數(shù)學(xué)成長訓(xùn)練第一講四柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精主動成長夯基達標(biāo)1.如圖,在柱坐標(biāo)系中,長方體的兩個頂點坐標(biāo)為A1(4,0,5)，C1（6，分π2式,5）,則此長方體外接球的體積為________。解析：據(jù)頂點的柱坐標(biāo)求出長方體的三度,其外接球的直徑恰為長方體的對角線長.由長方體的兩個頂點坐標(biāo)為A1（4,0,5),C1（6,π2,5)，可知OA=4，OC=6,OO1=5,則對角線長為那么球的體積為·π·()3=.答案：2.已知點M的直角坐標(biāo)為（1，—3,4),則它的柱坐標(biāo)為_______。解析：設(shè)點M的柱坐標(biāo)為（ρ,θ,z）,則,解之,得ρ=2，θ=，z=4.∴點M的柱坐標(biāo)為（2，，4）。答案:（2，，4)3。設(shè)點M的柱坐標(biāo)為(2，，7),則它的直角坐標(biāo)為_______。解析：設(shè)點M的直角坐標(biāo)為(x，y,z)，則∴點M的直角坐標(biāo)為（,1，7).答案:（,1，7）4。已知點M的球坐標(biāo)為（2,,),則它的直角坐標(biāo)為_______.解析:設(shè)M的直角坐標(biāo)為（x,y，z），則∴點M的直角坐標(biāo)為（—1,1,—).答案：(—1,1，-)5.兩平行面去截球，如圖，在兩個截面圓上有兩個點，它們的球坐標(biāo)分別為A（25，arctan,θa)、B(25,π—arctan,θB）,求出這兩個截面間的距離.解析：根據(jù)已知可得球半徑為25，這樣,我們就可以在Rt△AOO1和Rt△BOO1中求出OO1及OO2的長度來,可得兩個截面間的距離為O1O2。解:由已知,OA=OB=5,∠AOO1=arctan,∠BOO1=π—arctan，在△AOO1中,tan∠AOO1==∵OA=25，∴OO1=7。在△BOO2中,∠BOO2=arctan,tan∠BOO2==。∵OB=25，∴OO2=20。則O1O2=OO1+OO2=7+20=27?！鄡蓚€截面間的距離O1O2為27。6。在赤道平面上，我們選取地球球心O為極點，以O(shè)為端點且與零子午線相交的射線Ox為極軸，建立坐標(biāo)系。有A、B兩個城市，它們的球坐標(biāo)分別為A（R，,)、B（R,，)，飛機應(yīng)該走怎樣的航線最快,所走的路程有多遠？解析:我們根據(jù)A、B兩地的球坐標(biāo)找到地球的半徑、緯度、經(jīng)度,當(dāng)飛機走AB兩地的大圓時,飛機最快，所走的路程實際上是要求我們求出過A、B兩地的球面距離。解:如圖所示，因為A(R,,），B（R，,),可知∠O1AO=∠O1BO=，∴∠AO1O=∠BO1O=.又∠EOC=,∠EOD=，∴∠COD=-=.∴∠COD=∠AO1B=。在Rt△OO1B中，∠O1BO=，OB=R，∴O1B=O1A=R.∵∠AO1B=,∴AB=R.在△AOB中,AB=OB=OA=R，∴∠AOB=。則經(jīng)過A、B兩地的球面距離為R。走經(jīng)過A、B兩地的大圓，飛機航線最短，其距離為R。7.結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，圖（1）是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個棱長為的小正方體堆積成的正方體），圖形中的點代表鈉原子，其他點代表氯原子，如圖（2)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz后，試寫出全部鈉原子所在位置的球坐標(biāo)、柱坐標(biāo).解析：在空間直角坐標(biāo)系中，我們需要找點的(x,y,z)；在柱坐標(biāo)系中，需要找到（ρ,θ，z)；在球坐標(biāo)系中，需要找到（r,φ,θ）。