數(shù)學成長訓練：平面向量基本定理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精主動成長夯基達標1.如圖2-3—7，已知ABDEF是正六邊形，且=a，=b，則等于(）圖2—3-A。（a-b）B.（b—a）C.a+bD。（a+b）解析:連結AD，則=+=a+b，∴==（a+b）.答案：D2.如果e1、e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么(）A.若實數(shù)λ1、λ2使λ1e1+λ2e2=0，則λ1=λ2=0B。空間任一向量a可以表示為a=λ1e1+λ2e2，這里λ1、λ2是實數(shù)C。對實數(shù)λ1、λ2，λ1e1+λ2e2不一定在平面α內(nèi)D.對平面α中的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的實數(shù)λ1、λ2有無數(shù)對解析：平面α內(nèi)任一向量都可寫成e1與e2的線性組合形式，而不是空間內(nèi)任一向量,故B不正確；C中的向量λ1e1+λ2e2一定在平面α內(nèi)；而對平面α中的任一向量a，實數(shù)λ1、λ2是唯一的。答案:A3.下面給出三個命題①非零向量a與b共線，則a與b所在的直線平行；②向量a與b共線的條件是當且僅當存在實數(shù)λ1、λ2使得λ1a=λ2b③平面內(nèi)的任一向量都可用其他兩個向量的線性組合表示。其中正確命題的個數(shù)是（）A。0B。1C解析：命題①，兩共線向量a與b所在的直線有可能重合；命題③，平面α內(nèi)的任一向量都可用其他兩個不共線向量的線性組合表示，故①③都不正確。答案：B4。已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上（不包括端點A、C），則等于（）A.λ(+），λ∈（0,1）B.λ（+）,λ∈（0，）C。λ(—），λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈（0,）解析：∵點P在AC上且不包括端點A、C,∴=λ,λ∈(0,1).由平行四邊形法則，+=，∴λ(+）=λ=.答案:A5.如圖2-3—8，在矩形ABCD中，若=5e1,=3e2,則等于（）圖2—3-A。（5e1+3e2)B.（5e1-3e2)C。(3e2—5e1）D。(5e2—3e1）解析：==（+）=（3e2+5e1）.答案：A6。如圖2—3—9,D、E、F分別是BC、CA、AB的中點，則++等于(）圖2-3-A.B。-C。—D.0解析:++=-++=++=+==-.答案：C7。設點O是ABCD兩對角線交點，下列向量組：①與;②與；③與;④與。可作為該平面其他向量基底的是（)A.①②B.①③C。①④D.③④解析:根據(jù)平面向量基本定理得,平面內(nèi)任意兩個不平行的向量都可以作為這一平面內(nèi)的一組基底，①③這兩組為不平行向量.答案：B8。如圖2—3—10,已知E、F分別是矩形ABCD的邊BC、CD的中點，EF與AC交于點G,若=a,=b，用a、b表示=_____________.圖2-3解析:==（a+b）=a+b。答案：a+b9。D、E、F分別為△ABC的邊BC、CA、AB的中點，且=a,=b，給出下列命題:①=-a—b；②=a+b；③=—a+b；④++=0.其中正確命題的序號為_______________.解析：如圖所示，=+=—b+=—b-a,=+=a+b，=+=—b—a，=+=b+(—b—a）=b-a,++=-b—a+a+b+b—a=0.所以應填①②③④。答案：①②③④10。如圖2-3—11,已知點L、M、N分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的點,且若++=0。求證：l=m=n.圖2-3-11證明:設=a，=b為基底.由已知得=la,=mb?！?+=—a-b，∴=n=-na—nb.∴=+=(l-1）a—b,①=+=a+mb，②=+=-na+(1—n)b。③將①②③代入+=0,得(l-n)a+（m-n）b=0。∴l(xiāng)=m=n.11.在△OAB中，=，=,AD與BC交于M點，設=a，=b.（1）用a、b表示。(2）在已知線段上取一點E，在線段上取一點F，使過點M.設=p,=q，求證：(1）解析:設=ma+nb，則=—=ma+nb-a=(m-1)a+nb,=-=b—a=—a+b。∵A、M、D三點共線，∴與共線。∴?！鄊+2n=1.①而=—=ma+nb—a=（m-）a+nb,=-=b-a=-a+b，又∵C、M、B三點共線,∴與共線.∴.∴4m+n=1.②∴聯(lián)立①②解得m=,n=?！?a+b。(2）證明：∵=—=a+b—p=a+b-pa=(—p）a+b，=—=q—p=qb—pa=—pa+qb，又∵與共線，∴∴q-pq=-p?！鄍+q=1。走近高考12.(2006陜西高考，8)已知非零向量與滿足（)·=0且=，則△ABC為（）A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.三邊均不相等的三角形解析:∵（）·=0，∴｜｜=｜｜.又=,且與都為單位向量，∴〈，〉=60°?！唷鰽BC為等邊三角形。答案:A13.(2006湖南高考，10）如圖2-3-12，OM∥AB，點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界),且=x+y，則實數(shù)對（x，y)可以是（）圖2—3-A.（，）B.（-,）C.（—，）D。（-，）解析:通過驗證法逐一排除,最后選C。答案：C14。（2006廣東高考,4）