數(shù)學(xué)成長(zhǎng)訓(xùn)練：平面向量基本定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精主動(dòng)成長(zhǎng)夯基達(dá)標(biāo)1.如圖2-3—7，已知ABDEF是正六邊形，且=a，=b，則等于(）圖2—3-A。（a-b）B.（b—a）C.a+bD。（a+b）解析:連結(jié)AD，則=+=a+b，∴==（a+b）.答案：D2.如果e1、e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么(）A.若實(shí)數(shù)λ1、λ2使λ1e1+λ2e2=0，則λ1=λ2=0B?？臻g任一向量a可以表示為a=λ1e1+λ2e2，這里λ1、λ2是實(shí)數(shù)C。對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，λ1e1+λ2e2不一定在平面α內(nèi)D.對(duì)平面α中的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的實(shí)數(shù)λ1、λ2有無(wú)數(shù)對(duì)解析：平面α內(nèi)任一向量都可寫(xiě)成e1與e2的線性組合形式，而不是空間內(nèi)任一向量,故B不正確；C中的向量λ1e1+λ2e2一定在平面α內(nèi)；而對(duì)平面α中的任一向量a，實(shí)數(shù)λ1、λ2是唯一的。答案:A3.下面給出三個(gè)命題①非零向量a與b共線，則a與b所在的直線平行；②向量a與b共線的條件是當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)λ1、λ2使得λ1a=λ2b③平面內(nèi)的任一向量都可用其他兩個(gè)向量的線性組合表示。其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A。0B。1C解析：命題①，兩共線向量a與b所在的直線有可能重合；命題③，平面α內(nèi)的任一向量都可用其他兩個(gè)不共線向量的線性組合表示，故①③都不正確。答案：B4。已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn)A、C），則等于（）A.λ(+），λ∈（0,1）B.λ（+）,λ∈（0，）C。λ(—），λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈（0,）解析：∵點(diǎn)P在AC上且不包括端點(diǎn)A、C,∴=λ,λ∈(0,1).由平行四邊形法則，+=，∴λ(+）=λ=.答案:A5.如圖2-3—8，在矩形ABCD中，若=5e1,=3e2,則等于（）圖2—3-A。（5e1+3e2)B.（5e1-3e2)C。(3e2—5e1）D。(5e2—3e1）解析：==（+）=（3e2+5e1）.答案：A6。如圖2—3—9,D、E、F分別是BC、CA、AB的中點(diǎn)，則++等于(）圖2-3-A.B。-C?！狣.0解析:++=-++=++=+==-.答案：C7。設(shè)點(diǎn)O是ABCD兩對(duì)角線交點(diǎn)，下列向量組：①與;②與；③與;④與?？勺鳛樵撈矫嫫渌蛄炕椎氖牵?A.①②B.①③C。①④D.③④解析:根據(jù)平面向量基本定理得,平面內(nèi)任意兩個(gè)不平行的向量都可以作為這一平面內(nèi)的一組基底，①③這兩組為不平行向量.答案：B8。如圖2—3—10,已知E、F分別是矩形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)G,若=a,=b，用a、b表示=_____________.圖2-3解析:==（a+b）=a+b。答案：a+b9。D、E、F分別為△ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，且=a,=b，給出下列命題:①=-a—b；②=a+b；③=—a+b；④++=0.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)______________.解析：如圖所示，=+=—b+=—b-a,=+=a+b，=+=—b—a，=+=b+(—b—a）=b-a,++=-b—a+a+b+b—a=0.所以應(yīng)填①②③④。答案：①②③④10。如圖2-3—11,已知點(diǎn)L、M、N分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的點(diǎn),且若++=0。求證：l=m=n.圖2-3-11證明:設(shè)=a，=b為基底.由已知得=la,=mb。∵=+=—a-b，∴=n=-na—nb.∴=+=(l-1）a—b,①=+=a+mb，②=+=-na+(1—n)b。③將①②③代入+=0,得(l-n)a+（m-n）b=0?！鄉(xiāng)=m=n.11.在△OAB中，=，=,AD與BC交于M點(diǎn)，設(shè)=a，=b.（1）用a、b表示。(2）在已知線段上取一點(diǎn)E，在線段上取一點(diǎn)F，使過(guò)點(diǎn)M.設(shè)=p,=q，求證：(1）解析:設(shè)=ma+nb，則=—=ma+nb-a=(m-1)a+nb,=-=b—a=—a+b?！逜、M、D三點(diǎn)共線，∴與共線?！??！鄊+2n=1.①而=—=ma+nb—a=（m-）a+nb,=-=b-a=-a+b，又∵C、M、B三點(diǎn)共線,∴與共線.∴.∴4m+n=1.②∴聯(lián)立①②解得m=,n=。∴=a+b。(2）證明：∵=—=a+b—p=a+b-pa=(—p）a+b，=—=q—p=qb—pa=—pa+qb，又∵與共線，∴∴q-pq=-p?！鄍+q=1。走近高考12.(2006陜西高考，8)已知非零向量與滿足（)·=0且=，則△ABC為（）A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.三邊均不相等的三角形解析:∵（）·=0，∴｜｜=｜｜.又=,且與都為單位向量，∴〈，〉=60°。∴△ABC為等邊三角形。答案:A13.(2006湖南高考，10）如圖2-3-12，OM∥AB，點(diǎn)P在由射線OM、線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界),且=x+y，則實(shí)數(shù)對(duì)（x，y)可以是（）圖2—3-A.（，）B.（-,）C.（—，）D。（-，）解析:通過(guò)驗(yàn)證法逐一排除,最后選C。答案：C14。（2006廣東高考,4）