解：把圖中的鈉原子分成下、中、上三層來寫它們所在位置的坐標(biāo).下層的原子全部在xOy平面上，它們所在位置的豎坐標(biāo)全是0，所以這五個鈉原子所在位置的球坐標(biāo)分別為（0，0,0)，（1，，0),（，，)，（1,,），（,,）,它們的柱坐標(biāo)分別為(0,0，0）,(1，0,0），(，，0），（1，，0）,(，,0)；中層的原子所在的平面平行于xOy平面，與z軸交點的豎坐標(biāo)為，所以,這四個鈉原子所在位置的球坐標(biāo)分別為(,，0)，(，arccos,arctan）,(，arccos,arctan2)，(,，),它們的柱坐標(biāo)分別為（，0,)，(,arctan,），（,arctan2，),(，,);上層的鈉原子所在的平面平行于xOy平面，與z軸交點的豎坐標(biāo)為1,所以，這五個鈉原子所在位置的球坐標(biāo)分別為(1，0,0），（,,0),（,arctan，），（，，），（,arctan，）,它們的柱坐標(biāo)分別為(0,0,1),（1，0,1)，(,,1)，(1,,1），（,，1).8.距離是幾何中的基本度量，幾何問題和一些實際問題經(jīng)常涉及距離，如建筑設(shè)計中常常需要計算空間兩點間的距離試用兩點的坐標(biāo)表示這兩點間的距離。解：(1）在平面直角坐標(biāo)系中，已知P1(x1,y1）,P2(x2，y2），則|P1P2｜=.（2）在空間直角坐標(biāo)系中,如圖，設(shè)P1(x1，y1，z1）、P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，且點P1（x1，y1，z1)、P2(x2，y2,z2）在xOy平面上的射影分別為M、N,那么M、N的坐標(biāo)為M（x1,y1,0）、N(x2，y2,0）,在xOy平面上，|MN｜=.過點P1作P2N的垂線,垂足為H,則｜MP1|=|z1|，|NP2|=|z2|，所以｜HP2|=|z2—z1|.在Rt△P1HP2中，｜P1H|=|MN｜=,根據(jù)勾股定理,得|P1P2｜==。因此,空間中點P1(x1,y1,z1)，P2(x2，y2,z2)之間的距離｜P1P2|=.(3)我們來確定P1、P2兩點在柱坐標(biāo)系中的距離公式:根據(jù)空間點P的直角坐標(biāo)（x，y，z）與柱坐標(biāo)（ρ，θ，z)之間的變換公式：P1（x1，y1，z1）,P2（x2,y2,z2）,有可得｜P1P2｜=（4)我們來確定P1、P2兩點在球坐標(biāo)系中的距離公式：空間點P的直角坐標(biāo)（x，y，z）與球坐標(biāo)(r,φ,θ)之間的變換關(guān)系為P1（x1,y1,z1),P2（x2，y2，z2)，有及可得｜P1P2|=走近高考1.已知點P的柱坐標(biāo)為（2，,5）,點B的球坐標(biāo)為（6,,)，則這兩個點在空間直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)為（）A.P點（5,1，1），B點B.P點(1,1，5)，B點C。P點,B點(1，1,5)D。P點(1,1,5)，B點解析:此題考查空間直角坐標(biāo)系與空間極坐標(biāo)系的互化.只要我們記住互化公式,問題就能夠解決.球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式為柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式為解：設(shè)P點的直角坐標(biāo)為（x，y，z）,x=·cos=·=1，y=·sin=1，z=5。設(shè)B點的直角坐標(biāo)為（x，y,z），x=·sin·cos=··=，y=·sin·sin=··=，z=·cos=·=所以,點P的直角坐標(biāo)為(1，1,5），點B的直角坐標(biāo)為（).選B.答案：B2。設(shè)點M的直角坐標(biāo)為(1,1，1),求它的柱坐標(biāo).解