如圖，在平面直角坐標系xOy中．邊長為4的等邊△OAB的邊OA在x軸上，C、D、E分別是AB、OB、OA上的動點，且滿足BD＝2AC，DE∥AB，連接CD、CE，當點E坐標為時，△CDE與△ACE相似．5．如圖，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且點E為邊BC的中點．將∠DEF繞點E旋轉，在旋轉過程中，射線DE與線段AB相交于點P，射線EF與射線CA相交于點Q，連結PQ．（1）如圖1，當點Q在線段CA上時，①求證：△BPE∽△CEQ；②線段BE，BP，CQ之間存在怎樣的數(shù)量關系？請說明理由；（2）當△APQ為等腰三角形時，求的值．類型二直線上只存在“一線二等角”，補上“一等角”，變成“一線三等角”；或者直線上存在一個特殊角，利用特殊角構造“一線三等角”，再利用其性質解題6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4．矩形DEFG的頂點D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，若tan∠DEC＝，則矩形DEFG面積的最大值＝．7．如圖，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，點E是AB上的動點，連接DE，將△AED沿著DE折疊，A點落在F處，若EF∥AC，則AE的長度是．8．如圖，在平面直角坐標系中，點A（12，0），點B（0，4），點P是直線y＝﹣x﹣1上一點，且∠ABP＝45°，則點P的坐標為．9．如圖，平面直角坐標系中，已知直線y＝x上一點P（1，1），C為y軸上一點，連接PC，線段PC繞點P順時針旋轉90°至線段PD，過點D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線y＝x交于點A，且BD＝3AD，連接CD，直線CD與直線y＝x交于點Q，則點Q的坐標為．10．如圖，正方形ABCD的兩個頂點A，B分別在x軸，y軸上，對角線相交于點E，AB＝2．若反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經過D，E兩點，則k的值是．11．如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，過CB的中點D作DE⊥AD，交AB于點E，則EB的長為．12．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC為直徑的半⊙O與邊AD相切于點E．（1）求證：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的長．13．已知，如圖，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，點E是射線BC上一動點，將矩形ABCD沿直線AE翻折，點B落在點F處．（1）若點F恰好落在CD邊上，如圖1，求線段BE的長；（2）若BE＝1，如圖2，直接寫出點F到BC邊的距離；（3）若△CEF為直角三角形，直接寫出CE所有值．14．如圖①，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝，AD＝6，BC＝7，點P是邊AD上的動點，聯(lián)結BP，作∠BPF＝∠ADC，設射線PF交線段BC于E，交射線DC于F．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）如果射線PF經過點C（即點E、F與點C重合，如圖②所示），求AP的長；（3）設AP＝x，DF＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．15．閱讀材料：小胖同學遇到這樣一個問題，如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，AD＝AE，∠DAE＝90°，CE＝，求CD的長；小胖經過思考后，在CD上取點F使得∠DEF＝∠ADB（如圖2），進而得到∠EFD＝45°，試圖構建“一線三等角”圖形解決問題，于是他繼續(xù)分析，又意外發(fā)現(xiàn)△CEF∽△CDE．（1）請按照小胖的思路完成這個題目的解答過程．（2）參考小胖的解題思路解決下面的問題：如圖3，在△ABC中，∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，AD＝AE，∠EAD+∠EBD＝90°，求BE：ED．【課后練習】16．如圖，平面直角坐標系中，A（4，0），點B為y軸上一點，連接AB，tan∠BAO＝2，點C，D為OB，AB的中點，點E為射線CD上一個動點．當△AEB為直角三角形時，點E的坐標為（）A．（4，4）或（2+2，4） B．（4，4）或（2﹣2，4） C．（12，4）或（2+2，4） D．（12，4）或（2﹣2，4）17．如圖，矩形ABCD中，AD＝6，CD＝7，E為AD上一點，且AE＝2，點F、H分別在邊AB、CD上，四邊形EFGH為矩形，則當△HGC為直角三角形時，AF的值是．18．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC上的點，∠BED+∠C＝90°，△BED與△FED關于DE對稱，則DE的長為